高中数学 第一章 立体几何初步 1

第1课时柱、锥、台的侧面展开与面积

预

习

核心必知——自读教材找关键

导

引I

区问题思考——辨析问题解疑惑

自主学习梳理主干zizfiuK.ueK.ishutizHugan

［核心必知］

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

几何体侧面展开图的形状侧面积公式

圆柱矩形S圆柱侧=2nrl

圆锥扇形S圆.侧=兀rl

圆台扇环S例行侧=-5+建）1

其中r为底面半径，/为侧面母线长，八，八分别为圆台的上，下底面半径.

2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积

几何体侧面积公式

直棱柱S直棱柱侧=c•h

正棱锥S正校锥恻=］c•H

正棱台S正梭台侧=T（c'+c'）,力'

其中，'，c分别表示上，下底面周长，力表示高，h'表示斜高.

［问题思考］

1.一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？

提示：不同的展开方式，几何体的展开图不一定相同.表面积是各个面的面积和，儿何

体的侧面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.

2.柱体、锥体、台体之间有如下关系：

上底面变小上底面缩小到一个点

上底面扩大到（袜）上底面扩大（体

与下底面相等7J

那么台体、锥体、柱体的侧面积公式有什么联系？

提示：根据以上关系，在台体的侧面积公式中，令c'=c,可以得到柱体的侧面积公

式，令c'=0,可得到锥体的侧面积公式，其关系如下所示：

6

S柱例=c力'c—cr,s台侧）力，—>s锥侧=5。力，.

3.棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？

提示：不一定.由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面展开图是一个平行四边形，此平行

四边形的一边为棱柱的底面周长，另一边长为棱柱的侧棱长，但此平行四边形若不是矩形，

则它的面积并不等于这两边长的乘积，所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的

乘积，只有直棱柱的侧面积才等于底面周长与侧棱长的乘积.

课

堂

知识突破—能力提升

互

II动

重点知识拔高知识

步步探究稳根基深化提能夺高分区

sfiisfieng^ongyantupozfiongnan师生共研突破更难

知识点1圆柱、圆锥、圆台的(侧)表面积-K重点知识•讲透练会】I

讲一讲

1.(1)圆柱的侧面展开图是边长为6n和4n的矩形，则圆柱的表面积为()

A.6n(4Jt+3)

B.8n(3n+1)

C.6Ji(4n+3)或8n(3n+1)

D.6n(4n+1)或8m(3it+2)

(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为()

A.1：1B.1：2

C.1：3D.1：4

［尝试解答］(1)选C圆柱的侧面积5慨=6"乂411=24/.①以边长为6"的边为轴

时，4口为圆柱底面周长，则2nr=4n,即r=2,；.S底=4n,S全=51何+2S底=24nl，+8n

=8n(3n+1).②以边长为4n的边为轴时，6又为圆柱底面周长，则2nr=6n,即r=

3,；.S底=9口，S金=SM+2s底=24n'+18n=6"(4m+3).

(2)选c如图所示，如为圆锥的母线，a,“分别为截面与底面的圆心.为做的

中点，

p

：.PA=AB,"8=244

n-aA-PA,

2

S圆台侧=；X2五•(4月+。皮•AB,

._____0\A•PA______j_

■*5^=aA+O,B*/15=3,

类题•通浜

1.求柱、锥、台的表面积(或全面积)就是求它们的侧面积和(上、下)底面积之和.

2.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基

本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.

练一练

1.圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是

180°,那么圆台的表面积是多少？

解：如图所示，设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角是180。，

故c=n•SA—2itX10,

所以521=20(cm),

同理可得第=40(cm),

所以S4=20(cm),

所以S表面枳=SIBJ+S上+5下

=n(ri+22)•AB+nH+nA

=n(10+20)X20+nX102+nX202

=1100it(cm2).故圆台的表面积为1100Jtcm2.

知识点2棱柱、棱锥、棱台的侧(表)面积•------K重点知识•讲是练会】|

讲一讲

2.五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8c巾和18cm,侧面是全等的等腰

梯形，侧棱长是13cm,求它的侧面积.

