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文档简介
§8.8抛物线课标要求1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.知识梳理1.抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.注意:定点F不在定直线l上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F垂直于直线l的一条直线.2.抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(p,2),0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,-\f(p,2)))准线方程x=-eq\f(p,2)x=eq\f(p,2)y=-eq\f(p,2)y=eq\f(p,2)对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e=1常用结论1.通径:过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2.抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),0))的距离|PF|=x0+eq\f(p,2),也称为抛物线的焦半径.3.设抛物线方程为y2=2px(p>0),准线x=-eq\f(p,2)与x轴相交于点P,过焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),0))的直线l与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,O为原点,α为AB与对称轴正向所成的角,则有如下的焦点弦长公式:|AB|=eq\r(1+k2)|x1-x2|,|AB|=eq\r(1+\f(1,k2))|y1-y2|,|AB|=x1+x2+p,|AB|=eq\f(2p,sin2α).自主诊断1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.(×)(2)方程y=4x2表示焦点在x轴上的抛物线,焦点坐标是(1,0).(×)(3)标准方程y2=2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.(√)(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2=±2py(p>0),也可以写成y=ax2,这与以前学习的二次函数的解析式是一致的.(√)2.(选择性必修第一册P133T2改编)抛物线x2=eq\f(1,4)y的准线方程为()A.y=-eq\f(1,16) B.x=-eq\f(1,16)C.y=eq\f(1,16) D.x=eq\f(1,16)答案A解析由抛物线的标准方程可得,抛物线的焦点位于y轴正半轴上,焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,16))),准线方程为y=-eq\f(1,16).3.(选择性必修第一册P133T3改编)抛物线y2=2px(p>0)上一点M(3,y)到焦点F的距离|MF|=4,则抛物线的方程为()A.y2=8xB.y2=4xC.y2=2xD.y2=x答案B解析由题意可得|MF|=xM+eq\f(p,2),则3+eq\f(p,2)=4,即p=2,故抛物线方程为y2=4x.4.若抛物线y2=2px(p>0)上的点到焦点的最短距离为1,则p的值为()A.0B.1C.2D.3答案C解析由抛物线的定义可知,抛物线y2=2px(p>0)上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,则最短距离为eq\f(p,2)=1,所以p=2.题型一抛物线的定义及应用例1(1)(2024·南昌模拟)设圆O:x2+y2=4与y轴交于A,B两点(A在B的上方),过点B作圆O的切线l,若动点P到A的距离等于P到l的距离,则动点P的轨迹方程为()A.x2=8y B.x2=16yC.y2=8x D.y2=16x答案A解析因为圆O:x2+y2=4与y轴交于A,B两点(A在B的上方),所以A(0,2),B(0,-2),又因为过点B作圆O的切线l,所以切线l的方程为y=-2,因为动点P到A的距离等于P到l的距离,所以动点P的轨迹为抛物线,且其焦点为(0,2),准线为y=-2,所以P的轨迹方程为x2=8y.(2)已知点M(20,40)不在抛物线C:y2=2px(p>0)上,抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P,|PM|+|PF|的最小值为41,则p的值等于________.答案42或22解析当点M(20,40)位于抛物线内时,如图①,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为D,则|PF|=|PD|,|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.当点M,P,D三点共线时,|PM|+|PF|的值最小.由最小值为41,得20+eq\f(p,2)=41,解得p=42;当点M(20,40)位于抛物线外时,如图②,当点P,M,F三点共线时,|PM|+|PF|的值最小.由最小值为41,得eq\r(402+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20-\f(p,2)))2)=41,解得p=22或p=58.