高中数学-等比数列概念教学设计学情分析教材分析课后反思

数列课标解读

必修五是高中数学课程的必修模块之一，内容由数列、解三角形和不等式三章组成，而

数列这部分内容是高中数学课程的重点内容。下面对于必修五的课程标准进行分析.

1.课程标准的理念

1.1倡导积极主动、勇于探索的学习方式

《标准》认为，学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探

索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.这些方式有助于发挥学生学习的主

动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.教材设置的“思考与交流”

“课题学习”等学习活动内容，为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造了有利的条件.

在每一章内容之前设置了“章头语”，通过生动的数学故事或生活实例，激发学生学习的兴

趣，鼓励学生在学习的过程中，养成积极思考勇于探索的习惯.几乎每一节内容都是从问题

引入，力求让学生经历解决问题的探索过程，体验数学发现和创造的历程，形成自主学习、

积极探究的创新意识.

1.2注重学生数学思维能力的发展

《标准》注重提高学生的数学思维能力，在强调对数学本质的认识和结论同时，更突出

学习的过程，使学生在探索结论的过程中，理解数学概念，锻炼思维，形成结论.在本模块

中，设置了大量的问题，旨在让学生经历这些问题的分析与结论的探索，体会常用的数学方

法，如直观感知、观察发现、类比归纳、抽象概括、由特殊到一般等方法，感悟人们在学习

数学和运用数学解决问题的思维过程，逐渐形成理性的思维能力.

1.3重视学生数学应用意识与应用能力的培养

数学的应用价值是数学发展最重要的意义之一，在当今知识经济时代，数学和计算机的

结合使得数学能够在许多方面直接为社会创造价值，数学的应用日益引起人们的重视.我国

的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其它学科的联系未能给予充分的重视,

《标准》要求重视学生数学应用意识与应用能力的培养.在本模块中，在每一章不仅列举了

大量的实际问题，同时每一章都设了一节应用课，反映数学的应用价值，并力求使学生在体

验数学实际问题的解决过程，初步形成“数学建模”的基本能力，促进数学应用意识的养成

与应用能力的提高.

1.4重视对数学文化价值的渗透

数学是人类文化的重要组成部分.《标准》要求数学课程应适当反映数学的历史、应用

和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的美学价值，数学家的创造精神.在数列章

头语中，利用数列在天文学发现行星的故事，既体现数学的科学价值，又渗透了对学生进行

文化价值的教育。另外，增设的“阅读材料”栏目，也是体现数学的文化价值.

2.数列的内容与要求

2.1内容与要求

(1)数列的概念和简单表示法

通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公

式)，了解数列是一种特殊函数.

(2)等差数列、等比数列.

①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念.

②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式.

③能在具体的问题情境中，发现数列的等差和等比关系，并能用有关知识解决相应的问

题.

④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系.

2.2课程标准的理解

(1)《标准》强调数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本模型。教学时要体

现数列的生活背景，多举几个生活实例，让学生感受到学习数列的意义,并通过实例的分析，

从中归纳出数列的概念。数列的通项公式不仅是表示数列的一种方法，而且是研究数列的性

质和相关问题时最重要的工具。对于常见的一些特殊的数列，如1,4,9,16,…〃2,还

有著名的斐波纳契数列等，可以给予适当补充，拓宽学生的视野.

(2)等差数列与等比数列是本章的核心内容，尽管是两类不同的数列，但等差数列和

等比数列在内容上是完全平行的，包括它们的定义、性质(等差还是等比)，通项公式、前n

项和的公式、两个数的等差(等比)中项等。因此，应以等差数列为重心，在充分理解与掌握

等差数列探究的方法基础上，采用类比教学的方法，让学生自己探究等比数列有关内容，这

样能起到事半功倍的作用。将两种数列的概念、公式与性质进行对比，找出它们的联系与区

别，加深对这两部分内容的理解.对通项公式与求和公式教学时，要从函数与方程的思想进

行分析，让学生体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系.对于等差数列与等

比数列的性质应予以适当补充，利用性质往往能简化问题的解决过程.《标准》要求数列的

应用价值，在解决实际问题时，要引导学生发现问题中蕴含的等差与等比关系，合理进行“数

学建模”的选择，提高学生的应用意识和应用能力.