［尝试解答］如图是五棱台的其中一个侧面，它是一个上底、下底分别为8cm和18cm,

腰长为13cm的等腰梯形，由点力向a'作垂线，设垂足为反由点。向a1作垂线，设垂足

为F,易处BE=CF.

,?BE+EF+FC=2BF—AD^BC,

BC+AD18+8

，BF=---=0一=13.ABE=BF-AD^13-8=5.

又46=13,：.AB=12.

：.SnM^=^AD+BO•(18+8)X12=156(cm2).

故其侧面积为156X5=780(cm?).

类题•通决

要求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积，需根据题目中的已知条件寻求锥体、柱体、

台体的侧面积及表面积公式所需条件，然后应用公式进行解答.

练一练

2.已知正三棱锥上4式1的主视图，俯视图如图所示,其中以=4,小?=24，求该三棱

锥的表面积.

V

B

主视图俯视图

解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图且VA=VB=VC=\,

AB=BC=AC=24,

取比的中点〃，连接VD,

.小

B

则殂一9川^一木2二限,

/

5AIBT=~Xl7)XffC=^Xyfl3X2y/3=y/39f

(2，5)2、乎=3(，

・・・三棱锥儿力旗的表面积为

3见面+S4ABe=3相+=3(^39+^3).

4

知识点3简单组合体的表面积4【拔高知识•拓宽提能X

讲一讲

3.已知一个圆锥的底面半径为"，高为〃，在其内部有一个高为x的内接圆柱.

(1)求圆柱的侧面积;

(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？

［尝试解答］如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图.

(1)设所求圆柱的底面半径为r,

R

产

S圆柱侧=2nrx~2冗Rx~~•工.

(2)5现卜画是关于x的二次函数，

当X—„-=5时，S网样的有最大值，

9zJt/rz

~~iT

即当圆柱的高是圆锥的高的一半时，它的侧面积最大.

类题•通决

解决组合体的表面积问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系，将其转化为简单

多面体与旋转体的表面积问题进行求解.

练一练

3.已知底面半径为小cm,母线长为乖cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为

顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积.

解：如图，由题意易知圆锥的母线长为3cm.

则S=S底+S柱恻+S圆惟侧

=nX(73)2+2JIX小X乖+nX小X3

=(3+6A/2+3^3)n(cm2).

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如图所示，圆柱00'的底面半径为2cm,高为4cm,点一为母线"8的中点，ZA0B

2

=可n,试求一蚂蚁从4点沿圆柱表面爬到一点的最短路程.

［巧思］将圆柱的侧面展开，将从尸两点转化到同一个平面上解决.

［妙解］将圆柱侧面沿母线AAf剪开展平为平面图，如图，则易知最短路径为平面图

中线段加^

A1B,

AB

24

在RtZXASP中，AB=-TIX2=-n(cm),阳=2(cm),

O«J

____2

：.AP=yjA^+B/^=-#4d+9(cm).

9

故蚂蚁爬的最短路程为鼻74n2+9cm.

J

训

达标练一能力练练

II提

学业水平小测，让学课下能力提升，提速能

生趁热打铁消化所学,提能，每课一检测，步区

既练速度又练准度步为营步步高

、学业水平达标

1.矩形的边长分别为1和2,分别以这两边为轴旋转，所形成的儿何体的侧面积之比

为（）

A.1：2B.1：1

C.1：4D.4：1

解析：选B以边长为1的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积

S=2兀X2X1=4n,

以边长为2的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S=2nX1X2=4K,

:W=4"：4Jt=1：1.

2.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32n,则母线长为

A.2B.2y[2

6

C.4D.8

解析：选C设圆台的母线长为/,上、下底面半径分别为八R,

则/=£（「+而-

又32n=n（r+而1=2nI1,

.♦.『=16,

.*.7=4,

3.（北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）

A.28+6乘B.30+6季

C.56+12mD.60+124

解析：选B由题中的三视图知，该三棱锥的立体图形如图所示.

A

C

由题中所给条件，可求得5k的=；X4X5=10,

S^CD=X4X5=10,AC=BC=迎,

AB=2乖,可求得△48C中48边上的高为。41-5=6,所以5k«r=；X6X2m=64.

