初中几何习题集(绝对经典不做后悔)培训讲学

初中几何习题集（绝对

经典不做后悔）

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初中几何经典习题集(不做后悔)

1.如图3,在Rt^ABC中，ZB=90°,它的内切圆分别与边BC、CA、AB相

切于点D、E、F,连接AD与内切圆相交于另一点P,连接PC、PE、PF、

FD,且PC_LPF.

求证：(1)Z\PFDS^PDC；

EPPD

(2)------=-------

DEDC

2.如图，AB是。。的直径，AC是弦，点。是G上一点，

弦交AC于F,交4?于"，交。。于E,P是EO延长线上一点，连

PC.

(1)若PC=PR判断PC与。。的位置关系，并说明理由；

CC1

(2)若ZM=CD,sinZBAC=-,求sinNAOE的值.

3

BA

3.如图，BC是半圆0的直径，EC是切线，C是切点，割线EDB交半圆0于D,

A是半圆0上一点，AD=DC,EC=3,BD=2.5

(1)求tanNDCE的值；(2)求AB的

4.如图，P是外一点，割线PA、PB

0相交于A、C、B、D四点，PT切。0于点T,点E、F分别在PB、PA上，且

PE=PT,ZPFE=ZABP.

(1)求证：PD•PF=PC-PE；

21

(2)若PD=4,PC=5,AF=—,求PT的长.

5•已知AB是。。的直径，弦CDLAB于E,F是DC

延长线上的一点，FA、FB与。。分别交于M、G,

GE与。。交于点N。

G

AB

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D

N

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(1)求证：AB平分NMAN；

(2)若。。的半径为5,FE=2CE=6,求线段AN的长。

6.已知：如图，ZACB=60°,CE为NACB的角平分线，。为射线CE上的一

点，。。切AC于点D

(1)求证：与。。相切；

(2)若。。的半径为6,P为。。上一点，且使得NOPC=90。，求。尸的长

A

E

CB

7.如图，点P为AABC的内心，延长AP交aABC的外接圆于D,在AC延长

线上有一点E,满足AD2=AB・AE,求证：DE是。。的切线.

1.已知：如图，点。为等腰直角三角形ABC的重心，ZCAB=90°,直线加过

点。，过A、B、C三点分别作直线〃?的垂线，垂足分别为点。、E、F.

(1)当直线机与3c平行时(如图1),请你猜想线段BE、CF和AO三者

之间的数量关系并证明；

(2)当直线机绕点。旋转到与8c不平行时，分别探究在图2、图3这两种

情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段

4)、BE、C/三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证

图1图2图3

.在△46。中，AC=BC,纺=90°,点〃为47的中点.

2.如图1,在RtZ\ABC中，ZABC=90°,ZB=30°,AD为BC边上的中线，E

为AD上一动点，设DE=nEA,连结CE并延长交AB于点F,过点F作FG〃AC交

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AD（或延长线）于点G。

EC

(1)当n=l时，则更二

FAEF

2

(2)如图2,当n」时，求证：FG=-FE•FC；

42

(3)如图3,当n=

(2)过点D作DH〃CF交AB于点H,设AF=x,则BH=HF=nx。VZB=30°,

.*.AC=1AB=

2

,(2n+l)x(4分)，过点C作CMLAB于点M,VZACM=ZB=30°，：

2

MC=ACcosZACM=ACcos30°

.A/3_(2n+l)V32n+1

=-(2n+l)xx,AM=-AC=—X—(2n+l)x=x,

2242224

2n+l

MF=AF-AM=x------x

4

3-2n(2n+1)G

=-----x,

44

FEAFx1

—,/.FE=—HD=X^FC,:

HDAHx+nx1+n1+n1+n2

FE1

FE-FC=—FC2,・・・压=-1—,即

2+2nFC2+2nFC-FE2+2n-l

3+4n

—(6分)，.,.当n=L时,Fc2=x2=x2>

EC2n+l44

FE-FC=FC2=-X2,AX2=-FE-FCo•.•FG〃AC,

2+2n52

FGFE1AFG=—^-AC=——2n+l

-----x=x,

ACEC2n+l2n+l2n+l2

FC2=X2=-FE•FCo(8分)

2

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(3)过点D作DH〃CF交AB于点H,设BH=x,则HF=x,FA=4x,二

DEHF_x_1

/.n=-(10分)。

EA-FA_4x-44

3.在中，AC=BC,N/S=90°，点〃为〃'的中点.

