谢金云(2)《平面曲线的曲率》教案和说课设计

PAGEPAGE11平面曲线的曲率第一部分：教案（P1-6）第二部分：说课稿（P7-11）2009年12月

《平面曲线的曲率》教案课题：平面曲线的曲率课时：2课时（90分钟）教学目标：认知目标：1、理解曲率的概念和曲率公式的实际应用；2、了解曲率圆和曲率半径的概念；3、掌握曲率计算公式的推导过程及公式的实际应用，真正体会微积分和导数在数学中的重要地位。能力目标：激发学生的数学学习兴趣，加强数学建模的能力，掌握归纳总结的数学思想方法，培养学生联系实际学习的意识，增进数学应用的眼光，提高学生的主观能动性情感目标：培养学生勇于探索、大胆应用的数学精神，培养团结协作的意识。教学重点：曲率的概念，曲率计算公式的实际应用。教学难点：利用曲率计算公式解决实际应用问题。教学方法：引导探究法（Enlightment）、分层次教学法（Delamination）、任务驱动法（Assignment）。教学工具：木杆、多媒体课件教学。教学过程：一、引入：前面我们已经学习了导数的应用，例如函数极值、最值的求解，函数单调性的判断及函数图像的描绘等，我们体会了导数的重要性，曾有人说微积分和导数是最伟大的人类心智成就之一，足以可见它们在人类生产生活中的应用之广泛，今天我们要继续学习导数的另一个应用——“平面曲线的曲率”，这个内容虽然是个选修内容，可是对于我们工程机械专业的学生来说是个不得不学的内容，所以我们接下来就来探讨有关平面曲线的曲率的问题。二、新课讲解：（一）引入课题：（5分钟）操作实验，并布置任务。感性认识“直”——“弯”——“最弯之处”：取一根笔直的木杆，当它放置于桌面上时，它很明显时直的，没有弯曲。当它的两端各受另一个向上的外力时，它马上会开始弯曲，在这个过程中，有的地方弯曲程度大，有的地方弯曲程度小，随着力度的增大，竹片会断裂，很明显我们可以得出结论：断裂处就是弯曲得最厉害的地方。当然弯曲的时木杆，断裂了也没什么关系，但若是因荷载作用而弯曲变形的船体结构中的钢梁，我们是不能让它们断裂的，所以我们必须找到那个最容易断裂的地方，然后给它加固，或者我们要采取一些什么样的措施来防止因为弯曲而容易断裂的铁路铁轨的问题呢？在数学领域里，我们用曲率来描述曲线的弯曲程度，因此今天我们就来探讨“平面曲线的曲率”的问题。（二）曲率的概念的推导（25分钟）：1、探究决定曲率的因素：两根长度相同但弯曲程度不同的竹片:校园跑道上的内外跑道：看作两条曲线AB和曲线AC来分析，看作两条曲线AB和CD来分析，BCBCADA·B·C·和的长度相等，与的两公切线的转角相等过两曲线的端点的切线的转角＞，弧长＞弧长弯曲程度直观上：曲线AB＞曲线AC。弯曲程度直观上：曲线AB＜曲线CD小结：综上所述，曲线弧的弯曲程度与两点处的切线的转角和弧长因素有关，并且如果曲线弧的长度不变，那么弯曲程度与切线的转角大小成正比，如果曲线弧的切线的转角相等，那么弯曲程度与曲线弧成反比，因此，我们可以得到以下的曲率概念：2、归纳曲率概念：当曲线从A沿曲线y=f(x)运动到点B时，切线的角度改变了，而改变这个角度所经过的路程则是弧长，即△S=的弧长，则我们用来表示的平均弯曲程度，称为平均曲率，曲率用K来表示，因为曲率是正值，所以带绝对值符号，即K=，描述曲线的弯曲程度。类似于平均速度和瞬时速度一样，当弧长越小，即△S→0时，平均曲率就越能表示弧上某一点附件的弯曲程度，则K==为曲线上某点处的平均曲率。（其中用弧度数表示，平均曲率和曲率的单位是“弧度/单位长”。OPMR·NOPMR·N解：如图，在圆上任取一段，由平均几何知识知，两端切线MP与NP的转角等于圆心角∠MON，因此=R，于是===，即为半径为R的圆的平均曲率。