高中数学选修第一册：强化练9 直线与圆锥曲线的位置关系

专题强化练9直线与圆锥曲线的位置关系

一、选择题

22

1.（2020山东济宁实验中学高二上期中，聚?）已知点Q,1）是直线1被椭圆工+9=1所截

得的线段的中点，则直线1的方程是（）

A.2x+3y-7=（）B.2x-3y-l=0

C.4x+3y-ll=0D.4x-3y-5=0

2.（站）已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线x-2y+4=0与C交于A.B两点，则

sinNAFB=（）

A-B-C-D—

3.（2020山东淄博一中高二上期中W）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为1,过

点F的直线交1于点A,与抛物线的一个交点为B,且两二2而，则|AB|二（）

A.3B.9C.6D.12

22

4.（2020河北唐山一中高二上期中,"）直线x-gy+g=0经过椭圆与+3=l（a>b>0）的

Kb

左焦点F,交椭圆于A,B两点，交y轴于点C.若元=2不，则该椭圆的离心率为（）

A.V3-1B与

C.2V2-2D.V2-1

二、填空题

22

5.（*7）过双曲线3-%=l（a>0,b>0）的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与

双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线和双曲线右支有两个不

同交点，则双曲线离心率的取值范围为.

6.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学期末,")如图,已知抛物线的方程为

x2=2py(p>0),过点A((),-l)作直线，与抛物线相交于P,Q两点，点B的坐标为(0,1),连接

BP,BQ,设QB,BP的延长线与x轴分别相交于M.N两点.如果QB的斜率与PB的

斜率的乘积为一3,则NMBN的大小等于.

三、解答题

7.(2020广东惠州高二上期末,家?)已知椭圆与抛物线y2=4应x有一个相同的焦点，且

该椭圆的离心率为争

⑴求椭圆的标准方程；

(2)过点P(0,l)的直线与该椭圆交于A,B两点,0为坐标原点，若前=2而，求AAOB

的面积.

22

8.(*)已知椭圆C:59=l(a>b>0)淇左、右焦点分别为FiE,过Fi的直线

vb

l:x+my+V3=0与椭圆C交于A,B两点，且椭圆的离心率e=y.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆上存在一点M,使得2项=a+加瓦求直线1的方程.

9.(2020吉林长春市实验中学高二上期中,*)如图所示,斜率为1的直线过抛物线

y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线交于A,B两点,M为抛物线弧AB上的动点.

(1)若|AB|=8,求抛物线的方程；

(2)求SMBM的最大值.

10.(*)已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点F(l,0)的距离小1.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)设斜率为-1且不过点M(l,2)的直线交C于A,B两点，直线MA,MB的斜率分别

为ki,k2,求ki+k2的值.

11.(*)如图，椭圆C:*3=l(a>b>0)的右顶点为A(2,0),左、右焦点分别为FI,F2,过

点A且斜率为2的直线与y轴交于点P,与椭圆交于另一点B,且点B在x轴上的射

影恰好为点Fb

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点P的直线与椭圆交于M,N两点(M,N不与A,B重合)，若S4PAM=6SAPBN,求直

线MN的方程.

12.(*)在平面直角坐标系Oxy中，点A(-2,0),过动点P作直线x=-4的垂线，垂足为

M,且询•存=-4.记动点P的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)过点A的直线1交曲线E于不同的两点B,C.

①若B为线段AC的中点，求直线1的方程；

②设B关于x轴的对称点为D,求4ACD面积S的取值范围.

答案全解全析

一、选择题

、、一仁+或=1，/

1.A设直线1与椭圆交于A(xi,yD,B(X2,y2)两点，由七：得(x「

X2)(x1+x2)+3(y1-y2)(yi+y2)=0.

又Xi+x2=4,yi+y2=2,

，4+3kABx2=0,解得k=--.

AB3

因此直线1的方程为y-l=*x-2),

即2x+3y-7=0,故选A.

2.B由抛物线方程可知焦点F的坐标为(0,1),联立直线方程与抛物线方程，得

K=°,解得=＞域｛二::不妨令A(-2,1),B(4,4),A

|AB|=V36+9=3V5,|AF|=V4T0=2,|BF|=V16+9=5,在△ABF

MF|2+|BF|2-|AB|2

中,cosNAFB=4+25-454，.\sinZAFB=-聂故选B.

2\AF\\BF\2x2x5J

3.B如图所示，设E为准线与x轴的交点，过B作BB」1于Bi.

由启=2而得，”与粤

\AB\3IBB/

又|EF|=2,二|BB11=3,设A(xA,yA),B(XB,yB).

V|BB,|=X+^=XB+1=3,二XB=2,结合图象得B(2,2遮),

.,•|AB|=|XA-XB|•+•Jl+(2//=9,故选B.

4.A在x-V3y+V3=0中，令y=0,得x=-V3,

.,.F(-V3,0).

令x=0,得y=l,，C(O,l),设A(xi,yi),则定=(三,1),石<=(xi,y1),由定=2石5得

2X1=电解得

2仇-1)=1

由A在椭圆上，得2a=I-+-+月:=3+百，

\444

・\—£=4=31：=6-1,故选A.

a2a3+v3

二、填空题

5.答案(遥,“U)

解析由学、l(a>0,b>0)得，双曲线的渐近线方程为y=±-x.

a"b'a

结合图形(图略)知,2<R<3=2a<b<3a=4a2<c2-

a

a2<9a2^5a2<c2<10a2=»5<e2c10=V5<e<V10.

故双曲线离心率的取值范围是（通,汨）.

6.答案；

解析设直线PQ的方程为y=kx-l(k#0),P(xi,yi),Q(X2,y2),

由｛1二^菰消去y，得x2-2pkx+2p=0,

则x1+x2=2pk,xiX2=2p.