3.对课程标准内容的有关说明与建议

(1)把握好本模块的教学难度.必须把基本知识与基本方法与基本技能作为教学重点，

强化常规通法，不要随意或过早拔高教学要求.由于数列联系的知识面广，具有知识交汇点

的特点，受高考试题的影响，教学要求很容易拔高，过早地进行针对“高考”的综合性训练,

从而影响了基本内容的学习和掌握，加重了学生负担.事实上,学习是一个不断深化的过程，

作为在第一次学习，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，在后续的学习中通过对内容

的不断应用来获得巩固和提高，最后在高三数学总复习时，通过知识的系统梳理和进一步的

综合训练，使对本模块内容的掌握上升到一个新的档次.教学中应特别注意一些容易膨胀的

地方，例如在学习数列的递推公式时，要控制难度，不要过多的涉及关于变形的技巧与繁杂

的计算.

(2)重视数学知识的形成过程教学.要让学生充分体验数学知识的形成过程.《标准》

要求“让学生经历知识的产生和发展过程”，强调了教学中要重视知识的形成过程.因此，在

有关概念、公式教学中，要根据实际情况，尽可能的引导学生对知识的形成过程进行探究,

让学生充分体验数学知识的形成过程,从而使他们在学习中，能够积极地思考和主动建构.切

记不要有关概念、公式生硬得塞给学生去认识、去理解.

(3)注重数学思想方法的渗透.问题是数学的心脏，知识是数学的躯体，数学思想方

法则是数学的灵魂.数学思想方法的掌握和运用对培养能力，发展智力，提高数学素养都有

十分重要的作用.本模块蕴含的数学思想非常丰富，函数思想、方程思想、数形结合、转化

与化归、递归思想、类比归纳、合理猜想、算法思想等，在教学中注意加以渗透.

(4)重视学生的数学应用意识与数学建模能力的培养.在本章设置了一节数学模型应

用的内容.教学中应重视通过具体的例子，培养学生从实际问题中抽象出数学模型并用其解

决问题的能力.问题情境设置时要找学生熟悉例题和习题，最好是与学生生活息息相关的，

并要控制难度.

(5)对于教材的例题与习题，要注意合理选用，对于部分章节的内容，教学时要适当

补充一些典型的例题与练习题，以巩固基础知识与重要方法的落实，如数列中的“倒序求

和”“错位相减法”等.

等比数列教材分析

一、内容结构

(1)本节首先给出了两个实例，让学生通过观察实例，对比实例中数列的特

点，找出共同特性，感受等比数列.

(2)通过观察两个实例，抽象概括出等比数列的定义，以及公比。再次进行

实例分析，进一步熟悉等比数列，了解到等比数列的公比/0.

(3)引入等比数列的通项公式。通过类比等差数列的学习过程，由等比数列

的定义得出等比数列的通项公式.

(4)将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，通过思考交流体会等比数

列与指数函数的关系。这既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列

模型，也经历了从实际问题出发探索出数列模型的过程.

(5)运用类比的思想给出等比中项的概念。通过与等差数列作类比，找出等

比数列中中项的特点，进而概括得出等比中项的概念.

