高考数学二轮复习资料01 集合与常用逻辑用语教学案

[2013考纲解读】

1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的从属关系了解集合中元素的确定性，互

异性,无序性.会用集合语言表示有关数学对象.

2.掌握集合的表示方法一一列举法和描述法,并能进行自然语言与集合语言的相互转换,

了解有限集与无限集的概念.

3.了解集合间包含关系的意义，理解子集、真子集的概念和意义，会判断简单集合的相

等关系.

4.理解并集、交集的概念和意义，掌握有关集合并集、交集的术语和符号，并会用它

们正确地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.掌握并集、交集的求法.

5.了解全集的意义，理解补集的概念.掌握全集与补集的术语和符号，并会用它们正确

地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.

6.理解命题的概念；了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会

分析种命题的相互关系;理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

7.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

8.理解全称量词与存在量词的意义;能正确地对含有,一个量词的命题进行否定.

【知识网络构建】

T命题及其关司

一|充要条件|

集合间的关系||集合|一|常用逻辑用语卜

一|逻辑联结词]

基本运算

【重点知识整合】

i.集合

(1)元素的特征：确定性、互异性、无序性，元素与集合之间的关系是属于和不属于；

(2)集合与集合之间的关系：集合与集合之间是包含关系和非包含关系，其中关于包含

有包含和真包含，用符号U,表示.其中一个集合本身是其子集的子集，空集是任何非空

集合的真子集；

(3)集合的运算：

4A8={x|且xC8},或且如4}.

2.四种命题及其关系

(1)四种命题；

(2)四种命题之间的关系：四种命题是指对“若p,则q”形式的命题而言的，把这个命

题作为原命题，则其逆命题是“若q,则P"，否命题是“若非P，则非q"，逆否命题是“若

非q,则非p"，其中原命题和逆否命题、逆命题和否命题是等价的，而且命题之间的关系

是相互的。

3.充要条件

(1)充要条件：若/合0则户是g的充分条件，g是的必要条件；若pu■0则pq

互为充要条件；

(2)充要条件与集合：设命题尸对应集合4命题g对应集合8则尸今g等价于2G8

尸0g等价于A=B.

4.逻辑联结词

(1)逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；

(2)带有逻辑联结词的命题真假：命题pVg,只要p,。有一为真，即为真命题，换言

之，只有0,g均为假命题时才为假；命题pAq,只有p,g均为真命题时才为真，换言之，

只要P，g有一为假，即为假命题；非P和。为一真一假两个互为对立的命题；

(3)“或”命题和“且”命题的否定：命题的否定是非p八非0；命题0八g的否定

是非/A/非(?.

【高频考点突破】

考点一集合的关系和运算

1.元素与集合的关系：元素x与集合4之间，要么要么N4,二者必居其一，

这就是集合元素的确定性，集合的元素还具有互异性和无序性.解题时要特别注意集合元素

互异性的应用.

2.运算性质及重要结论

(1)AUA=J4,AUe>=A,AUB=8UA.

(2)jnj=j,4n0=0,/inB=snA.

(3)AA([")=0,AU([〃)=〃

(4)/PlB—B,AUB=4=任A.

例1、已知集合/^{xlxWl},M={a}.若PUM=P,则a的取值范围是()

A.(—8,—1]B.[1,+°°)

C.[-1,1]I).(-8,-1]U[1,+°0)

解析：因为PUJUP,所以此只即aGP,得才Wl,解得一IWaWl,所以a的取值

范围是[-1,1].

答案；C

【变式】已知集合M={0,1,2,3,4,},N={1,3,5,},P=MCN,则P的子集共有()

A.2个B.4个C.6个D.8个

解析：P=JT1后{1,3},故产的子集有2：=4个.

答案：B

［解题方法】解答集合间的包含与运算关系问题的一般思路

(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性，代表的意义.

(2)根据集合中元素的性质化简集合.

(3)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集

合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取

舍.

考点二命题真假的判断

1.四种命题有两组等价关系，即原命题与其逆否命题等价，否命题与逆命题等价.

