曲线积分与曲面积分习题及答案

第十章曲线积分与曲面积分

(A)

1.计算+其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的连直线段。

2.计算j/x」+y2ds,其中L为圆周x?+V=&彳。

3.计算JG?+,2卜5,其中心为曲线x=q(cosf+tsinz),y-a(s'mt-tcost),

(0</<2万)。

4.计算［e屈ds,其中L为圆周/+>2=/,直线y=x及x轴在第一

角限内所围成的扇形的整个边界。

<44\/\

5.计算「13+y［为，其中L为内摆线X=6/COS31,y=asin3^0<Z<—J

在第一象限内的一段弧。

,rz2

6.计算f—-----ds,其中L为螺线x=acost,y=asint,

J心—十,2Z

z=at(0<t<2万)。

7.计算「孙公，其中L为抛物线产=》上从点到点8(1,1)的一段弧。

8.计算人/公+3即2小一/ydz,其中L是从点A(3,2,1)到点M。，0,0)的直线

段A3。

9.itMxdx+ydy+(x+y-\)dz,其中L是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直

线。

10.计算上(24-)，区一(。—,其中L为摆线x=a(t—sinf),y=a(l-cos?)

的一拱(对应于由f从。变到2)的一段弧)：

11.计算J,(x+y)rk+(y-彳越，其中L是：

1)抛物线4=%上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧;

2)曲线x=2产+.+1,丁=尸+1从点(1,1)到(4,2)的一段弧。

12.把对坐标的曲线积分J,P（x,yMx+Q（x,yM），化成对弧和的曲经积分，其

中L为：

1）在my平面内沿直线从点（0,0）到（3,4）；

2）沿抛物线y=炉从点（0,0）到点（4,2）；

3）沿上半圆周二+y=2%从点（o,o）到点（1,1）。

13.计算L（e*siny-my]dx+（excosy-mx]dy其中L为x-«（/-sin/）,

y=a（l-cost）,乃，且/从大的方向为积分路径的方向。

14.确定几的值，使曲线积分『（一+4肛-5y4）dy与积分路径

无关，并求A（0,0）,8（1,2）时的积分值。

15.计算积分£（2孙一/"+卜+/为，其中心是由抛物线y=/和丁=尤

所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。

16.利用曲线积分求星形线x=acos3f,y=asin3f所围成的图形的面积。

17.证明曲线积分J：；））（6xy2-y3kt+（6/卜-3孙2卜\:在整个xoy平面内与路

径无关，并计算积分值。

18.利用格林公式计算曲线积分

^（xy2cosx+2xysinx-j2^'）c/x+（x2sinx-2ye'）dy，其中L为正向星形

222

线炉+y3=屋（&>0）。

19.利用格林公式，计算曲线积分,/（2^-丁+4）公+（5^+3%-6）小，其中L

为三顶点分别为（0,0）、（3,0）和（3,2）的三角形正向边界。

20.验证下列P（x,y）ca+Q（x,yMy在整个xoy平面内是某函数M（x,y）的全微

2232y

分，并求这样的一个M（x,y）,（3xy+8xy）cZx+（x+8xy+12ye\lyo

21.计算曲面积分JjG+y2kx,其中2为抛物面z=2-（/+y2）在my平

面上方的部分。

22.计算面面积分JJ(2xy-2尤2一x+z's,其中Z为平面和三坐标闰面所围

立体的整个表面。

24.求抛物面壳Z=；(无2+y2)(O«z〈l)的质量，壳的度为。=Z。

25.求平面z=x介于平面x+y=1,y=0和x=0之间部分的重心坐标。

26.当E为xoy平面内的一个闭区域时，曲面积分与二重积

分有什么关系？

27.计算曲面积分||ztte/y+xdydz+ydz6k其中E为柱面元2+y?=1被平面

s

Z=0及Z=3所载的在第一卦限部分的前侧。

28.计算JJx2dydz+y2dxdz+z2dxdy式中E为球壳(x-<7)2+(y-Z?)2

+(z-c)2=R2的外表面。

29.反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积

，P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z}dxdy化成对面积的曲面积分，其中2是

平面3x+2y+2gz=6在第一卦限的部分的上侧。

30.利用高斯公式计算曲面积：

1)x2dydz+y2dzdx+z2dxdy,其中Z为平面x=0,y=0,z=0,x=a,

s

y=a,z=Q所围成的立体的表面和外侧。

2)(x-y)dxdy+(y-z)xdydz,其中2为柱面，+y?=1与平面z=0,z=3

所围立体的外表面。

31.计算向理a穿过曲面2流向指定侧的通量:

