高中数学：2-1等式性质与不等式性质（第2课时）（分层作业）

2.1等式性质与不等式性质（第2课时）（分层作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2021・四川•雅安中学高一开学考试）如果那么下列不等式中一定成立的是（）

A.a2<abB.ab<b2C.a2<b2D.a-2b<-b

【答案】D

【分析】利用不等式的基本性质逐一分析即可.

【详解】A.当。=0”=1时满足但此时1=点=0,故A选项错误;

8.'与。=-2力=。时满足。<人，但此时4,=62=0，故B选项错误；

<2.当4=-2力=0时满足。<。，但此时°2>62,故c选项错误；

D.由得：a-2b<h-2b,即a-2Z?<-〃，故D选项正确.

故选：D.

2.（2022•广东湛江♦高一期末）下列结论正确的是（）

A.若&<〃，贝B.若a?>匕〉,则。>b

C.若a>b，则4°2>仇2D.若ac>be,则a>b

【答案】A

【分析】AD选项，可以用不等式基本性质进行证明；BC选项，可以用举出反例.

【详解】右〈斯，显然b均大于等于0,两边平方得：a<b,A正确；

当〃。时，满足a?〉/,但B错误；

若a>b,当c=0时，则℃2=6<?=0,C错误；

若ac>be,c<0,贝lja<力，D错误.

故选：A

3.（2021♦广西河池♦高一阶段练习）下列命题中正确的是（）

A.若a>b,c>d,贝!]B.若ac>bc,则

C.若a>b,c>d,则a-c>〃一dD.若乌<4，则。<匕

【答案】D

【分析】ABC选项可以举出反例证明错误；D选项利用不等式的基本性质证明成立.

【详解】对于A,令〃=1/=一l,c=-2,d=-3,则ac=-2v3=Ad,，庆错误；

对于B,令。=1,6=2,C=-1,贝ijac>hc,但avZ?,.,.B错误；

对于C,令。=2,/?=l,c=l,d=0,满足但a-c=b—d,/.C错；

对于D,因为二<4,所以c2>0,不等式两边同乘以,?得：a<b,D选择正确.

CC

故选：D

4.（2021・江西•高一期中）“a>b”的充分不必要条件是（）

111111

-<-C-<-<OD->-

A.力B.一<0<一4力6

QabQ

【分析】ABD可以举出反例，C选项可以利用不等式的基本性质进行证明出是人的充分不必要条件.

【详解】A选项，若。=一1,h=\,满足但故推导不出a>b,A错误；

ab

B选项，也是如此，若。=一1,b=\,满足但。<人，B错误；

ab

C选项，因为,<4<0,故。<0,6<0,不等式两边同乘以时（而>0）,不等号方向不改变，故〃>。，

ab

是的充分条件，当时，令a=2,b=l,推导不出综上：,<:<0是。>力的充分不必要

abab

条件，C选项正确；

D选项，若。=1,b=2,满足但avb,D选项错误

ab

故选：C.

5.（2022.广东中山.高一期末）下列结论正确的是（）

A.若a>b,贝!B.若a>b,贝（

ab

C.若ad>b*,则D.若a>b,则/

【答案】C

【分析】根据不等式的性质，对四个选项一-验证：

对于A：利用不等式的可乘性的性质进行判断；

对于B：取〃=1,。=-1进行否定；

对于C：利用不等式的可乘性的性质进行证明；

对于D：取。=1力=-1进行否定.

【详解】对于A：当。>立时,若取c40,则有以Wbc,故A不正确;

对于B：当时，取a=l1=-1时，有故B不正确；

ab

对于C：当改2>从2,两边同乘以二，则故C正确；

C

对于D：当a>b,取时，有°2=/.故D不正确.

故选：C.

【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；

（2）判断不等式成立的解题思路：

①取特殊值进行否定：②利用不等式的性质直接判断.

6.（2022・全国•高一课时练习）下列说法正确的为（）

A.x与2的和是非负数，可表示为“x+2>0”

B.小明的身高为X,小华的身高为y,则小明比小华矮可表示为“x>y”

C.一ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a,b,C,则可表示为“”+方>c,且“+且b+c、>a”

D.若某天的最低温度为7℃,最高温度为13℃,则这天的温度r可表示为“7℃<f<13七”

【答案】C

【分析】ABD选项，利用不等式表达不等关系均有错误，C选项为正确表达.

