高中数学讲义：基本不等式

高中数学讲义：基本不等式

目录

1.前言..............................................................................................1

2.不等式基本知识...................................................................................2

3.不等式的证明方法.................................................................................3

4.含绝对值不等式的解法...........................................................................14

5.含参一元二次不等式例解.........................................................................16

6.不等式恒成立问题...............................................................................20

7.练习题..........................................................................................24

1.前言

《基本不等式》一课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节第1课时

内容，教学内容为基本不等式的定义、证明方法、几何解释及简单应用，主要有以下特点：

1、目标有据

教学目标的确定体现“课程目标一单元目标一课时目标”的层次性、逻辑性，能根据教学内容

和学生实际情况对课标的要求进行分解、细化；目标的设置关注到基本不等式的知识生成、技能形

成，同时关注到知识技能获得过程中的数学思想方法、数学核心素养、及数学活动经验。

2、进程有序

算术平均、几何平均是统计中常用的基本量，比较其大小是数学基本问题（引入）；引导学生

从作差法和分析法去解决问题（教学重点），突出了不等式性质在代数运算中的核心作用，抓住了

基本不等式的本质；通过对比重要不等式与基本不等式的联系，探究基本不等式的几何解释，形成

了对基本不等式结构的立体式认知，这样的设计体现了获得数学研究对象，研究数学公式的基本方

法。

3、调控有方

以问题作为教学活动的出发点，每个问题预设不同的回答，恰当处理了“预设”与“生成”的

关系，教学步骤清晰，环环相扣，推进自然流畅，问题设计合理，指导恰时恰点，教学形式多样

（启发式、探究式教学）。

4、达成有效

从大小的猜想到证明，从证明方法到证明算理的提炼，从代数结构到几何解释的探究，数学思

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想方法运用明显，学科特点突出，学生经历思考、交流、表达，体验了研究数学的思想方法、积累

了解决数学问题的活动经验。

2.不等式基本知识

1、基本性质

性质一：a>b=b（对称性）

性质二b>c,na>c（传递性）

性质三：a>ba+c>b+c

性质四：。>6,c>0<=>ac>baa>b.c<0oacvbe

当奈@递遢小血IL

2、运算性质

a>b,c>dna+c>b+d（加法法则）；

a>b>0,c>d>0nac>bd（乘法法贝！1）

a>b>0,〃£N,=>a">6（乘方法则）；

a>b>0,nwN=7a>7b（开方法贝！I）.

二宓@遨遢小仙儿

3、常用不等式

+6一、/4+久，、,

⑴-->（--Y>ab

22

（2）a2^b2>l\ab\取等号条件：一正、二定、三相等；

（3）|x+-|>2;

x

,八八bb+m

（4）右q>6>0,m>0,—<-------;

aa-\-m

（5）%+x,+K+…+匕2•不.....x“（x>0）3奈@遐遢小仙儿

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3.不等式的证明方法

常用的方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、反证法、类比法、放缩法、换元法、判别

式法、导数法、几何法、构造函数、数轴穿针法等。

1.比较法

j22

【例】若。>0,6>0,求证：———

ab

证明：

212

ba,,,(a+b)(a-ab+b')z,.(a+b)(a-bY

—+-----(a+b)=----------------------------(a+b)=--------乙----------

ababab

a2bz

''~b+~a~a+b,头条@iM小仙儿

2.分析法

【例】已知。，b,x,歹都是正实数，且求证：

ab

xy

---->——.

a+xb+y

解：•••〃，b,X,y都是正实数，.•.要证上〉J-,只

a+xb+y

要证x(b+y)>Mo+x),即证也就是空>2，即

abab

Xy]|Axy、

而由]，叉〉y.知】〉不成立，原式得证协亲@邈遢小仙儿

3.综合法

先用分析法分析寻找思路，再正面求证。

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【例1】设4,b,。均为正数，且O+6+C=l,求证：

△a+1+J36+1+J3c+1<3V2.

