高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第六章课后答案

高等数学（同济高校数学系第七版）上册

第六章：定积分的应用课后习题答案

习题6—2定积分在几何学上的应用

8S1.求图6-1中各阴影部分的面积:

图6-I

解（1）解方程组，得到交点坐标为（0.0）和（1.1）.

ly=x,

如果取工为积分变为，则》的变化范围为［0,1］.相应于［0的上的任一小区间

［叫X+dx］的窄条面积近似于高为4-.1、底为<IA的窄矩形的面积,因此有

A-f（6-x）dx=［-T-V;-4-v21=1•

］o132J6

如果取）为积分变fit,则y的变化范用为［0」,相应于P.1上的任•小区间

y+<ly］的窄条面积近似于高为山、底为）-『的窄矩形的面积,因此有

第六章定积分的应用217

（2）取x为积分变址，则易知x的变化范圉为［0,1］,相应于［0,1］上的任一小

区间x.x+dxj的窄条面积近似于高为e-e，、底为da的窄矩形的面积,因此花

I

A=|（e-ex）dx=［ex-e4'^=I.

J。

如果取）为积分变址，则易知尸的变化范围为为，e］,相应r［1,e］上的任一小

区间1.）+dy］的窄条面积近似「高为dy、底为Iny的窄矩形的面积,因此有

/!=JIn）dy=yiny］j-Jdy=e-（e-1）=I.

（3）解方程组「一2"得到交点坐标为（-3,-6）和（1.2）.

＞=3-*2

如果取X为积分变戕，则X的变化范围为-3,1］,相应于［-3,1］上的任一小

区间x,x+dx］的窄条面积近似于高为（3-x2）-2x=-2*+3、底为dx的窄矩

形的面积，因此有

.4=J（-M-2x+3）（1*=［—-ar'+3xj=竽.

如果用y为积分变量.则.'的变化范闱为-6.3］.但是在［-6,2］上的任一小

区间：＞.）+打：的窄条面积近似于高为dy、底为方-（-万亍）=］+不亍的窄

矩形的面积.在：2,3：上的任一小区间［九＞+dy］的窄条面积近似于高为dy、宽为

弓-（-/5=亍）=2不I的窄矩形的面积.因此有

从这里可看到本小题以x为积分变里较容易做.原因是本小题中的图形边界曲线,

若分为上下两段的话.则为＞=2*和y=3-/；而分为左右两段的活，则为

,___f},-6Wy＜2,

彳=-不二7和x=,2其中右段曲线的去示相对比较复杂，也就

•/3-y,2WyW3.

导致计算形式更杂.

•Y=24+3

（4）解方程组一二’得到交点坐标为（-1,1）和（3,9）,与（3）相同的原因，本小

y=x,

题以工为积分变出由算较容易.取x为积分变地，则工的变化范的为［-1.3］,相应于

-1,3］上的任小区间工x+＜5的窄条面积近似f高为2x+3-/底为＜卜的卒

矩形的面枳,因此有

218一、《高等数学》(第七版)上册习题全解

>3r］［342

4=J(2x+3-x2)dx=Ix2+3x-—x31=

心2.求由下列各曲线所围成的图形的面积:

(1)y=yx2与=8(两部分都要计算与

(2)y=，与直线y="及x=2；

X

(3)y=e",、=e•”与直线x=1；

(4)y=Inx.y轴与直线y=Ina.y=Inb(b>a>0).

解(1)如图6-2,先计算图形外(阴影部分)的面积，容易求得>=；/与M+

『=8的交点为(-2.2)和(2,2).取x为积分变量,则x的变化范围为［-2.2］.相应J-

--2,2］上的任一小区间-x］的窄条面积近似于高为、々二F-#、底为M的

窄矩形的面积.因此有

图形色的面积为

(2)如图6-3，取“为积分变量.则T的变化范围为［1.2］,相应于［1,2：上的任一

小区间+心］的窄条面积近似「•高为x--二、底为小的窄矩形的面积.因此有

x

图6-2图6-3

第六章定积分的应用219

（3）如图6-4,取x为积分变如，则x的变化范圉为［0,1］,相应FL0.I上的任

一小区间：x.x+d*：的窄条面积近似于高为，-e-*、底为也的窄矩形的面积,因

此有

（4）如图6-5,取）为积分变必，则）的变化他闱为［In”,In［，］,相应于［luu.lnb］

I：的任一小区间：+d＞】的窄条面积近似于高为山、底为e，的窄矩形的面积,因

此有

图6-4图6-5

匕3.求抛物线＞=-x2+4x-3及其在点（0,-3）和（3.0）处的切线所附成的图形的

面积.