而圆上任一点的曲率K===。上述结论表明：1）圆上任一点的曲率都等于半径R的倒数，半径越大，曲率越小，半径越小，曲率就越大2）若直线看作一个半径为无穷大的特殊的圆，则直线的曲率为0，这一结论与我们的直观看法是一致的，表明曲率确实反映了曲线的弯曲程度。用曲率描述曲线的弯曲程度，能给出一个数字特征，K越大，说明弯曲程度越大，但是曲率不能给人一个弯曲的直观形象，为此我们引入曲率圆的概念。4、曲率圆和曲率半径：在上述例子中，我们可以看出以点O为圆心R为半径的圆在每一点处的曲率均为K=，则R=，因此我们类似给出曲线的曲率圆及曲率半径的定义：（结合下面图形）·AOLρ（1）曲线上点A处曲率K≠0，·AOLρ（2）作曲线在点A处线的法线，在曲线凹向一侧的法线上取AO=ρ，以O为圆心，为半径的圆称为曲线在点A处的曲率圆，O称为曲率中心。（3）曲线和曲率圆会具有以下关系：1）曲线和曲率圆相切于点A,且有相同的切线；2）曲线和曲率圆具有相同的凹向性；3）曲线和曲率圆在点A处有相同的曲率。上述结论表明曲线在某点处的弯曲程度越大，曲率K就越大，曲率圆的半径就越小，相之亦成立，这样我们就可以更直观地用某点处的曲率圆的大小来描述曲率的大小。不管是曲率的概念还是曲率圆都只能是定性地描述曲线的弯曲程度,若将曲线置于直角坐标系下，我们怎样定量地给出曲线y=f(x)的曲率的计算公式呢？（三）曲率的计算公式的应用：（30分钟）若将曲线置于直角坐标系下，我们又怎样定量地计算曲率呢？因此我们利用函数极限、导数与微分知识可以得出曲率计算公式。在某些工程结构中，当弯曲程度很小时，当曲线的某点处的切线的斜率很小时（y′无限小于1），此时曲率K≈|y″|。（大家知道，高校扩招和专业增多导致数学教学课时不断减少，有限的时间内要完成教学任务，对教材内容进行调整是非常有必要的，再学生的学习目标是利用数学知识解决专业问题，因此这堂课对于公式的推导不作重点来讲。）下面我们就进行这堂课重点和难点的突破——公式的实际应用。例1、（1）抛物线y=0.4x2上曲率最大的点的坐标。（2）求设一个工件的内表面的截线为抛物线y=0.4x2,现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径为多大的砂轮才比较合适？分析：为了磨削时不使砂轮与工件接触处附近的部分工作磨去太多，可以把抛物线和砂轮看作曲线和其曲率圆的关系，这样把实际问题转换成数学模型来解决，即砂轮的半径应不大于抛物线上各处曲率半径中的最小值，而抛物线在顶点处的曲率最大，也就是说，抛物线在其顶点处的曲率半径要最小，因此只需求出抛物线顶点处的曲率半径，这样就得到了砂轮的直径范围，由建立数学模型，然后模型求解，最后解决实际问题。xyo·解：由y′=0.8x,y〞=0.8，而=0，xyo·所以=0.8抛物线顶点处的曲率半径为R==1.25，因此用砂轮磨削工件的内表面时，砂轮直径不能超过2.5个单位长。曲率圆和曲率半径的有关知识在我们的实际生活中应用非常广泛。例3、如图，一个长度为l的直梁，搁置在支柱上，受均匀分部荷载q作用，选择梁的左端点为坐标原点，x轴沿梁的轴线向左，y轴向下，这时由材料力学的原理可知梁的挠曲线方程为（其中EI为正的常数），试求该梁弯曲变形最厉害点的位置。分析：由曲线曲率的概念可知，曲线弯曲变形最厉害的位置就是曲线的曲率最大的位置，因此只需求出曲线上曲率最大的点即可。解：由已知挠曲线方程可知：y″由于梁的弯曲程度很小，偏离平衡位置的角度也小，因此切线的斜率可近似看作0，于是y′≈0,曲线的曲率K≈|y″|，根据二次函数的最值可以求出当x=时，K取得最大值为，当x=0和x=时，K取得最小值为0.