2.含有逻辑联结词的命题的真假判断：命题pVq“只要p,q至少有一为真，即为真

命题，换言之，见真则真；命题p/\q,只要p,q至少有一为假，即为假命题，换言之，见

假则假；非P和P为一真一假两个互为对立的命题.

3.“或”命题和“且”命题的否定：命题pVq的否定是.非p八非q；命题pAq的否

定是非p\Z非q.

例2.原命题：若a=l,则函数/'(MMf+af+ax+i没有极值，以及它的逆命题、否

命题、逆否命题中，真命题的个数为()

A.0B.1

C.21).4

解析：先考虑原命题，当a=l时，/'(x)+<f+4x+i,£J)=/+*+:=(>+；)2

+1>0,所以f(x)没有极值，故原命题为真，因而逆否命题也为真；其逆命题是“若函数F(x)

没有极值，则w=l”.由F(x)没有极值，故/(x)20,即V+ax+J

j乙乙乙

a川恒成立，这等价于4=a2-4XlX；aW0=0WaW2,所以其逆命题是假命题，因而否

命题也为假命题.

答案；C

【变式】已知a,6,c都是实数，则命题“若a〉b,则与它的逆命题、否命题、

逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()

A.4B.2C.1D.0

解析:原命题是一个假命题，因为当『0时，不等式的两边同乘上T0得到的是一个

等式；原命题的逆命题是一个真命题，因为当时，一定有所以必有c:>0,两

端同除以一个正数，不等式方向不变，即若则G6成立，根据一个命题与它的逆

否命题等价，它的逆命题与否命题等价，故选B.

答案:B

【解题方法】命题真假的判定方法

(1)一般命题P的真假由涉及到的相关交汇知识辨别真假.

(2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个

命题的真假无必然联系.

(3)形如p或g、0且0、非。命题的真假根据真值表判定.

考点三充要条件的判断

对于。和q两个命题，若gq,则。是q的充分条件，q是P的必要条件；若

则。和(7互为充要条件.推出符号具有传递,性，等价符号“Q”具有双向传递性.

例3、设集合后{1,2},4=团，则“a=l”是",占"'的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

解析：显然时一定有比嘉反之则不一定成立，如a=-1.故是充分不必要条件.

答案:A

【变式】设x,HR,则“后2且卢2”是“f+的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：因为彳》2且了》2=f+/)4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x=y

7

=『满足但不满足x》2且所以x22且y22是丁+/24的充分而不

必要条件.

答案：A

【解题方法】对充分、必要条件的判断或探求要注意以下几点

⑴要弄清先后顺序：的充分不必要条件是B”是指6能推出4且/不能推出B-.

而“4是6的充分不必要条件”则是指A能推出B,且6不能推出小

(2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以

通过举出恰当的反例来说，明；

(3)要注意转化：如果。是g的充分不必要条件，那么非。是非g的必要不充分条件，

同理，如果。是g的必要不充分条件，.那么非p是非<7的充分不必要条件，如果°是g

的充要条件，那么非「是非(7的充要条件.

【难点探究】

难点一集合的关系及其运算

例1、设集合材=3尸Icos——sinR,xGR},|<y[i,i为虚数单

位，x£R,则"1"为()

A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]

【答案】C

【解析】对于扁由二倍角公式得歹=|cos\x-sin:x|=|cos2x|.故0W_p<L对于猫

因为—1由x—|得A/X；+1(版,所以一故柏产[0,1),故答案

为C.

【拓展】本题需要注意两个问题，一是两个集合的含义，二是要注意集合M中的不等式是一

个复数模的实数不等式，不要根据实数的绝对值求解.高考考查集合一般是以集合的形式与

表示等式的解、函数的定义域、函数的值域等，在解题时要特别注意集合的含义.

【变式1】若集合，仁{0,1,2},N—{(x,y)|x-y》0,x+y2^4,x,yG助，则/V中元

素的个数为()

A.9B.6C.4D.2

【答案】C

【解析】由题意知(0,0).(1,0),(1,1),(2,0)符合，选C.