证明：•••。，6,c均为正数，a+b+c=],

0<a<1,0<万<1,0<cv1,,「72•J3〃+1<----，

2

0力再1«&^,加力占14至^,以上三式相加得

22

72[j3a+1+y/3b+\+V3c+1]<6,

J3〃+1+J38+1+J3c+1K3vL

【例2]设mwN，neN、，且加<〃，求证：(】+—『<(1+-)"

mn

证明：(1+—f=(1+—)(1+—)---(1+-)-11b-.l

mmmm

(1+—)w+1x(77-/n)[1

<[-q-r=a+3",•••1+上工1.••・上述不等式

nnm

中不能取等号，(1+Ly<(1+与成立•式中乘了〃-〃，个1构成

mn

不等式〃弟@题遇小曲儿

4.数学归纳法

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【例】设x>-l,且〃wN,,求证(1+x)"之1+〃x.

证明：⑴当〃=1时，(l+x)=l+l-x,不等式成立.

⑵假设当〃=%，"wN,,时,不等式成立,§P(l+x)*>\+kx,

那么当〃=%+1时，o-lul+x〉。,代之0,.••由归纳假

设可得(1+x)"">(1+Ax)(l+x)=1+(%+l)x+Za=之1+(々+l)x,

.-.(l+xr>l+U+l)x,即〃=攵+1时，不等式也成立,综合

以上所述，对于任意X>—1,且〃£”,(1+幻"之1端曾魔啦少儿

5.反证法

【例】已知。，b，C都是小于1的正数，求证：

(1-力)c,(l-C)4中至少有一个不大于9.

4

证明：假设三个式子都大于4,b,。都是小于1的

正数.”"a)b>；,4(l-b)c>〉；，从而

yjk\-a)b+yj[\-b)c+yl(\-c)a>-,但是

'

与上式矛盾，故假设不成立，原命题瀛'落弟@递遢小仙儿

6.类比法

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【例】已知函数=+/?x+c(q>0)的图像与x轴有两个

不同的交点，若/(c)=0,且0<x<c时/(x)>0,当。>1,，>0

时，求证：=+上v+£>o.

证明：直接证明很困难，题中说到函数的性质，那

么就要构造成类似/(X)的形式，即类比函数，要证

----1----1—>0即证a-———0

/+2/+1tt+2/+1

>(-^-)2,且C7>0,

/+2/+1

/.a•—^―+b•—^―+c>〃•(―^―)'+b•(―^―)+c=/(―^―),而

7+2/+1t+\r+1r+1

0<J<l<c.\/(1)>0,/.-^―+二+->0,命题得证.

，+1，+1，+2t+L..J,

斐奈@递遢小仙儿

7.放缩法

常用放缩公式

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1+1—7〃<---7=<、’〃—J〃—1I

21〃

।②----------<—<-----------,

n〃+1nn~\n

Aa+〃?a„八、

3：------->—(b>a>(),〃？>0)；

b+mb

@w!>2n,(w>3)；

⑤〃个正数q,a2,外…见(〃22),

有卬+生+/+,••+]“…%,

当且仅当q=%=3=••=。”时等号成立；

⑥|々|一』国4土。国a|+|b|；

i7ln(x+l)<x(x=0,ln(x+l)=x)；

⑧二项式定理展开式(。+b)n=C：+C：+C；+C/+...+C；；

9(1+x)'>1+3x(x>0),工弟@避遢小仙儿

练习应用

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【例】已知正项数列满足且叫“前

n

⑴求证：小不念方•⑵工含＜1

证明：(1)

a11,11,1.1।

ciiW---/.--2---F1,.二—2---F1>----k22…2—+〃—1

1+凡％凡0%%a

1+(〃-1)4

a<---------

】+(〃-1)〃

aaa1

⑵%<

1+(〃-1)4na+\-anan

----1-----1---1-------

Ix22x3〃(〃+】)

=1---1-----1-…H--------=1------<1.命题得证.

223nn+\〃+】…―

笈奈@遨遢小仙儿

8.换元法

常用的换元方法

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1若f+_y'=可设x=ocosa,y=〃sina,ae[0,2兀).