解首先求得导数y'|=。=4，＞'|-3=-2,故抛物线在点（0,-3）,（3,0）处的

切线分别为y=4x-3,y=-2%+6,容易求得这两条切线交点为传,3）（如图6-6）,

因此所求面积为

+4x-3)]dx+-2x+6-(-x2-F4x-3)]<lx

220一、《高等数学》(第七版)上册习题全解

9

T-

Ei4.求抛物线产=2px及其在点(〈邛)处的法线所围成的图形的面枳.

解利用隐函数求存方法、抛物线方程产=2/>x两端分别对x求导，得

2yy'=2P,

即得y'=1,故法线斜率为G=-I.从而得到法线方程为y=+(如

”向2

图6-7),因此所求面积为

4=(p(y+3p1rdy=[1,+31162

J_v(-T-2F)l-VT^-而，、「§厂•

25.求由下列各曲线所阐成的图形的面积：

(1)p=2acos0\(2)1=Acos5/,y=asin'f；

(3)p=2a(2+cos0).

V工

解(1)A=(---(2acos=4a2[co/OdO=ira:.

JT2Jo

(2)由对称性可知，所求面积为第•象限部分面枳的4倍，记|lh线1=八3〃.'=

asin"上的点为(工j),因此

A=4Jy(l.r=4:wsin^Z•3ucos*/(-sin/)df

-3

=I2«;I(ain'/-zin"/)山=

Joo

注对于参数方程的处理方式一般可采用本题的方法,首先根据问题化为积分

(其中记曲线上的点为(叫y)),再根据参数方程进行换元，即可化为关于参数的积

分进行计算.

(3)4=I[2a(2+cos(?)]*<10=2u?I(4+4cos0+cos*0)d()

Jo2'Jo

=2a'[(4+cos.。)(I。=8〃'f(4+cos"0)<U/=1

JoJo

Eii6.求山摆线刀二〃(Z-sin，)，)=n(I-cusf)的•拱(。W/W2n)与横轴所围成的图

形的面积.

解本题做法与题5(2)类似.以"为积分变址•则1的变化范雨为0・2”。],设

摆线上的点为(凡¥)，则所求面积为

A=Iydx.

再根据参数方程换元，令X=“(，-sin，).则)=“(I-/).闪此｛]

A=I/(I-cos/)*(1/=n'I(I-2cost+eos?z)(1/

JoJo

第六章定积分的应用221

二4>「(1+cos?4)d/=3mJ.

Jo

匕7.求对数螺线0=ae0(-irWeWTr)及射线。二ir所围成的图形的面积.

解4=「；(〃)2M=「e力J=1"2"-e3).

J-IT144

28.求卜.列各曲线所围成图形的公共部分的面积:

(1)P=3cos"及0=1+cos0；

(2)〃=、/2sin0及.p?二cos20,

解⑴首先求出两曲线交点为伐，伊卜卜;，-：),由于图形关于极轴的对

称性(如图6-8),因此所求面积为极轴上面部分面积的2倍，即得

4=2JJ!+cos0)~AO+J-^-(3c<»s8)辅可=

(2)苜先求出两曲线交点为竽,二)和修界由于图形的对称性(如图6-9)、

因此仃

K

A=JJ—(TTsinO)2d0+

&9.求位于fill线y=小下力.，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的

面积.

解先求曲线过原点的切线方程，设切点为(x0，几),其中y0=/。,则切线的斜

率为/。，故切线力・程为

4

y-7o=e°(X-xo),

由于该切线过一点，因此有yn=e"。X。，解得颉=1,%=e,即切线方程为

,y=ex.

如图6-10可知所求面积为

4=(exdx+f(eM-ex)dx

J-«Jo

222一、《高等数学》（第七版）上册习题全解

=〔e*8+[e，=品

&10.求由抛物线尸=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.