难点二四种命题和充要条件的判断

例2、(1)已知a,b,cdR,命题“若a+6+c=3,则a+lj+c^"的否命题是()

A.若a+6+c#3,则a'+4+dc

B.若a+6+c=3,贝1」才十斤+02<3

C.若a+6+c#3,则才+9+323

D.若才+Z/+c-23,则a+6+c=3

(2)对于函数尸/'(x),xSR,"y=|/Xx)I的图象关于y轴对称"是"y=f(x)是奇函

数”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】(l)A(2)6

【解析】

(1)命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以选择A.

(2)由判定充要条件方法之-----定义法知，由“尸f(x)是奇函数”可以推出“尸

IfWl的图象关于尸轴对称”，反过来，逆推不成立，所以选B.

【拓展】一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的

形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，

而不是单纯的大于、也不是单纯的小于;进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，

这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可.

难点三逻辑联结词、量词和命题的否定

例3.(1)若p是真命题，q是假命题，贝I")

A.。八。是真命题B.pVg是假命题

C.非p是真命题D.非q是真命题

⑵命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的再足是()

A.所有不能被2整除的整数都是偶数

B.所有能被2整除的整数都不是偶数

C.存在一个不能被2整除的整数是偶数

D.存在一个能被2整除的整数不是偶数

【答案】(l)D(2)D

【解析】(l)_p是真命题，则非/是假命题；g是假命题，则非g是真命题，故应选D.

(2)本题是一个全称命题，其否定是特称命题，同时将命题的结论进行否定，答案为D.

【拓展】(1)“或”“且”联结两个命题，这两个命题的真假确定了“或”命题和“且”命

题的真假，其中“或”命题是一真即真，“且”命题是一假即假，“非”是对一个命题的否

定，命题与其‘'非”命题一真一假；(2)否定一个命题就是否定这个命题的结论，即推翻这

个命题，这与写出一个命题的否命题是不同的.一个命题的否命题，是否定条件和结论后的

形式上的命题，如本题中我们把命题改写为“已知n为任意整数，若"能被2整除，则n

是偶数”，其否命题是“已知〃为任意整数，若〃不能被2整除，则〃不是偶数”，显然这

个命题是真命题，但这个命题的否定是假命题.

【变式】有四个关于不等式的命题：

Pi：3岔+照+1>0；

0：3xo,%ER,施+外—4施-2%+6<0；

2xy-x+y

3VX，心，后产丁

Pi：Vx,y£R,x+y^xy+xy.

其中真命题是()

A.0,PlB.R,P\C.P\,PsD・R,R

【答案】c

【解析】X*+JH-1=*+J>0>命题R正确；x+y—4jf—2j+6=(A—2)*+(j—1):

+l>0,命题R不正确-^-W27二命题R正确;x'+y—xy—xy=(jrl-y)(x

—y)；,当JH~〃O时，不等式不成立，故命题,；不正确.故正确选项为C.

【解题技巧】

1.解答集合有关问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键.其次关注

元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助

数轴和韦恩图加以解决.

2.一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否

定是互相对立、一真一假的.

3.判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的

对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否

定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法.

4.含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的

基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断.

5.特称命题的否定是全称命题、全称命题的否定是特称命题.

【历届高考真题】

(2012年高考试题】

1.[2012高考真题浙江理1]设集合A={x|l<x<4},集,合B={x|x2-2x-3W0},则AA

(GB)=

A.(1,4)B.(3,4)C.(1,3)D.(1,2)U(3,4)

【答案】B

【解析】B={x|X1-2x-3WO}={x|-l<X<3}>AC(C：B)={x11<x<

4}fl{x|X<T或X>3}=

{x3<x<4}.

2.[2012高考真题新课标理1】已知集合

A={1,2,3,4,5},3={(x,y)|xGAyeAx-yGA}；

则B中所含元素的个数为()

(A)3(8)6(C)8(D)10

【答案】D

【解析】要使x-yeA,当x=5时，y可是1,2,3,4.当尤=4时，y可是1,2,

3.当x=3时，y可是1,2.当x=2时，y可是1,综上共有10个，选D.