综上可知，该三棱锥的表面积为5k«+&./!<»+S^AHC=30+6-\/5.

4.圆锥的侧面展开图是半径为彳的半圆，则圆锥的高是.

解析：设底面半径是r,则2nr=nR

r=/圆锥的高力=.*—产=坐尼

答案：专

5.若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积等于.

1

h—11—H-

解析：根据题意可知，该棱柱的底面边长为2,高为1,侧棱和底面垂直，故其表面积

5^^X22X2+2X1*3=6+24.

答案：6+273

6.一个几何体的三视图如图所示.已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一

个长为镉，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为2的正方形拼成的矩形.求该几何体的表

面积S

解：由三视图可知，该平行六面体中,

平面165，平面比

所以44=2,侧面/微4,侬G均为矩形，

所以S=2X（1X1+1X73+1X2）

=6+2^3.

■课下能力提升（十一）

一、选择题

L圆台的母线长扩大为原来的〃倍,两底面半径都缩小为原来的一倍，那么它的侧面积

变为原来的（）

A.1倍B.〃倍

C.才倍D.］倍

解析:选A由+?）/.当…，缩小箱/扩大〃倍时，S杯变.

2.己知正四棱锥底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为（）

A.12B.36

8

C.24D.48

解析：选D正四棱锥的斜高力'=或二m=4,

S恻=4X；X6X4=48.

3.长方体的对角线长为2/，长、宽、高的比为3：2：1,那么它的表面积为（）

A.44B.88

C.64D.48

解析：选B设长，宽，高分别为3%2x,%则对角线长为时而7Tp=5户2皿,

x=2.

・・・表面积S=2（6/+3/+2/）=88.

4.圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（）

A.4nsB.2nS

D半S

C.nS

O

解析：选A设圆柱的底面半径为此则S=Ji#,

：.R=

则圆柱的母线长1=2兀/?=2dsn.

S

S侧面积=（2五而2=4冗'必=4n2X^=4兀S.

5.（重庆高考）某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积为（）

侧（左）视图

A.180B.200

C.220D.240

解析：选D几何体为直四棱柱，其高为10,底面是上底为2,下底为8,高为4,腰

故两个底面面积的和为2义（2+8）X4X2=40,四个侧面面积的和为（2+8

为5的等腰梯形,

+5X2）X10=200,所以直四棱柱的表面积为S=40+200=240,故选D.

二、填空题

6.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4,母线长为10,则圆台的侧面积为

解析：设上底面半径为r,则下底面半径为4r,高为4r,如图.

♦.•母线长为10,

.•.有IO?：(4r)2+(4r-r)\解得r=2.

/.S网合的=n(r+4r)X10=100n.

答案：100页

7.已知棱长为1,各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是

解析：由条件可知，四面体的斜高为生，

所以其表面积为S*=4X；X1义平=近

答案：小

8.如图，直三棱柱的主视图面积为2才，则左视图的面积为

解析：此直三棱柱的底面是边长为a的正三角形，该三角形的高为g-a.左视图是一矩

形，一边为平a,另一边为2a,故左视图的面积为乎aX2a=/a2.

答案：木才

三、解答题

9.如图所示是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2

kg,问需要多少油漆？(尺寸如图，单位：m,it取3.14,结果精确到0.01kg)

俯视图

解：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和四棱柱，并且圆锥的底面半

10

径为3m,母线长为5m,四棱柱的高为4m,底面是边长为3m的正方形.

圆锥的表面积为“产+nr/=3.14X3?+3.14X3X5=28.26+47.1=75.36面)；

四棱柱的一个底面积为32=9(m2)；

四棱柱的侧面积为4X4X3=48而).

所以外壁面积=75.36-9+48=114.36(m2),

需油漆114.36X0.2=22.872^22.87(kg),

答：共需油漆约22.87kg.

10.正四棱台两底面边长分别为a和.

(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°,求楼台的侧面积;

(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.