当p=58时,y2=116x,点M(20,40)在抛物线内,故舍去.综上,p=42或p=22.①②思维升华“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”,许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形,由形想数,数形结合”是灵活解题的一条捷径.跟踪训练1(1)已知抛物线y=mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为eq\f(11,4),则m等于()A.4B.3C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,3)答案D解析由题意知,抛物线y=mx2(m>0)的准线方程为y=-eq\f(1,4m),根据抛物线的定义,可得点(x0,2)到焦点F的距离等于到准线y=-eq\f(1,4m)的距离,可得2+eq\f(1,4m)=eq\f(11,4),解得m=eq\f(1,3).(2)已知点P为抛物线y2=-4x上的动点,设点P到l:x=1的距离为d1,到直线x+y-4=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是()A.eq\f(5,2)B.eq\f(5\r(2),2)C.2D.eq\r(2)答案B解析直线l:x=1为抛物线y2=-4x的准线,点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离,过焦点F作直线x+y-4=0的垂线,如图所示,当点P为所作直线与抛物线的交点时,d1+d2的值最小,为点F到直线x+y-4=0的距离.∵F(-1,0),∴(d1+d2)min=eq\f(|-1+0-4|,\r(2))=eq\f(5\r(2),2).题型二抛物线的标准方程例2(1)抛物线过点(3,-4),则抛物线的标准方程为________.答案y2=eq\f(16,3)x或x2=-eq\f(9,4)y解析∵点(3,-4)在第四象限,∴抛物线开口向右或向下,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0).把点(3,-4)的坐标分别代入y2=2px和x2=-2p1y中,得(-4)2=2p·3,32=-2p1·(-4),则2p=eq\f(16,3),2p1=eq\f(9,4).∴所求抛物线的标准方程为y2=eq\f(16,3)x或x2=-eq\f(9,4)y.(2)已知抛物线C:y2=2px(p>0),点A,B在抛物线上,且直线AB过点Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(p,2),0)),F为C的焦点,若|FA|=2|FB|=6,则抛物线C的标准方程为________.答案y2=8x解析如图,过点A,B分别作抛物线C的准线l的垂线,垂足分别为A1,B1,由抛物线的定义可知,|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,∵2|FB|=|FA|,∴2|BB1|=|AA1|,则易知B为AD的中点.连接OB,则OB为△DFA的中位线,∴2|OB|=|FA|,∴|OB|=|FB|,∴点B在线段OF的垂直平分线上,∴点B的横坐标为eq\f(p,4),∴|FB|=eq\f(p,2)+eq\f(p,4)=3,∴p=4,∴抛物线C的标准方程为y2=8x.思维升华求抛物线的标准方程的方法(1)定义法.(2)待定系数法:当焦点位置不确定时,分情况讨论.跟踪训练2(1)(2023·临汾统考)抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0,-9),则抛物线C的方程为()A.x2=6y B.x2=12yC.x2=18y D.x2=36y答案B解析由题可知,抛物线开口向上,设方程为x2=2py(p>0),设抛物线的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(p,2))),则准线为y=-eq\f(p,2),所以eq\f(\f(p,2)+-9,2)=-eq\f(p,2),解得p=6,所以抛物线C的方程为x2=12y.(2)设抛物线C的顶点在坐标原点,焦点F在y轴正半轴上,点P在抛物线C上,|PF|=eq\f(5,2),若以线段PF为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点,则该抛物线C的方程为________.答案x2=2y或x2=8y解析由题意设抛物线方程为x2=2py(p>0),P(x0,y0),Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(p,2))),圆的半径为eq\f(5,4),由焦半径公式可知y0+eq\f(p,2)=eq\f(5,2),得y0=eq\f(5-p,2),并且线段PF中点的纵坐标是eq\f(y0+\f(p,2),2)=eq\f(5,4),所以以线段PF为直径的圆与x轴相切,切点坐标为(-1,0)或(1,0),所以x0=±2,即点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±2,\f(5-p,2))),代入抛物线方程x2=2py(p>0),得4=2p·eq\f(5-p,2),解得p=1或p=4,即当点F在y轴正半轴时,抛物线方程是x2=2y或x2=8y.