(1)如图1,6为线段〃。上任意一点，将线段应绕点〃逆时针旋转90°得

到线段以，连结6E过点下作碗_抬交直线48于点〃判断用与

此的数量关系并加以证明.

(2)如图2,若“为线段比'的延长线上任意一点，(1)中的其他条件不变，

你在(1)中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明.

1.如图已知：C是以AB为直径的半圆O上一，窗］CHLAB于点

切线相交于点D,E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于点G.

(1)求证：点F是BD中点；(2)若FB=FE=2,求00的半径.

2.如图，△ABC内接于。。，AB是。。的直径，C。平分NACB交。。于点

交AB于点R弦AE_LC£＞于点"，连接CE、OH.

(1)求证：AACEsACFB；

(2)若AC=6,BC=4,求OH的长.

3.如图，已知AD是AABC外角NEAC的平分线，交BC的延长线于点D,延

长DA交AABC的外接圆于点F,连结FB、FC。

(1)FB?=FAFD；

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(2)若AB是aABC的外接圆的直径，ZEAC=120°,BC=6cm,求AD

的长。

4.如图，PA为。。的切线，A为切点，PBC是过点。的割线，PA=10,PB=

5,NBAC的平分线与BC和OO分别交于点D和E,求A/AAE的值。

5.如图，P是。O直径AB延长线上一点，割线PCD

交。。于C、D两点，弦DFLAB于点H,CF交AB于点

Eo例2图

(1)求证：PAPB=POPE；

(2)若DELCF,ZP=15°,的半径为2,求弦CF的长。

第3题图6.如图，物是的直

径，仍，"是劣弧为上一点，过点"点作。。的切线，如交物的延长线于

2点，，物与勿交于N点.

(1)求证：PM=PN；

3

(2)若BD=4,PA=他过点6作加〃加交。。于。点，求8c的长.

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第23题图

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7.如图，AB是。。是直径，过A作€）0的切线，在切线上截取AC=AB,连结0C

交。0于D,连结BD并延长交AC于E,OF是4ADE的外接圆，OF在AE上.

求证：（1）CD是。F的切线;

(2)CD=AE.

8.已知：在三角形ABC中，D为AC上一点，且AD=DC+CB.过D点作AC的垂

线交外接圆于点M.

求证：M为优弧AB中点.

9.在圆。中，有一个内接△ABC,过点A和B作切线PA和PB相交于点P,过点P作PQ

平行于BC交AC于Q,连接Q0并延长交BC于H,求证：BH=CH

10.4ABC内接于圆0,AB为圆直径，PA是过点A的直线NPAC=NB,

（1）求证：PA是圆0切线（2）如果弦CD交AB于E,CD的延长线交PA于F,

AC=8,

CE：ED=6：5,AE：EB=2：3,求AB长和NECB的正切值

11.AB是半圆的直径，D为AB上一点，CD垂直AB,CD交半圆于E,CT是半圆

的切线，切点为T求证：BE~+CT=BC2

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已知PAB是圆的割线，交圆于A、B两点，PC切圆于C,ZCPB的平分线交AC于

E,交BC于F求证：(1)—=—(2)CEPA

BFBCBF二一P5

P是圆外一点，过P作PA切圆于A点，连P0交圆于B点,AC为弦，若NP=NBAC,

PA=15

PB=5,求BC的长

-----

1.在△ABC中，AB=AC,以A8为直径的。。交AC

与E,交BC与D.求证：

(1)。是8C的中点；

(2)BC2=2AB*CE

^=-15C

2.正三角形内接于圆0,P是劣弧BC上任意点,PA交BC于E,求证：

(1)PA=PB+PC(2)—+—

PBPCPE

3.已知：如图，在RtZXABC中，NACB=9(),AC=4,BC=4g,以AC为直径的

。交A5于点。，点E是5c的中点，OB,DE相交于点尸.

(1)求证：OE是。。的切线；A

(2)求ERFD的值.

EC

4.如图，在aABC中，ZACB=90°,半径为1的。A与边AB、AC分别交于

点D、E,DE、BC的延长线相交于点P.

