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文档简介
江苏省苏州市常熟一中学2024届中考一模数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.下列计算正确的是()A.a3•a3=a9B.(a+b)2=a2+b2C.a2÷a2=0D.(a2)3=a62.港珠澳大桥目前是全世界最长的跨海大桥,其主体工程“海中桥隧”全长35578米,数据35578用科学记数法表示为()A.35.578×103 B.3.5578×104C.3.5578×105 D.0.35578×1053.已知am=2,an=3,则a3m+2n的值是()A.24 B.36 C.72 D.64.长度单位1纳米=10A.25.1×10-6米B.C.2.51×105米D.5.如图,点A、B、C在圆O上,若∠OBC=40°,则∠A的度数为()A.40° B.45° C.50° D.55°6.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E.若,AC=3,则CD的长为A.6 B. C. D.37.根据《天津市北大港湿地自然保护总体规划(2017﹣2025)》,2018年将建立养殖业退出补偿机制,生态补水78000000m1.将78000000用科学记数法表示应为()A.780×105B.78×106C.7.8×107D.0.78×1088.在平面直角坐标系中,函数的图象经过()A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限9.将一根圆柱形的空心钢管任意放置,它的主视图不可能是()A. B. C. D.10.下列四个式子中,正确的是()A.=±9 B.﹣=6 C.()2=5 D.=411.某校举行“汉字听写比赛”,5个班级代表队的正确答题数如图.这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是()A.10,15 B.13,15 C.13,20 D.15,1512.若0<m<2,则关于x的一元二次方程﹣(x+m)(x+3m)=3mx+37根的情况是()A.无实数根B.有两个正根C.有两个根,且都大于﹣3mD.有两个根,其中一根大于﹣m二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,点D是BC上一动点,连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在点E处,连接DE交AB于点F,当△DEB是直角三角形时,DF的长为_____.14.二次函数的图象如图,若一元二次方程有实数根,则的最大值为___15.如图,在△ABC中,AB=AC,AH⊥BC,垂足为点H,如果AH=BC,那么sin∠BAC的值是____.16.已知,直接y=kx+b(k>0,b>0)与x轴、y轴交A、B两点,与双曲线y=(x>0)交于第一象限点C,若BC=2AB,则S△AOB=________.17.在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=3(x+2)2-1平移后得到抛物线y=3x2+2.请你写出一种平移方法.答:________.18.从﹣2,﹣1,2,0这四个数中任取两个不同的数作为点的坐标,该点不在第三象限的概率是_____.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)已知AC,EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线,点E在△ABC内,∠CAE+∠CBE=1.(1)如图①,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时,连接BF.i)求证:△CAE∽△CBF;ii)若BE=1,AE=2,求CE的长;(2)如图②,当四边形ABCD和EFCG均为矩形,且时,若BE=1,AE=2,CE=3,求k的值;(3)如图③,当四边形ABCD和EFCG均为菱形,且∠DAB=∠GEF=45°时,设BE=m,AE=n,CE=p,试探究m,n,p三者之间满足的等量关系.(直接写出结果,不必写出解答过程)20.(6分)为提高节水意识,小申随机统计了自己家7天的用水量,并分析了第3天的用水情况,将得到的数据进行整理后,绘制成如图所示的统计图.(单位:升)(1)求这7天内小申家每天用水量的平均数和中位数;(2)求第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比;(3)请你根据统计图中的信息,给小申家提出一条合理的节约用水建议,并估算采用你的建议后小申家一个月(按30天计算)的节约用水量.21.