解：(1)如图，设4,。分别为上，下底面的中心，过G作G员L4C于反过后作吃1

BC于F,连接G凡则，尸为正四棱台的斜高.

由题意知,

、

CE=CO—EO=CO—GOi=2(/?—a).

、历

在RtZ\GQ1中，CxE=CE=^{b-a),

又EF=CE,sin45°=~{b-a),

二斜高CF=7C"E户

二(6-a)•

H2I

••・5侧=/(43+4力)X当(，—a)=小出_3).

(2)・・・5上底+5下底=才+9，

/.-(4a+4Z?)•力解=才+。2,

46

—b—al--------1ab

又EF~—~~，h=7力斜——E户=己+

第2课时柱、锥、台的体积

预

习

核心必知——自读教材找关键

导

*

引

问题思考——辨析问题解疑惑

区

ztzfiu\,ucK.ishutizhugan自主学习梳理主干

［核心必知］

柱、锥、台的体积公式

几何体公式说明

S为柱体的底面积

柱体V柱体=s/?

/?为柱体的高

1S为锥体的底面积

锥体/锥体=鼻577

O分为锥体的高

台体V台体=鼻（5上+SF+S上，SF分别为台体的上、

0

下底面面积，分为台体的高

Ns上•si•力

［问题思考］

仿照侧面积公式，你能用底面半径和高来表示圆柱、圆锥和圆台的体积公式吗？

提示：(1)底面半径是八高是力的圆柱的体积是：VMH：=nrh.

(2)如果圆锥的底面半径是r,高是小，那么它的体积是：n

2

(3)如果圆台上、下底面半径分别是/、r,高是上那么它的体积是：rH£!=1nA(r

O

+rr'+/)

知识突破一能力提升

II

重点知识拔高知识

步步探究稳根基深化提能夺高分

师生共研

知识点1柱体的体积-K重点知识•讲运练会;I

讲一讲

1.已知直三棱柱"G464中，点C到46的距离为3cm,侧面4班M的面积为8cm2,

求直三棱柱的体积.

［尝试解答］法一：如图，设点C到的距离为4侧面/跖4的面积为S,则△/8C

的面积S=-^\AB\d.

12

1G

・••直三棱柱的体积V=Sh=S\AM

=^\AB\d\AA\\=^\AB\•\AA\\d

=^S<7=12(cm3).

法二:补上一个相同的直三棱柱可以得到一个直四棱柱/成»■4644.可以看成以4/胡

为底面的四棱柱"DCG-4ABB\.

则ABB^的面积就是底面积，C到46的距离即为高.

，四棱柱DxDCQ-MBBx的体积K=24(cm：，),

则直三棱柱的体积为12(cm3).

类题•通决

(1)直棱柱的侧面与对角面都是矩形，所以方法一利用侧面积与点到直线的距离的乘积

求得体积.

(2)四棱柱的底面与侧面是相对而言的，即任何一组对面都可以作为底面.所以方法二

采用了“补形”求得四棱柱的体积(间接求解).

练一练

1.一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱

的体积之比.

解：设正方体边长为a,圆柱高为底面半径为r,

Jtr,①

则有c…2c

〔2Jirh=Xa,②

由①得「=*乜，

由②得兀/力=2/，

/./圆柱=ny/]=乳工婿,

兀

产贷柱=@3：=^~•]=V^"-2.

••V正方体•

知识点2锥体的体积K重点知识•讲运练会】I

讲一讲

2.如图，已知四棱锥24?(力的底面为等腰梯形，AB//CD,ACVBD,垂足为〃，方是四

棱锥的高.若AB=#,NAPB=NADB=66°,求四棱锥848(小的体积.

［尝试解答］因为/及笫为等腰梯形，AB//CD,ACVBD,AB=#,

所以HA=HB=/.

因为//%=//的=60°,

所以川=阳=乖，HAHC=/tan30°=1.

可得PHKP#—A//二小,

等腰梯形四切的面积为S="XM=2+#.

所以四棱锥的体积为勺;X(2+73)*:=庄汕.

*JO

类题•通浜

求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式片4劭进行计算即可，常用方

法为割补法和等积变换法：

(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成儿个柱体、锥体，分别求出

柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积.