1）a=（2x-z）ix2yj-xz2k,X为立体0<y<a,0<z<a,

流向外侧；

2)笈=(工一y+z)7+(y-z+x):+(z-x+y)-E,E为椭球面

222

与+2+[=l,流向外侧。

b~c

32.求向理场&=axyi+cos(xy)7+cos(xz2)fc的散度。

33.利用斯托克斯公式计算曲经积分，9+处+龙龙其中r为圆周，

r

/+y2+z2=/,x+y+z=(),若从X轴正向看去，这圆周取逆时针方向。

34.证明，丁2公+盯dy+xMz=O,其中「为圆柱面/+y?=2y与y=z的交

r

线。

35.求向量场a=(x-y)Z+(x3+yz)j-(3^y2,其中F为圆周

z-2—yjx2+y2,z=0。

36.求向量场位=(z+siny):一(z-xcosy))的旋度。

37.计算J(y2—z2"+(z2—/法+3一,2达，其中「为用平面

r

3

x+y+z--切立方体0<xWa,0<y<a,Q<x<a的表面所得切痕，若从ox轴

的下向看去与逆时针方向。

(B)

1.计算「Ms,其中七为抛物线V=2px由(0,0)到(%,%)的一段。

2.计算Jj2d$,其中L为摆线x=a9一sin。，y=-cost)一拱

（0</<2乃）。

3.求半径为a,中心角为24的均匀圆弧（线心度夕=1）的重心。

4.计算其中L为螺线x=fcos/,y=tsint,z=r（04f42%）。

5.计算f———---ds,其中L为空间曲线x="cost,y=p'sint,

2

JL%-+y+z

z=pt上相应于t从0变到2的这段弧。

6.设螺旋线弹簧一圈的方程为x=acosf,y=asint,z=kt（0<t<2/r）,

它的线心度为Q（x,y,yz）=x2+y2+z2,求：

1）它关于Z轴的转动惯量L；

2）它的垂心。

7.设L为曲线x=t,y=产，z=/上相应于f从0变到1的曲线弧，把对

坐标的曲线积分J,Pdx+Qdy+Rdz化成对弧长的曲线积分。

8.计算f（x+y）f-（;一）达,其中L为圆周，+>2=。2（按逆时针方向绕

x+y

行）。

9.vfMydx+zdy4-xdz,其中七为曲线％=acosf,y=asint,z=bt,

从，=0到1=2万的一段。

10.计算］■,（，+:/■+（x2—y2.y,其中L为y=i_|x|（04xW2）方向为X

增大的方向。

11.验证曲线积分-业日（%2/+x-2ykx与路径无关并计算积分

值。

12.证明当路径不过原点时，曲线积分与路径无并,并计算

积分值。

22

13.利用曲线积分求椭圆二+4=1的面积。

cTb

14.利用格林公式计算曲线积分L(x2_)，"—(x+Sin2yky,其中心是圆周

y=72%-x2上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧。

15.利用曲线积分，求笛卡尔叶形线/+^=3叫，(。〉0)的面积。

ydx-xdy

16.计算曲线积分，其中L圆周(乂-球+/=2,L的方向为

L2（/+y2）

逆时针方向。

17.计算曲面积分03Ms,其中2为抛物面z=2-(/+V)在登/平面上的

部分。

18.计算JJ(xy+yz+zx)ds,其中2是锥面z=yjx2+y2被柱面x2+y2-lax

£

所截得的有限部分。

19.求面心度为0。的均匀半球壳/+/+z2=/(zN0)对于Z轴的转动惯

量。

20.求均匀的曲面Z=寿被曲面，+y2=公所割下部分的重心的坐

标。

21.计算曲面积分/=/(%,y,z)ds,其中

x2+y2+z2=a2

x2+>

/(x，y，z)=<z

0,z<

22.ifMjjxzdxdy+xydydz+yzdzdx,其中2是平面x=0,y=0,z=0,