I

X~2y9_

2若-7+、=l,可设x=〃cosa,y=bs\na,ae[O,2TV)；

a-tr

3对于Jl-£,可设x=cosa,(aw[0,TT]),

或x=sina,(ae[--J)

4对于Jl+x"可设x=tana或》=cola；

5对于Jx?-1,可设x=seca或x=csca；

6若Y+y*。'，可设x=rcosa,"=5m。,0«|川之原@迪遢小仙儿

练习应用

【例】已知。，bwR,a2+b2<4,求证：|3/-8"-3蚱20.

证明：设〃=〃cosa,b=rsinar(<7eR),其中04厂工2,

，原式可转化为k13cosa-8sinacosa-3sina|.

r'13cos2a-4sin2a|=5r?|cos(2a+(p)\,v0<|cos(2cr+^)|<1,

二.原式K20,.•.原不等式成立.丁工弟@避遢小仙儿

9.判别式法

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,E•A、T1£+x+13

【例】求证：

2x+12

Y'4-Y-I-1

证明：设y=则(l-y)/+x+l—y=O,定义

域为R

(1)歹=1时，x=0是定义域中的一个值，.•.>=1是值域中

的一个值.

(2)歹工】时，由A=l—4(l—/)N0,得;/1).

综上所述:《二成立.

2x2+12

【推论】判别式法证明对形如

[(竺邙^也(仇卬a工0,.YW&)具有一般性

a,*;r+b,2x+c,--.

■亲@械小仙儿

10.导数法(单调性)

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【例】已知各项均为正数的数列的前〃项和s.满足E>i,

且65“=(。“+1)(见+2),〃£N,

(1)求｛见｝的通项公式；

(2)设数列也｝满足q(2"-1)=1,并记乙为色｝的前〃项和，

求证:37；+l>log2(a4-3),neNt.

解：(1)q=S；=，(q+l)(q+l),，q=L2,

6

由已知=5>1,/.q=2,

又中小皿+2i,+皿+2)],

得%-4t=3,。用=凡(舍去).，｛牝｝是公差为3,首项为2的

等差数列，故｛凡｝通项公式为凡=3〃-1,

3〃

(2)由凡(2,-1)=1,解得=log;(l+-)=log2

凡3H-1

T=b、+b,+b、+…+b=log(―•—•—•••——).

"1*3”22583/7-1

3(+1-噫(见+3)=log2[(1]…占》

253〃一I3〃+2

入「363〃/2

253n-\3/7+2

my/(〃+1)=3〃+23〃+33=(3〃+3)3

f(n)3〃+53〃+2(3〃+5)(3〃+2)'

因(3〃+3)'—(3〃+5)(3〃+2了=9〃+7>0,/./(〃+1)>/(/?),牛寺

27

别的/(〃)>/(1)=Q,/.37；+1>1喝(见+3).会@窟遢小仙儿

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11.构造函数法

【例】对于函数/(x),若存在儿€上使"毛)=七成立，则称

X。为了(X)的不动点，如果函数/(x)=：+a.(b,C£N.)有且仅

bx-c

有两个不动点0,2,且

(1)试求函数/(幻的单调区间.

(2)已知各项不为零的数列满足4S“•/(-)=1,

牝

十、丁1,n+\1

求证：----<In----<----.

%〃见

(3)设〃=-」~,乙为数列他｝的前〃项和，

死

求证:T；0M-l<ln2008<7^7.