(1)当NB=30°时，联结AP,若4AEP与4BDP相似,求CE的长;

(2)若CE=2,BD=BC,求NBPD的正切值.

<A)

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BCP

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5.如图，00中弦AC,BD交于F,过F点作EF〃AB,交DC延

长线于E,过E点作。。切线EG,G为切点

求证:EF=EG

6.已知：AABC中，H为垂心(各边高线的交点)，。为外

心，且OMLBC于M.A

(1)求证：AH=2OM；/

(2)若NBAC=60°,求证：AH=AO.//\\

1.点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作闻8七不哪/

CE.取AF、CE的中点M、N,连接BM,BN,MN\/一少卡)

⑴若AABE和AEBC是等腰直角三角形，且ZA8E=上同稣7颉%则

AMBN是三角形.一

(2)在AA3E和△BCE中，若BA=BE,BC=BF,且NABE=NFBC=a,(如图2),则

AMBN是三角形，且NMBN=.

(3)若将(2)中的AABE绕点8旋转一定角度,(如同3),其他条件不变，那么(2)中

的结论是否成立？若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出

证明.

(如图3)

2.如图所示，在AABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE〃BC,如图①，然

后将AADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至

M、N,使DM=，BD,EN=/CE,得到图③，请解答下列问题:

22

⑴若AB=AC,请探究下列数量关系：

①在图②中，BD与CE的数量关系是；

②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、NMAN与NBAC的数量关系，并证明你

的猜想;

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⑵若AB=k・AC（k＞l）,按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN

的数量关系、NMAN与NBAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.

3.以AABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RAABO和等腰R/AACE,

/840=/。4E=90。,连接。。M、N分别是BC、OE的中点.探究：AM与

OE的位置及数量关系.

⑴如图①当AABC为直角三角形时，AM与OE的位置关系是,

线段AM与DE的数量关系是；

⑵将图①中的等腰RA4BO绕点A沿逆时针方向旋转6°（0＜。＜90）后，如图②所

示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说

明理由.

如图，抛物线y=分2-5分+4经过△ABC的三个

顶点，已知5C〃x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=5C.

（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析

式；

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(3)探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在

等腰三角形.若存在，求出所有符合条件的点尸坐标；不存在，请说斗B

如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与X轴交于

A、B两点，D是抛物线的顶点，0为坐标原点.A、B两点的横坐标分

X2-4%-12=0

的两根，McosZDAB=——.

2

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)作ACLAD,AC交抛物线于点C,求点C的坐标及直线AC的函数解析

式；

(3)在(2)的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在一点P,«1\

面积最大？如果存在，请求出点P的坐标和4APC的最大面不彳、

在，请说明理由.\

(3)存在点P(4,3)，使SMPC及大=|

54.........................................................................1分1

理由如下:

作CGLx轴于G,PF〃y轴交x轴于Q,交AC于F.设点P的横坐标是

则G(10,0--(/?-2)2+4-(-//-2)=--/?2+2/?+5),P(h,

44

--(/Z-2)2+4),F(h,-h-2)

；.PF=......................

△PCF的高等于QG.

SAAPC=SAAPF+SAPCF

=；PF•AQ+；PF•QG

=-PF(AQ+QG)=-PF•AG...................................................................

=-(-^h2+2h+5)xl2

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3,

=-1(//-4)2+54

...当h=4时，SAAPC员大=54•点P的坐标为(4,

3).............................................1分

1.在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的半圆。交于点。，DELAC,垂

足为E.

(1)求证：点。是BC的中点；

(2)判断。E与。。的位置关系，并证明你的结论;

(3)如果。。的直径为9,cosB=1,求OE的长.

2.如图A45c内接于圆。，AB=AC,直线MN切圆。于点C,弦\---、。

/MAC与6。相交于点E。

(1)求证AA5E名AACD；(2)若45=6,6。=4,求AE

3.已知C点在。0直径BE的延长线上，CA切。0于A点，CD是NACB的平

分线交AE于点F,交AB于点D。

4.AB是。。的直径，AC是弦，NBAC的平分线AD交。0于点D,DE±

AC,交AC

的延长线于点E,0E交AD于点F.

(I)求证：DE是。0的切线；

(ID若型=2,求竺的值.