3.12012高考真题陕西理1】集合A/={x|lgx>0},N={x|f44},则MN=

()

A.(1,2)B.[1,2)C.(1,2]D.[1,2]

【答案】C.

r:

【解析】={-Y|lgx>0}={x|x>l},A={x|x<4}={x|-2<x<2}f

-A/nN=(L2],故选配

4.12012高考真题山东理2】已知全集0={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},3={2,4},则

,QAB为

(A){1,2,4}(B){2,3,4}(C){0,2,4}(D){0,2,3,4}

【答案】C

【解析】0。4={0,4},所以(QA)UB={0,2,4},选c

5.【2012高考真题辽宁理1】已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},

集合B={2,4,5,6,8},则(CuA)n(C(,B)为

(A){5,8}(B){7,9}(C){0,1,3}(D)[2,4,6)

【答案】B

【解析】因为全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8),集合B=

{2,4,5,6,8},所以C*={24679},C*={0工3工9},所以©MA(Q3)为亿3.

故选B.

6.12012高考真题江西理1]若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,xSA,ySB)

中的元素的个数为()

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】因为xe4丁€5,所以当》=-1时，y=0,2,此时z=x+y=—1,1。当x=l

时，y=0,2,此时z=x+y=l,3,所以集合{z|z=-1,1,2}={-1,1,2}共三个元素，选C.

7.12012高考真题湖南理1】设集合M={-1,0,1},N={x，Wx},则MAN=

A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0}

【答案】B

【解析】•••'={()」}M={-1,0,1}.•.MAN={OJ1}.

8【2012高考真题广东理2】设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则CuM=

A.UB.{1,3,5}C.{3,5,6}D.{2,4,6}

【答案】C

【解析】={3,5,6},故选C.

9.12012高考真题北京理1】已知集合人=仅61?|3*+2>0}B={xGR|(x+1)(x-3)>0}

则ACB=

22

A(_oo,-1)B(一L一一)C(一一,3)D(3,+oo)

33

【答案】D

2

【解析】因为A={x£R|3x+2>0}n%>一§,利用二次不等式可得5={x|%v—l

或x>3}画出数轴易得：AC\B={x\x>3}.故选D.

10.12012高考真题全国卷理2】已知集合八={1.3.y[m],B={1,m},AB=A,则

m=

A0或GB0或3C1或6D1或3

t答案】B

【解析】因为XU3=A9所以5:M,所以m=3或m=际.若=3,则

A=[13.^l3}.B={1.3},满足A\JB=K.若>%=Vw»解得w=0或次=1.若m=0,则

A={13.0}:5={L3.0),满足-TUB=H.若叨=1，X={L3：l}：8={1J}显然不成立，综

上加=0或〃？=3,选B.

11.12012高考真题四川理13】设全集U={兄瓦c,d},集合A={a高},B={b,c,d1,

则G4U"。

【答案】{a,c,d}

【解析】CJJA={c.d},CuB={a},:.CuA\jCuB={a,c,d}

12.12012高考真题上海理2]若集合A={x|2x+l>0},B={x\\x-l\<2},贝ij

AC\B=o

【答案】(-13)

【解析】集合X={[2x+l>0}={.xx>-：}，B={.x||x-l|<2)={x|-l<x<3),

所以XCB={x-：<x<3}，即(—：3).

13.12012高考真题天津理11J已知集合A={xeR||x+2|<3},集合

8={1£尺|*一加)(工一2)<0},且408=(—1,〃)，则111=,n=.

