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文档简介
江苏省苏州市吴中学、吴江、相城区2024年中考适应性考试数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.如图,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,过点A,C作相距为2的平行线段AE,CF,分别交CD,AB于点E,F,则DE的长是()A. B. C.1 D.2.如图,已知,用尺规作图作.第一步的作法以点为圆心,任意长为半径画弧,分别交,于点,第二步的作法是()A.以点为圆心,长为半径画弧,与第1步所画的弧相交于点B.以点为圆心,长为半径画弧,与第1步所画的弧相交于点C.以点为圆心,长为半径画弧,与第1步所画的弧相交于点D.以点为圆心,长为半径画弧,与第1步所画的弧相交于点3.计算的结果为()A.1 B.x C. D.4.如图,将△ABC沿着DE剪成一个小三角形ADE和一个四边形D'E'CB,若DE∥BC,四边形D'E'CB各边的长度如图所示,则剪出的小三角形ADE应是()A. B. C. D.5.计算的结果是()A.a2 B.-a2 C.a4 D.-a46.如图所示,a∥b,直线a与直线b之间的距离是()A.线段PA的长度 B.线段PB的长度C.线段PC的长度 D.线段CD的长度7.如图,平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上,点B坐标为(6,4),反比例函数的图象与AB边交于点D,与BC边交于点E,连结DE,将△BDE沿DE翻折至△B'DE处,点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上,则k的值是()A. B. C. D.8.如图由四个相同的小立方体组成的立体图像,它的主视图是().A. B. C. D.9.在平面直角坐标系xOy中,对于任意三点A,B,C的“矩面积”,给出如下定义:“水平底”a:任意两点横坐标差的最大值,“铅垂高”h:任意两点纵坐标差的最大值,则“矩面积”S=ah.例如:三点坐标分别为A(1,2),B(﹣3,1),C(2,﹣2),则“水平底”a=5,“铅垂高”h=4,“矩面积”S=ah=1.若D(1,2)、E(﹣2,1)、F(0,t)三点的“矩面积”为18,则t的值为()A.﹣3或7B.﹣4或6C.﹣4或7D.﹣3或610.下列计算正确的是()A.a4+a5=a9B.(2a2b3)2=4a4b6C.﹣2a(a+3)=﹣2a2+6aD.(2a﹣b)2=4a2﹣b211.若代数式有意义,则实数x的取值范围是()A.x>0 B.x≥0 C.x≠0 D.任意实数12.已知二次函数的图象与轴交于点、,且,与轴的正半轴的交点在的下方.下列结论:①;②;③;④.其中正确结论的个数是()个.A.4个 B.3个 C.2个 D.1个二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.已知x1,x2是方程x2+6x+3=0的两实数根,则的值为_____.14.在一个不透明的盒子中装有8个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球,它是白球的概率为,则黄球的个数为______.15.一次函数y=kx+b的图象如图所示,当y>0时,x的取值范围是_____.16.亲爱的同学们,在我们的生活中处处有数学的身影.请看图,折叠一张三角形纸片,把三角形的三个角拼在一起,就得到一个著名的几何定理,请你写出这一定理的结论:“三角形的三个内角和等于_______°.”17.如图,AB为⊙O的弦,C为弦AB上一点,设AC=m,BC=n(m>n),将弦AB绕圆心O旋转一周,若线段BC扫过的面积为(m2﹣n2)π,则=______18.计算:2cos60°-+(5-π)°=____________.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)桌面上放有4张卡片,正面分别标有数字1,2,3,4,这些卡片除数字外完全相同.把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上,甲从中任意抽出一张,记下卡片上的数字后仍放反面朝上放回洗匀,乙从中任意抽出一张,记下卡片上的数字,然后将这两数相加.(1)请用列表或画树状图的方法求两数和为5的概率;(2)若甲与乙按上述方式做游戏,当两数之和为5时,甲胜;反之则乙胜;若甲胜一次得12分,那么乙胜一次得多少分,才能使这个游戏对双方公平?20.(6分)化简求值:,其中x是不等式组的整数解.21.(6分)我们已经知道一些特殊的勾股数,如三连续正整数中的勾股数:3、4、5;三个连续的偶数中的勾股数6、8、10;事实上,勾股数的正整数倍仍然是勾股数.