元+y+Z=1所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例。

23.计算,其中E为椭球面「+=+—=1。

E%yz61bc

24.计算jj(y-z)dydz+(z—x)dxdy+(x—y)dxdy,式中2为圆锥面

x2+y2=z2(0<z</z)的外表面。

25.设〃(国y,z),Mx,y,z)是两个定义在闭区域。上的具有二阶连续偏导数

的函数，"、2依次表示“(x,y,z),v(x,y,z)沿E外法线方向的方向导数。证

onon

明：—=—其中E是空间闭区域C的整个边

界曲面，这个公式叫做格林第二公式。

2

26.利用斯托克斯公式计算曲线积分］「位-/:卜*+(卜2-Xz)dy+(z-xy}dz

其中L是螺旋线x=acosf,y=asinf,z=—t,从A(0,0,0)到8(a,0,〃)的一段。

In

27.设必=〃(x,y,z)是有两阶连续偏导数，求证：rot(gradu)=0o

(C)

1.求曲线的弧长y=aarcsin2,z=—In——^从。(0,0)到人%,%%)。

a4a+x

2.计算］\}扇，其中L为悬链线》=。凶5。

,

3.求均匀的弧x=e'cosf,y=esint9z=d(-8</K0)的重心坐标。

4.计算（森：2公+[4x+2yln（x+J/?2+Y,其中e是沿/+y=R2

由点A（R,O）逆时针方向到B（-R,0）的半圆周。

5.设/（x）在（-co,+oo）内有连续的导函数，求

1+dx+^[y2f{xy）-l]^y,其中L是从点A（3,g）到点8（1,2）的直线段。

JL

6.计算，1一二cos2]以:+[sin）+）cos上]外，沿着不与oy轴相交的路

JMXX）^xxx）

径。

7.已知曲线积分上（x+wsinxMx+gby与路径无关，/（x）是可微函数，

且‘伍1=°'求/。）°

8.设在平面上有户=/土&构成内场，求将单位质点从点（1,1）移到（2,4）

苗+打一

场力所作的功。

9.已知曲线积分/='其中L为/+y2=我2（R>O）逆

时针方向曲线：1）当R为何值时，使1=0?2）当R为何值时，使/取的最大

值？并求最大值。

10.计算/=JJxQ+Yzkydz+y。一乙卜以r+z（l-Yzkvdy其中£为曲面

z=+y2（oKzK1）的下侧。

11.计算JJ|孙z|ds,其中2的方程为|x|+|y|+|z|=l。

£

12.计噂曲面积分/=JJ2（1+xMydz,其中E是曲线y=«（04龙〈1）绕x轴

旋转一周所得曲面的外侧。

13.计算JJx+2孙）dx+（/+2x+y+y,其中L为由点A（4,0）到点。（0,0）的

上半圆周x2+y2=4x

14.证明f（3）」沙+（丁3.加，与路径无关,其中心不经过直线了+丁=0,

（x+/

且求优）叱普g皿

J（i.o）（x+y）3

15.求圆锥z=y/x2+y2（0<z<h）的侧面关于oz轴的转动惯量。

16.选择a,b值使（丁+2肛+12（L：2盯+力2"为某个函数M（jy）的

6+力

全微分，并求原函数M（X,y）。

17.计算曲面积分被,dxdy,其中Z为曲面z=/+>2,平面z=i,

£+y2

z=2所围立体外面的外侧。

18.证明

1）△（“V）=MAV+必〃+2VMVv；

2）Vx（Vxa）=V（V■a）-V2a

第十章曲线积分与曲面积分

（A）

1.解：两点间直线段的方程为：y=\-x,（0<x<l）

故ds=']+y?dx=J1+（-Ipdx-42dx

所以（（x+y）6fr=+1-o

x=—acos6+一。

2.解：L的参数方程为■j2,(0<^<2^)

y=—asin夕

I2

a1Yfl.A

cos，+—a|+|—asm。

2)(2)='

/20+2cos2g_1)=\a\cos^

2

(24、2k

-+—=2乃2a3(1+242)