(6分)如图1,抛物线y1=ax1﹣x+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,),抛物线y1的顶点为G,GM⊥x轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y1.(1)求抛物线y1的解析式;(1)如图1,在直线l上是否存在点T,使△TAC是等腰三角形?若存在,请求出所有点T的坐标;若不存在,请说明理由;(3)点P为抛物线y1上一动点,过点P作y轴的平行线交抛物线y1于点Q,点Q关于直线l的对称点为R,若以P,Q,R为顶点的三角形与△AMG全等,求直线PR的解析式.22.(8分)全民学习、终身学习是学习型社会的核心内容,努力建设学习型家庭也是一个重要组成部分.为了解“学习型家庭”情况,对部分家庭五月份的平均每天看书学习时间进行了一次抽样调查,并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,解答下列问题:本次抽样调查了个家庭;将图①中的条形图补充完整;学习时间在2~2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是度;若该社区有家庭有3000个,请你估计该社区学习时间不少于1小时的约有多少个家庭?23.(8分)△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为顶点作∠MDN=∠B.如图(1)当射线DN经过点A时,DM交AC边于点E,不添加辅助线,写出图中所有与△ADE相似的三角形.如图(2),将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转,DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点(点E与点A不重合),不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论.在图(2)中,若AB=AC=10,BC=12,当△DEF的面积等于△ABC的面积的时,求线段EF的长.24.(10分)如图,△DEF是由△ABC通过一次旋转得到的,请用直尺和圆规画出旋转中心.25.(10分)如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°,对角线AC,BD相交于点O,动点P从点A出发,以4cm/s的速度,沿A→B的路线向点B运动;过点P作PQ∥BD,与AC相交于点Q,设运动时间为t秒,0<t<1.(1)设四边形PQCB的面积为S,求S与t的关系式;(2)若点Q关于O的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD(或CD)于点N,当t为何值时,点P、M、N在一直线上?(3)直线PN与AC相交于H点,连接PM,NM,是否存在某一时刻t,使得直线PN平分四边形APMN的面积?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.26.(12分)(问题情境)张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样的一个问题:如图1,在△ABC中,AB=AC,点P为边BC上任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D,E,过点C作CF⊥AB,垂足为F,求证:PD+PE=CF.小军的证明思路是:如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:PD+PE=CF.小俊的证明思路是:如图2,过点P作PG⊥CF,垂足为G,可以证得:PD=GF,PE=CG,则PD+PE=CF.[变式探究]如图3,当点P在BC延长线上时,其余条件不变,求证:PD﹣PE=CF;请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题:[结论运用]如图4,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C′处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值;[迁移拓展]图5是一个航模的截面示意图.在四边形ABCD中,E为AB边上的一点,ED⊥AD,EC⊥CB,垂足分别为D、C,且AD•CE=DE•BC,AB=2dm,AD=3dm,BD=dm.M、N分别为AE、BE的中点,连接DM、CN,求△DEM与△CEN的周长之和.27.(12分)某超市对今年“元旦”期间销售A、B、C三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计,并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图.根据图中信息解答下列问题:该超市“元旦”期间共销售个绿色鸡蛋,A品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是度;补全条形统计图;如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500个,请你估计这个分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋的个数?