【答案】—1,1

【解析】由卜+2|<3,得一3<x+2<3,即—5<x<l,所以集合

A=W-5<x<l},因为4口3=(-1,〃)，所以-1是方程(x—m)(x—2)=0的根，所

以代入得3(1+加)=0,所以/〃=—1,此时不等式(x+l)(x-2)<0的解为一l<x<2,

所以AD3=(—1,1),即〃=1。

14.12012高考江苏1】(5分)已知集合4={1,2,4),8={2,4,6},则AB=▲

【答案】{1,2,4,6}«

【解析】由集合的并集意义得A8={1,2,4,6}。

15.【2012高考江苏26]（10分）设集合2={1,2,…，川，HGN*.记/（〃）为同时

满足下列条件的集合A的个数：

①Aa2；②若xeA,则2xeA；③若xeCPnA,则2x任C?A。

（1）求/⑷；

（2）求/（〃）的解析式（用〃表示）.

t答案】解：⑴当附=4时，符合条件的集合.4为：{2},{1,4},{13},{1,3,4},

y（4）=4.

（2）任取偶数将x除以2,若商仍为偶数.再除以2,••■经过《次

以后.商必为奇数.此时记商为加.于是x=泄二，其中泄为奇数MeN*.

由条件知.若则xw/=£为偶数；若mg/,则xeN=X为奇数.

于是A是否属于A，由决是否属于X确定.

设2是X中所有奇数的集合.因此f5）等于。.的子集个数・

当”为偶数（或奇数）时，卫中奇数的个数是

2;（“为偶数1

2手（，为奇数I

【解析】（1）找出〃=4时，符合条件的集合个数即可.

（2）由题设，根据计数原理进行求解.

[2011年高考试题】

1.（2011年高考北京卷理科1）已知集合P={x|xMl},M={a}.若PUM=P，则a的

取值范围是

A.(-8,-1]B.[1,+8)

C.[-1,1]D.(-8,-1]U[1,+8)

【答案】C

【解析】因为PUM=P,所以PqM,故选C.

2.(2011年高考福建卷理科l)i是虚数单位，若集合S={—1.0.1},则

2

A.zeSB.z2eSC./*eSD.—GS

i

【答案】B

【解析】因为1是虚数单位，所以户=TwS,故选B.

3.(2011年高考辽宁卷理科2)已知M,N为集合I的非空真子集，且M,N不相等，若

Nc(GM)=0,贝I]MDN=()

(A)Mr(B)N(C)I(D)0

【答案】A

【解析】因为Nc(GM)=0,且M,N不相等，得N是M的真子集，故答案为

4.(2011年高考广东卷理科2)已知集合八={(x,y)|x,y为实数，Kx2+y>J},B={(x,

y)lx,y为实数，且丫=*},则AnB的元素个数为()

Ar.0B.JC.2D.3

【答案】C

r，

X=广72

,272=-T

【解析】由题得「'+JI或<

夜，H「3兀素的个数为2,所

y=x

-产

y=2=-7T2

b

以选C

二、填空题:

1.(2011年高考天津卷理科13)已知集合

A=1%e/?||%+3|+|x-4|<91,B=|xe/?|x=4z+--6,Ze(0,+oo)j>,则集合

AcB=______

【答案】{x|-2<x<5}

【解析】因为，>0,所以4r+124,所以6={%wR|x2-2}；由绝对值的几何意义可

得：A=所以AC8={X|-2WXW5}.

2.(2011年高考江苏卷1)已知集合A={-1,1,卜，{则

AryB=_________

【答案】{-L2}

【解析】Xc8={—LL2,4}c{—L0.2}={—L2}.

2

3.(2011年高考江苏卷14)设集合A=<(彳一2)2+/<m,x,y&R],

B={(x,y)\2m<x+y<2m+\,x,yeR},若AcBw。，则,实数m的取值范围是

答案：1<W<72+1

解析：综合考察集合及其运算、直线与圆的位置关系、含参分类讨论、点到直线距离公

式、两条直线位置关系、解不等式，难题.当次40时，集合A是以（2,0）为圆心，以加|

为半径的圆，集合B是在两条平行线之间,~-+w=(1+>0因

为Ac3在此时无解；当”>0时，集合A是以（2,0）为圆心，以加|为半径

’审人.72-1

的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有<4加4W+1.又因为

—W