)0

v

4.解：如图，,''+ds=&八Vds+f//+/ds+fe&+Vds

JaJLy

[x=X

L,：<,0<x<ads=7\-\-Q1dx=dx/

[y=09

rb=X八V2,71+fdx=&dx1入2J

L：<,0<x<——a,as

2y=x2

[x=acost7t

L3：<.,0WxW一，

y=asin/4La

dx=yjx2+y1~dt=^/(-tzsin+(6/cosZ)2dt=adt

,-----V27t

/.fe''+'ds=[1exdx+f2"e'f6dx+eaadt

JLJ0J0J0

="片+eAv|Ja+ae"£=e"(2+?a)—2

444

5.解：/+>3=a3kos，+sin。)

ds=yjx2+y,2dt=-\Z(-3tzcos2rsin/)2+(3tisin2r+cosr)2

79a2sin2rcos2tdt=3asintcostdt

/44\7

「•J/尤，+>，ds=36r^jj(cos4Z+sin4Z)sinrcos^r

\7

"11Vz

二3。3——cos6/+—sinf，/=4a3

(66)0

6.解：ds=yjx'2+y'2+z'2dt=J(-asin1)2+(acos，『+a2dt=41adt

22

--------£-------42adt=14a「"rdt

x'+y'J°(6fcos/)~+(6fsinr)~Jo

=V2a|r31/=|缶

Yo

7.解：J,X)以=j：y2y(y2)dy=2j：y4办=24=1

8.解：直线段48的方程为2=2=三，化成参数方程为

321

尢=3%,y=2t9z=t,r从1变到0

故[xidx+3xy2dy-x2ydz

=J：[(3/)3・3+3/(2r)2-2-(3f)2-2t\dt

=87r/必=_区

Ji4

9.解：直线的参数方程为

x=l+r,y=l+2/,z=14-3r(0<z<l)

\xdx+ydy+(x+y-\)dz

=J1(l+1)+2(1+2。+3(1+，+1+21)]由

='(6+1旬分=13

10.解：(2a-y)dx-(9-y)dy

=f{[2々一Q(1-cosf)]a(l-cosr)-[rz-a{\—cos，)]asint}dt

l-cos。/-cos/sin'M=/J；^(1-cos2r)-^sin2rdt

2f2n1.2

=a~-dt=a7i

Jo2

11.解：1)原式=J；[(y2+y)2y+(y-y2)]jy

=J：(2y3+y2+y)dy=(犷+#+；回=y

2)原式=J；((2/+t+\)+6+l)](4f+l)+[(r2+1)-(2r+1+1)]2ddr

=[(10/+5”+为+2,

flO4529flO45292.丫131

=|—t+-r+-t+2力=|—t+-t+-r+2t=——

(432J(432)012

34

12.解：1)L的方向余弦cosa-，cos/3-

55

fP{x,y)dx+Q{x,y)dy=\!P(x,y)+7Q(x,y)ds

JLJL35

dx1

2)ds=Jl+(2x)2dx,cosa=—二[

dxVl+4x2

2x

cos/?=sina

71+4X2

故p(x,y)dx+Q(x,y)dy=J

3)ds=el1+(Ifdx,cosa=—=yl2x—x2

2x-x2ds

cos/?=sina=71-2X+X2=1-X

故JJ(x,y)dx+Q(x,y)dy=(\^2x-x-P[x,y)+(1-x)Q(x,y)]t/s

13.解：因为空=K=e"cosy-机

dydx

故原积分与路径无关，于是

原式L+L

JOBJBA

=J。Ocbc+J。（emcosy-m7ia

=emisin2a-27nna2。

14.解：P=xA+4xyA,Q=6xx-'y2-5y4,由丝=丝，得

dydx

4Axy;-'=6(2-l)xA-2y2,解得2=3

故当；I=3时，所给积分与路径无关

J1：卜+4盯3"+(6/丁2-5y4)dy

2

=J：(/+4x-O)t/x+Jo-(6-l-y-5/)cfy=y

取而+Q计算,其中4(0,0)，C(l,0),3(1,2)

15.解：原式j；+)

