北京市东城区九年级数学上册期末试卷（含答案解析）

北京市东城区九年级数学上册期中试卷

（含答案）

（时间：120分钟满分：120分）

一、选择愿（每题3分，共24分）

1.若反比例函数的图象经过点（3,-2）,则该反比例函数的表达式

为《）

A.y=：B.y="C.y=gD.y=-

2.已知一个扇形的半径是】，圆心角是120°,则这个扇形的弧长是

（）

7Tc7T、2加

A.-T-B.nC.—［）.—

OJJ

3.如图.为了测量某棵树的高度，小刚用长为2»的竹竿作测量工具，

移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时,

竹竿与这一点相距6m,与树即15m,那么这颗树的高度为（）

1.如图.AB是00的直径，点C,D在00上.若NABO=55°,则/

BCD的度数为（）

A.25*B.30vC.35°I).40°

5.二次函数y=ax'+bx+c（a^O）的图象如图所示，一元二次方程

ax'+bx+c=O（a^O）的根的判别式为△=b・4ac,则卜列四个选项正

确的是（）

A.b<0,c<0,△>0B.b>0,c>0,△>€

C.b>0,c<0,A>0D.bVO,c>0,A<0

6.如图.。0的步径为4,将O。的一部分沿着AB翻折，劣通恰好

经过例心0,则折痕AB的长为（）

B.25C.6D,4V3

7.如图,在由边长为I的小正方形组成的网格中，点A,B,7都在

小正方形的顶点上，则cosNA的值为（

A.平B.2C.坐0.1

8.如图,在RtZkABC中.ZA=90°,AB=AC=4.点E为KtzXABC边上

一点，点E以每秒1个单位的速度从点C出发，沿着CfA—B的路径

运动到点B为止，连接CE,以点C为圆心，CE长为半筏作0aO€

与线段BC交于点D,设扇形隙面积为S,点E的运动时间为t,则

在以卜四个函数图象中，最符合扇形面枳S关于运动时间t的变化趋

势的是（）

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9.请写出一个顶点在x轴上的二次函数解析式：.

10.已知点（xnyi）,（x”y2）在反比例函数y=（上，当力〈为〈0

时，X）,X2的大小关系是.

11.如图，角a的一边在x轴上,另•边为射线OP,点P（2,2g

则tana=.

12.如图，点D为△ABC的AB边上一点，AD=2.DB=3.若/B=/ACD,

段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）

14.二次函数y=-x、bx+c的部分图/如图所示，由图象可知,不等

式-x+bx+c<0的解集为.

15.己知。0的半径为1,其内接△ABC的边AB-V2.则NC的度数

为.

16.阅读下面材料：

在数学课上,老师提出如卜问题:

尺规作图：作已知角的角平分线.

已知I如图.ZBAC.求作】NBAC的角平分线AP.

小霞的作法如下:

(1)如图.在平面内任取一点0;

(2)以点。为圆心，A0为半径作圆，交射线ABT•点D,交射线M

于点E：

(3)连接DE,过点0作射线0P垂直于线段DE,交00于点P：

(1)过点P作射线AP.

幺

飞i0

所以射线AP为所求.

老加说：“小孩的作法正确.”

请回答：小骸的作图依据是______.

三、解答题(本题共72分)

17.(6分)如图，在平面直角坐标系在y中,一次函数产・2x的图

象与反比例函数尸《的图象的一个交点为A(-1,n).求反比例函

数y=5的在达式.

18.(6分)已知.次函数yxTx+3.

(1)用配方法将y=x3+4x+3化成y=a(x-h)2+k的形式;

(2)在平面H角坐标系xOy中，画出这个-次函数的图象.

19.(6分)已知：如图，在△ABC中,D,E分别为AB、AC边上的点,

11AD-|AE,连接DE.若AC=3,AB=5.求证：ZkADEsZiMB

20.（6分）已知：如图,在aARC中，AR=AC=8,ZA=120°.求BC

21.(5分)已知：如图，€)0的r(径AB的长为5cm,C为00上的一

个点，/ACB的平分线交。0于点D,求RD的长.