另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数,毕达哥拉斯学派提出的公式:a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(n为正整数)是一组勾股数,请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数.然而,世界上第一次给出的勾股数公式,收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中,书中提到:当a=(m2﹣n2),b=mn,c=(m2+n2)(m、n为正整数,m>n时,a、b、c构成一组勾股数;利用上述结论,解决如下问题:已知某直角三角形的边长满足上述勾股数,其中一边长为37,且n=5,求该直角三角形另两边的长.22.(8分)某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查,要求每名学生必选且只能选一项,现随机抽查了m名学生,并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图.请结合以上信息解答下列问题:m=;请补全上面的条形统计图;在图2中,“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为;已知该校共有1200名学生,请你估计该校约有名学生最喜爱足球活动.23.(8分)为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对A、B两地间的公路进行改建.如图,A、B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC=80千米,∠A=45°,∠B=30°.开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走多少千米?开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走多少千米?(结果精确到0.1千米)(参考数据:≈1.41,≈1.73)24.(10分)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.求证:四边形ABCD是菱形;若AB=,BD=2,求OE的长.25.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,BD是对角线,∠ADB=90°,E、F分别为边AB、CD的中点.(1)求证:四边形DEBF是菱形;(2)若BE=4,∠DEB=120°,点M为BF的中点,当点P在BD边上运动时,则PF+PM的最小值为,并在图上标出此时点P的位置.26.(12分)先化简,再求值:,其中x=﹣1.27.(12分)如图,点A、B、C、D在同一条直线上,CE∥DF,EC=BD,AC=FD,求证:AE=FB.
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、D【解析】
过F作FH⊥AE于H,根据矩形的性质得到AB=CD,AB//CD,推出四边形AECF是平行四边形,根据平行四边形的性质得到AF=CE,根据相似三角形的性质得到,于是得到AE=AF,列方程即可得到结论.【详解】解:如图:解:过F作FH⊥AE于H,四边形ABCD是矩形,AB=CD,AB∥CD,AE//CF,四边形AECF是平行四边形,AF=CE,DE=BF,AF=3-DE,AE=,∠FHA=∠D=∠DAF=,∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90,∠DAE=∠AFH,△ADE~△AFH,AE=AF,,DE=,故选D.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及三角形相似,做合适的辅助线是解本题的关键.2、D【解析】
根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论.【详解】解:用尺规作图作∠AOC=2∠AOB的第一步是以点O为圆心,以任意长为半径画弧①,分别交OA、OB于点E、F,
第二步的作图痕迹②的作法是以点F为圆心,EF长为半径画弧.
故选:D.【点睛】本题考查的是作图-基本作图,熟知作一个角等于已知角的步骤是解答此题的关键.3、A【解析】
根据同分母分式的加减运算法则计算可得.【详解】原式===1,故选:A.【点睛】本题主要考查分式的加减法,解题的关键是掌握同分母分式的加减运算法则.4、C【解析】
利用相似三角形的性质即可判断.【详解】设AD=x,AE=y,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,∴,∴x=9,y=12,故选:C.【点睛】考查平行线的性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.5、D【解析】