(2)等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面.

①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；

②利用“等积性”可求“点到面的距离”.

练一练

2.已知三角形1用的边长分别是/C=3,BC=\,AB=5,以四所在直线为轴，将此三

角形旋转一周，求所得几何体的体积.

•.•△4?。为直角三角形，且45为斜边，，绕48边旋转一周，所得几何体为两个同底的

12

圆锥，且圆锥的底面半径片彳.

□

,1L(12\48

•*./锥=:•AB*nr=-X5Xnxl—l-=—n

O

14

知识点3台体的体积M拔高知识,拓宽提能】I

讲一讲

3.圆台上底的面积为16ncm2,下底半径为6cm,母线长为10cm,那么，圆台的侧

面积和体积各是多少？

［尝试解答］首先，圆台的上底的半径为4cm,

于是S网令傅=n(r+r')7=10031(cm2).

其次，如图，

圆台的高2=8。

~OD-AB2

—yjlO'——"=4#(cm),

所以/网价力(S+木亍=+S')

O

="X4mX(16n+#16、*361+36n)

304m灾(外

=---2---(cm).

类题•通浜

求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高，要注意充分运用棱台内的直角

梯形和圆台的轴截面(等腰梯形)等求相关量之间的关系.因为台体是由锥体用平行于底面的

平面截得的几何体，所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差.

练一练

3.正四棱台的上下底面边长分别为6cm和12cm,侧面积为180cm\求棱台的体积.

解：如图，分别过正四棱台的底面中心Q,。作OEYBC,垂足分别为£,E,

则笈£为正四棱台的斜高.

由于正四棱台的侧面积为180cm2,

所以;X4X(6+12)|£0=180,解得|££|=5.

在直角梯形。庞石中，RE\=3,0E=6,E\E=5,解得

所以正四棱台的体积为，=4尔+S')=1x4X(62+6X12+122)=336(cm3).

Ou

［1踵高事||多解题不一样的旅程.不一样的风景.换个思维开拓视野！

如图所示，在长方体力比249C〃中，用截面截下一个棱锥Dff,求棱锥

C-AfDD'的体积与剩余部分的体积之比.

［解］法一：设AD=b,Dff=c,

则长方体力顺■/'B'CD'的体积V=abc,

又S^A'DD'=2^Cf

且三棱锥c-/DD1的高为⑦=8

y=梭锥C-H'DD'//1)•CD=wabc.

i5

则剩余部分的体积=abc--abc=-abc.

o6

,,1.5z

故V：梭推CT“o•/剩=于彷。・铲bc=l•5.

［尝试用另外一种方法解题］

法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱4〃〃'H-63'B',设它的底面

ADD'A'的面积为S,高为力，

则它的体积为V=Sh.

而棱锥C-A'DD'的底面面积为高是h,

因此，棱锥C-A'DD'的体积VC-A'如=权与=(劭.

J/0

15

故余下的体积是Sh--Sh=-Sh.

15

・・・棱锥〜"如，的体积与剩余部分的体积之比为伊：萨力=1：5.

训

达标练一能力练练

II提

学业水平小测，让学课下能力提升，提速能

生趁热打铁消化所学,提能，每课一检测，步区

既练速度又练准度步为营步步羸

jencengiiamcigu6entineng分层练习固本提能

16

、学业水平达标

1.正方体的表面积为96,则正方体的体积是（）

A.48乖B.64

C.16D.96

解析：选B设正方体的棱长为a,则6才=96,解得a=4,则正方体的体积是3=64.

2.（山东高考）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示,

则该四棱锥侧面积和体积分别是（）

A.44，8B.4#,J

C.4（m+1）,ID.8,8

解析：选B由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2,高为2,侧面上的斜高

分形针=小,所以S恻=4X&X2Xm）=4m，r=1x22X2=1.

1.2,

A-+nB~+n

OtJ

12

C-+2nD.~+2JT

解析：选A由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的.由图中数据

可得三棱锥的体积匕=；><:x2X1X1=1，半圆柱的体积上=；XITXJx2=冗，；•勺;+

冗.