所以在施工设计时，要对中间位置注意强度的加强。例题小结：上述例题均是实际应用问题，这类问题都有一个共同的特点就是涉及到曲线的弯曲程度，即与曲线的曲率有关，解决这类问题的关键是根据已知条件建立数学模型，利用曲线的曲率公式进行一系列的计算，即可以判断出曲率最大也就是极易弯曲的位置，通过数学模型的求解从而解决了实际问题，并且还可以进行推广，这就是数学建模的作用。四、课堂练习：（25分钟）习题1：用所学知识解释直线2x+y=1的曲率为0.习题2：求等边双曲线xy=1在点（1，1）处的曲率半径和曲率圆方程。习题3、在铁轨直道进入圆弧弯道时，由于接头处的曲率突然增大，极容易造成事故，为了列车的平稳行驶，往往在直线和圆弧交接处接入一段缓冲曲线，在工程设计中通常用作为缓冲曲线，其中L为缓冲曲线的长度，R为圆弧的半径，且LR，即很小，请利用曲率公式验证缓冲曲线两端点的曲率大小分别为0和。xyoRMxyoRMR解：建立如右图的直角坐标系，由题目已知LR可知，O（0，0），M（L，），由弧曲线为可知y′，y″=，当x=0时，y′=0，y″=0，于是曲线在点O处的曲率为0.当x=L时，y′，y″，故曲线在点M处的曲率为K并且从上述过程中可以看出，缓冲曲线上从点O到点M过程中，曲率是不断增大的，因此它能起到缓冲的作用。类似，“神舟六号”飞船发射后需要变轨，在变轨的节点处，就涉及到曲率圆的问题。五、练习反馈、综合点评、课时小结：（5分钟）本堂课我们学习了平面曲线的曲率的概念和计算公式，了解了曲率圆和曲率半径的概念，通过对公式的实际应用，体会数学的美，增进数学应用的眼光。通过学习，激发了学生的数学学习兴趣，提高了观察分析和归纳总结的数学能力，培养学生勇于探索、大胆应用的数学精神，提高学生的主观能动性。六、布置课后练习：汽车连同载重共5t，在抛物线桥上行驶，速度为26.1km/h，桥的跨度为10m，桥的矢高为0.25m，求汽车越过桥顶时对桥的压力。xyo“平面曲线的曲率”说课设计一、关于学情和教材的分析：1、学生学情分析：1）知识分析：授课对象是大一工程机械专业的学生，绝大部分理科生，对数学知识掌握较好，且通过极限与连续、导数与微分的学习，掌握了高等数学的基础知识，进一步探究高等数学知识的欲望不断增强。2）学习能力：男生思维比较活跃，意识超前，机械专业学得好，但数学运算能力一般，且自主学习的能力不强，因此形成了一个想学又不能独立学的矛盾，教学时应多以简单明了、深入浅出的分析为主。3）心理和思维特点：不爱发言，厌烦枯燥的一味说教，喜欢有声有色、生动直观并能不断自主尝试的教学。激发来自学生主体的最有力的动力。2、教材分析：“数学是一种很美的语言，是一种交流和认识世界的工具”，而导数与微分更是数学的灵魂所在，因为导数与微分的实用性正突出体现了数学学科的工具性作用，我所用教材——高等教育出版社出版盛祥耀主编的《高等数学》第4版，该教材正体现了这个特点，有很强的实用性，与专业结合紧密，目标性强，采用“模块化”编排，有必修和选修内容，可根据专业的不同进行选择。“平面曲线的曲率”是该教材“导数的应用”一章最后一节的内容，是在学习了导数与微分的概念和运算的基础上，继导数的一些实际应用，如经济应用、函数的极值和最值、函数图像的描绘等知识之后，另一个导数在生产生活中的应用问题，虽是个选修内容，可是对于工程机械专业的学生来说却是个不得不学的内容，因为利用平面曲线的曲率能解决很多跟我们工程机械专业有关的问题，真正体现数学学科的工具作用、基础作用和服务于专业的性能，也正体现了我们高等职业院校的宗旨所在，并且为将来曲面的曲率问题的研究做好必要的准备。