22.（5分）在一次社会大课堂的数学坡践活动中,王老师要求同学

们测尽教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的

步骤及测用的数据如F：

（1）在地面上选定点A,B,使点R,B,D在同一条直线上，测量出

A、B两点间的距离为9米；

（2）在教室窗户边悔上的点C点处，分别测得点A,B的俯角/

ECA=35°,ZECB=45°.请你根据吸上数据计算出CD的长.《可能用

到的参考数据：sin35°a0.57cos350*0.82tan35'=0.70）

23.（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在

边AB上选取一点M,分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板

料.当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？

24.（5分）已知：如图,AB是半圆0的立径，D是半圆上的一个动

点（点［）不与点A,R市:合）,ZCAD=ZB

（1）求证।AC是半圆0的切线：

⑵过点。作BD的平行线，交AC于点E,交AD于点F,且EF=4,

25.（5分）如图，RB=6cm,ZCAB=256.P是线段AB上•动点，过

点P作PM1AB交射线AC于点M,连接MB,过点P作PN1MB于点N.设

R，P两点间的距离为xcm,P.A两点间的距离为ycm.（当点I，与点

A或点B响合时，y的他均为0）

小海根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律

进行了探究.

下面是小海的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、曲图,测量，得到了x与y的几组值，如下表：

x/c0.00.61.01.52.02.73.03.54.04.24.95.56.0

m00005000000

y/c0.00.20.40.71.21.31.31.31.00.40.0

ra097007760090

（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）

（2）建立平面直角坐标系.描出以补全后的表中各对对应值为坐标

的点,画出该函数的图象।

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，，之时应的x

值的个数是

26.（7分）已知一次函数y尸分-1,二次函数疔--rix+4（其中D

>4).

（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式衣示）；

（2）利用函数图象解决下列问题：

①若m=5,求当%>0且y/WO时，白变量x的取色范围：

②如果满足姓>0且y：W0时门变量x的取值范闹内有且只有一个照

数，直接写出m的取值范围.

27.（8分）已知：如图，AB为半例0的宜径，C是半恻0上•点，

过点C作AB的平行线交00于点E,连接AC、BGAE.ER.过点C

作CG_LAB于点G,交EB于点H.

（1）求证：ZBCG=ZEBG：

（2）若sin/CAB」啥.求■的值.

28.（8分）•股地,我们把半径为1的圆叫做单.位圆，在平面直角

坐标系xoy中.设单位A的圆心与坐标原点0重合,则单位圆与x轴

的交点分别为（1,0）,（7,0）,Oy轴的交点分别为10,】），（0，

在平面百角坐标系x（）y中，改锐角a的顶点与坐标断点0束合，a的

一边与x轴的正半轴重合，另一•边与雌位例交于点P（xi,y,3,旦点

P在第一象限.

<1）x尸（用含a的式子表示>：y.=（用含a的式子

表示）；

（2）将射线0P绕坐标原点0按逆时针方向旋转90°后与单位圆交

「点Q（X”y：）.

①判断上与X；的数量关系，井证明：

②yjy；的取值范围是：.

答案

一、选择题(每题3分，共24分)

1.若反比例函数的图象经过点(3,-2),则该反比例函数的衣达式

为()

A.y--B.y=--C.y=­[).y=--

XXXX

【分析】函数经过一定点，将此点生标代入函数解析式y=§(kRO)

即可求得k的值.

【解答】解：设反比例函数的解析式为y=§(kfO),函数的图象经

过点(3,-2),

・••-2=4，得k=-6,

・•.反比例函数解析式为y=-1.

故选IB.

【点评】本题考行了待定系数法求反比例函数解析式：设出含有特定

系数的反比例函数解析式y=§(k为常数.k¥0)：把已知条件(自

变度与函数的而应值)代入解析式，得到待定系数的方程：解方程,

求出待定系数：写出解析式.

2.已知一个扇形的半径是1,圆心角是120°,则这个扇形的弧长是

()

7T

AA.-B.».n„€公.穴—1【、)•­2j8-

【分析】根据弧长公式1=啬进行解答即可.

【解答】就：根据瓠长的公式1=畸，

故选：b.

【点评】本翘考查了弧长的计算,熟记瓠长公式即可解答该飕.

3.如图.为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测域J：具，

移动竹竽，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，

竹竿与这一点相距6m,与树即15m,那么这颗树的高度为()

【分析】先判定△OAB和△OCD相似，再根据相似三角形对应边成比

例列式求解即可.

【解答】解：如图,

VAB10D,CD1OD,

，AB〃CD.