二、教学目标

(-)知识与技能

1、掌握等比数列的定义；

2、理解等比数列的通项公式及推导过程。

(二)过程与方法

1、通过实例，理解等比数列的概念；

2、探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现

数列的等比关系；

3、体会等比数列与指数函数的关系。

(三)情感态度与价值观

1、通过基禧中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精

神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；

2、通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切关系，激发学

生学习的兴趣。

三、地位与作用

等比数列是数列的重要组成部分，通过本节的学习，借助类比联想，对等差

数列的学习起巩固作用，也为以后学习等比数列的前n项和打好基础。

在高中阶段，掌握等比数列的概念及其通项公式，有利于进一步研究等比数

列的性质，从而极大提高学生利用数列知识解决实际问题的能力；同时，这节课

的内容和教学过程对进一步培养学生观察、分析和归纳问题的能力具有重要意

义。

在《普通高中课程标准》中要求“理解等比数列的概念，掌握等比数列的通

项公式，理解等比数列与指数函数的关系，并能解决实际问题。"我们通过本节

的学习对课标进行了具体的落实。

四、教学建议

(一)本节建议分两个课时教学

第一课时：理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导，

在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、

猜想、证明等逻辑思维能力；

第二课时：加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，

了解等比中项概念，掌握等比数列的性质，运用等比数列的定义及通项公式解决

问题，增强学生的应用能力。

（二）本堂课遵循“以教师为主导，学生为主体，面向全体学生”的原则，

实行教师指导下的学生实践探索的模式。刚开始例题的引入，教师引导下让学生

自己探索规律；同时应用“发现式教学法、类比分析法”来组织课堂教学，这样，

可充分调动学生学习的积极性和能动性，突出学生的主体作用，因此，在教学过

程中应着重提醒学生重视等比与等差数列的对比。

（三）等比数列的通项公式用归纳法和叠乘法给出，这里叠乘法可以认为是

对归纳法的证明，可以适当的补充一些叠乘例子，加深对此法的理解。对于等比

数列的判断，要让学生理解“必须对所有项都成立，反之，则只需要存在三项不

构成等差或者等比”即可。

（四）等比数列也是一类重要的特殊数列。在讲等比数列的概念和通项公式时要突出它

与指数函数的联系，这不仅可加深对等比数列的认识，而且可以对处理某类问题时使用指数

函数方法还是等比数列方法进行比较，从而有利于从全面提高学生的素质考虑学生对这些方

法的掌握情况。同时等比数列有着广泛的应用，教学中应重视通过分析具体实例（如教育贷

款、购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等），使学生理解这两种数列模型的作用，培

养学生从实际问题中探索出数列模型的能力。

学情分析

一、班级基本概况。

本班学生共51人，男生24人，女生27人。

二、学生学习兴趣与学习基础。

通过对学生的调查测试，结合上学期的学习表现，本班学生对数学学习兴趣比较高，

有四分之一学生很喜欢数学学习，大部分学生喜欢或比较喜欢数学学习，只有几位学生不太

喜欢数学学习。从完成课外作业时间与学习知识检测来看，我班总体学习基础不够扎实，两

极分化距离较大。

三、学生学习习惯与先前学习经验。

通过与学生接触，以及平时学生上课的表现与作业情况的观察，发现此班学生学习习

惯一般，特别优异的学生很少，有一小部分学生学习习惯不好。下面从以下几个方面展开分

析：

1、上课发言情况。班中发言比较积极的只要一少部分，发言一般的学生近一半，还有

一小部分学生很少发言，甚至于几乎从不发言。同时，本班级的学生发言情况极不稳定，一

是凭学生今天的学习兴趣，若学生今天学习兴趣高涨，发言比较积极，若是今天学习无兴趣，

则课堂上一言不发；二是学习知识的难易程度，若知识比较简单，学生发言积极，若知识有

一定难度，学生发言则很少。

2、学生作业情况。由于学生基础不一，两极分化严重，因而学生表现出作业速度相差

较大，整体速度偏慢，尤其从单元测试中看出，大部分学生在教师规定时间里不能完成相应

试题。其次学生作业正确率不高，粗心的学生较多。作业整洁度也不太好。

3、主动学习状况。大部分学生主动学习意识比较淡溥，主动学习习惯还没有真正养成。

其次是课堂自主学习效率不是很高，一部分学生表现出无从下手，因而在相对时间里这部分

学生自主学习效果很差，影响全班的集体交流。

四、应对举措

1.教师在重视探究教学的过程中，要抓好基础知识与技能的培养与习得。在教学中，