解抛物线的焦点为（跖0）,设过焦点的直线为y=乂工-Q）.则该直线与抛物

线的交点的纵坐标为力=2。吟工.伫，力=”十•2学]二.面积为

KK

A=「卜++一办，=22­）1）+票-*

8a2（1+M）S8//1\3/2

=―一=亍（司，

故面积是4的单调减少函数，闪此其最小值在AT8即弦为a=«时取到.最小但为

A2

3,

811.已知抛物线>="2+"（其中p<O,g>0）在第一象眼内与电线x+1=5相切.

且此抛物线与x轴所围成的图形的面积为4问p和q为何值时M达到最大值,并求

出此最大值.

解依题意知，抛物线如图6-11所示，求得它与x轴交点的横坐标为》=0.

抛物线与x轴所围成的图形面积为

X

图6-11

第六章定积分的应用223

因直线x+y=5与抛物线了=/戊2+/相切，故它们有惟一交点.由方程组

x+)•=5.

{y-px2+qx,

得px2+(g+l)x-5=0,其判别式A=(，/+1)2+20〃=0,解得p=-如+9了,代

入面积力.得

4.\200/

4(。)=--------T.

3(1+〃

令，1，(夕)=2007(3三?)=0,得惟一驻点g=3.当0<“<3时,*“)>0,当g>3时,

3((/+1)

A'(q)<0.于是，当g=3时，，4(q)取极大值，也是最大他此时p=最大值

$12.由y=J.*=2j=0所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转,计算所得两个旋转

体的体积.

解(1)图形绕x轴旋转,该体积为

(2)图形绕)轴旋转，则该立体可看作圆柱体(即由x=2,y=8,x=0,y=0所国

成的图形绕)轴所得的立体)减去由曲线x=77,y=8,x=0所闱成的图形绕)轴所

得的立体，因此体积为

,8•64

V=ir,22,8-ir(Jy)2dy=—IT.

Jo5

理13.把星形线//3+//3=『/3所围成的图形绕*轴旋转，计莫所得旋转体的体积

解出X轴上方部分星形线的函数为y=y(x),则所求体积为曲线y=),(x)与x轴

所围成的图形绕工轴旋转而成，故有

由于星形线的参数方程为4=。。。J，,y="sink所以对k述积分作换元x=aco2.便

得

V=fir(rtsin)2(acos5/)/d/='•

JIUD

陷14.用积分方法证明图6-12中球缺的体积为

V=IT//2(丑一号)

224一、《高等数学》(第七版)上册习题全解

解该立体可看作由曲线x=A-〃和.r=0所围成的图形绕y轴

旋转所得,因此体积为

R

IT(/相-产)2dy=IT|A，y-

R-H

=叫星普.

图15.求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生.的旋转体的体积：

(1)y=/,x=y2,绕y轴；

(2)y=arcsinx,%=1,y=0,绕x轴；

(3)x2+(>-5)2=16.绕x轴；

(4)接线%=«(/-sin/),)二a(1-cosI)的一拱,)=0,绕宜线y=2«.

解(1)v=f[ir(7y)2-w(y2)2]dy=.IT.

JoIu

2X

(2)V=[■(arcsinx)'dx=|TtX(arcsinx)1'-2irf--arcsinrdv

Jo°九/1-3

(3)该立体为由曲线y=5'/16二=-4,a=4,)=()所围成图形绕、轴旋

转所得立体减去由曲线)=5<1677.A=-4..r=4.y=0所围成图形绕“轴旋转

所得立体，因此体积为

f4_______f4_______

V=ITT(5+>/16-X*)2(lx-I7T(516-X*)2<IA

4-------

20^v16-x2(lx

x=4sin/■y.y

320TTCOS*hb=640TTcos*/dr=160IT'.

-To

第六章定积分的应用225

(4)该立体可看作由i'Lt£y=2o.y=0..t=0.x=2ir«所围成的图形绕y=2a旋

转所得的圆柱体滥去由拐线以及直线＞=2a,x=0.x=2■“所围成的图形绕y=2。

旋转所得的立体，记摆线上的点为(x,)),则体积为

「2ire

V=TT(2〃))(2宣")-I宣(2a-y)2dx=87〃'-I?r(2a-y)2dx,

JoJo

再根据撰线的参数方程进行换元.即作换元x=a(f-sin，)•此时y=a(l-cos，)，因此有

r21T

V=87T2a'-Iir：2a-a(l-cosl),2«(1-cos/)dz

Jo

、(2it,

二8C2〃、一"a'I(1+cost-cos2r-cos^z)dr

Jo

=8c?。、-4宣。‘fsin2fd/=Tir'ay.