/.△OAB^AOCD,

VAB=2m.0B=6m,01)=6*15=21m.

.2_6

'*CD"21'

解得CD=7m.

这颗树的高度为7m,

故选：B.

【点评】木题考杳r相似三角形的应用，读懂超目信息,确定出相似

三角形是解题的关键.

1.如图，AB是。0的直径，点C,D在。0上.若NABD=55。，则/

BCD的度数为（）

A.25,瓦30°C.35°0.40°

【分析】先根据圆周角定理求出NRDB的度数，再由立角三角形的性

艇求出NA的度数，进而可得出结论.

【解答】解：连接AD,

•；AB是00的直径,

ZADB=90°.

VZABD=55°,

AZDAB=90°-55°=35°,

AZliCD-ZI)AB=35°.

故选：C.

B

【点评］本题考查的是闽周角定理，熟知“径所对的楣周角是直角是

解答此题的关键.

5.二次函数y=ax'+bx+c<a^0)的图象如图所示，一元二次方程

ax%x+c=O(a#0)的根的判别式为△=£・4ac,则下列四个选项正

确的是()

A.b<0,c<0,A>0B.b>0,c>0,△>()

C.b>0,c<0,A>0D.b<0,c>0,△«)

【分析】根据抛物线的性质即可求出答案.

【解答】解：由图型与y轴的交点位置可知：c<0.

由图象与x轴的交点个数可知：△>().

由图象的开口方向与对称轴可知：a>0,£>。・

从而可知；b<0»

故选：A.

【点评】本题考音二次函数的性质，解题的关键是熟练运用•.次函数

的图象与性质，木题属于基础题型.

6.如图，00的半径为4,将0。的一部分沿着AB翻折，劣菰恰好

经过圆心0,则折痕AB的长为()

B.2V3C.6D.4V3

【分析】过。作垂直于AB的半径0C,设交点为I）,根据折登的性施

可求出01）的长：连接0R,根据勾股定理可求出AD的长，由垂径定

理知AB=2AD,即可求出AB的长度.

【解答】解：过。作OC_LAB于D,交。。于C,连接0M

RtAOAD4,.0D=CD=10C=2.0A=4,

根据勾股定理，得：AD^OA^D^VS.

由垂径定理得，AB=2AD=45.

故选：D.

【点评】本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质，掌握翻转变换

是一种时称变换，折性前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应

边和对应角相等是解题的关健.

7.如图.在由边长为1的小止方形组成的网格中，点A,»,C都在

小正方形的顶点上，则cosNA的值为（)

A.芈B.2C.坐0.1

【分析】过B作BD_LAC于D,根据勾股定理得到AB的长,然后由锐

角三角函数定义解答即可.

【解答】解：如图，过B作BD_LACiD,则点D为格点，A&加，

由勾股定理知：AB'=3、1'=1O,

/.AB=VTO.

•,.RtZsADB中.(?”/人二弟=您=坐.

ABV105

故选：C.

【点评】本胭考查了锐角三角函数的定义，锐角A的邻边h与斜边c

的比叫做/A的余弦，记作cosA.

8.如图，在RiAutBC中，4=90°，出=AC=4,点E为RtZkABC边上

一点，点E以每秒1个单位的速度从点C出发，沿着C-A-B的路径

运动到点B为止.连接CE,以点C为同心，CE长为半径作0aOC

与线段BC交于点D,设扇形DCE面积为S,点E的运动时间为I,则

在以下四个函数图象中，最符合扇形面积S关于运动时间t的变化趋

势的是(>

B

【分析】根据RLAARC中，/A=90°,AR=4C=4,点E以双杪1个单

位的速度从点C出发，沿着C-A-R的路彳仝运动到点B为止,可得函

数图象光上升再下降，根据当0WIW4时，扇形面积S=

三2,可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部

就3"6。二8

分,故B选项借误；根据当4VtW8时，随着1的增大，扇形的半径

增大,而扇形的圆心角减小，可得后半段函数图象不是抛物线，故C

选项错误：再根据当t=8时，点E、D重合.崩形的面积为0.故D

选项错误：运用排除法即可得到结论.

【解答】解：；RtA>ABC中，NA=90°,AB=AC=4,点E以每秒】个

单位的速度从点C出发，

当0WtW4时，扇形面积4.;名/,

OOUo

前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故B选项错误：

当4VtW8时，随着1的增大，国形的半径增大，而扇形的网心角收

・••后半段函数图象不是抛物线，故C选项借误;

•.•当1=8时•点E、D重分.