AB5DF

Al

5.如图：AB是。0的直径，C、F为。0上的点，CA是ZBA尸的角

平分线，过点C

作CDLAF,交AF的延长线于D点，CM±AB,垂足为M,求证：„

(I)DC是。。的切线；

(II)MB=DFo

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6.如右图梯形ABCD内接于圆O,AD//BC,过B引圆。切线分别交DA、CA

延长线于E、F

求证：（1）AB2=AEBC（2）已知BC=8,CD=5,AF=6,求EF长

1.如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、

CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P,

连接EP.

（1）如图②，若M为AD边的中点，

①，AAEM的周长=cm；

②求证：EP=AE+DP；

2.在DABCD中，BC=2AB,M为AD的中点，设NABC=a,过点C作直线

AB的垂线，垂足为点E,连ME。

（1）如图①，当a=90°,ME与MC的数量关系是；NAEM与NDME

的关系

是O

（2）如图②，当60°Va<90°时，请问：（1）中的两个结论是否仍然成立？若

成立，请证明；若不成立，请说明理由。

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（3）如图③，当0°VaV60°时，请在图中画出图形，ME与MC的数量关系

是:NAEM与NDME的关系是。（证明）

图①

.如图1,RtAABC^Rt/\EDF,ZACB=ZF=90°,ZA=ZE=30°.AEDF绕着

边AB的中点。旋转，DE,。尸分别交缱段AC于点M,K.

（1）观察：①如图2、图3,当NCDF=O。或60。时，AM+CKMK（填

“>”，或"="）.

②如图4,当NCDF=30。时，AM+CK__MK（只填或

（2）猜想：如图1,当0。</。。/〈60。时，AM+CKMK,证明你所

得到的结论.

（3）如果MK+CK2=AM2,请写出NCDF的度数和处的值.

（第23题）

如图，已知抛物线y=+/2x+c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A

的坐标为（2,0），点C的坐标为（0,-1）.

（1）求抛物线的解析式；y=-x2--x-l

22

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DELx轴于点D,连结DC,当

△DCE的面积最大时，求点D的坐标；点D的坐标为（1,0）

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(3)在直线BC上是否存在一点P,使4ACP为等腰三角形，若存在，求

点P的坐标，Pi(叵，一回—1)2(-亚，巫—1)P3(l,-2)

2222

P4(|,-1)

26题图

1.已知：如图，A8为。。的弦，过点。作A3的平行线，交

。。于点C,直线0C上一点。满足/。=乙4cB.

(1)判断直线80与。。的位置关系，并证明你的结论;

(2)若。。的半径等于4,tanZACB=-,求8的长.

3

2.在Rt△板中，NC=90°,BC=9,CA=12,/四。的平

分线初交ZC于点〃

DE工DB交AB于点E,。。是△应!£1的外接圆，交BC于

点F

(1)求证是。。的切线；

(2)联结即求交的值.

AC

(第19题)

3.A4BC内接于O,AB为直径，弦CEJ_A5于F，C是4。

的中点，连结8。并延长交EC的延长线于点G,连结A。，分别交CE、BC于点P、

Q-

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3

(1)求证：P是AACQ的外心；(2)若tan/A3C=—,。/=8,求CQ的长;

4

(3)求证：(FP+PQf=FPFG.

4.已知△ABC中，AB=AC,。是AABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A,C

重合)，延长BD至E。

(1)求证：AD的延长线平分NCDE；

(2)若NBAC=30,△ABC中BC边上的高为

2+6，求AABC外接圆的面积。

5.已知：如图，是。。的直径，E是A8延长线上的一点，。是。。上的一

点，且AO平分NFAE,EDLAb交Ab的延长线于点

C.

(1)判断直线CE与。。的位置关系，并证明你的

结论；

(2)若AF：FC=5：3,AE=\6,求。。的直径AB

长

6.。0是△ABC的外接圆，尸”是。。的切线，切点为F,

FH//BC,连结AE交8C于£,NA8C的平分线3。交A尸于。，连结

BF.

(1)证明：AF平分NBAC；

(2)证明：BF=FD-,

(3)若EF=4,DE=3,求AO的长.