【详解】对于A,应表示为“x+220”，

对于B,应表示为“x<y”，

对于D,应表示为“7℃4f413C”,

故A,B,D错误.

故选：C.

7.（2021.全国•高一期末）若实数a,b,c满足等式2右+3|6=6,46-91bl=6c,则c可能取的最大值

为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】解出夜、1。1的二元一次方程，然后利用非负性来确定c的取值范围即可求解.

【详解】解：由题意得：

2G+3网=6&=二（。+3）

46一咽=6c=同=|（2_c）

又•.&=|（c+3）20,且|6|=|（2-c）20解得：-34cW2

故c可能取的最大值为2.

故选：C

8.（2021・全国•高一课时练习）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六,

买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576,买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单

位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个

问题中大竹子每根的单价可能为（）

A.6钱B.7钱C.8钱D.9钱

【答案】C

【分析】根据题意设买大竹子x,每根单价为机，可得576=/nr+（78-x）（帆-1）,山0VxV78,解不等式

组即可求解.

【详解】依题意可设买大竹子x,每根单价为加，

购买小竹子78-x,每根单价为m-1,

所以576=?nr+（78-x）（机一1）,

即78/〃+x=654,BPx=6（109—13w）,

因为04x478,

-109

J109-13^>096,/09

所以做10973回478n匠加FF，

根据选项》i=8,x=30,

所以买大竹了3。根，每根8元.

故选：C

【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.

二、填空题

9.（2022.全国•高一专题练习）已知0<x<4,0<y<6,则2*-y的取值范围是

【答案】-6<2x-y<8

【分析】根据不等式的性质即可求解.

【详解】解：因为0<x<4,0<y<6,

所以0<2x<8,-6<-y<0,

所以-6<2x-y<8,

故答案为：-6<2x-y<8

10.（2021・广西・玉林市第十一中学高一阶段练习）^-2<x+y<2Ji-l<x-y<l,贝Uz=4x+2y的最大值

是.

【答案】7

【分析】把z=4x+2y表达为x+y与x—y的线性关系，结合-2<x+yV2与-14x-y41求出最大值.

,、，、/、,、[a+i>=4[<2=3

【详解】4x+2y=a（x+y）+6（x—y）=（a+b）x+（a-3）y,解得：

即4x+2y=3（x+y）+（x-y）,因为一2cx+y42且一1,所以一6<3（x+y）W6,故

-7<3（x+y）-f-（x-y）<7,故z=4x+2y的最大值为7

故答案为：7

11.（2021•海南•彳詹州川绵中学高一阶段练习）已知-l<x<4,2<y<3,则z=2x-3y的取值范围是

【答案】（—11,2）

【分析】根据不等式的性质可求出.

【详解】因为所以-2<2x<8,

因为2<y<3,所以一9<-3y<-6,

则-11<2x-3y<2,所以z=2x-3y的取值范围是（一11,2）.

故答案为:（-11,2）.

12.（2021.全国•高一课时练习）某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得一2分，

不答得零分.某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关

系：.（不用化筒）

【答案】5x-2（19-x）>80,xeN'

【分析】设这个学生答对了x道题，则答错（20-1-x）道题，根据得分=5x答对题目数Jx答错题目数结合得

分在80以上，即可得出关于x的一元一次不等式.

【详解】这个学生至少答对x题，则答错（20-1-x）道题，由得分规则成绩不低于80分，即

5x-2（19-x）>80,xeN\

故答案为：5x-2（19-x）>80,xwN"

13.（2022.全国•高一课时练习）若l<a<3,2<b<5,则2a-3A+1的取值范围为.

【答案】

【分析】根据4b的范围求出2a,-36的范围，再根据不等式的同向相加性质即可求得2a-36+1的范围.

【详解】解：因为1<。<3,所以2<2"6；

又因为2<b<5,所以一15<-3人<-6,

所以—12<2a-3b+1<1.

故答案为：（一12,1）.

三、解答题

14.（2021・全国•高一课时练习）证明：c<b,b<a^>c<a.

【分析】根据同向不等式的可加性证明即可.

c<h^>c—h<0]

【详解】证明：，，八卜n（c—0）+g-a）<0=c—a<0nc<a.故得证.

b<a^>b-a<0]

15.（2022•全国•高一专题练习）己知a<6<0,求证：a1>b2.