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、D.【解析】试题分析:A、原式=a6,不符合题意;B、原式=a2+2ab+b2,不符合题意;C、原式=1,不符合题意;D、原式=a6,符合题意,故选D考点:整式的混合运算2、B【解析】
科学计数法是a×,且,n为原数的整数位数减一.【详解】解:35578=3.5578×,故选B.【点睛】本题主要考查的是利用科学计数法表示较大的数,属于基础题型.理解科学计数法的表示方法是解题的关键.3、C【解析】试题解析:∵am=2,an=3,
∴a3m+2n
=a3m•a2n
=(am)3•(an)2
=23×32
=8×9
=1.故选C.4、D【解析】先将25100用科学记数法表示为2.51×104,再和10-9相乘,等于2.51×10-5米.故选D5、C【解析】
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠BOC=100°,再利用圆周角定理得到∠A=12【详解】∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
又∠OBC=40°,
∴∠OBC=∠OCB=40°,
∴∠BOC=180°-2×40°=100°,
∴∠A=12【点睛】考查了圆周角定理.在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半.6、D【解析】
解:因为AB是⊙O的直径,所以∠ACB=90°,又⊙O的直径AB垂直于弦CD,,所以在Rt△AEC中,∠A=30°,又AC=3,所以CE=AB=,所以CD=2CE=3,故选D.【点睛】本题考查圆的基本性质;垂经定理及解直角三角形,综合性较强,难度不大.7、C【解析】
科学记数法记数时,主要是准确把握标准形式a×10n即可.【详解】解:78000000=7.8×107.故选C.【点睛】科学记数法的形式是a×10n,其中1≤|a|<10,n是整数,若这个数是大于10的数,则n比这个数的整数位数少1.8、A【解析】【分析】一次函数y=kx+b的图象经过第几象限,取决于k和b.当k>0,b>O时,图象过一、二、三象限,据此作答即可.【详解】∵一次函数y=3x+1的k=3>0,b=1>0,∴图象过第一、二、三象限,故选A.【点睛】一次函数y=kx+b的图象经过第几象限,取决于x的系数和常数项.9、A【解析】试题解析:∵一根圆柱形的空心钢管任意放置,∴不管钢管怎么放置,它的三视图始终是,,,主视图是它们中一个,∴主视图不可能是.故选A.10、D【解析】
A、表示81的算术平方根;B、先算-6的平方,然后再求−的值;C、利用完全平方公式计算即可;D、=.【详解】A、=9,故A错误;B、-=−=-6,故B错误;C、()2=2+2+3=5+2,故C错误;D、==4,故D正确.故选D.【点睛】本题主要考查的是实数的运算,掌握算术平方根、平方根和二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键.11、D【解析】
将五个答题数,从小打到排列,5个数中间的就是中位数,出现次数最多的是众数.【详解】将这五个答题数排序为:10,13,15,15,20,由此可得中位数是15,众数是15,故选D.【点睛】本题考查中位数和众数的概念,熟记概念即可快速解答.12、A【解析】
先整理为一般形式,用含m的式子表示出根的判别式△,再结合已知条件判断△的取值范围即可.【详解】方程整理为,△,∵,∴,∴△,∴方程没有实数根,故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式,当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、或【解析】试题分析:如图4所示;点E与点C′重合时.在Rt△ABC中,BC==4.由翻折的性质可知;AE=AC=3、DC=DE.则EB=2.设DC=ED=x,则BD=4﹣x.在Rt△DBE中,DE2+BE2=DB2,即x2+22=(4﹣x)2.解得:x=.∴DE=.如图2所示:∠EDB=90时.由翻折的性质可知:AC=AC′,∠C=∠C′=90°.∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°,∴四边形ACDC′为矩形.又∵AC=AC′,∴四边形ACDC′为正方形.∴CD=AC=3.∴DB=BC﹣DC=4﹣3=4.∵DE∥AC,∴△BDE∽△BCA.∴,即.解得:DE=.点D在CB上运动,∠DBC′<90°,故∠DBC′不可能为直角.考点:翻折变换(折叠问题).14、3【解析】试题解析::∵抛物线的开口向上,顶点纵坐标为-3,∴a>1.-=-3,即b2=12a,∵一元二次方程ax2+bx+m=1有实数根,∴△=b2-4am≥1,即12a-4am≥1,即12-4m≥1,解得m≤3,∴m的最大值为3,15、【解析】