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案.【详解】解:,故选D.【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算,正确掌握运算法则是解题关键.6、A【解析】分析:从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线,垂线段的长度叫两条平行线之间的距离,由此可得出答案.详解:∵a∥b,AP⊥BC∴两平行直线a、b之间的距离是AP的长度∴根据平行线间的距离相等∴直线a与直线b之间的距离AP的长度故选A.点睛:本题考查了平行线之间的距离,属于基础题,关键是掌握平行线之间距离的定义.7、B【解析】
根据矩形的性质得到,CB∥x轴,AB∥y轴,于是得到D、E坐标,根据勾股定理得到ED,连接BB′,交ED于F,过B′作B′G⊥BC于G,根据轴对称的性质得到BF=B′F,BB′⊥ED求得BB′,设EG=x,根据勾股定理即可得到结论.【详解】解:∵矩形OABC,∴CB∥x轴,AB∥y轴.∵点B坐标为(6,1),∴D的横坐标为6,E的纵坐标为1.∵D,E在反比例函数的图象上,∴D(6,1),E(,1),∴BE=6﹣=,BD=1﹣1=3,∴ED==.连接BB′,交ED于F,过B′作B′G⊥BC于G.∵B,B′关于ED对称,∴BF=B′F,BB′⊥ED,∴BF•ED=BE•BD,即BF=3×,∴BF=,∴BB′=.设EG=x,则BG=﹣x.∵BB′2﹣BG2=B′G2=EB′2﹣GE2,∴,∴x=,∴EG=,∴CG=,∴B′G=,∴B′(,﹣),∴k=.故选B.【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题),矩形的性质,勾股定理,熟练掌握折叠的性质是解题的关键.8、D【解析】从正面看,共2列,左边是1个正方形,右边是2个正方形,且下齐.故选D.9、C【解析】
由题可知“水平底”a的长度为3,则由“矩面积”为18可知“铅垂高”h=6,再分>2或t<1两种情况进行求解即可.【详解】解:由题可知a=3,则h=18÷3=6,则可知t>2或t<1.当t>2时,t-1=6,解得t=7;当t<1时,2-t=6,解得t=-4.综上,t=-4或7.故选择C.【点睛】本题考查了平面直角坐标系的内容,理解题意是解题关键.10、B【解析】分析:根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算.详解:A、a4与a5不是同类项,不能合并,故本选项错误;B、(2a2b3)2=4a4b6,故本选项正确;C、-2a(a+3)=-2a2-6a,故本选项错误;D、(2a-b)2=4a2-4ab+b2,故本选项错误;故选:B.点睛:本题主要考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式,熟练掌握运算法则是解题的关键.11、C【解析】
根据分式和二次根式有意义的条件进行解答.【详解】解:依题意得:x2≥1且x≠1.解得x≠1.故选C.【点睛】考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件.解题时,注意分母不等于零且被开方数是非负数.12、B【解析】分析:根据已知画出图象,把x=−2代入得:4a−2b+c=0,把x=−1代入得:y=a−b+c>0,根据不等式的两边都乘以a(a<0)得:c>−2a,由4a−2b+c=0得而0<c<2,得到即可求出2a−b+1>0.详解:根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(−2,0)、(x1,0),且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方,画出图象为:如图把x=−2代入得:4a−2b+c=0,∴①正确;把x=−1代入得:y=a−b+c>0,如图A点,∴②错误;∵(−2,0)、(x1,0),且1<x1,∴取符合条件1<x1<2的任何一个x1,−2⋅x1<−2,∴由一元二次方程根与系数的关系知∴不等式的两边都乘以a(a<0)得:c>−2a,∴2a+c>0,∴③正确;④由4a−2b+c=0得而0<c<2,∴∴−1<2a−b<0∴2a−b+1>0,∴④正确.所以①③④三项正确.故选B.点睛:属于二次函数综合题,考查二次函数图象与系数的关系,二次函数图象上点的坐标特征,抛物线与轴的交点,属于常考题型.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、1.【解析】试题分析:∵,是方程的两实数根,∴由韦达定理,知,,∴===1,即的值是1.故答案为1.考点:根与系数的关系.14、1【解析】首先设黄球的个数为x个,然后根据概率公式列方程即可求得答案.解:设黄球的个数为x个,根据题意得:=2/3解得:x=1.∴黄球的个数为1.15、【解析】试题解析:根据图象和数据可知,当y>0即图象在x轴的上方,x>1.