基于学生的以上特点，考虑到要提高他们的实践能力和创新能力，在吃透教材的基础上我确定了曲率的概念和曲率公式的推导为本堂课的重点，而难点却是怎样利用曲率计算公式解决实际应用问题。二、关于教学目标的确定：根据以上教材的内容及特点，考虑到学生的实际情况，我为本堂课设置了三重目标，首先认知目标是理解曲率的概念和曲率计算公式的实际应用，了解曲率圆和曲率半径的概念，掌握曲率计算公式的实际应用，在本堂课中我试图达到的能力目标为通过影响曲率因素的发现，激发学生的数学学习动机，公式的推导过程则使学生进一步体验观察分析、归纳总结的数学思想方法，公式的实际应用这个难点的突破，则可以培养学生联系实际来学习的意识，体会数学的美，增进数学应用的眼光。同时，我还希望通过对概念及公式的发现和推导，培养学生勇于探索、大胆应用的数学精神，增强学生的团结协作意识，提高学生的主观能动性。三、关于教法学法的选用：1）教法：朱熹在《孟子集注》中说过，事必有法，然后可成。为了教学目标的实现，教学方法的选择尤为重要，既要符合学生的年龄特点和教材的特点，更要能变枯燥为趣味，变抽象为具体，变被动为主动，吸引学生的注意力，联系专业实际学习，让学生认识到学习数学这门课程真正能学以致用，而在高校扩招和教学时数减少等形势下，高等数学的教学形成了“教师教得累，学生学不好”的恶性循环的局面，基于此，我确定在教学过程中使用EAD教学法：引导探究（Enlightment）法、任务驱动法（Assignment）和分层次教学法（Delamination）相结合进行教学，充分体现“教师主导、学生主体”和“为了全部的学生”的教学原则。2）学法：在前面的学习中，导数的应用已介绍了很多，如何再次调动学生的学习积极性，继续投入到本堂课的学习当中来，并且让学生学会怎样学习，为此，我在教学过程中引导学生开展“探究性学习”法，具体采用了：1）自主学习，学练相结合的学习法，使学生通过“观察——模仿——实践”相结合的学习方法，积极主动的吸取知识，从“学会”→“会学”，实现对知识的“感知——认识——理解应用”的过程，2)评价学习法：每次独立练习完成之后，借鉴他人的学习经验，给其他同学适当的评价，达到取长补短的效果。3）当然活跃的课堂气氛是促进学生知识消化的催化剂，因此引导学生协作讨论学习则是必不可少的，学生之间相互探讨、交流和学习，实现知识的传递、迁移和融洽，促使学生共同进步，让学生做到可持续发展，这样才能达到教学的目的。为了使3E教学法和探究性学习法能够更好地发挥优势，我给班上同学提了一个要求，每人找一个邻桌的搭档，以便更好地进行讨论和相互学习。四、关于教学过程的设计：确定了目标，选定了方法，又怎样来具体实施呢？“五段式”教学过程的设计如下：（一）实验（Experiment）激趣，引入课题，提出质疑（5分钟）：大家知道，兴趣是最好的老师，因此我以一个“木杆弯曲”的实验作为引入：感性认识“直”——“弯”——“断裂”，一根直的木杆在两端受力作用下开始弯曲，随着力的增大，木杆最后断裂。鼓励学生思考和讨论：木杆各点处的弯曲程度在是否相同？若不同的话，弯曲程度最大的地方又是哪里？学生容易发现断裂处就是弯曲程度最大的地方。但倘若弯曲的是钢梁或铁轨，我们是不可能让它们断裂的，那怎样才能找到那个弯曲程度最大的地方而采取必要的措施不让它断裂呢？我们又能通过怎样的方法来知道每一处的弯曲程度有多大呢？由此引入了课题——“平面曲线的曲率”，数学中用曲率的大小来描述平面曲线的弯曲程度。