Jo

国16.求圆盘/+/wM绕4=-Mb〉a>0)旋转所成旋转体的体积.

解记由曲线工二J〃2-),2,力…=-a,y=(/围成的图形绕“二-b旋转所得

旋转体的体积为匕，由曲线"=Va2-P.x=-b,y=-%>=a围成的图形绕x=

-〃旋转所得旋转体的体积为修，则所求体积为

=?27?

V=Vj-V2fTT(v^-y+6)dy-fTT(7a?-y?+6)dy

J-aJ-a

〃r-r---亍y=asin£rT9-

=4-7165/0-ydy-'.....=I,4TT«"6COS/(!/

J-aJ-*

=877a?6[cos2fd/=2rr2a2b.

Jo

成17.设有•截锥体,其高为/t,上、下底均为椭圆，椭也|的轴长分别为2%2b和24、28,

求这截锥体的体积.

解用与下底相距犬II平行于底面的平面去俄该立体得到一个椭网,记其半轴

长分别为“〃则

a—4.b—B..

u=-：-x+4,v=­；-x+H,

hh

该椭网面积为n仔px+4)({x+8),因此体积为

，=於"…)"…)北

=\TTII2(ab+AH)+ali+bA].

6

图18.计算底面是半径为R的园，而垂宜于底面上一条固定直径的所有截面都是等边

三角形的立体体积(图6-13).

解以X为积分变H,则X的变化范闱为1相应的截面等边三角形边长为

226一、《高等数学》(第七版)上册习题全解

图6-13

k?,面积吟(27^)2=万W一),因此体积为

方119.证明：由平面图形0乏“乏\乏/).0^，W/(*)绕)轴旋转所成的旋转体的体积为

V=2TTx/(x)dx.

Ja

证取横坐标X为积分变量，与区间［a.6］上任一小区间［x.x+dx：相应的窄条图

形绕了轴旋转所成的旋转体近似广一圆柱壳,柱壳的高为f(x)，厚为山•.底面园周长为

2E.故其体积近似等于2死次x)dx,从而由元素法即得结论.

Q20.利用题19的结论，计算曲线y=sin*(OWx矣宜)和x轴所闱成的图形绕，轴旋

转所得旋转体的体积.

尸尸

解V-2TTxsinxdx=TT~Isinxdx=2TT~.

JoJo

注在计算积分时，这里利用了教材第五日第三节中的例6的结论「近sinx)dx=

酩21.设由抛物线y=2/和宜线x=a,x=2及>=0所围成的平面图形为〃］.由抛物

线y=2-和直线％。及),=。所围成的平面图形为％,其中0<2(图6-14).

(1)试求仇绕了轴旋转而成的旋转体体积匕,02绕,轴旋转而成的旋转体体

积/；

(2)问当“为何但时，匕+%取得最大值？试求此最大值.

解⑴匕=丁仁/尸皿="(32-丁)；

Ja3

4

V=ITfi2・2a2-ITI--dy=2IT<!-irn4=宣

2九2

(2)设

第六章定积分的应用227

54

V=V,+V2-32-«)+irfl.

由VW.")=0,解得区间(0,2)内惟一驻点a=1.

当0<。<1时，1">0；当a>l时，1/'<0.因此。=1是极大值点也是最大值点,

此时匕+匕取得最大值1詈29E

防22.计算曲线y=Inx相应于QwxW曲的一段弧的氏度.

七23.计算华立方抛物线/=](x-i)3被抛物线尸=。截得的一段弧的长度

y2=y(x-l)3,

解联立两个方程，得到两条曲线的交点为

(2,-/2•),由于曲线关于x轴对称,因此所求弧段长为第一-象限部分的2倍，第一

匕24.计算抛物线/=2,>x从顶点到这曲线上的一点M(x,y)的弧氏.

解不妨设.>0,由于顶点到(%》)的弧长与顶点到(*-y)的弧长相等，因此

不妨设y>0,故有

228一、《高等数学》（第七版）上册习题全解

酩25.计算星形线*=flcos'r=asin3/的全长.

2

解$=4[-3«cos"/sin/)+(3asiir/cos/)*!1/

Jo

r

sin/coszdf=6〃.

o

226.将绕在圆（半径为。）上的细线放开拉直,使细线与圆周始终相切（图6-15）,细线端

点撕出的轨迹叫做圆的渐伸线，它的方程为

x=<1（cos/+/sin/）,y=a（sin/-/cosf.