4.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为.

解析：该空间几何体是一个底面为梯形的四棱柱，其底面积是-j-X2=3,高为1,故

其体积等于3.

答案：3

5.圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4,母线长为10,则圆台的体积为.

解析：设圆台的上底面半径为r,

贝iJ(3r)2+(4r)2=100,解之得r=2.

，S_h=nr—4n,S.=n(4r)2=16"r=64n,

/?=4r=8.

眸;(4贝+64n+16n)X8=224n.

答案：224n

6.已知一个三棱台的两底面是边长分别为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的

等腰梯形，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高和体积.

解：如图，在三棱台力把"B'C中，0'、。分别为上、下底面的中心，D、D'分别

是BC、B'C的中点，则如'是梯形8%'8的高，

所以5斛=3(20+30)•DD'•3=75DD'.

r

又4'B'=20颔,4/30加，则上、下底面面积之和为5上+5下=竽(202+302)=325第

(cm2).

由5俄=5卜+5卜得，75勿'=32573(cm2),所以加'=^/3(cm).

在直角梯形O'ODD'中，勿=5，5cm,O'D'=~~cm,

o

18

0,0=^D'U-0D-0'D~~J33J

=4-73（cm）,即棱台的高仁44cm.

由棱台的体积公式，可得棱台的体积为眸（（S+S'+4才）

O

=半伴.衬+乎.20。+乎.20.3。）

=1900（cm3）.

Z课下能力提升（十二）

一、选择题

1.已知圆锥的母线长是8,底面周长为6m,则它的体积是（）

A.975511B.9755

C.3相JtD.3相

解析：选C设圆锥底面圆的半径为r,则2Jir=6",；.r=3.

设圆锥的高为力，则/7=4胃=1而，

•*."r/i—3y[55n.

*5

2.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去

8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是（）

27

A.-B.T

36

c45

C.7D.-

56

解析：选D用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，所得三棱锥的体积为，义

11R

」=有故剩下的凸多面体的体积为L8义底飞.

3.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何

体的体积为（）

A.6B.9

C.12D.18

解析：选B由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三

棱锥，其体积为:X[X6X3X3=9.

4.（浙江高考）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）

俯视图

A.108cm"B.100cm'

C.92cm3D.84cm3

解析：选B根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，，

几何体的体积，=6X6X3—JxJx4X4X3=100cm3.

5.分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线

为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是（）

A.I：y/2：y[3B.6：2小：小

C.6：273：3D.3：2@6

解析：选C设如图所示的中，

/阴C=30°,BC=\,则48=2,4C=小,求得斜边上的高5=与，旋转所得几何体

的体积分别为（小）2X1=%

松=[JIXF1（坐）2X2=?.

义小=当五,%=可兀

14

-2

%:皈：%=1:看2-6:

二、填空题

6.如图已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a,最

小值为6,那么圆柱被截后剩下部分的体积是.

20

b

解析：采取补体方法，相当于一个母线长为的圆柱截成了两个体积相等的部分,

所以剩下部分的体积眸-----1-

依上“ya+b

答案：-----------

7.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面的尺寸如图所示，两容器盛有液体的体

积正好相等，且液面高均为力，则为=.

a冗

解析：锥体的底面半径和高都是h,圆柱体的底面半径是云高为h,依题意得二4•h

40

=n•(1)J-h,解得人=乎&

答案：*a

8.已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体

的体积是.

解析：此几何体的直观图如图，ABCD为正方形,边长为20cm,

S在底面的射影为CD中点E,SE=2Qcm,

180003

VS-ABCD^^SABCD•SE-"cm.

三、解答题

9.如图所示，是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一

个底面直径为6cm,高为20cm的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下

降多少？(页=3.14)

解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个

圆柱的底面与玻璃的底面一样，是一直径为20cm的圆柱，它的体积正好等于圆锥体铅锤的

体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度.

设水面下降的高度为x,则小圆柱的体积为"义(20+2)2><x=100nx(cm3),所以有方

程60n=100it解此方程得x=0.6(cm).

答：铅锤取出