1.如图1,点C位线段BG上一点，分别以BC、CG为边向外作正方形BCDA

和正方形CGEF,使点D落在线段FC上，连结AE,点M位AE中点

(1)求证：MD=MF,MD±MF

(2)如图2,将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°,其他条件不变，探究：

线段MD、MF的关系，并加以证明；

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(3)如图3,将正方形AGEF绕点C旋转任意角度后，其他条件丕同，探究:

线段MD、MF的关系，并加以证明。

2.已知：在aABC中AB=AC,点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E

在线段DF的延长线上，ZBAE=ZBDF,点M在线段DF上，ZABE=ZDBM.

(1)如图1,当NABC=45°时，求证：AE=VIMD；

(2)如图2,当NABC=60°时，则线段AE、MD之间的数量关系

为：o

(3)在(2)的条件下延长BM到P,使MP=BM,连接CP,若AB=7,AE=

277,

求tanZACP的值.

3.已知：在A48C中NACB=90。，CO，4?于点。，点E在AC上，BE交CD

于点G,EFLBE交4?于点儿

如图甲，当AC=BC时，且CE=E4时，则有EF=EG；

(1)如图乙①，当AC=2BC时，且CE=E4时，则线段EF与EG的数量

关系是：EF.EG；

(2)如图乙②，当AC=2BC时，且CE=2E4时，请探究线段£厂与EG的

数量关系，并证明你的结论；

(3)当AC=〃近。时且CE=〃E4时，则线段所与EG的数量关系，并直

接写出你的结论(不论证明)；

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cc

(第25题)

4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=d+"+c的图象与x轴交于4B

两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,-3)

点，点P是直线下方的抛物线上一动点.

(1)求这个二次函数的表达式.(y=x2-2x-3)(2)连结。0、尸。，

并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC,那么是否存在点P,使四边形

POPC为菱形?若存在，请求出此时点P的坐标

(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐

标和四边形ABPC的最大面积.

(2)P点的坐标为("回，_3)⑶P点的坐标为75/8

221241

LAB,CD是圆的两条平行弦，BE//AC并交CD于E,交圆于F,过A点的切线

交CD延长线于P,PC=ED=1,PA=2

(1)求AC长(2)求证EF=BE

2.已知PA与圆相切，A为切点，PBC为割线，弦CD//AP,AD、BC相交于

E,F为CE上一点且OE?求证：(i)/p=N£>EF,

Q)CEEB=EFEP

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3.梯形ABCD内接于圆，AD//BC,过点C作圆的切线，交BD的延长线于P,交

AD延长线于E

(1)求证(2)若BD=9,AB=6,BC=9,求切线PC长

4.00的直径AB是4,过B点的直线MN是。。的切线，D、C是。0上的两点,

连结AD、BD、CD和BC.

(1)求证：ZCBN=ZCDB；

(2)若DC是NADB的平分线，且NDAB=15°,求DC的长.

5.如图，直角三角形ABC,ZABC=90,以AB为直径的圆交AC于E,点D是BC

中点，连0D交圆于M(1)求证：0、B、D、E四点共圆(2)求证：

2DE2=DM-AC+DM-AB

6.如图，过圆。外一点”作它的一条切线，切点为A,过A点作直线AP垂直

直线，垂足为P.(I)证明：OMOP=OA2；(II)N为

线段AP上一点，直线垂直直线。N,且交圆。于B点.过8点

的切线交直线ON于K.证明：ZOKM=90.

7.已知：如图所示，^ABC内接于。0,过点A的切线交BC

的延长线于点P,D为AB的中点，DP交AC于M.

2

求证:PA_AM

PC2~MC

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1.4ABC和4DEF是两个等腰直角三角形，ZA=ZD=90°,4DEF的顶点E位于

边BC的中点上.

（1）如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证：aBEMs4

CNE；

（2）如图2,将4DEF绕点E旋转，使得DE与BA的

延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是，除（1）中//

的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形？/

并证明你的结论\乂/

2.在菱形A3CD和菱形8EFG中，点4B,E在同一

条直线上，P是线段的中点，连结PG,PC.若ZABC=NBEF=60,探究

PG与PC的位置关系及空的值.

（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及二的值；

PC

（2）将图1中的菱形3EFG绕点3顺时针旋转，使菱形3EFG的对角线BF恰

好与菱形A3CO的边A8在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图

2）.你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.

（3）若图1中NABC=N3£E=2a（0<a<90）,将菱形BERG绕点8顺时针

旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出胎的值（用含a的

式子表示）.