【分析】利不等式的性质证明即可

【详解】因为a<6<0,

所以/>〃/,>（）,ab>b2>0<

所以

16.（2021・全国•高一专题练习）（1）已知a>6,c，<d,求证：a-ob-d；

（2）已知4<。<10,2<6<4,求£的取值范围；

b

（3）已知1<。一6<2,2<。+2人<4,求4〃一b的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）1<-<5；（3）5<4a-b<l0.

h

【分析】（1）根据不等式的性质可证明该不等式.

（2）先求出，的范围，从而可求?的取值范围.

bb

（3）根据4々-匕=3（a-b）+（a+抄）可求4Q—b的取值范围.

【详解】（1）因为"所以A-c>一d,则a-c>Z?—d.

(2)因为4<a<10,2v/?<4,所以一<：<一,

4b2

所以l<〃x1<5,所以1<@<5.

bb

(3)已知［l<a-b<2,2<a+2b<4,

因为4々一。=3（々一/7）+（。+2/?）,所以5<4。一/?<10

17.（2022・全国•高一课时练习）已知12v〃v60,15</?<36,求。一如，丁的取值范围.

b

【答案】》的取值范围是（《）,30）,牛的取值范围是（|,8）.

【分析】根据题意可得-72<-26<-30,进而得到a-26的范围，再根据分数的性质可得学的取值范围.

b

【详解】因为15<匕<36,所以一72<—2b<—30.

又12<a<60,

所以12-72<a-2Z;<60-3(),

即一60<a一处<30.

因为12<a<60,所以24<2"120,

因为15336,所曝qq，

—242a120

所以「<丁<二，

36b15

呜<<8.

所以»的取值范围是（-60,30）,年的取值范围是8

'【能力提升】

一、单选题

1.（2021•福建福州•高一期中）若a,b,C£R,则下列命题正确的是（）

A.若a>b,则B.若a>b,贝IJQ/A8C?

ab

一什,z.ri.ibc一H,naa+c

C.右a>b>c>0,贝!J->------D.a>b>c>Q,则rlll丁<----

a-ba-chh+c

【答案】C

【分析】根据不等式的性质或赋值逐项判断即可.

【详解】对卜A选项：—=—■—，当。</?<0时，ob>0fh—a>0i则————>0,—>—,故A

ababababah

选项不正确;

对于B选项：当。=0时，ac2=bc2，故B选项不正确；

对于C选项：当a>6>c>0时，a-c>a-b>0,—>--—>0,又二b>c>0,-',

故C选项正确；

,.3T々a+ca(b+c)-(Q+c)bab^ac-ab-bcc(a-b)

对十D选项：----=V>Zx=-777—；—=777V，

bb+cb\b+c)b\b+c)Z?(/?+c)

a+C

a>h>c>01:.a-b>0,b+c>0»:.—~>0t.@〉：+♦,故D选项不正确；

bb+cbb+c

故选：C

2.(2021•云南・昆明一中高一期中)下列不等式：

@—<—(d!>Z?>c>0)；

ah

②一,----->-(6t,Z?,/n>0)；

btmb

③(等J(诉R)；

@a+b<J2(42+尸)(a,beR)

其中恒成立的有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】对于①，利用不等式的性质可得解;对于②，利用作差法可知警-2=鬻二4,只入〃时，瞥★

成立；对于③，利用作差法知31一(土^[=止心上之。即可判断；对于④，利用③的结论结合不等式

2I2J4

的性质可判断；

11

【详解】对于①，・・・a>〃>0，・••一<:，又c>0,故①恒成立；

abab

a+matn(b-a\tn_

对于②，-----T=T77vQa，4加>0,,但〃一a符号不确定，当…时，

b+mbb(b+ni)b[b+m)

等4(a/，">0),故②不恒成立：

b+mb

又寸于.③/+"(6/+/?A2tz2+2J?~—ci2—b2—2cibcr+力-2cib(4—b)〉..+故

③恒成立;

对于④，由③知包手士（岁j,.■-2（a2+b2）>（a+b）',两边同时开方，可得

，2（“2+名）>a+b,故④恒成立；

故恒成立的结论是①③④

故选：B.