算出这曲线上相应fOWVF的一段弧的长度.

解扣…*因此有

5=山=1："仙V

&27.在投线K="（，-sin/）»="（I-C）上求分摆线第•拱成I：3的点的坐标.

解对应于投线笫一拱的参数，的范围为［0,21r.参数，在他国：0人】时携线

的K度为

=J，(J(1-cos/)*+<i*sin2/<k=u2sin-y-(k

,0

-cos—

2

当，o=2F时，氏度为8“.故所求点对应的参数/0满足4“（1-1小=:，解得

第六箪定积分的应用229

,0=济从而得到点的坐标为（（竽-亨卜,；）.

已28.求对数蝶线p=e“e相应于0W8W9的一段弧K.

=「Jien*-I).

Joa

34

R29.求曲线pd=i相应于:wew；•的一段弧K.

解s=产d"==-1小八叶）

>-/1-,d°=尚+[ln(。“1+解)]；

了/1+伊*-T

35

=lnT+l2,

230.求心形线《二。（1+cos。）的全长.

2222a0

解s=%/u'(l+cos0)+<isin0<10=fcos—

0Jo2

习题6-77定积分在物理学上的应用

2H.由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力尸（单位：N）与伸K什$（单位:cm）成

正比，即

F=ks（k是比例常数）.

如果把弹簧由原长拉伸6cm.计算所作的功.

解即=jksds=18Zr（N,cm）=0.18A（J）.

以2.直径为20cm、高为80cm的圆筒内充满压强为10N/cm?的蒸汽.设温度保持不

变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要:作多少功?

解由条件pV=k为常数，故*=10•1002-IT•0.12-0.8=800ir.设网筒内高

度墟少Am时蒸汽的压强为/,（人）N/m2，则〃（〃）=《=呷二，压力为。=

V（0.o-n）o

。（人2丁小弊口因此作的功为

U.n-n

W=f吗皿=800TT[-ln（（）.«-A）]®,*=8（X）irIn2=1742（J）.

Jo0.X-h0

&3.（I）证明：把质优为m的物体从地球衣而升高到/）处所作的功是

mgRh

"R+h'

230一、《高等数学》(第七版)上册习题全解

其中g是地面上的垂力加速度，A是地球的半径；

(2)一个人造地球卫星的质量为173kg，在高于地面630km处进入轨道.问把

这个卫星从地面送到630km的高空处，克服地球引力要作多少功？已知

g=9.8m/s?,地球半径R=6370km.

解(1)质量为m的物体与地球中心相距x时，引力为〃=(；,.根据条件

”=因此有G=察'从而作的功为

mgRh

R+h

(2)作的功为卯=等”=971973=9.72x105(kJ).

R+h

图4.一物体按规律x=cP作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比.计算物体由

x=0移到x=a时，克服介质阻力所作的功.

解速度为“=孚=342,阻力为=帆2儿由此得到

d/

d即=Ada=27A?z6dL

设当I=设时产=a，得T=(-yj，故

图5.用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比.

在击第一次时.将铁钉击入木板1cm.如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等.问锤击

第二次时.铁钉又击入多少？

解设木板对铁钉的阻力为心则铁钉击入木板的深度为人时的阻力为

R=kh,其中*为常数.

铁锤击第一次时所作的功为

=JKd/i=Jklu\h=

设锤击第二次时,铁钉又击入kcm,则锤击第二次所作的功为

2

%=JRdh=Jkhdh=y[(l+ft0)-1],

由条件％=%得，S=G-L

&6.设一则锥形贮水池，深15m,口径20m,盛满水，今以唧筒将水吸尽.问要作多

少功？

解以高度人为积分变址，变化范阚为分.15],对该区间内任一小区间[h.

第六章定积分的应用231

人+<|r，体积为TT(36，dh，记y为水的密度，则作功为

■'54,.、，

—iry^/r(15-/»)d/i=1875Try/

o9

«5.76975x107(J).

国7.有闸门，它的形状和尺寸如图6-16所示，水而超过门顶2m.求闸门上所受的

水压力.

解设水深xm的地方压：强为/>(x),则

p(x)=1OOOgx,

取%为积分变噂，则x的变化范围为[2,5.对该区间内任一小区间[**+d"，压力为

dF-p(x)d5=2p(x)dx=2OOOgxdx,

因此闸门上所受的水压力为

F=f52000gxdx=1OOOg[x2]J=2IOOOg(N)«2O5.8(kN).

