2023年新高考北京数学高考真题（含答案）

2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学

本试卷满分150分.考试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试

结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项.

1已知集合”={xlx+2N0},N={x[x-l<0},则A/CN=（）

A{x|-2<x<l}B.{x|-2<x<l}

C.{x|x>-2}D.{x|x<l}

2.在复平面内，复数z对应点的坐标是则Z的共轨复数彳=()

A.1+后B.1一后

C.-1+V3iD.-1-6

3.已知向量a,"满足&+人=（2,3）,“一6=（—2,1）则|&|2-|石『=()

A.-2B.-1C.0D.1

4.下列函数中，在区间（0,一）上单调递增的是（)

B./(幻=:

A./(x)=--Inx

j_

c./(%)=-D./(九)=产

X

5

5.(2x--

的展开式中工的系数为（）.

A.—80B.-40C.40D.80

6.已知抛物线C：V=8x的焦点为产，点M在。上.若M到直线x=-3的距离为5,则|Mb|=()

A.7B.6C.5D.4

7.在LABC中，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sin8),则NC=()

兀兀2兀5兀

A.-B.—C.—D.—

6336

8.若孙w0,则“x+y=O”是“上+土=-2”的()

尤y

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如

图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若

AB=25m,BC=AD=\0m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切

值均为巫，则该五面体的所有棱长之和为()

C.117mD.125m

10.已知数列｛4｝满足。用=((4—6丫+6(〃=1,2,3,)，则()

A.当％=3时，｛«„｝为递减数列，且存在常数MW0,使得4>M恒成立

B.当％=5时，｛a,,｝为递增数列，且存在常数MW6,使得恒成立

C.当%=7时，｛4｝递减数列，且存在常数M>6,使得恒成立

D.当％=9时，｛q｝为递增数列，且存在常数M>0,使得恒成立

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知函数/。)=41+log2i,则=

12)

12.已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为加，则C的方程为

13.已知命题P：若a,4为第一象限角，且a>〃，则tanotan，.能说明p为假命题的一组a,/的值为

«=,B=.

14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于祛码的、用来测量物体质量的“环权”.已

知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列｛凡｝,该数列的前3项成等差数列，后7项成

等比数列，且q=1,%=12,%=192,则％=；数列｛a,,｝所有项的和为.

2

x+2,x<-a,

15.设a>0,函数/（尤）=4,/-/'-aWxWa,,给出下列四个结论：

-s[x-\,x>a.

①/（X）在区间（a-1,+8）上单调递减；

②当。之1时,/（X）存在最大值；

③设M（5药<a）,?/（x2,/（x2））（x2>a）,则|MN|>1；

④设网刍,/（毛））（七<—。）。&,/（玉））（匕之一。）.若IPQI存在最小值，则〃的取值范围是（0,g

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.如图，在三棱锥产一ABC中，PAL平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=6

B

（1）求证：BC工平面B48；

（2）求二面角A-PC—B的大小.

17.设函数/（x）=sincos（p+coscoxsin（p^co>0,|^>|<.

（1）若/（0）=-告，求夕的值.

TT2兀（271、

（2）已知〃x）在区间-1，彳上单调递增，/y=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择

一个作为已知，使函数/（x）存在，求公。的值.

条件①：f（方）=屈;

3

条件②：f~~I=~1;

k3)

兀71

条件③：〃x)在区间一,，一§上单调递减.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答

计分.

18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示.在描

述价格变化时，用"+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用表示“下跌”，即当天价格比前一天价格

低；用"0”表示"不变”，即当天价格与前一天价格相同.

时段价格变化

第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+

第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+

用频率估计概率.

(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；

(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天

中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；

(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不

变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)

19.已知椭圆E:三+六=l(a>b>0)的离心率为中，A、C分别是E的上、下顶点，B,。分别是£的左、

右顶点，IAC|=4.