过点B作BD⊥AC于D,设AH=BC=2x,根据等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH=BC=x,利用勾股定理列式表示出AC,再根据三角形的面积列方程求出BD,然后根据锐角的正弦=对边:斜边求解即可.【详解】如图,过点B作BD⊥AC于D,设AH=BC=2x,∵AB=AC,AH⊥BC,∴BH=CH=BC=x,根据勾股定理得,AC==x,S△ABC=BC•AH=AC•BD,即•2x•2x=•x•BD,解得BC=x,所以,sin∠BAC=.故答案为.16、【解析】
根据题意可设出点C的坐标,从而得到OA和OB的长,进而得到△AOB的面积即可.【详解】∵直接y=kx+b与x轴、y轴交A、B两点,与双曲线y=交于第一象限点C,若BC=2AB,设点C的坐标为(c,)∴OA=0.5c,OB==,∴S△AOB===【点睛】此题主要考查反比例函数的图像,解题的关键是根据题意设出C点坐标进行求解.17、答案不唯一【解析】分析:把y改写成顶点式,进而解答即可.详解:y先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位得到抛物线.故答案为y先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位得到抛物线.点睛:本题考查了二次函数图象与几何变换:先把二次函数的解析式配成顶点式为y=a(x-)²+,然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题.18、【解析】
列举出所有情况,看在第四象限的情况数占总情况数的多少即可.【详解】如图:共有12种情况,在第三象限的情况数有2种,
故不再第三象限的共10种,
不在第三象限的概率为,
故答案为.【点睛】本题考查了树状图法的知识,解题的关键是列出树状图求出概率.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1)i)证明见试题解析;ii);(2);(3).【解析】
(1)i)由∠ACE+∠ECB=45°,∠BCF+∠ECB=45°,得到∠ACE=∠BCF,又由于,故△CAE∽△CBF;ii)由,得到BF=,再由△CAE∽△CBF,得到∠CAE=∠CBF,进一步可得到∠EBF=1°,从而有,解得;(2)连接BF,同理可得:∠EBF=1°,由,得到,,故,从而,得到,代入解方程即可;(3)连接BF,同理可得:∠EBF=1°,过C作CH⊥AB延长线于H,可得:,,故,从而有.【详解】解:(1)i)∵∠ACE+∠ECB=45°,∠BCF+∠ECB=45°,∴∠ACE=∠BCF,又∵,∴△CAE∽△CBF;ii)∵,∴BF=,∵△CAE∽△CBF,∴∠CAE=∠CBF,又∵∠CAE+∠CBE=1°,∴∠CBF+∠CBE=1°,即∠EBF=1°,∴,解得;(2)连接BF,同理可得:∠EBF=1°,∵,∴,,∴,∴,,∴,∴,解得;(3)连接BF,同理可得:∠EBF=1°,过C作CH⊥AB延长线于H,可得:,,∴,∴.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质;正方形的性质;矩形的性质;菱形的性质.20、(1)平均数为800升,中位数为800升;(2)12.5%;(3)小申家冲厕所的用水量较大,可以将洗衣服的水留到冲厕所,采用以上建议,一个月估计可以节约用水3000升.【解析】试题分析:(1)根据平均数和中位数的定义求解可得;(2)用洗衣服的水量除以第3天的用水总量即可得;(3)根据条形图给出合理建议均可,如:将洗衣服的水留到冲厕所.试题解析:解:(1)这7天内小申家每天用水量的平均数为(815+780+800+785+790+825+805)÷7=800(升),将这7天的用水量从小到大重新排列为:780、785、790、800、805、815、825,∴用水量的中位数为800升;(2)×100%=12.5%.答:第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比为12.5%;(3)小申家冲厕所的用水量较大,可以将洗衣服的水留到冲厕所,采用以上建议,每天可节约用水100升,一个月估计可以节约用水100×30=3000升.21、(1)y1=-x1+x-;(1)存在,T(1,),(1,),(1,﹣);(3)y=﹣x+或y=﹣.【解析】