-Lzj

解：(1)令/(x)=^----=x,(1-b)x:+cx+a=0,由

bx-c

已知0,2时方程的两根，「.l-bwO,XtX2=<7=0,/.67=0,

xl+x2=2=，一,c=2b-2>0,vb,c>0/./?>1,

b-\

-415

/(-2)=------8>4Z?-2,/.0</)<-,/./)=2

2b+c22

c=2,/。)=丁不八幻=薯4，令/'(幻>0得x>2或

2x-22(x-1)

0<x<1,令/'(x)<0,得xvO或lvxv2,

•••增区间为(2,+8)和(0,1),减区间为(-8,0)嵇希狰磔遢小仙儿

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⑵/(-)=T-7T-?45./(-)=1,

凡2凡(1一%)an

2S=a—a»2S=a—a「，两式做差得。n+l生=-1，，数

列以,｝是以-1为公差，-1为首项的等差数列，.•・里=-〃,

一.要证原式，即证_[vln四＜1,令x=L,函数

/7+1nnn

一X

gW=ln(x+l)-x,^)=—<0,递减

g(x)z<ini=0,z.g(x)<0,Aln(l+x)<x,z.In(^-i^)<

nn

、/〃+1、11,〃+11

同理可证ln(-)>-—一一<In-<-----.

〃〃+1。〃风

(3)由⑵得配<ln"Lln四<“，

nn

OAAQOAQ7

.-.r-l<ln^^+ln+---+ln2-l=ln2008-l<ln2008,

-00820072006

>ln^ln2007

++…+In2=ln2008

20072006

其弟@iM小仙儿

.•.7；008T<1112008〈小.

12.利用数轴：穿针引线法

第13页共28页

【例】求解不等式隹检鬻型

解：原不等式等价于(X-4『(X-8)(X-9)(X+6)(X+7)<0,

根分别为-6,-7,4,8,9在数轴上标出这些值，考虑到4对应的

为偶次鬲，所以不穿过.其结果如图

在数轴上方的为大于0的解，下方的为小于0的解，因此不等

式的解为{x|-7vx<-6,或8<x<9}班票@遛遢小皿L

4.含绝对值不等式的解法

1.分类讨论法

【例1】求|£-3|>2x的解集.

解:①当/一3之0时，有X?J5,或xW—G,止匕时原式艮［1

为一2工一3=(工一3)(工+1)>0.解得工>3或工〈一1,与

或xW-75,求交集得解x>3或x<-V3.

②当x2-3<0时，有—A/IVXVQ,原式即为

+2x-3=(x-l)(x+3)<0,解得一3Vxv1,与一vx<7弓

求交集得-6Vx<1.综上①②所述，原不等式解集为

{x|xv1或x>3}.男弟@遨遢小仙儿

2.两边平方法

承接例1

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①当20时，原不等式可化为

(x2-3)2>4x2x4-1Ox2+9>0分解因式得

(x-3)(x+3)(x-l)(x+1)>0,所以x>3或xv-3或一1vxv1,

故x>3或0Wx<1.

②当xv0时，原不等式恒成立.

综合①（2）可得解集为｛xIxv1或x>。，=美至@遽遢小仙儿

3.图像法

承接例1

令卜二|£-3|,K=2X,分别在坐标轴上画出两者的图像，解

方程|x：3|=2x可得阳=1,忆=3从图像可得不等式的解为

{x|x<l或%>3},=|x?-31

4.等价转化法

承接例1

原不等式等价于r-3>2x或X,-3v-2x,/.x>3或xv-l或

-36<1,.・•不等式解集为:.v.v<।.茎：?上虻一■岫触雌曲

5.利用线性规划求解

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【例】f(x)=yl(a+2)x:+bx+a+2(a,6wR)的定义域为R,

则3a+6的取值范围？

6+2〃+420

47+2>0

解：由已知<b—2a—4<0

A<0

a>—2

以①向为横纵坐标轴，画出其可行域，令z=3o+R可知直

线6=-3。+工经过(-2,0)时有最小值-6,・•.3。+君多继遢小仙儿

6.运用绝对值的几何意义

【例】对任意实数&,不等式|X+1|-|x-2|＞攵恒成立，求I的

取值范围.

解：|工+1|-|工-2|的几何意义是》到-1的距离减去到2

的距离,由数轴可知，|x+11-1x-2-3,Av-3.