一定要一课一得，将课中的知识点进行强化，逐一过关。另外，还要多进行课外的拓展学习，

进行相关联的引申，便于把教学教活。

2.优化教材，用好材教，加强方法指导。

3.寻求优化课堂教学的方法与策略，提高学生学习兴趣水平。

4.准确把握“课程标准”要求，不随意拔高或降低。

5.重视学习方法的指导，要根据学科特点，选择学法指导的时机。在学法指导时不必

过多地讲道理，应多让学生运用这种方法练习，在实践中达到熟练的程度。

8.继续做好培优补差工作，大力提高中等生。

以上是我对所教的高一年级数学的学情分析，把握好学生的实际情况，因材施教，循

序渐进，脚踏实地的把教学成绩搞上去。

《等比数列》教学设计(共第1课时)

一、教学目标确定：

从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”

的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学

习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定

如下教学目标(三维目标)：

(1)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导

(2)在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、

证明等逻辑思维能力

(3)通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识

二、教学重点与难点：

重点：等比数列的定义及通项公式

难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题

三、教法选择与学法指导：

由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比

数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握数列的

相关知识。因此，在教法和学法上可做如下考虑：

1、教法：采用问题启发与比较探究式相结合的教学方法

在原行认知的基础上分析）观察

教法构思如下：提出问题..我山迎视u攵宜世》引发认知冲突

分析在特殊情况卜>归纳概括...一期幽上一>得出结论一图暨空总结提高。在教师的精心

组织下，对学生各种能力进行培养，并以促进学生发展，又以学生的发展带动其学习。同时，

它也能促进学生学会如何学习，因而特别有利于培养学生的探索能力。

2、学法指导：

学生学习的目的在于学会学习、思考，达到创新的目的，掌握科学有效的学习方法，可

增强学生的学习信心，培养其学习兴趣，提高学习效率，从而激发强烈的学习积极性。我考

虑从以下几方面来进行学法指导：

（1）把隐含在教材中的思想方法显化。如等比数列通项公式的推导体现了从特殊

到一般的方法。其通项公式%=劣/1是以n为字变量的函数，可利用函数

思想来解决数列有关问题。思想方法的显化对提高学生数学修养有帮助。

（2）注重从科学方法论的高度指导学生的学习。通过提问、分析、解答、总结，

培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。训练逻辑思维的严密性和

深刻性的目的。

一、教学过程设计：

第一课时

1、创设情境，提出问题（阅读本章引言并打出幻灯片）

情境1：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继

续取其一半，……各次取得的木棒长度依次为多少？……（1）

248

情境2：一位数学家说过：你如果能将一张纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬

上月球。（2）

2、自主探究，找出规律：

学生对数列（1）,（2）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与

前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的

比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常

数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母

q（q/O）表示，即：a“_]=q（〃eN,”22,gH0）。

点评：等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起,每一项与前一

项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称

为“公差”或“公比”0

3、观察判断，分析总结：

观察以下数列，判断它是否为等比数列，若是，找出公比，若不是，说出理

由，然后回答下面问题：

1,3,9,27,……

_1__1_1__1__••••••

2'4'8'16

_5,-5,-5,-5,...