3.（2022.全国•高一课时练习）已知实数x,y满足-44x-yMT,-l<4x-y<5,则z=9x-y的取值范

围是（）

A.{z|-7<z<26}B.{z|-l<z<20}

C.{z[4<z<15}D.{Z|1<2<15）

【答案】B

o5

【分析】令加=%一儿〃=4x-y,可得z=9x-y=]〃-§”，再根据利〃的范围求解即可.

n-m

X=

­T«5

【详解】令加="一丁，n=4x-y,则{,,所以z=9x-y=—〃一二根.因为-4<机工一1,所以

n-4m33

1,3

55702Q40

—W—m<—.因为-1V〃V5,所以—<—n<—,所以—1VZV20.

333333

故选：B

4.（2022•全国•高一课时练习）“，b,c,deR,设$=•7++~^―+—^—,则下

+a+b+d；b+c丁+a,c+d+bd+a+c

列判断中正确的是（）

A.0<S<lB.3<S<4C.2<S<3D.1<5<2

【答案】D

【分析】通过凑配构造的方式，构造出新式子，且可以化简为整数，然后利用放缩思想得到S的范围.

【详解】解：.b,c,d/,S=—J+T—+—2+,d,

a+b+db+c+ac+d+ba+a+c

abcd

So>---------1-----------1-----------1----------=1；

a+b+c+da+b+c+do+A+c+da+b+c+d

「a+cb+dc+ab+d

S<---------+---------+---------+---------=2,

a+b+c+da+b+c+da+b+c+da+b+c+d

/.1<S<2.

故选：D

5.(2022・全国•高一课时练习)已知x,V,z为正整数，x<y<z,则方程！+1+■!■=:的解得个数为

xyz2

()

A.8B.10C.IID.12

【答案】B

【解析】首先根据题中所给的条件，可以断定3WxW6,之后对x=3,4,5,6分别求解，得到结果.

【详解】因为:MJ+I+'W。，所以3«xW6,

2xyzx

当x=3时，则1+—=)，即(y-6)(z-6)=36,

yz6

可得(y,z)可取(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)；

当x=4时，则(y—4)(z—4)=16,

可得可z)可取(5,20),(6,12),(8,8)；

当X=5时，则an'+'wZ,解得孚，y=5或6,

10yzy3

进而解得。,丫")为(5,5,10)；

当x=6IJ「贝iJ(y-3)(z-3)=9,可得(y,z)为(6,6)；

所以方程一+—+-=：的解的个数为5+3+1+1=10,

xyz2

故选：B.

【点睛】该题考查的是有关根据题中条件，判断方程根的个数的问题，在解题的过程中，注意结合不等式

的性质，求得某个变量的取值，分类讨论求得结果.

二、多选题

6.(2021•广西•南宁市东盟中学高一期中)下列命题为真命题的是()

A.若，“，>?、,则”>力

c+1c+1

B.若2<"3,-2<5<-1,则3<a—b<5

C.若"回，则/<从

D.若c>a>O>0,贝!|一二一•>..-b一

c-ac-b

【答案】ABD

【分析】利用不等式的性质可判断ABD选项；举反例可判断C选项.

【详解】A选项，不等式工两边同乘02+1>0,得a>b,为真命题.

c+1c+1

B选项，则1<-匕<2,利用同向可加性，可知3<。-匕<5,为真命题.

C选项，取。=-3*=1,满足4<网，但/>〃，为假命题.

D选项，c>。>力>0,.,.<:=/?>。一。>0,故—-—，又利用同向可乘性，可知a>°

c-ac-bc-ac-b

为真命题.

故选：ABD

7.（2021•新疆•乌鲁木齐市第70中高一阶段练习）已知实数x,y满足—3<x+2y<2,-l<2x-y<4,则

（）

A.-1<x<2B.-2<y<1C.-3<x+y<3D.-1<x-y<3

【答案】ABD

【分析】由题意结合不等式的性质求解即可

【详解】对于A：因为-3<x+2y<2,-l<2x-y<4,

所以-2<4x-2y<8,

则-5<5x<10,BP-l<x<2,故A正确：

对于B：又-4<-2x-4y<6,-l<2x-y<4,

所以-5<-5y<10,即故B正确；

对于C：x+y=3（x+2y）；（2x-y）«_2,2）,故C错误；

对于D：X—y=（x+2y）；3（2x-y）.㈠⑶,故D正确；

故选：ABD

三、填空题

8.（2021・全国•高一课时练习）设a/eR,则/+从+222a+2。中等号成立的充要条件是.

【答案】a=l且。=1.