3.在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,NC”6@,AD=CD,点E在射线BC

上，将4ABE沿AE翻折，点B落到点F处，射线EF与射线CD交于点M.

（1）当点M在CD边上时（如图a）,求证：FM—DM=—AB63

3

（2）当点E在BC边的延长线上时（如图b）,线段FM、DM、AB的数量

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1.如图，抛物线y=f—2x—3与x轴交A、B两点(A点在B点

左侧)，直线/与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为

2.

(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交

抛物线于E点，求线段PE长度的最大值.(PE的最大值

(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,

使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是

平行四边形？如果存在直接写出所有满足条件的F

点坐标E(1,0)F2(-3,0)F3(V7+4,0)F,(-6+4,0)

2.设抛物线y=ax：'+bx+c与x轴交于两个不同的点4(—1,0),B

(m.O),与y轴交与点。(0,-2),且N/"=90°.

(1)求m的值和抛物线的解析式.

(2)已知点〃(l,n)在抛物线上，过点/的直线y=x+l交抛物线于另一

点E,求点D和点E的坐标.

(3)在x轴上是否存在点R使以点R用〃为顶点的三角形与三角形

AEB相似，若存在，请求出点。的坐标，若不存在，请说明理由.

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中考数学知识点总结

第一章实数

考点一、实数的概念及分类（3分）

1、实数的分类

正有理数广[

有照零Y有限小数和引汨艮循环小数

实数<负有理£■」

正无理料1

无栽—无限不循环小废

负无理晓」

2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如右,45等:

（2）有特定意义的数，如圆周率”，或化简后含有兀的数，如一+8等；

3

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等:

（4）某些三角函数，如sin60°等

考点二、实数的倒数、相反数和绝对值（3分）

1、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上

看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0,a=-b,反之

亦成立。

2、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|>0»零的绝对值时它本身，也可看成它的相反

数，若|a|=a,则a>0；若|a|=-a,则a<0«正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对

值大的反而小。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根（3—10分）

1、平方根

如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零：负数没有平方根。

正数a的平方根记做“土JZ”。

2、算术平方根

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a（a*）y[a>0

=\a\=；注意JZ的双重非负性:

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-a（a<0）a>o

3、立方根

如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：刈=Z=这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

考点四、科学记数法和近似数（3—6分）

1、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精

确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法

把一个数写做±4X10"的形式，其中n是整数，这种记数法叫做科学记数法。

考点五、实数大小的比较（3分）

1、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺•不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，

a-b>0a>b,a-b=0<=>a=b,a-b<0<^>a<b

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，—>1oa>/?;—=1otz=/?;—<1oa<b\

bbb

（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则同>|4OQVZ?。

（5）平方法：设a、b是两负实数，则。2>b2<=>a<b.

考点六、实数的运算（做题的基础，分值相当大）

I、加法交换律a+b=b+a；2、加法结合律（a+b）+c=a+（〃+c）

3、乘法交换律ab=ba；4、乘法结合律（ab）c=a（bd）

5、乘法对加法的分配律a（b+c）=ah+ac

6、实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

第二章代数式

考点一、整式的有关概念（3分）

1、代数式：

用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数

式。

2、单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

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“1，，

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如一4一

3

13,

这种表示就是错误的，应写成——a~2b,一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

3

如一5。62c是6次单项式。

考点二、多项式(11分)

1、多项式

几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常

数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

单项式和多项式统称整式。

用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。

注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。

(2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。

2、同类项

所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。儿个常数项也是同类项。

3、去括号法则

(1)括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。

(2)括号前是“-把括号和它前面的“-”号一起去掉，括号里各项都变号。

4、整式的运算法则

整式的加减法：(1)去括号；(2)合并同类项。

整式的乘法：""・a"=a"'+"(租，〃都是正整数)

(a"')"=优"(m,"都是正整数)

(a4)"=(〃都是正整麴(a+b)(a-b)=a2-b~

(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2

整式的除法：""=a'"-"(人〃都是正整数awO)

注意：(i)单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

(2)单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。

(3)计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符

号。

(4)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。

(5)公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

(6)a°=l(aH0);a~p=—(a丰0,p为正整数)

ap

(7)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项

式除以多项式是不能这么计算的。

考点三、因式分解(11分)

1、因式分解

把一个多项式化成儿个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因

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式。

2、因式分解的常用方法

(1)提公因式法：a