J22

Stiff.洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如图6-17所示.当水箱装满水时,

计算水箱的一个侧面所受的压力.

解以侧面的椭园氏轴为，轴.短轴为y轴设立坐标系，则该椭网的方程为

2

/+7^2=1,取，为积分变批,则y的变化范围为「0.75,0.75],对该区间内任一

0.75

小区网>,>+<1>],该小区间相应的水深为0.75-九相应面枳为

<JS=2/1-"dy

0.752

得到该小区间相应的压力

t\F=1000g(0.75-y)dS=2000g(0.75-y)/1dy,

70.752

232一、《高等数学》(第七版)上册习题全解

因此压力为

0.75!72~

F=|f2000g(0.75-y)I-dy«17318(N)«17.3(kN).

J-o.7570.75，

齿9.有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和16m,高为20m,较长的底边与水面

相齐.计算闸门的侧所受的水压力.

解如图6-18建立坐标系，则过八、8两点的直线方程为)=10x-50.取)为

积分变量,)•的变化范围为［-20,0］,对应小区问上,>+dy：的面积近似值为2.td?=

信+10)dy,y表示水的密度，因此水压力为

P=/(点+")(7)ygdy=1.4373x107(N)=14373(kN).

210.一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上.底在下艮

与水而平行，而顶离水面3cm.试求它每面所受的压力.

解如图6-19建立坐标系，取三角形顶点为原点，取积分变量为x,则x的变

2

化范围为［0,0.06］,易知B的坐标为(0.06。04),因此OH的方程为)x,故对

应小区间同一十d%］的面积近似值为

24

dS=2•­x•dx=—xdx.

记y为水的密度.则在.，处的水压强为

p=yg(x+0.()3)=1000/：(1+0.03).

故压力为

/1.064

F=II000g(x+0.03)•—xdx=0.168g=I.65(N).

Jo3

&n.设有一K度为，、线密度为〃的均匀细江棒，在与栋的一端垂在距离为。单位处

有，质H为m的质点试求这细棒对质点M的引力.

第六章定积分的应用233

解如图6-20设立坐标系，取.，为积分变则>的变化范围为［01］，对应小

区间：>•>+d>］与质点M的引力的大小的近似值为

其中,=/"2+6,把该力分斛,得到*轴、)轴方向的分出分别为

因此

212.设有一半径为乩中心角为3的圆弧形细棒，其线密度为常数〃.在圆心处有一

质量为小的质点试求这细棒对质点M的引力.

解如图6-21建。坐标系.则相应小区间［仇8+d阴的弧长为此我根据对称

性可知所求的铅宜方向引力分属为零.水平方向的引力分量为

f*_CmuRdO2Gmu.3

c=cos0-—=--^sm子.

xJ-fR2R2

&i.填空：

(1)曲线y=J-5/+6x与h轴所围成的图形的面积4=

234一、《高等数学》(第七版)上册习题全解

(2)曲线)=竽(37」：相应于1=±3的一段弧的长度$=

解(I)令--5/+6x=0,解得x=0,2.3.

当03W2时,yNO;当2WxW3时,y这0.故

23

A=If(xJ-5x2+6x)dx-rI(x3-5x2+6x)dx

Si2.以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论:

图6-22

(1)设*轴上有一长度为/、线密度为常数〃的细棒,在细棒右端的距离为。处有

一质量为6的质点的(图6-22),已知万有引力常代为C,则质点1/和细棒之间的引

力的大小为().

(C)2f,产&dx(D)2rG/n”dx

(2)设在区间[明以上,/(x)>0,/(x)>0J'(x)<0.令4=j/(x)d.v,4,=

f(a)(b-a),A3=y[/(o)+/")](〃-。)，则有().

(A)Ai<<^3(口)八2<4]<八3

(C)A3<A]<A2(D)4,<Ai<A|

解(l)选(A).

(2)解法一从几何意义判断：因为/'(x)>0,所以/(x)在：a.6]上单调增加.

又因/所以曲线y=/(x)在[%6]上向上凸，如图6-23所示，矩形面积<梯

形面积〈曲边梯形面积，故选(【)).

解法二证/W/*(*)>0,故/(*)在