(1)求E的方程；

(2)设P为第一象限内E上的动点，直线PO与直线交于点直线与直线，=-2交于点N.求

证：MN//CD.

20.设函数/(x)=x—曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程为y=—x+l.

(1)求。,匕的值;

(2)设函数g(x)=/'(x),求g(x)的单调区间;

(3)求/*)的极值点个数.

4

21.已知数列{q},{2}的项数均为相(机>2),且可也G{1,2,,〃?},{q},也}的前八项和分别为4，纥，

并规定4=稣=0.对于%€{0,1,2,,,加},定义〃=01^{，|5<4，，€{0,1,2,、加}},其中，maxM

表示数集M中最大的数.

(1)若％=2,4=1,。3=3,4=1也=3也=3,求％“，弓，弓的值;

(2)若4冽,且2G+/=1,2,,m-\,,求？；

(3)证明：存在pqsje{0,1,2,,m},满足p>4，s>f,使得&+g=A4+凡.

5

2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学参考答案

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项.

l.A2.D3.B4.C5.D6.D7.B8.C9.C10.B

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

11.1

金y21

12.22

9兀兀

13.①.4②.5

14.①.48②.384

15.②③

三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.证明：/I/7PA1平面A8C，AC面48C，BCu平面A8C，

PA1AGPA1BC,

vPA=7，PC-0，

AAC=7PC：-PA：=y/Tn=n

x---AB=BC=I，：.AC:=AB:-BC：，

BCLAB，又=A，

BC，平面P/4B；

解：/II，以点8为坐标原点，分别以方，或所在直线为£轴，丫轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示:

6

则由O/伪，0,0,0bC(1.0,0bPQ1J，

AP0,0,1,AC-(J.BPBC=(1.0.0),

设平面APC的一个法向量为4=(vy.zh

则因？=z=0，时=/,得词=〃/0,

(4c-n=x-y=0

设平面8PC的一个法向量为方-tab.ch

贝小亚•荷=b-c=。，取b=/,得而=，0/—0,

IBC-rH=o=0

n—_Mfi_1_1

二历福…丽二，

由图可知二面角A-PC-8为锐角，设二面角A-PC-8的大小为6,

则a>5&=cos<rH,n>

即二面角A-PCT的大小智.

17.解：(I，因为函数〃K/=simuxcos^-cosa)jsin^=smftux*秒

所以〃0)=stnip

又因为⑴所以p=—：

23

,n)若选①二7；

9

因为f弓尸八

所以"x府(=孑叮=乎寸取得最大值人这与f①在当上单调递增矛盾，所以3、3的值不存在.

若选痣：

7

因为-7为上单调递增，且f弓）=」,

所以〃X府X=-争寸取得最小值一，，X=三时取得最大值」，

33

所以〃制的最小正周期为X弓->=.“，计算3=半=八

又因为〃二,=sm/生■初=/，所以±-9=«?kir-±kWZ，

3332

解得科=三，kWZ；

o

又因为a">所以”

若选③r的在/■-半,一》上单调递减，因为〃制在广一上.为上单调递增，且〃当=/,

所以府*=T时取得最小值T，x=三时取得最大值

所以〃外的最小正周期为T=]X号・>=X，所以3=半=人

又因为〃上）=sm/把一W=/,所以丝—g=[kir-k€Zf

解得少=ikjrBkeZ；

又因为8%所以,:一!

2c

18.解：“，由表可知，“天中“上涨”的有76天，则该农产品“上涨”的概率为竺_=。4.

40

,n）由表可知,4。天中“上涨”的有曲天,则该农产品“下降”的概率为丝=。）

40

40天中“不变”的有10天，则该农产品“上涨”的概率为也=0

40

则该农产品价格在这4天中2天“上涨”、/天“下跌”、/天“不变”的概率

C-x0.xCjx035xC]x0.25=0.16S-

,HI）由于第“天处于“上涨”状态，从前39天中万次“上涨”进行分析，

“上涨”后下一次仍“上涨”的有4次，概率为，，

1S

“上涨”后下一次“不变”的有9次，概率为二

s

“上涨”后下一次“下降”的有2次，概率为三，

is

故第打天该农产品价格“不变”的概率估值最大.