二扇形的面枳为0.故I）选项错误：

故选：A.

【点评】本咫上要考查了动点问鹿的函数图象,用图象解决问出时,

要理清图象的含义即会识图.函数图象是典型的数形结合，图象应用

信息广泛，通过育图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问，虺，还

可以提高分析问题、解决问题的能力.

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9.请写出一个顶点在x釉上的一次函数解析式：y=2«x+l）：（答

案不唯一）.

【分析】顶点在x轴上的函数是y=a（x-h>'的形式，举一例即可.

【解答】解：顶点在x轴上时，顶点纵坐标为。•即k=0,例如y=2

（x+1）J（答案不唯一）

【点评】顶点式y=a（x-h）+k,顶点坐标是（h.k）.此题考查了

其中一种函数，要充分理解各函数的关系.

10.已知点（丸，yj,（Xi,y：）在反比例函数y=Y-t»当y><y.<0

忖，X（.X2的大小关系是Xi>X?.

【分析】先根据反比例函数y=《中k=2可知此函数的图象在一、三象

限,再根据力<力VO,可知A、B两点均在第三象限，故可判断出

x,,4的大小关系.

【解答】解：.：反比例函数y=9中k=2>0,

・••此函数的图象在•、三象限，

Vyi<y?<0.

，A、B两点均在第三象限，

•・•在第三象限内y随x的增大而减小,

/.X|>X：.

故答案为X|>XS.

【点评】木趣考态的是反比例函数图象I•.点的坐标特点,先根据题意

判断出反比例函数图象所在的象限是解答此胤的关键.

11.如图,角a的一边在X轴上，另一边为射线明点P12,2V3).

【分析】如图作PE_Lx轴于E.根据tana=^计算即可.

【解答】解：如图作PEl_x轴于E.

.\0E=2.PE=2W，

•••tan2景竽=心

故答案为6.

【点评】本题考杳解直角三角形、锐角三角函数等知识,解题的关键

是熟练掌握三角函数的定义，屈于中学常名香型.

12.如图，点D为△ABC的AB边上•点，AD=2,DB=3.77ZB=ZACD,

则AC=Vlb.

【分析】由NB=NACD、ZA=ZA.可证出△ACDs/\ABC,根据相似三

角形的性旗得出告=碧，代入数据即可求出AC的值.

【解答】陋：:NB二/MD,ZAZA,

.•.△ACD^AABC,

•ACADu.jAC_2_

,*ABAC'12+3AC，

.\AC=V10j<AC=->/10(不合题意，舍去).

故答案为：V10.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性.质，根据相似三角形的性

质找出关于AC的方程是解题的关犍.

13.如图.AC.AD是正六边形的两条对角线,在不添加任何其他线

段的情况下，请写由两个关于图中角度的正确结论：(1)NBAC

ZBCA；(2)/DA-DE.

【分析】根据正六边形的特点可得到：因为图形是正六边形,所以

RB=BC,所以三角形ABC是等腰三角形,根据等腰二角形的性质可得

ZBAC=Z(O.因为EF〃AD,AF=EI),所以四边形ADEF是等腰梯形,

根据等腰梯形的性质可得ZDAF=ZAI）E.

【解答】解：山分析可知,两个关于图中角度的正确结论：（1）ZBAC=

ZBCA；（2）ZDAF=ZADIi.

故答案为：ZBAC=ZBCA；NDAF-NADE.

【点评】考杳r多边形内角芍外先，要结合题目中所提供的已知条件，

特别是该图形为正六边形，得出结论.

14.二次函《fcy=・x'+bx+c的部分图象如图所示,由图象可知,不等

式-x+bx+c<0的解集为xV-1或x>5.

【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与K釉的另一个交点坐标

为（-1,0）,然后写出抛物线在X轴卜’方所对应的自变量的范围

即可.

【解答】解：抛物线的对称轴为直线-2,

而抛物线与x轴的一个交点坐标为（5,0〉,

所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1,0）,

所以不等式・x、bx+cV0的解集为xV7或x>5.

故答案为xV-1或x>5.

【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图在宜

角标中的上下位置系自变量的取范,可作图利用点直观解也可把个函

数解析式列成不式求解.