【分析】利用充分、必要性的定义判断题设不等式等号成立的充要条件即可.

【详解】由题设，a2-2a+\+h2-2h+i=（a-l）2+（h-l）2>0,

...要使等号成立，则a=l且b=l,

当。=1且Z?=1时，有+〃+2=4,2。+2b=4,即/+M+2=2a+2b成立.

综」二，a=\口2=1是/+/+222a+2b中等号成立的充要条件.

故答案为：a=l且6=1.

9.（2020・江苏•高一单元测试）已知实数。>〃>（）,且满足。“=,则a+26=_______.

a-b

【答案】2垃

【分析】先分析当时，推出。26+一二>46,不符合题意；再分析0<。<2时，将已知条件变形为关于

a-b

b的一元二次方程，即(42-4)加+(44-0加-1=0,由已知该方程有解，可求出。的值，代入求出6的值，

进而求得结果.

【详解】当a22时，a2b>4b，又a>b>0,：•―!―>0,贝ija”+—!-；■>46,不符合题意；

a-ba-b

当0<a<2时，a2h-\——!—=4hna2h(a-h)-4b(a-h)+1=0

a-b

整理成关于匕的一元二次方程，即(Y-4)匕2+(4"。3)。-1=0①

判别式A=(4a-a3)2+4(a2-4)=a6-8a4+20a2-16=(a2-2)2(a2-4)

当0<a<2时，(。之一2)220,〃2-4<0,.'.A<0

要使方程有解，则/<0不符合，.•.△=(),即(。2-2)2(/-4)=0,B|Ja2-2=0

又0<a<2,./=也

将〃=&代入方程①得，—2/+2后-1=0,解得：b=^

:.a+2b=y[2+2x^=2y/2

2

故答案为：20

【点睛】关键点点睛：本题考查利用方程有解求参数，解题的关键是先分析“22不符合题意，再看0<a<2

时，将已知条件转化成关于b的一元二次方程，利用方程有解求参数，考查学生的转化与化归能力与运算求

解能力，属于较难题.

10.(2020•浙江•高一期中)设xeR,若x>0时均有[(“一1)了-1](产-ar—l)20,则。=.

【答案】43

2

【解析】考虑〃=1，a<\,a>l三种情况，设〃x)=(a—l)x—1,g(x)=I-以-1,根据图像知

【详解】[3—l)x—1](/—以一1)20,

当。=1时，-(x—工丫+^^之，不满足题意;

I2J44

当时，X—时，ar—1—>—oo,X2—ar—1—>+oo,不满足题意;

当”>1时，设“X)=(〃—l)x—l,g(x)=x2-ar-l,函数均过定点(0,—1),

函数“X）与工轴的交点为4（，了0）,如图当直线绕（0,-1）旋转时，只有当〃x）与g（x）都交于x轴时才能

满足〃司,8（刈20，故8（同=*2-5-1过点4（/\,。],即（一1~^-4一^]-1=0,解得"或a=0（含

去）.

3

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题考查了不等式恒成立问题，解题的关键是分类讨论a=l,a<\,”>1三种情况，

构造函数将问题转化为两个函数值正负的讨论，考查学生的分类讨论思想与数形结合能力及运算求解能力，

属于中档题.

四、解答题

II.（2022.全国•高一专题练习）（1）若儿一“叱0,bd>0,求证：土成三出■:

bd

（2）已知c>a>b>0,求证：0>:

c-ac-b

（3）观察以下运算：

Ix5+3x6>lx6+3x5,

Ix5+3x6+4x7>lx6+3x5+4x7>lx7+3x6+4x5.

①若两组数a/,。2与历,岳，且右bi@2,则如历+。2历切血+。2历是否成立,试证明；

②若两组数。2,与历,②历且。/金2力3,力@2@3,对。力3+。2岳+〃3口,。/历+。28/+。3历,〃/历+

。2历+。必3进行大小顺序（不需要说明理由）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①成立，证明见解析；②卬。3+。2岳+〃3力飞必2+s历

+a3b3&iibi+a2b2+a3b3

【分析】（1）（2）根据不等式的基本性质即可得证；

（3）①根据已知条件结合不等式的性质即可得出结论;

②，根据已知条件直接写出结论即可.

【详解】证明：（I）因为取＞0,所以上＞0,

ba

乂be-adN4,B|Jbc＞ad.