X-1工至软：副\仙儿

5.含参一元二次不等式例解

含有参数的不等式应用的比较多的是分类讨论思想，①其思路是一般先将式子因式分解或分解

因式或分母有理化，然后再结合参数对称轴、判别式、根的正负进行讨论。②当无法进行因式分解

的时候多涉及对称轴或者利用导数求解，下面结合例题解析。

1.二次项不含参数

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【例1】解关于X的不等式：x2

解：原不等式可化为(x+M(x-l)>0,这里有两个根：

-"7,1,此时需要讨论两根的大小，

1当一用>1,即用〈一1时，解为工>一机，X<1；

②当一mvl,即加>一1时，解为x>Lx<-m

3-m=1,即加=一1时，解为xwl；

综合1)②③知加<-1时,或x<1}；〃?=一1时，

{x|X1}；/%>—1时，{x[x>1或xv-m}.

【例2】解关于x的不等式：/+(”]口+。>0

解：此时显然无法因式分解，因此通过判别式来解，

A=(a-1)2-4a=a2-6(7+1.

①当A>0,即o>2拒+3或〃<3-2行时，不等式有两个根

—((7—1)+J7-6a+1—(a—1)—,cr_6a+14

再=2•X2=2,解为

或xv%；

②当A<0,即3-2行<"3+2行，此时不等式恒成立；

③当A=0,即4=3-2”5或。=3+2后时，解为x工行一1,

或XW-(V24-1).

综上所述，解为"2元+3或67<3-2V2时

j.一(a-1)+J优—6a+1_<i,-(a-1)-Ya2—6a+1

I大Ix>।卬Cx<)/

3-2V2<67<3+2V2时，{x|xcH}；々=32春管噜小外儿

{.rIxV2—1}；a=3+2V5日寸，{x|xw—(V5+1)}.

【例3】解关于x的不等式：£+4X+1>0(x20).

解::①x=0时，不等式成立，止匕时aw/?；

②x>0日寸，原不等式可化为a>—(X+,)，x+—>2,

XX

当x=—=1日寸成立，X4——<—2,a>—2.

XX

综合①②得{a|a>—2}.工嶷@通遢小仙儿

2.二次项含参数

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[ffl1]解关于X的不等式：6+2x+l>0.

解：①4=0时，解为；

②"0时，A=4-4a；

⑴△>()即"1时，解为｛x|x>土正I或、<土正1｝;

aa

(2)A<0,即时,不等式恒成立；

(3)A=0,即〃=1时｛x|xw-1｝；综上所述1=0时，解为

｛x\x>-^｝；”1时，解为｛x|x〉]+1一"或

2a

X<————；4=1时

a

【例2】解关于x的不等式：a/-(o+l)x+l>0.

解：㈠4=0时，X<1；

㈡a声()时，1〃>0时，原不等式可化为(办一1)(工一1)>0,

此时有两根L1；

a

时，解为｛x|x>1或xvl｝；

aa

(2)-<1»时，解为｛x[x>1,或x<,｝；

aa

(3)-=1,。=1时，解为“|xwl｝；

a

②"0时，原不等式可化为(-办+l)(x-1/侬鹿懈峭」

第19页共28页

{x|-<x<l}；

a

综上所述："0时{x|』vx<l}；"0时{x|x<l}；0<"1

a

时或X<1}；4=1时{x|xwl}；4>1时{x|x>l,或

a

x<—}.

a

【例3】解关于x的不等式：公-2ax+l>0

解：①a=0时，不等式恒成立；

2a>0时，A=467--4cr；(1)A>0,即4>l时，x>1+^a2-a

或x<\-yia:-a；

(2)A=0,即4=1时，XHl

(3)A<0,即0<〃<1时，不等式恒成立；

3〃<。时，不等式化为(-a)x?+2ax-1<0,A=4«;-4^7>0,

此时解为1-Ya，-a<x<1+Ya'-a；

综上所述：0«4<1时，{工|工£/?}{x\x>\+y/a2-a

或xv\--a}；a<0,{x11-<x<1仙儿

6.不等式恒成立问题

恒成立问题的基本类型

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类型1:设/(x)=ax'+bx+c(aw0),

⑴/(x)>0在xwR上恒成立oa>0且△<()；

⑵/(x)<0在xeR上恒成立=4v0且A<0.