(1)应用待定系数法求解析式;(1)设出点T坐标,表示△TAC三边,进行分类讨论;(3)设出点P坐标,表示Q、R坐标及PQ、QR,根据以P,Q,R为顶点的三角形与△AMG全等,分类讨论对应边相等的可能性即可.【详解】解:(1)由已知,c=,将B(1,0)代入,得:a﹣=0,解得a=﹣,抛物线解析式为y1=x1-x+,∵抛物线y1平移后得到y1,且顶点为B(1,0),∴y1=﹣(x﹣1)1,即y1=-x1+x-;(1)存在,如图1:抛物线y1的对称轴l为x=1,设T(1,t),已知A(﹣3,0),C(0,),过点T作TE⊥y轴于E,则TC1=TE1+CE1=11+()1=t1﹣t+,TA1=TB1+AB1=(1+3)1+t1=t1+16,AC1=,当TC=AC时,t1﹣t+=,解得:t1=,t1=;当TA=AC时,t1+16=,无解;当TA=TC时,t1﹣t+=t1+16,解得t3=﹣;当点T坐标分别为(1,),(1,),(1,﹣)时,△TAC为等腰三角形;(3)如图1:设P(m,),则Q(m,),∵Q、R关于x=1对称∴R(1﹣m,),①当点P在直线l左侧时,PQ=1﹣m,QR=1﹣1m,∵△PQR与△AMG全等,∴当PQ=GM且QR=AM时,m=0,∴P(0,),即点P、C重合,∴R(1,﹣),由此求直线PR解析式为y=﹣x+,当PQ=AM且QR=GM时,无解;②当点P在直线l右侧时,同理:PQ=m﹣1,QR=1m﹣1,则P(1,﹣),R(0,﹣),PQ解析式为:y=﹣;∴PR解析式为:y=﹣x+或y=﹣.【点睛】本题是代数几何综合题,考查了二次函数性质、三角形全等和等腰三角形判定,熟练掌握相关知识,应用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题是关键.22、(1)200;(2)见解析;(3)36;(4)该社区学习时间不少于1小时的家庭约有2100个.【解析】
(1)根据1.5~2小时的圆心角度数求出1.5~2小时所占的百分比,再用1.5~2小时的人数除以所占的百分比,即可得出本次抽样调查的总家庭数;(2)用抽查的总人数乘以学习0.5-1小时的家庭所占的百分比求出学习0.5-1小时的家庭数,再用总人数减去其它家庭数,求出学习2-2.5小时的家庭数,从而补全统计图;(3)用360°乘以学习时间在2~2.5小时所占的百分比,即可求出学习时间在2~2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数;(4)用该社区所有家庭数乘以学习时间不少于1小时的家庭数所占的百分比即可得出答案.【详解】解:(1)本次抽样调查的家庭数是:30÷=200(个);故答案为200;(2)学习0.5﹣1小时的家庭数有:200×=60(个),学习2﹣2.5小时的家庭数有:200﹣60﹣90﹣30=20(个),补图如下:(3)学习时间在2~2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是:360×=36°;故答案为36;(4)根据题意得:3000×=2100(个).答:该社区学习时间不少于1小时的家庭约有2100个.【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图及相关计算.在扇形统计图中,每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比.23、(1)△ABD,△ACD,△DCE(2)△BDF∽△CED∽△DEF,证明见解析;(3)4.【解析】
(1)根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE,同理可得:△ADE∽△ACD.△ADE∽△DCE.(2)利用已知首先求出∠BFD=∠CDE,即可得出△BDF∽△CED,再利用相似三角形的性质得出,从而得出△BDF∽△CED∽△DEF.(3)利用△DEF的面积等于△ABC的面积的,求出DH的长,从而利用S△DEF的值求出EF即可【详解】解:(1)图(1)中与△ADE相似的有△ABD,△ACD,△DCE.(2)△BDF∽△CED∽△DEF,证明如下:∵∠B+∠BDF+∠BFD=30°,∠EDF+∠BDF+∠CDE=30°,又∵∠EDF=∠B,∴∠BFD=∠CDE.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∴△BDF∽△CED.∴.∵BD=CD,∴,即.又∵∠C=∠EDF,∴△CED∽△DEF.∴△BDF∽△CED∽△DEF.(3)连接AD,过D点作DG⊥EF,DH⊥BF,垂足分别为G,H.∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,BD=BC=1.在Rt△ABD中,AD2=AB2﹣BD2,即AD2=102﹣3,∴AD=2.∴S△ABC=•BC•AD=×3×2=42,S△DEF=S△ABC=×42=3.又∵•AD•BD=•AB•DH,∴.