=£'[(2X3-x2)4-(x4-X4)2x]t/v

+J,°的-y43+(y2+y2网

43+2/+x2)dx

-J；(-2y$+4y$+2y2"=4

又g僵-崇W那1-2皿=Jo狙(1-2x>=焉

dxdy-£Pdx+Qdy

16.解取P=—y,Q=x,—=-l,丝=1可得面积

dydx

4=Jjdxdy--^xdy-ydx

D2°

设A为在第i象限部分的面积，由图形的对称性所求面积

A=4Al=4—1xdy-ydx

ijj^cos3z-34zsin2'cos'-“sin?'Tocos2r(-sinr)]t7r

=ba2[生2sin2Zcos2tdt-3-Tta1

J。8

注：还可利用jjdxdy=xdy=ydx

D

17.解：P-6xy2-y3,Q-6x2y=3xy2

-=nxy-3y2,-=12xy-3y2

dydx

因为筌祟所以积分与路径无关

取路径(1,2)-(3,2)->(3,4)

原式=J：(24x-8m+J：(54y-9y2)dy=236

6P

18.解：——=2xsinx+x2cosy-2yeA,——=x2cosx+2xsinx-2yev

dxdy

原式=般磊眄=。。

19.解：丝=3,—=

dxdy

原式=(-=|j4dxdy

D

=[dx[^X4dy=f3—AZZX=12

JoJoJo3

20.解：1)—=2x=—,故Zxydx+Ydy是某个〃(x,y)的全微分。

dxdy

M(X,^2xydx+x2dy=04Zr+Jx2dy—x2y

2)等=3x2+\6x=3，〃(x,y)=J；：；(3x2y+"+(d+8/y+I2yey)dy

=j；Odx+j；W+8x2y+12yey)dy

=x3y+4x2y2+12(ye"-e')+12

222

21.解：Dxy：x+y<2,dx=^1+z}+z；dxdy=+4ydxdy

故原式=jj(x2+y2\/l+4x2+4y2dxdy

%

=J；4ej；[(rcos^)29+(rsin0)2+4(/-cos^)2+4(/-sin^)2r(7r

=J；16J：r2Jl+4,『dr=2乃gJ；r2+4产d(rh2)

r2=u£&r~~149

—7V\u71+4udu=---兀

J。30

22.解:原式=JJ|x||y|(尤2+V丽+z；+z\,dxdy

D»

=4jjxy(x2+y2\J\+4(x2+y2)dxdy

这里为。,、,在第一象限部分

工]_________£1]______

4242

=4(rsin^cos^vl+4rrdr-4(—sin20d017V1+4rrdr

JoJoJo2J0

=■小2)叵旧'f"4一2户+炉4=竺6二1

Jo\J32人'"420

23.解：z=6-2x-2y,ds—-Jl+(-2)2dxdy-3dxdy

原式=JJ（2孙-2x2-x+6-2x-2y）3dxdy

2y

=3,（）公j（）'（6-3x-2x2+2xy-2y）dy

__27

~~T

24.解：M="或="；（炉+:/3+X1+y2dxdy

ED?

=J：到：2gr271+r27Jr=1（66+1）

25.解：平面z=x这部分的面积

S=JJJl+z「+z；dxdy-jjJidxdy

DD

八

因而无=^\\xds=^xdx\r^dy\

26.解：因为曲面积分E有向曲面,所以JJR（x,y,z）dxdy=+jjR（x,y,6）dxdy

1Dxy

当积分曲面取在2的上侧时为正号，取在下侧时为负号

27,解：Dxx=AB,面积为0,jjzdxdy=0

z

Dyz={（0,y,z）|x=0,0<y<1,0<z<3},

={(x,0,z)|0<x<1,y=0,0<z<3}

原式=JIJ-丁dydz+JJA/T-x2dzdx

Dy：%

=J："zJ：F7dy+F7dx

I-yI---------1-113

=2・—y/1-yh2+—arcsin>?=—71

_22」o20

28.解：根据轮换对称，只要计算JJz?公dy

222

Dxy：(x-a)+(y-b)<R

注意到：z-e=±y)R2-{x-af+(y-Z?)2再利用极坐标可得

2222

-zdxdy=jj|-c+y)R—(x—«)-(y-b)dxdy-

x%1"」

=4ejjJ*%-a,dxdy

%

=J/??一产Q

j0J0

8碇--(/?2-r2)2=—jrR^e

V7

L3J03

于是原式=g砒3(Q+〃+C)