故答案为x>1.16、1【解析】本题主要考查了三角形的内角和定理.解:根据三角形的内角和可知填:1.17、【解析】
先确定线段BC过的面积:圆环的面积,作辅助圆和弦心距OD,根据已知面积列等式可得:S=πOB2-πOC2=(m2-n2)π,则OB2-OC2=m2-n2,由勾股定理代入,并解一元二次方程可得结论.【详解】如图,连接OB、OC,以O为圆心,OC为半径画圆,则将弦AB绕圆心O旋转一周,线段BC扫过的面积为圆环的面积,即S=πOB2-πOC2=(m2-n2)π,OB2-OC2=m2-n2,∵AC=m,BC=n(m>n),∴AM=m+n,过O作OD⊥AB于D,∴BD=AD=AB=,CD=AC-AD=m-=,由勾股定理得:OB2-OC2=(BD2+OD2)-(CD2+OD2)=BD2-CD2=(BD+CD)(BD-CD)=mn,∴m2-n2=mn,m2-mn-n2=0,m=,∵m>0,n>0,∴m=,∴,故答案为.【点睛】此题主要考查了勾股定理,垂径定理,一元二次方程等知识,根据旋转的性质确定线段BC扫过的面积是解题的关键,是一道中等难度的题目.18、1【解析】解:原式==1-2+1=1.故答案为1.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1)详见解析;(2)4分.【解析】
(1)根据题意用列表法求出答案;(2)算出甲乙获胜的概率,从而求出乙胜一次的得分.【详解】(1)列表如下:由列表可得:P(数字之和为5)=,(2)因为P(甲胜)=,P(乙胜)=,∴甲胜一次得12分,要使这个游戏对双方公平,乙胜一次得分应为:12÷3=4分.【点睛】本题考查概率问题中的公平性问题,解决本题的关键是计算出各种情况的概率,然后比较即可.20、当x=﹣3时,原式=﹣,当x=﹣2时,原式=﹣1.【解析】
先化简分式,再解不等式组求得x的取值范围,在此范围内找到符合分式有意义的x的整数值,代入计算可得.【详解】原式=÷=•=,解不等式组,解不等式①,得:x>﹣4,解不等式②,得:x≤﹣1,∴不等式组的解集为﹣4<x≤﹣1,∴不等式的整数解是﹣3,﹣2,﹣1.又∵x+1≠0,x﹣1≠0∴x≠±1,∴x=﹣3或x=﹣2,当x=﹣3时,原式=﹣,当x=﹣2时,原式=﹣1.【点睛】本题考查了分式的化简求值及一元一次不等式组的整数解,求分式的值时,一定要选择使每个分式都有意义的未知数的值.21、(1)证明见解析;(2)当n=5时,一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12,1.【解析】
(1)根据题意只需要证明a2+b2=c2,即可解答(2)根据题意将n=5代入得到a=(m2﹣52),b=5m,c=(m2+25),再将直角三角形的一边长为37,分别分三种情况代入a=(m2﹣52),b=5m,c=(m2+25),即可解答【详解】(1)∵a2+b2=(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+8n2+4n+1,c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1,∴a2+b2=c2,∵n为正整数,∴a、b、c是一组勾股数;(2)解:∵n=5∴a=(m2﹣52),b=5m,c=(m2+25),∵直角三角形的一边长为37,∴分三种情况讨论,①当a=37时,(m2﹣52)=37,解得m=±3(不合题意,舍去)②当y=37时,5m=37,解得m=(不合题意舍去);③当z=37时,37=(m2+n2),解得m=±7,∵m>n>0,m、n是互质的奇数,∴m=7,把m=7代入①②得,x=12,y=1.综上所述:当n=5时,一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12,1.【点睛】此题考查了勾股数和勾股定理,熟练掌握勾股定理是解题关键22、(1)150,(2)36°,(3)1.【解析】
(1)根据图中信息列式计算即可;(2)求得“足球“的人数=150×20%=30人,补全上面的条形统计图即可;(3)360°×乒乓球”所占的百分比即可得到结论;(4)根据题意计算即可.【详解】(1)m=21÷14%=150,(2)“足球“的人数=150×20%=30人,补全上面的条形统计图如图所示;(3)在图2中,“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°×=36°;(4)1200×20%=1人,答:估计该校约有1名学生最喜爱足球活动.故答案为150,36°,1.【点睛】本题考查了条形统计图,观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键.23、(1)开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走136.4千米;(2)汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米【解析】
(1)过点C作AB的垂线CD,垂足为D,在直角△ACD中,解直角三角形求出CD,进而解答即可;(2)在直角△CBD中,解直角三角形求出BD,再求出AD,进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程.【详解】解:(1)过点C作AB的垂线CD,垂足为D,∵AB⊥CD,sin30°=,BC=80千米,∴CD=BC•sin30°=80×(千米),AC=(千米),AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4(千米),答:开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走136.4千米;(2)∵cos30°=,BC=80(千米),∴BD=BC•cos30°=80×(千米),∵tan45°=,CD=40(千米),∴AD=(千米),∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2(千米),∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为:AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2(千米).答:汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米.【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.24、(1)见解析;(1)OE=1.【解析】
(1)先判断出∠OAB=∠DCA,进而判断出∠DAC=∠DAC,得出CD=AD=AB,即可得出结论;
(1)先判断出OE=OA=OC,再求出OB=1,利用勾股定理求出OA,即可得出结论.【详解】解:(1)
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