题型三抛物线的几何性质例3(1)(2023·兰州一中模拟)已知圆x2+y2=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,与抛物线的准线交于C,D两点,若四边形ABCD是矩形,则p等于()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(\r(2),5)C.eq\f(5\r(2),2)D.eq\f(2\r(5),5)答案D解析因为四边形ABCD是矩形,所以由抛物线与圆的对称性知,弦AB为抛物线y2=2px(p>0)的通径,因为圆的半径为1,抛物线的通径为2p,所以有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))2+p2=1,解得p=eq\f(2\r(5),5).(2)(多选)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l的斜率为eq\r(3)且经过点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线C的准线交于点D.若|AF|=8,则以下结论正确的是()A.p=4 B.eq\o(DF,\s\up6(→))=eq\o(FA,\s\up6(→))C.|BD|=2|BF| D.|BF|=4答案ABC解析如图所示,分别过点A,B作抛物线C的准线的垂线,垂足分别为点E,M,连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P,则|PF|=p.因为直线l的斜率为eq\r(3),所以其倾斜角为60°.因为AE∥x轴,所以∠EAF=60°,由抛物线的定义可知,|AE|=|AF|,则△AEF为等边三角形,所以∠EFP=∠AEF=60°,则∠PEF=30°,所以|AF|=|EF|=2|PF|=2p=8,得p=4,故A正确;因为|AE|=|EF|=2|PF|,且PF∥AE,所以F为AD的中点,则eq\o(DF,\s\up6(→))=eq\o(FA,\s\up6(→)),故B正确;因为∠DAE=60°,所以∠ADE=30°,所以|BD|=2|BM|=2|BF|,故C正确;因为|BD|=2|BF|,所以|BF|=eq\f(1,3)|DF|=eq\f(1,3)|AF|=eq\f(8,3),故D错误.思维升华应用抛物线的几何性质解题时,常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解题的直观性.跟踪训练3(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为______.答案x=-eq\f(3,2)解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF|=eq\f(p,2),|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以tan∠OPF=tan∠PQF,所以eq\f(|OF|,|PF|)=eq\f(|PF|,|FQ|),即eq\f(\f(p,2),p)=eq\f(p,6),解得p=3(p=0舍去),所以C的准线方程为x=-eq\f(3,2).方法二(应用射影定理法)由题易得|OF|=eq\f(p,2),|PF|=p,|PF|2=|OF|·|FQ|,即p2=eq\f(p,2)×6,解得p=3或p=0(舍去),所以C的准线方程为x=-eq\f(3,2).(2)已知F是抛物线y2=16x的焦点,M是抛物线上一点,FM的延长线交y轴于点N,若3eq\o(FM,\s\up6(→))=2eq\o(MN,\s\up6(→)),则|NF|=________.答案16解析易知焦点F的坐标为(4,0),准线l的方程为x=-4,如图,抛物线准线与x轴的交点为A,作MB⊥l于点B,NC⊥l于点C,AF∥MB∥NC,则eq\f(|MN|,|NF|)=eq\f(|BM|-|CN|,|OF|),由3eq\o(FM,\s\up6(→))=2eq\o(MN,\s\up6(→)),得eq\f(|MN|,|NF|)=eq\f(3,5),又|CN|=4,|OF|=4,所以eq\f(|BM|-4,4)=eq\f(3,5),|BM|=eq\f(32,5),|MF|=|BM|=eq\f(32,5),eq\f(|MF|,|NF|)=eq\f(2,5),所以|NF|=16.课时精练一、单项选择题1.在平面内,已知定点A及定直线l,记动点P到l的距离为d,则“|PA|=d”是“点P的轨迹是以点A为焦点,直线l为准线的抛物线”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C解析“点P的轨迹是以点A为焦点,直线l为准线的抛物线”⇒“|PA|=d”,反之不成立,当直线经过定点A时,轨迹不是抛物线.因此“|PA|=d”是“点P的轨迹是以点A为焦点,直线l为准线的抛物线”的必要不充分条件.2.(2023·榆林模拟)已知抛物线x2=2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2,则该抛物线的焦点到其准线的距离为()A.6B.4C.3D.2答案D解析由题可知,抛物线准线为y=-eq\f(p,2),可得1+eq\f(p,2)=2,解得p=2,所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p=2.3.(2023·福州质检)在平面直角坐标系Oxy中,动点P(x,y)到直线x=1的距离比它到定点(-2,0)的距离小1,则P的轨迹方程为()A.y2=2x B.y2=4xC.y2=-4x D.y2=-8x答案D解析由题意知动点P(x,y)到直线x=2的距离与到定点(-2,0)的距离相等,由抛物线的定义知,P的轨迹是以(-2,0)为焦点,x=2为准线的抛物线,所以p=4,轨迹方程为y2=-8x.4.