29.解:原式=］，(尸©0$。+。<：0§/?+7?(：057卜5,这里cosa,cos/?,cosy是

E

X的法向理力的方向余弦而2是平面3x+2y+26z=6在第一卦限部分的上侧

cos/>0,取为={3,2,2百}。

3,3c-，CW述

J32+22+(2A/3)-555

故原式=JJ|R+|Q+罕尺卜。

£

万△

3”0.禽4尾：l1)\-3-P---1--°--Q--1--d--R-=2九+2y+2cz

dxdydz

+^-^dxdydz=2jJJ(x+y+z)dxdydz

ax+ay+^\dy

=2j：WM：（x+丁+=2j：对；

「a3a3

a~x+—+——lx=3a^

22

20P=(y-z)x,Q=0,R=x-y

dPdQdR

-----1------1-----=y-z

dxdydz

故原式=jjj*(y,z)dxdydz=J()1可。M/J((xsin0-z)dz=--/r0

。0002

31.解：0=Pdydz-^Qdzdx+Rdxdy

rrrfdPdQ,,

=DJ7-+丁+丁公办法

dxdydz)

-j|j(2+x1-2xz^dxdydz=J。dxj。d)(2+x2-2xz)dz

2)①=gSdS=H(x-y+z)dydz+(y-z+x)dzdx+(z-x+y)dxdy

ss

=jjj(1+1+\)dxdydz=3--ahc-471abeo

Q3

32.解：P=exy,Q=cos(x^),R=cos(xz2)

—=yexy,=-xsin(Ay),—=-2xzsin(xz2)

dxdydz

故如&=—+^^+—=yexy-xsin(Ay)-2xzsin(xz2

dxdydz

33.解：取X为平面x+y+z=0,被所围成的部分的上侧，E的面积为如2,

Z的单位法向量为

n={cosa,cosQ,cos7}=[；,；,

IA/3J3

11

J_

Q一

V3

a5

¥

--

原式=JJy&

ax

LXz

34.证：平面y=z的单位法向理元={cosa,cos〃,cos7}=<0,

由斯托克斯公式得

35.解：闭曲线「是xoy平面上的圆周/+y2=虫逆时针方向)，它的参

数方程为x=2cos。，y=2sin，，z=0(0<0<2TT)9故环流量为

Rdx+Qdy+Rdz=f=(不一z)dx+(x3+yz"-3xy2dz

=[2cos^(-2sin^)+8cos302cosd\j0

r1.7tsinOcos田8+16r「2ncAos'例6=0+12)=12%.

JoJo

c

J3

dd

36.解：rota=&一

dx

z+siny-xcos。

37.解：证平面x+y+z=T”合科立方体内的部分为2,它在oxy平面上

的射影为。,面积为广,取平面的上侧，单位法向量于是由

斯托克斯公式得

l

11

3

一^

723

±e

原式=JJrf5=-4jj(x+y+z)-^

¥产dx

£25X2222

-zX

y一7

=-6也dxdy=

4

Dxy

(B)

1/

x=­t

1.解：L的参数方程2p,则

y=t

/1Y21

ds-y]xf2+yr~dt=—t+12Jr=dt

PP

3i/\3

所以J,*S=J；。+山」*2+p2(2(y；+p2>-p3

03P

2.解：ds=yjx'2+y'2dt=^a2(l-costy+«2sin2tdt

=aj2(l-cost)=12〃sin一

2

2

所以L丫2ds=J；a?(1-cos。2adt

c3r2".4/.t[c3r2乃(12/1,t】

-Sa'sin—sin一力=8。1—cos—sin一力

J。22J。(22

1乙3<15”2563

=-i6acos----cos—+—cos—---a

I23252人

3.解：取坐标系如图，设重心坐标为G(E»,由扇形的对称性可知y=0,

XdSy

\LP1f4

又无=-2-----=----facosScidO

\Lpds24aJ-4

a._asm。

五smei1_44=『

4.解:

ds=y/x2+y,2+z'2=J(cos/-，sin/)+(sin/+/cos产)+ld.