19.解：，力由题意可得：2b=4,?=£!=，，Mu"-/，

3a

8

解得b=1，a:=0,

二椭圆E的方程为E.£■=/.

94

砂E明:Ai0,2b8/-3,0”C(0,-2)，D(3f0h

直线BC的方程为三•二=/，化为?x-3y-C=0.

设直线的方程为：y=kx・2，(k,0)，，N(-

yjpx.2

联p

-,化为：3-9k；/x：-36kx=0，

9——7

解得x=。或-斗，

449k3

•P/_41%

liH,

直线PD方程为：i-a-力，即y=.H,，x7,

'3+.丝L727f♦“*♦12

与？r・3y・0=0联立，解得x=』?=，y=W^.

z，MX'

.u-6i-48-18ir

AMr业工+2Y*rk"

第+22

•',k“N=广鼻j=q，

«*3i:4a

kCD=?

:.MNCD.

20.解：“，因为函数〃x-x-Nif

所以"x）—J—fjk,f**'**«*,<*t*^*1ax<x?****-

因为"i在点〃J〃〃处的切线方程为y=v•/,

所喘:,喉广：3一

解得。=-Lb二九

,11）由,1）知，fat=x-所以广的=/-f3x：―/”一.，

所以夕力="*=]_/3f_/及rT,

9

所以=-，6x-3/律-，7-,3/-x3#-"|=—x(x:—6x-6/e_**'，

令g1/x>-0，解得x=。或r-3±■/?，

所以g7x,与gc“的关系列表如下：

1f-ao,O)0(OJ-VD3-V1(3-C,3*\?13-6，3*8/

gat■0—0♦0—

gg单调递增单调递减单调递增单调递减

所以gni在区间f-8,0/和行一，!/.，灯上单调递增，在区间加3-和，3-Q.♦8j上单调递减;

，叫由知,当re/一8,0j时,r7用单调递增,

当J时，fa,*_"=1_4e：0，"仍=1>0>

所以存在町Wf-co,。），使得/7口,=0,

又因为〃X庵，-8.X〃上单调递减，在，町,0）上单调递增，

所以勺是门.口的一个极小值点；

当xe/OJ-G时，f7xj单调递减，且=3-口）<F（D=1-2<0,

所以存在x：c役3-门户使得f7x»=0,所以〃X/在S,上单调递增，在“：,3—0/上单调递减，

所以町是〃切的一个极大值点；

当*e/3-C,力时，f'/xj单调递增，

又因为广,刃=1・。，所以存在!oe，3--7,力，使得广“〃=0，

所以府，3-门.\?/上单调递减，上单调递增，

所以盯是f/x/的一个极小值点，

又因为当x3时，fZu.0,所以〃x/在8/上单调递增，无极值点；

综上，"x而定义域N上有3个极值点.

21.解："）列表如下,对比可知〃=0,〃=7,七=2,口=3.

10

J

I0J3

0(213

402n

13

014一

00112

由题意知%<m且％CN,

因为0112A瓦,2］，则/>可=/，8H之句=八当且仅当n=/时，等号成立,

所以r。=0，r；=1，

又因为土浦三r1一

贝保一-之后-r_j，即j-r^tir^j-r^3iin-r1=/,

可得r./-r：2/，

反证：假设满足%-7,/的最小正整数为/£j<m-A

当［之/时，则r.一r,>2；

当1£_/一」时，则g-n=/,

贝=”.・尸《-4*/・/・—・，〃-「”♦r0220n-p*；=2m-j.

又因为/ijim-1，贝Ur^=m•!-m,

所以假设不成立，-%成立，

所以数列/J是以首项为」，公差为7的等差数列，

所以％-