(2023·北京模拟)设M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,O是坐标原点,若∠OFM=120°,则|FM|等于()A.3B.4C.eq\f(4,3)D.eq\f(7,3)答案B解析过点M作抛物线的准线l的垂线,垂足为点N,连接FN,如图所示,因为∠OFM=120°,MN∥x轴,则∠FMN=60°,由抛物线的定义可得|MN|=|FM|,所以△FNM为等边三角形,则∠FNM=60°,抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,设直线x=-1交x轴于点E,则∠ENF=30°,易知|EF|=2,∠FEN=90°,则|FM|=|FN|=2|EF|=4.5.已知抛物线y2=16x的焦点为F,P点在抛物线上,Q点在圆C:(x-6)2+(y-2)2=4上,则|PQ|+|PF|的最小值为()A.4B.6C.8D.10答案C解析如图,过点P向准线作垂线,垂足为A,则|PF|=|PA|,当CP垂直于抛物线的准线时,|CP|+|PA|最小,此时线段CP与圆C的交点为Q,因为准线方程为x=-4,C(6,2),半径为2,所以|PQ|+|PF|的最小值为|AQ|=|CA|-2=10-2=8.6.(2024·许昌模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P是C上异于原点O的任意一点,线段PF的中点为M,则以F为圆心且与直线OM相切的圆的面积最大值为()A.πB.eq\f(π,2)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,4)答案B解析由题意,作图如图所示,设P(t2,2t)(不妨令t>0),由已知可得F(1,0),则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2+1,2),t)),所以直线OM的方程为y=eq\f(2t,t2+1)x,设k=eq\f(2t,t2+1),则k=eq\f(2,t+\f(1,t))≤1,当且仅当t=1时取等号,所以点F到直线OM的距离为eq\f(|k|,\r(k2+1))=eq\f(1,\r(1+\f(1,k2)))≤eq\f(\r(2),2),即圆F的半径最大值为eq\f(\r(2),2),面积最大值为eq\f(π,2).二、多项选择题7.(2023·南京模拟)在平面直角坐标系Oxy中,点F是抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点,点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2),1)),B(a,b)(b>0)在抛物线C上,则下列结论正确的是()A.C的准线方程为x=eq\f(\r(2),4)B.b=eq\r(2)C.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=2D.eq\f(1,|AF|)+eq\f(1,|BF|)=eq\f(16\r(2),15)答案BD解析点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2),1))(a>0),B(a,b)(b>0)在抛物线C上,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12=\f(a2,2),,b2=a2,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=\r(2),,b=\r(2),))则抛物线C:y2=eq\r(2)x,Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2),1)),B(eq\r(2),eq\r(2)),抛物线C的准线方程为x=-eq\f(\r(2),4),故A错误,B正确;eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=eq\f(\r(2),2)×eq\r(2)+1×eq\r(2)=1+eq\r(2),故C错误;抛物线C的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4),0)),则|AF|=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)-\f(\r(2),2)))2+0-12)=eq\f(3\r(2),4),|BF|=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)-\r(2)))2+0-\r(2)2)=eq\f(5\r(2),4),则eq\f(1,|AF|)+eq\f(1,|BF|)=eq\f(2\r(2),3)+eq\f(2\r(2),5)=eq\f(16\r(2),15),故D正确.8.(2024·大庆模拟)已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上的两点,下列结论正确的是()A.|MF|的最小值为2B.若|MF|+|NF|=12,则线段MN的中点P到x轴的距离为6C.若直线MN过点F,则x1x2=4D.