=《2+t2dt

13foi「3

所以J/s=J：/6^山」(2+产)3=-(2+^)2-2V2

3o3

5.解炉+y2+z?_(/cos)+(dsintf+(d)2=2e2t

ds=y]xf24-y~4-z1dt

=J(ercost-elsinj+J(，sin1+dcos。2+(d丫dt

=dt=

6.解：Mp[x,y,z)ds

=『(，cos2t+a2sin2t+k2t2)-V^2sin2r+tz2cos2r4-Z:2Jr

1)，z=JzG+y2)「(演XZ)ds=J：(/+y2h+y2+z2.

=+k泞+&2力ng/J/+火2(3〃2+%之父)

2)x=y,z)ds=^J：QCOS7(Q2+k2t2\la2+k2dt

6ak2

3"+4万12

y=，「阴(天,y.z)ds='j；asint(a2+k2t2}\la2+k2dt

-hmk2

3a2+4万2氏2

z二卷jjx?(x,y,z)dsj；Ma2+//N/+k?dt

_3欣(a?+2»2&/?2)

3Q2+4万2人2

7.解:由x=f,y=t2,z=F得

dx=dt,dy—2tdt-2xdt,dz=3t2dt=3ydt

ds-71+4X2+9y2dt

故cos。=—=“,，:

小Jl+4—+9y2

dy2x

cos/A/=——=/

ds71+4x2+9y2

dz3y

cos/=—=]

dsJl+4/+9y2

故]Pdx+Qdy+Rdz=fP+2xyIds

iLJ々1+4^,—+9/l

8.解：圆周的参数方程为％=acosf,y=asint(0<Z<2/r)

吉“(x+y)dx_(x-y)dy

Lx2+y2

=-y[”[(acosf+asinf)(-asinf)-(acos/-Qsin*QCOs/)k/

aJo

=—|一CT出=1兀

/J。

9.解：^ydx-i-zdy+xdz=J(J[asin《一Qsinr)+4(qcos/)+(4cos/„

=厂(一。2sin21+abtcost4-abcost}dt=一/

10.解：如图。=丽+丽，

OA：y=xAB：y=z—x

故原式=+X?)t/X+J］卜2+(2—X)2jZt

+J］卜-(2-x)2、(2-x)=；

11.解：由于P=2xe>+y,Q=x2y+x-2y

又今故曲线积分与路径无关，

取折线（1,0）T（2,0）T（2,1）,则原式=J：2xdx+J；（4ey+2-2y）dy=4e。

y

12.解：由于P=7----酝Q=

»2严严

又丝=丝=-3xy（x2+W2产故当路径不过原点时，该曲线积分与路

dydx

径无关，取折线（1,1）.（2,1）.（2,2）,得

原式「广』+『产^二也

J,G+1产Jl（4+/）3/24

13.解：取参数方程x=acos,,j=sinr（0<r<2^,）

面积A=，，/xdy-ydx=—J；tz/?（cos2r+sin2t）dt=mb

14.解：L不是闭曲线，要用格林公式，先得补添路径，使其封闭，如图

L+L+L=』僵系m

因为"_空=0_1_（_1）=0

dxdy

故卜>+L。=。，所以

22

原式L+L+JBO=j'-(l+sin+J\dr=--+—sin2

15.解：作代换y=/x,得曲线的参数方程

3at3G小T,3a(1—,3s(2—6)

x=y=丁不，由于dx='/力,dy='，力

1+71+r(1+r3)-(1+?)

97产

从而=7------3出，故面积

.（1+4

16.解：由于x=y=O时，被积函数无意义，故L所包围的区域不满足格林

公式的条件，作一小圆挖去原点（0,0）,作逆时针方向的圆周/：

x-rcos^»y-rsin^,O<0<2TT

使/全部补乙所包围，在L和/为边界的区域。内，根据格要公式，有

ydx-xdyrydx—xdy

L2(x2+y2'2(x2+y2

...dPx^-ydQ

==,故上式为零

②任+打dx

.rydx-xdy_rydx-xdy_r2^--r2sin2r2cos2

••'心2(Y+y2)-[2(/+y⑼-J02P

=--[d0=-TVo

2Jo

22

17