15.己知00的半径为L其内接△ABC的边AB=«,则/C的度数为

45°或135°.

【分析】过圆心作A8的垂线，在构建的立角三角形中，易求得圆心

用NA0B的度数，由此可求出NC的度数.（注意NC所对的孤可能是

优弧，也可能是劣孤）

【解答】解：如图，连接OA、0B,过。作OD1AB于D.

在RcZM）AD中，AD=哼,OA=1.

・,.sinNAOD噜手，

AD2

.\ZA0D=45°，ZA0B=135a.

点C的位理有两种情况：

①当点C在如图位置时,ZC=yZAOB=45'；

②当点C在E点位置时，ZC=ZE=1806-45°=135*.

故答案为：45°或135，.

【点评】本题主要考杳/垂径定理以及解伐角三角形的应用.注意点

C的位置有两种情况，不要漏解.

16.阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如卜.问题：

尺规作图：作已知角的角平分线.

己知：如图，/BAC.求作：/BAC的角平分线AP.

小康的作法如下:

（1）如图.在平面内任取一点0：

（2）以点。为恻心,A0为半径作圆，交射线AB于点I）,交射线RC

于点E；

（3）连接叱，过点。作射线0P垂ft于战段DE,交O0千点P；

（4）过点P作射线AP.

所以射线AP为所求.

老师说；“小诙的作法正确.”

请回答：小语的作图依据是_（据垂直于弦的直径平分弦，并且平

分弦所对的两条弛：（2）同弧或等弧所时的I国周用相等：（3）用

平分线的定义.

【分析】根据作图的依据解答即可.

【解答】解：小鼓的作图依据是（1）垂农于弦的直径平分弦，并且

平分弦所对的两条弧：（2）同弧或等九所对的圆周角相等：（3）

用平分线的定义：

枚答案为：《】）垂直于弦的］1径平分弦，并且平分弦所对的两条通：

<2）同弧或等弧所对的圆周珀相等：《3）角平分线的定义

【点评】此题考查作用-复杂作图问题，关键是根据作图的依据解答.

三、解答题(本摩共72分)

17.(5分)如图,在平面直角坐标系xOy中.•次函数y=-2x的图

象。反比例函数y=§的图象的一个交点为A(-1,n).求反比例由

数y=k的表达式.

X

【分析】把A的坐标代入广-2x,求出n,得出A的坐标，再把R的

坐标代入反比例函数的解析式求出kUIJnf.

【解答】解：•・•点A(・1,n)在-一次函数y=-2x的图象匕

/.n=(-2)X(-1)=2,

・••点A的坐标为＜-1.2).

•・•点A在反比例函数y=§的图象上，

.*.k=(-I)X2=-2.

・•・反比例函数的解析式为尸

A

【点评】本题考古了•次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法

求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征.用特定系数

法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法.同学们要熟练掌握这

种方法.

18.(5分)已知二次函数yxTx+3.

(1)用配方法将y=x2+4x*3化成y=a(x-h)*k的形式：

（2）在平•面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图软.

【分析】（1）利用配方法易得y=<xi2）=-1,则抛物线的顶点坐标

为（-2.-D,对称轴为内线x=-2；

（2）利用描点法硒二次函数图象：

【解答】解：⑴y=«+4x）+3

=（x.4x+4-4）-<3

=（x=2）x-1：

（2）如图：

【点评】本题考查/二次函数的三种形式：•般式：ynx：+bx+c<a,

5

b,c是常数，aXO）：顶点式：y=a（x-h）+k（a,h,k是常数.H

HO）,大中（h,k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式

得到抛物线的顶点坐标为（h,k）：交点式：y=a<x-xj（x-xj（a,

b,c是常数，aWO）,该形式的优势是能fl按根据解析式得到抛物线

与x轴的两个交点坐标（X”0）,（x:,0）.也考查了二次函数图象与

性质.

19.（5分）已知,如图.在△ABC中,D.E分别为AB、AC边上的点.

a

fl.AD=-^AIi,连接DE.4AC=3,AB=5.求证:AADE^ZiACB.

3

【分析】根据已知条件得到，由于/A=NA,于是得到△&DEsZ^RCB：

【解答】证明：；AC=3,AR=5.AD=~AE.