类型2:设/(x)=ax2+bx+c(a0),

(1)当。>()时，/(.丫)>0在工£［。,万］上恒成立,

bbb

------VCta<------<“或，一五/(x)<0在

<=>2a或<la

、/(a)>0A<01/(/?)>o

/(a)<0

xe［。，⑶上恒成立。,

/(«)>0

(2)当"0时，/(%)>0在xe［a,0上恒成立=

f@>6

bb0

-<a^a<-----<B

/(不)<0在》£匕，/?］上恒成立，=<2a或<2a

f(a)>0［A<0

--b->。

叫r2a

J(£)<o

类型3:/(X)>a对一切xe/恒成立=/(x)min>a\

f(x)<a对一切xe/恒成立o/(x)^>a.

类型4:/(x)>g(x)对一切x£/恒成立。/(x)的图象

在g(X)的图象的上方或兀„(X)>gmx(X).斗弟@鹿遢小仙儿

恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数

法、最小值法、数形结合等解题方法求解。

1.利用判别式解

【例1】已知在xeH,恒有-QX+1>0,求々的取值范围.

解：原式等价于A=6Z2-4<0,/.-2<(7<2.

【例2】xeR,恒有Q£-X+1>0,求a的取值范围.

解：原不等式等价于［>0，A=1-4a<0,/.a>—.

4

或解：①x=0时，不等式成立；②xwO时，

不等式化为〃>口，令人(幻==1,/(x)=W，

X'X'X

所以易知其最大值为〃(2)=—»a>-.

44

【例3】xwA,恒有“-2〃x+1>0,求〃的取值范围

解：①4=0时,不等式化为1>0,成立;

②awO时，只需a>0,且△=4"—4qv0,.・.0<a<l；

综上所述：。的取值范围为。1).妗@瞧小仙儿

2.利用分离常数解

第22页共28页

【例】已知"2+2於-1v0.在(0,+8)上恒成立，求4的取值

范围.

解：vxe(0,+oo)/.x2>0,x>0,不等式可化为

a<----,,/x2+2x=(x+1)2-1,在x£(0,+8)上，

x+2x

x2+2x>0,----e(0,4-oo)/.(7<0.

x~+2x

豆免@遛遢小仙儿

3.利用变换参数来解

该法适用于题中已给出参数的界限。

【例】若2x-1>a(R-1)对满足-3W。W3,不等式都成立，

求解不等式.

解：原不等式可化为a(x2-l)-2x+l<0,将

a视为变量，/-1视为参数，那么y=/m)=a(£—l)—2x+1

就可以看做是以。为变量的直线，那么只需

/(-3)<0,八3)v0,解得｛x|-<xv—那益@遛遢小仙儿

4.利用最值

此时有两种情况：

/(X)>4,那么‘^(')>〃；/(X)<。，那么/L痣颉豳小仙儿

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【例1】不等式a>sinx-J5cosx,xG[0,恒成立，求

。的取值范围.

解：原不等式等价于i>2sin(x-；)L[0,"],

7T7T2TT.冗、「A/3__

x----£Ir----，—11,sin(x-----)£I------A],・=4>2.

33332

【例2】函数/(》)=工+2"+”，X£[l,+8),若对任意

X

xe[L+8),/(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.

解：x―t2x+。>0,x£[l,+oo),等价于£+2x+a>0,

x

/.a>~(x'+2x),当xe[l,+oo)-x;-2x<-3,豆的仙儿

5.数形结合

【例】已知x+1-2，>0,求解不等式..

解：不等式可化为x+1>2"令乂=戈+1,%=2',则原

不等式表示K在入图像上侧的部分，易求的解为

{x|0<x<l}.多条@遗遢小仙儿

7.练习题

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L若实数x,y满足/+>/+盯=1,则x+y的最大值是

2.设函数/(x)=+4X,a>0,

(I)求/(x)的单调区间；

(II)求所有实数。，使e-14/(x)4/对