因为kBP^—,kBQ=—,

X1x2

所以kBP+kBQ凸33=竺卫2=0.

xix22p

又kBP*kBQ=3,所以kBP=V5,kBQ=-V5,

所以ZBNM=pZBMN=p

故NMBN=TU-NBNM-ZBMN=-.

3

三、解答题

7.解析(1)设椭圆的标准方程为介±l(a>b>O),c为椭圆的半焦距，由题意可得抛物

线的焦点为(鱼,0),所以c=V2,

因为椭圆的离心率e-=4所以a=2.

a2

又b2=a2-c2=2,

22

所以椭圆的标准方程为七巨=1.

42

(2)设A(xi,yD,B(X2,y2),则方=(-xi,l-yi),而=(X2,y2-l>

-%]—

由Q=2而，得

1-71=2。2-1)，

验证易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+l,

代入椭圆方程整理得(2k2+l)x2+4kx-2=0,

所以Xl+X2=:"，X1*X2=:.

2k2+12k2+1

将22X2代入上式，可得&劫2=念解得上

所以aAOB的面积S三|OP|•|XLX2|="”}2=；•需

8.解析(1)、•过Fi的直线l:x+my+V3=0,

.,.令y=0,解得x=-V3,c=V3,

/e=£=£.\a=2,・'.b2=a2-c2=4-3=l,・••椭圆C的方程为、+y2=L

a24

(2)设A(xi,yD，B(X2,y2),M(X3,y3),

由2OM=OA+A/3。反得X3=；xi+^X2,y3=；yi+^y2,将其代入椭圆方程，可得:+

7X2)+(泌+3)-1=()，

•・(鸿+羽)+：(鸿+秃)+9,(xix2+4yiy2)=l,

•,.xiX2+4yiy2=0,

x+my+V3=0,_

联立方程，得/消去*,可得(1112+4»2+2b111丫-1=0,

匕+y=L

・-2V3m-1

••%+丫2==»少2=高，

xiX2+4y।y2=(my।+V3)(my2+V3)+4yiy2=(m2+4)yiy2+V3m(yi+y2)+3=(m2+4)•

即m2=2,解得m=±V2.

故所求直线1的方程为x±V2y+V3=0.

9.解析⑴由条件知L\B：y=xj，与y2=2px联立，消去y,得x2-3px+；p2=(),贝!jxi+x2=3p.

由抛物线的定义得|AB|=xi+x2+p=4p.

又因为|AB|=8,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.

⑵解法一:由⑴知|AB|=4p,且lAB：y=xg设M©,y0),

y0P

一方几万

贝ijM至UAB的距离d=—

V2

因为点M在直线AB的上方，

2

所以'-yo-"<O,

2p2

家/隙+%+|

贝UdT=—

J齿+2pyo+p2L.(y()-p)2+2p2

25/2p20p

当yo=p时,dmax=/p.

故SAABM的最大值为:x4pxqp=0p2.

解法二:由⑴知|AB|=4p,且lAB：y=x;

设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m(m。)

代入抛物线方程，得x2+2(m-p)x+m2=0.

令△=4(m-p)2-4m2=0,得m=|.

所以与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+亲

两平行直线间的距离(1=嗒=写,故SAABM的最大值为；x4px3=&p2.

10.解析解法一：(1)依题意知动点P的轨迹是抛物线(除原点)，

其焦点为F(1,O),准线为x=-l,

设其方程为y2=2px(p>0),则;=1,解得p=2,

所以动点P的轨迹C的方程是y2=4x(x>0).

(2)设直线AB:y=-x+b(b#3),A(xi,yD,B(X2,y2),

由匕~-x'+b得y=：+b,即y2+4y-4b=0,

所以yi+y2=-4,

又A=16+16b>0,所以b>-l,

因为X1=-,X2=",

44

所以k2+kI=^W

知知

=4仇-2)।4(力-2)

於-4将4

二4।4=少]+2+/+2)=0

+2,+2

力+2%+2(y2)6i)

因此ki+k2=0.

解法二:(1)同解法一.

⑵设A(xi,yi),B(X2,y2)是直线与C的交点，

易知X1=-,X2=-,

44

所以kAB=^p2=—'—，

44

又直线的斜率为-1,所以」=-1,即yi+y2=-4,

八+丫2

所以k2+k尸格¥=宇卓

或1条1yay<4

=4]4=4d+2+为+2).0

力+2y1+2(72+2)。1+2)

因此ki+k2=0.

11.解析⑴由题意，得BF」x轴器三所以点B-c,-7).XA(2,0),

a=2,a=2,

b2_1

b=V3,

所以a(a+c)2f解得

a2=b2+c2,c=1,

所以椭圆C的标准方程为沼=1.

(2)因为a：c=2：1,所以|PA|=2|PB|.

所以5八上=；一•|PM|•sinN/!PM=2|PM|=6

SNBN1|PB|•|PN|•sinZBPN\PN\'

所以竺1=3所以丽=3-pN.

|PW|

由题意知P(o,-1),设M(xi,yD,N(X2,y2),则两=(xi,yi+l),丽=(X2,y2+l),所以XI=-3X2.

①当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=0,

此时巴吼等=2+百或巴也手=2-8,均不符合条件，故舍去.

\PN\V3-1|PN|V3+1

②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx-l.

y=kx-1,

x2"W(4k2+3)x2-8kx-8=0.

{—H--=1

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由根与系数的关系，

,8k

+%2=-，

可得㈤3

\%11•%/2=4/+-31

/r8k

-2X'2=4M+3>

将X|=-3X2代入，可得

3遥=急，

所以3(?)2=}.

14k2+3，4k2+3

所以k2=：,解得k=土当

所以直线MN的方程为y