.ACAB

,•矿而‘

VZA=ZA,

/.△ADE^AACB.

【点评】本题考杏了相似三角形的判定和性质.垂直的定义.熟练掌

握相似三角形的判定和性质是解题的关犍.

20.15分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8,ZA=120°,求BC

【分析】过点A作AD_LBC于D.解『（用三角形求出BD,利用等腰三

角形的性旗即可解决问题.

【解答】解：过点A作ADJ_B€于］）.

VAB=AC,ZBAC=120',

.*.ZB=ZC=30e,

BC=2BD,

在RlZXABD中，NADB：90°,NB=30",AB8,

_BD

cosBn^，

.•・BWABccs3(T=8X零=40,

/.BC=8V3.

【点评】本田考查等腰三角形的性鼠、解直角三角形等知识，解题的

关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考愿型.

21.(5分)已知：如图,O0的直径M的长为5cm,C为O0上的一

个点，ZACB的平分线交。0『•点D,求BD的长.

【分析】根据直径所对的圆冏角是直角可得/RCB=NADB=90°,再根

据角平分线的定义可得NDAC=NBCD,然后求出AD=BD,再根据等

腰直角三角形的性侦其解即可：

【解答】解：：钻为宜径，

/.ZAI)B=90",

VCD平分NACB.

AZACD=ZBCD.

•"AD=BD-

.*.AD=BD.

在等腰直角三角形ADB中.

BD=ABsin45°=5X^S=572.

i—

2

/.BD=^V2.

2

【点评】本侬考查了直径所对的例周角等F宜角，等腰直用三角形的

判定与性质，关键是根据直性所对的脚周角是直角可得/ACB=N

ADB=90°.

22.（5分）在一次社会大课:堂的数学实践活动中,王老师要求同学

们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长.小英测量的

步骤及测量的数据如下：

（I）在地面上选定点R，B.使点R.B,D在同一•条直线上，测量出

A、B两点间的距离为9米:

（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A,B的俯角N

ECA=35a,ZECB=45',请你根据以上数据汁算出CD的长.《可

能用到的参考数据：sin350-0.57cos350y0.82tan35°-

0.70）

（分析】设CD=x.在RiACDB中.CD=BD=x,在RtACDA中tanZCAD=

■，根据图中的线段关系可得；\D=AB+BD,进而可得9+，=信.再

AvUtI

解即可.

【解答】解：山题意可如：CDXADTD.

ZECB=ZCBI)=45",

NECA=NCAD-35°,

AB-9.

设CD=x,

•・•在RiZsCDB中，ZCI)B=90a.NCBD=45°,

.'.CD=BD=x,

•・•在RtZXCDA中，ZCI)A=90a,ZCAI>35",

••.tan/CAD嚼，

••赫高厂，

•：AB=9,AD=AB+BD,

•.•9+x=6，

解得x=21,

答：CD的长为21米.

BA

【点评】此题主要考簧了解直角三角形的应用.关键是读懂题意.把

实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.

23.（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板,在

边AB上选取一点M,分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板

料.当AM的长为何值时，截IR两块相邻的正方彬板料的总面积最小?

【分析】设AM的长为x米，则UB的长为（2・x）米,由题意得出

y=x;*（x-2）2=2<x-l）*2,利用二次函数的性质求解可得.

【解答】解：设AM的长为x米,则MB的长为（2・x）米，

以AM和UB为边的两个正方形面积之和为y平方米.

根据题意.y与x之间的函数表达式为y=r+<x-2）?=2（x-1）2+2,

因为2>0

于是,当x=l时，广仃最小值.

所以，当AM的长为1米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小.

【点评】本题考查了二次函数的最值，二次项系数a决定二次因数图

软的开口方向.①当a>0时，二次函数图象向上开U,函数有最小

值：②aVO时，抛物线向下开口，函数有最大值.

24.（5分）已知：如图・AB是半圆0的直径，1）是半圆上的一个动

点（点D不与点A,B重合），ZCAD=ZB

（1）求证：AC是半圆。的切线：

（2）过点0作BD的平行线，交AC于点E.交AD于点F,且EF=4,

AA6,求BD的长.

【分析】(1)经过半径的外端且垂直于这条半轻的H线是圆的切线.欲

证AC是半圆。的切线，只需证明/CAB=90°即可：

(2)由相似三角形的判定定理AA可以判定△AEFsaBAD：然后根据

相似三角形的对应边成比例,求得BD的长即可.