1,-1,1,-1,……

1,0,1,0,……

0,0,0,0,……

1,X,x2,x3....（x!=0）

思考：①公比q能为0吗？为什么？首项能为0吗？

②公比q=l是什么数列？

③q”0数列递增吗？qY0数列递减吗？

④等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式：

这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。

选题分析；因为等差数列公差”可以取任意实数，所以学生对公比q往往忘却它不能取0和能取1的

特殊情况，以致于在不为具体数字（即为字母运算）时不会讨论以上两种情况，故给出问题以揭示学生对

公比夕有防患意识，问题3是让学生明白q”0时等比数列的单调性不定，而4Y0时数列为摆动数列，

要注意与等差数列的区别。

备选题：已知xeR则x,/,/,…………成等比数列的充要条件是什么？

4、观察猜想，求通项：

方法1：由定义知道。2==%"’....归纳得：等

比数列的通项公式为：%=agSN*）

（说明：推得结论的这一方法称为归纳法，不是公式的证明，要想对

这一方式的结论给出严格的证明，需在学习数学归纳法后完成，现阶

段我们只承认它是正确的就可以了）

方法2：迭代法

根据等比数列的定义有

93n—2n—1

a〃=an_i・q=a〃_?q=a吁3，q=....=%q

方法3：由递推关系式或定义写出："=q,生=/幺=/……通过观

%。2。3%

察发现—・—•—•....-^―=q，q-q....q=q"^

a\aia3an-x

—=q"~',即：%=au"1(〃eN*)

(此证明方法称为“叠乘法”,在以后的数列证明中有重要应用)

公式=aqi(nGN*)的特征及结构分析：

(1)公式中有四个基本量：可“知三求一”，体现方程思想。

(2)%的下标与的上标之和1+(〃-1)=〃，恰是4的下标，即q的指数比

项数少lo

5、问题探究：通项公式的应用

例1、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和

第2项.

6、课堂演练：

⑴一个等比数列的第5项是-，公比是-1,求它的第1项；

93

(2)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.

7、归纳总结：

(

数歹!)等差数列等比数列

定义

公差(比)

通项公式

引申

8、课后作业：

必作：求下列各等比数列的通项公式:

(1)(21=一2M§=-8

(2)q=5,2%+]=-3an

选作：1、已知数列｛%｝为等比数列，且4+3+%=7,qa2a3=8，求%

2.4等比数列练习

教学目标：1、理解等比数列的概念；

2、探索并掌握等比数列的通项公式。

教学重点：等比数列的通项公式。

教学难点：等比数列的定义。

一、新知测评：

1.等比数列定义：一般地，如果一个数列从第一项起，一一项与.它的——

项的—等于一常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常一数叫做等比数

列的,通常用字母—表示(gWQ),.即：&=(qWO)

2等比数列的通项公式：

a2=4;吗=。2g==ay;

2

%=%q=(qq=at;..........

%=%q=%•.等式成立的条件

3.等比数列中任意两项知与册的关系是：

4.等比中.项定义：如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,

那么称这个数G称为a与b的等比中项.即G=(a,b同号).

试试：数4和6的等比中项是

二、等比数列应用测评

1.在为等比数列，4=12,%=24,则/=().

A.36B.48C.60D.72

2.等比数列的首项为2,末项为L公比为2,这个数列的项数〃=().

833

A.3B.4C.5D.6

3.已知数列a,a(1一。)，“(l-a)?,…是等比数列，则实数a的取值范围是

().

A.aWlB.旦

C..D.&W0或

4.设q,出，%,%成等比数列，公比为2,则名旦=_________.

2%+a4

.5.在等比数列｛(｝中，2am则公比行.

6在等比数列｛6｝中，

(1)4=27,q=­3,求%;

(2)%=18,%=8,求卬和q；

(3)%=4,%=6,求出；

(4)a5-at=15,a4-a2=6»求出

拓展提升：已知｛%｝、｛九｝是项数相同的等比数列，求证：｛(•"“｝,｛c%｝(c

为非零常数)是等比数列.

《效果分析》

本节课我们主要采用了“教师适时引导和学生自主探究相结合”的教学方式，效果如

下：

1.达到基本的学习目标：通过等比数列概念、通项公式的研究，认识等比数列变化规律.

2.通过观察等差数列概念、通项公式得出等比数列概念、通项公式，体会类比的数学思想。

3.在教学过程中让同学们自己动手，同时引导学生自主探究，给学生足够的思考空间。

4.用多媒体授课，提高了学生学习的兴趣。

《观课记录》

时间：2016.05.13

主讲教师授课班级高一(9)班

课程名称数学课题等比数列

听课人员董春花董春兰邹爱英张燕燕孙明江

《等比数列》教后感与反思

对本节课的