在这个环节中，我通过实验逐渐让学生从特征感知向理性衡量逼近，从而产生认知冲突，激发学生的学习兴趣和欲望，使实验发现教学法得到最好的体现，同时学生通过观察和思考，初步感知曲率，感受数学的魅力，并明确本堂课的学习任务便是通过研究曲线的弯曲程度找到那个弯曲程度最大的地方。】（二）直观演示，鼓励（Encouragement）探究，突破重点（25分钟）：曲率能描述曲线的弯曲程度，那么曲率究竟是一个怎样的量呢？我通过探究影响曲率的因素、总结曲率概念、巩固练习和概念延伸四个步骤进行重点——“曲率的概念”的突破。首先多媒体展示长度相同但弯曲程度不同的两木杆和内外两跑道。引导学生观察类比两种状态下，曲线的弯曲程度各与什么因素有关，并鼓励学生大胆猜想弧长、两端点切线转角和曲率的关系。【设计意图：这样设计把抽象的问题具体化，达到对曲率概念本质的理解。】通过相互探讨和交流，学生归纳平均曲率和某点处的曲率的概念和表达式。紧接着设计一个“求半径为R的圆的平均曲率和曲率。”的练习巩固曲率的概念，让学生自主思考，学练结合，得出结果，进而得到曲率圆和曲率半径的概念，最后学生讨论根据曲率半径ρ得出结论：曲线上某点处的曲率圆半径越大，曲率越小，弯曲程度就越小，这和我们的直观反映一样，进一步说明曲率确实能描述曲线的弯曲程度。【设计意图：这样通过鼓励引导学生自主思考和相互讨论，归纳总结出曲率的概念，并通过学练结合法及时巩固，突破了我们的第一个重点。】（三）分层应用，突破难点（30分钟）：当然不管是曲率概念还是曲率圆都只能定性地描述曲线的弯曲程度,我们怎样定量地给出直角坐标系下的曲线y=f(x)的曲率的计算公式呢？由此引出曲率计算公式的推导，利用函数、极限、导数与微分的有关知识可以得到曲线的弧微分公式ds=和曲率计算公式。在某些工程结构中，当弯曲程度很小时，（y′无限小于1），此时曲率K≈|y″|，这样能够简化计算。（说明一下：高校的扩招和专业的增多导致高等数学教学课时在不断减少，有限的时间内要完成教学任务，对教材内容进行调整是非常有必要的，再根据机械专业的学生学习数学的目的是如何更好地利用数学知识去解决专业问题，所以这堂课对于公式的推导不作重点来讲。）下面我们就进行这堂课难点的突破——公式的实际应用。例题1、首先我设计了一个有两小问的例题，用同样的一条抛物线作为背景，一个是单纯数学问题，容易解答，另一是实际问题，若砂轮直径太大，将会使工件有的地方磨不到，有的地方则磨损过量，因此砂轮的直径不能超过某个值，自然给学生带来了一个任务：砂轮直径的最大值是多少？进而引导学生将实际问题转化成数学问题，最后学生发现两小问的本质是一样的，进而得出结论。【设计意图：这样设计让不同层次的学生都得到练习，带着任务思考和练习，并从中体味成功，这也是任务驱动和分层次教学法的集中体现。】通过例题1的讲解，学生基本掌握了曲率的基本计算，对曲率公式及曲率圆的实际应用有了初步的了解，提高了数学应用的意识。为使学生更进一步掌握曲率公式和数学模型的实用性，第二个例题设计如下：例题2、一工程的直梁受荷载作用而弯曲变形，已知弯曲变形后的挠曲线方程，要求学生找到弯曲最厉害的点。这便是这节课开始给学生交代的任务，再一次体现任务驱动法的使用。【设计意图：通过此题的解决，要引导学生总结出与解决此类问题的解题思路和方法，然后实现对曲率从“认识”到“理解应用”的质的飞跃，培养学生的数学应用意识，增强学生的专业使命感和责任感，最终归纳出数学建模的基本步骤和方法：对实际问题进行假设，根据已知条件归纳简化为与之相应的数学模型，再分析求解数学模型，得出数学结论，解释或预测实际结论，进而再应用到实际问题当中去，突出数学学科的实用性，这也是我们数学学习的根本。】（四）效果检测，课堂练习（25分钟）突破了重点和难点之后，为了能更好地巩固所学知识，我选