【解答】解：⑴:AB是半圆直径.

AZBDA=90'，

,-.ZB+ZDAIJ=90e.

又「/DACNB,

，NDAC+NDAB=90°,

即/CAB=90°,

，AC是半阅0的切缱.

(2)由题意知.OE/7BI),/DK00.

/.ZD=ZAF0=ZAFE=90,,

AOEIAI).

・・・/AFE=ND=NAF0-90°,AF="AD=3,

又•••AD=6

/.AE=3.

kVZB=ZDAE.

/.△AEFcoABAD,

.湍啮，而EE,

.43

•丁询’

解得

【点评】本题考传了切线的判定、相似三角形的判定与性质.要证某

线是圆的切线,已如此线过圆上某点.连接留心与这点（即为半径），

再证垂直即可.

25.（5分）如图,AB=6cm.NCAB=25‘，P是线段AB上一动点,过

点P作PM1AB交射线AC于点M,连接MB,过点P作PNJJ1B于点N.设

A,P两点间的距离为xs,P,N两点间的距离为yen.（当点P与点

R或点B垂合时，y的值均为0）

小海根据学习函数的经验，对函数y随向变用x的变化而变化的规律

进行了探究.

下面是小海的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图,测量，得到了x与y的几组值，如下表：

x/c0.00.61.01.52.02.73.03.54.04.24.95.56.0

m0001050009000

y/c0.00.20.40.71.21.21.31.31.31.00.40.0

Ill097007760090

(说明：补全表格时相关数值保留两位小数)

(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的K中各对时应值为坐标

的点，画出该函数的图象：

(3)结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之时应的K

值的个数是一2个.

【分析】(1)利用取点，测量的方法，即可解决问题:

(2)利用描点法，画出函数图象即可；

(3)作出内线广0.5与图象的交点，交点的个数是2个.

［解答］解：＜1)通过取点、画图、测量可得x=2.00cm时,y-0.91cm：

(2)利用描点法,图象如图所示.

()6

【点评】本题考查了动点向题的函数图象,坐标与图形的关系等知识,

解题的关键是理解遨意,学会用测量法、图象法解决实际问题.

26.（7分）已知一次函数为=获-1,二次函数力=--mx+4（其中u

>4）.

（1）求二次演数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）：

（2）利用函数图象解决下列问题：

①若m=5.求当弘>0且y：W0时.自变量x的取值也围：

②如果满足％>0且力W0时自变量x的取侑范围内有且只有一个整

数，直接写出m的取值范围.

【分析】（1）利用配方法求：次函数的顶点坐标；

（2）①把m=5代入力，画图象，并求与x轴交点A、B、C三点的坐

标.根据图象可得结论；

②根据题意结合图象可知x=3,把x=3代入为=〈-mxMW0,当x=4

时，y«=x2-mx+4>0即可求得m的取值;

【解答】解：(1)*.*y^=x*-mx+4=(x--片i4・

Z4

，二次函数图象的顶点坐标为：(£,-4-

(2)①当u=5时，y.=1x-1,yE・5x+4.…5分)

如图,当y产0时，1x-1=0,x=2,

VA(2,0),

当力=0时，x!-5x+4=0.

解得：x=l或4.

・・・B(I,0),C(4,0),

因为->0,且y?W0.山图象，得：2VxW4.…(5分)

②当打>0时,自变量x的取值范围：x>2,

;如果满足力>0且yWO时的H变量x的取值池用内恰有一个整数.

**•x=3,

当x=3时,厅3’•3m+4W0,

解得m2竽，

当x=4时，门>0,即l6・4m+4>0,m<5,

・,.m的取值范围是：圣WmV5.…(7分)

【点评】本题考式r待定系数法求二次函数的解析式以及二次函敬和

一次函数的性质，以及利用函数图象解不等式，体现了数形结合的思

27.（8分）已知：如图，AB为半圆0的H径，C虺半圈。上•点，

过点C作AB的平行线交00于点E,连接AC、BCsAE.EB.过点

C作CG_LAB于点G,交EB于点H.

(1)求证：ZIJCG=ZEBG：

(2)若sinNCAB-^,求黑的值.

［分析】（1）根据自径所对的圆周角等于直角和平行我的性质i正明即

可：

（2）在