∵△BDF∽△DEF,∴∠DFB=∠EFD.∵DH⊥BF,DG⊥EF,∴∠DHF=∠DGF.又∵DF=DF,∴△DHF≌△DGF(AAS).∴DH=DG=.∵S△DEF=·EF·DG=·EF·=3,∴EF=4.【点睛】本题考查了和相似有关的综合性题目,用到的知识点有三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用,灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键,解答时,要仔细观察图形、选择合适的判定方法,注意数形结合思想的运用.24、见解析【解析】试题分析:首先根据旋转的性质,找到两组对应点,连接这两组对应点;然后作连接成的两条线段的垂直平分线,两垂直平分线的交点即为旋转中心,据此解答即可.解:如图所示,点P即为所求作的旋转中心.25、(1)S=﹣2(0<t<1);(2);(3)见解析.【解析】
(1)如图1,根据S=S△ABC-S△APQ,代入可得S与t的关系式;
(2)设PM=x,则AM=2x,可得AP=x=4t,计算x的值,根据直角三角形30度角的性质可得AM=2PM=,根据AM=AO+OM,列方程可得t的值;
(3)存在,通过画图可知:N在CD上时,直线PN平分四边形APMN的面积,根据面积相等可得MG=AP,由AM=AO+OM,列式可得t的值.【详解】解:(1)如图1,∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=60°,AC⊥BD,∴∠OAB=30°,∵AB=20,∴OB=10,AO=10,由题意得:AP=4t,∴PQ=2t,AQ=2t,∴S=S△ABC﹣S△APQ,=,=,=﹣2t2+100(0<t<1);(2)如图2,在Rt△APM中,AP=4t,∵点Q关于O的对称点为M,∴OM=OQ,设PM=x,则AM=2x,∴AP=x=4t,∴x=,∴AM=2PM=,∵AM=AO+OM,∴=10+10﹣2t,t=;答:当t为秒时,点P、M、N在一直线上;(3)存在,如图3,∵直线PN平分四边形APMN的面积,∴S△APN=S△PMN,过M作MG⊥PN于G,∴,∴MG=AP,易得△APH≌△MGH,∴AH=HM=t,∵AM=AO+OM,同理可知:OM=OQ=10﹣2t,t=10=10﹣2t,t=.答:当t为秒时,使得直线PN平分四边形APMN的面积.【点睛】考查了全等三角形的判定与性质,对称的性质,三角形和四边形的面积,二次根式的化简等知识点,计算量大,解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.26、小军的证明:见解析;小俊的证明:见解析;[变式探究]见解析;[结论运用]PG+PH的值为1;[迁移拓展](6+2)dm【解析】
小军的证明:连接AP,利用面积法即可证得;小俊的证明:过点P作PG⊥CF,先证明四边形PDFG为矩形,再证明△PGC≌△CEP,即可得到答案;[变式探究]小军的证明思路:连接AP,根据S△ABC=S△ABP﹣S△ACP,即可得到答案;小俊的证明思路:过点C,作CG⊥DP,先证明四边形CFDG是矩形,再证明△CGP≌△CEP即可得到答案;[结论运用]过点E作EQ⊥BC,先根据矩形的性质求出BF,根据翻折及勾股定理求出DC,证得四边形EQCD是矩形,得出BE=BF即可得到答案;[迁移拓展]延长AD,BC交于点F,作BH⊥AF,证明△ADE∽△BCE得到FA=FB,设DH=x,利用勾股定理求出x得到BH=6,再根据∠ADE=∠BCE=90°,且M,N分别为AE,BE的中点即可得到答案.【详解】小军的证明:连接AP,如图②∵PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB,∴S△ABC=S△ABP+S△ACP,∴AB×CF=AB×PD+AC×PE,∵AB=AC,∴CF=PD+PE.小俊的证明:过点P作PG⊥CF,如图2,∵PD⊥AB,CF⊥AB,PG⊥FC,∴∠CFD=∠FDG=∠FGP=90°,∴四边形PDFG为矩形,∴DP=FG,∠DPG=90°,∴∠CGP=90°,∵PE⊥AC,∴∠CEP=90°,∴∠PGC=∠CEP,∵∠BDP=∠DPG=90°,∴PG∥AB,∴∠GPC=∠B,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠GPC=∠ECP,在△PGC和△CEP中,∴△PGC≌△CEP,∴CG=PE,∴CF=CG+FG=PE+PD;[变式探究]小军的证明思路:连接AP,如图③,∵PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB,∴S△ABC=S△ABP﹣S△ACP,∴AB×CF=AB×PD﹣AC×PE,∵AB=AC,∴CF=PD﹣PE;小俊的证明思
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