所以$4,所以三+1q+1,即竽；

dbdbbd

（2）因为c＞a＞h＞0,所以。一。＞0,。一匕＞0,。一。＜。一6,—

ab

所以匕,

ab

所以，_＞占；

c-ac-b

（3）解：①成立，证明如下：

aibi+a2b2-(aibz+azbi)=ai(bi-b2)+42s2-6/)=3l02)(历一岳)，

又a/%2,bi<b2yA(a1—ai){bi-fe)>0,B|Jaibi+a2b2>aib2+a2bi；

@aib3+a2b2+a3bi<cub2+a2bl+a3bMiib/+a2b2+a3b3

12­（2⑼.全国•高一课时练习）若小（。+8）,则肃+刍与

⑴若存在常数〃,使得不等式*T熹扁++对任意正数6恒成立,试求常数用的

.,ab

值，并证明不等式:M<--------+--------

a+2b2a+b

（2）证明不等式:------1------K------1-----

3a+2b2〃+3bla+3h3。+2b

2

【答案】证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）令“=6即可求解M，利用不等式性质即可证明不等式；（2）从原不等式入手，对原不等式变形,

通过分类讨论。与〃之间的大小关系即可证明.

222

【详解】证明：（1）当时，故M=§,

由‘一+上=(“+2-2瞋做辿-幺=2-2(上+3),且，+上«2

a+2b2a+ba+2b2a+ba+2b2。+b2a+ba+2b3

2,ab

利用不等式性质可得,-K-----1-----

3a+2b2a+b

⑵欲证二^十=^工二^+=^

3a+2Z?2ci+3b2a+3b3a+2b

即告，慕

只需证明引一皿＜皿一引

①当a="寸，显然不等式卢成立,

3a+2b2a+3b

n—bn—b

②当bR'j',人'妨令a>b,即。一。>0，故------<-------<=>3。+2人之2。+3人，

3a+2b2a+3b

由于a>b,显然3〃+2/?22。+3b成立,

故原不等式—+蠢'五%+占成立;

ab,ab

同理，当。时，原不等式---+------<------+----也成立.

3a+2。2。+3b2a+3b3。+2b

综上所述，对于任"小。+8)，—+—U成立.

13.(2021•辽宁•建平县实验中学高一阶段练习)(1)比较V与炉T+i的大小;

(2)已知a>Z?>c,月.Q+/;+C=0,

①求证：—^―>-^―•

a-cb-c

②求£的取值范围.

a

【答案】(1)当x=l时，/=犬_》+1,当x>l时，xW-x+1,当x<l时，xi<x2-x+\；(2)①证明

详见解析；®-2<-<0.

a

【分析】(1)对两式作差，然后因式分解并分x=l,X>1,X<1三种情况讨论，即可求解；

(2)①由a>6>c且a+b+c=0,可得c<0,再结合不等式的基本性质，即可求解；

②由题意，W«>0,c<0,又2=—£_1<1即可求解.

aa

【详解】解：(1)x3-(x2-x+l)=(x3-x2)+(x-l)=(x2+l)(x-l),

当X=1时，(x2+l)(x-l)=0,故丁=/一X+1,

当X>1时，(/+1)(工一1)>0,故JAY—X+I,

当xvl时，(x2+l)(x-l)<0,故/〈工2一x+1；

(2)①证明：a>/?>c且。+。+。=0,

/.c<0,

_•a>b>c,

■.a-ob-c>0,两边取倒数得」一<」一，

a-cb-c

又：c<0.

从而得证.

②，a>Z?>c且。+匕+c=0,

〃>0,c<0,

所以£c<0,h£<i,

aa

hchc

因为a+6+c=0,所以1+巳+上=0,即2=-上一1,

aaaa

所以-即£>-2,

aa

综上，-2<—<0.

a

14.(2022•江西・景德镇一中高一期末)若对任意使得关于无的方程以2+法+。=()(〃。0)有实数解的的儿c

均有+。一。『+(c-a『>kc2,求实数k的最大值.

【答案】J9

O

hc

【分析】设方程⑪2+灰+c=()的两根为私,由韦达定理得小+〃=一一，/7m=上，不等式变形为

aa

心(0"+s/+(…)2,化为关于血〃的表达式，再变形得最值.

C

bc

【详解】设方程加+陵+。=0的两根为利，〃，则m+〃=一一，mn=-,