若eq\o(MF,\s\up6(→))=λeq\o(NF,\s\up6(→)),则|MN|的最小值为8答案AD解析对于A,x2=8y,则p=4,焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2,∴|MF|=y1+2,∵y1≥0,∴|MF|≥2,当且仅当y1=0时等号成立,故A正确;对于B,∵|MF|+|NF|=12,根据抛物线定义得y1+2+y2+2=12,则y1+y2=8,而由中点坐标公式得点P的纵坐标yP=eq\f(y1+y2,2)=4,即点P到x轴的距离为4,故B错误;对于C,由题意可知直线MN斜率存在,∵直线MN过点F,设直线MN的方程为y=kx+2,代入抛物线方程整理得x2-8kx-16=0,∴x1+x2=8k,x1x2=-16,故C错误;对于D,若eq\o(MF,\s\up6(→))=λeq\o(NF,\s\up6(→)),则M,F,N三点共线,由题得|MF|+|NF|=y1+2+y2+2=y1+y2+4=eq\f(x\o\al(2,1)+x\o\al(2,2),8)+4=eq\f(x1+x22-2x1x2,8)+4=eq\f(64k2+32,8)+4,当k=0时,|MN|的最小值即为抛物线的通径长,此时最小值为8,故D正确.三、填空题9.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A在抛物线C上,若点A到x轴的距离是|AF|-2,则p=________.答案4解析由抛物线的方程可得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(p,2))),设A(x0,y0),则y0≥0,则|AF|=y0+eq\f(p,2),又点A到x轴的距离是|AF|-2,故y0=y0+eq\f(p,2)-2,故p=4.10.(2023·洛阳模拟)清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体,具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图,已知碗体和碗盖的内部轴截面均近似为抛物线形状,碗盖深为3cm,碗盖口直径为8cm,碗体口直径为10cm,碗体深6.25cm,则盖上碗盖后,碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为(碗体和碗盖的厚度忽略不计)________.答案7cm解析以碗体的最低点为原点,向上的方向为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.设碗体的抛物线方程为x2=2py(p>0),将点(5,6.25)代入,得52=2p×6.25,解得p=2,则x2=4y,设盖上碗盖后,碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为hcm,则两抛物线在第一象限的交点为(4,h-3),代入到x2=4y,得42=4(h-3),解得h=7.11.A,B是抛物线x2=2y上的两点,O为坐标原点.若|OA|=|OB|,且△AOB的面积为12eq\r(3),则∠AOB=________.答案60°解析如图,∵|OA|=|OB|,∴A,B两点关于y轴对称,设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-a,\f(a2,2))),Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a,\f(a2,2))),∴S△AOB=eq\f(1,2)×2a×eq\f(a2,2)=12eq\r(3),解得a=2eq\r(3),∴B(2eq\r(3),6),∴tanθ=eq\f(2\r(3),6)=eq\f(\r(3),3),∴θ=30°,∴∠AOB=2θ=60°.12.已知A,B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上,若|AF|+|BF|=4,线段AB的中点到直线x=eq\f(p,2)的距离为1,则p的值为________.答案1或3解析分别过点A,B作准线l:x=-eq\f(p,2)的垂线,垂足分别为C,D,设AB的中点M在准线上的射影为点N,连接MN,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=4,所以在梯形ACDB中,中位线|MN|=eq\f(1,2)(|AC|+|BD|)=2,可得x0=2-eq\f(p,2),因为线段AB的中点到直线x=eq\f(p,2)的距离为1,所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0-\f(p,2)))=1,所以|2-p|=1,解得p=1或p=3.四、解答题13.已知动点M与点F(2,0)的距离与其到直线x=-2的距离相等.(1)求动点M的轨迹方程;(2)求点M与点A(6,0)的距离的最小值,并指出此时M的坐标.解(1)由题意知动点M到F(2,0)的距离与它到直线x=-2的距离相等,所以动点M的轨迹为以F(2,0)为焦点,以直线x=-2为准线的抛物线,因此动点M的轨迹方程为y2=8x.(2)设Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,8),m)),由两点间的距离公式得|MA|=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,8)-6))2+m2)=eq\r(\f(m4,64)-\f(m2,2)+36)=eq\r(\f(1,64)m2-162+32),当m2=16,即m=±4时,|MA|min=4eq\r(2),即当M(2,4)或M(2,-4)时,点M与点A的距离最小,最小值为4eq\r(2).14.已知动圆过定点(4,0),且在y轴上截得的弦长为8.(1)求动圆圆心C的轨迹方程;(2)已
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