2021上资格证数学科目三理论精讲基础知识3-1

2021上教师资格证数学科目三

基础知识3

考点4：函数单调性、奇偶性

知识点鸟瞰

的定义及判定方法

1.定义应用（初+高）

常见函数2.函数的三要素案+教（高）

（一）指数函数（1）定义域

（2）值域

（二）对数函数（3）对应关系

3三.大性质：

（三）幕函数

单调性、奇偶性、周期性

（四）分段函数与反函数

(P16

四、函数的三大性质应用

(一)单调性

增函数减函数

一般地，设函数f(%)的定义域为/

IXyX2

如果对于定义域内某个区间。上的任意两个自变量1

定义

当X1VX2时，都有<])r<jf2),那么就说函()(),那么就说

X当X1VX2时，八部有/x>fX

数f(%)在区间。上是增函数函数f(X展区闸。上兔减函数

y=f(x)

图象

：/(Xi)/(x2)

描述0~x

~O[ci~五

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(P16

四、函数的三大性质

应用

（一）单调性

♦【注】函数的单调区间只能是其定义域的子

2.函数的单调区间与单调性的判定方法:

区间，不能把单调性相同的区间合在一起写

（1）定义法:成并集。

①任取1,2&D,且K

2；例：判断函数=」的单调性。

④定号（即判断差（1）-（2）的正负）；

⑤下结论（指出函数（）在给定的区间D上的单调性）.

(P16

四、函数的三大性质

应用

（一）单调性

2.函数的单调区间与单调性的判定方法：

（1）定义法：作差判正负

（2）图象法（从图象上看升降）

（3）导数法

设函数产/（X）在区间（4,6）内可导，如果恒有/（x）>0,则函数片/（x）在

区间（。，力）上是增函数；如果恒有/'（x）<0,则函数y=/（x）在区间（。，6）上是

减函数；如果恒有/（x）=0,则函数尸/（x）在区间（a,b）上为常数函数。

(P17

谁说数学不用背

【例】(2016年下半年-初级、高级中学-论述题)函数单调性是刻画函数变化规律的重

要概念，也是函数的一个重要性质。

(1)请叙述函数严格单调递增的定义，并结合函数单调性的定义，说明中学数学课程中函

数单调性与哪些内容有关(至少列举出两项内容)；

(2)请列举至少两种研究函数单调性的方法，并分别简要说明其特点。

(P17

【参考答案】

函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的性质方面，如函数的定义域、值域、

最大值、最小值中有重要应用；在解不等式、证明不等式的过程中也有重要应用，同时在研究数列的

性质等其它数学内容的方面也有重要的应用。

（2）方法一：定义法。定义域中任意XI,X2,若Xl＞%2,有f（xi）＞f（%2）,则称函数危）在定义域上单调

递增；有/1）＜加2）,则称函数/。）在定义域上单调递减。定义法判断函数单调性比较适应于容易得出

加⑴与外。大小关系的函数。定义法思路清晰，是解决定义域问题的最直接的方式，但是对一些不太容

易判断出八XI）与/（X2）大小关系的函数，定义法研究函数的单调性比较麻频。

方法二：导数法。先确定函数的定义域，求出原函数的导数/J）,若导数/口）＞0,则函数在定义域内

单调递增；若导数/口）＜0,则函数在定义域内单调递减。导数法适用于函数在其定义域内可导且能判

断/口）与0的大小关系的情况，多用于定义法解决不了和用定义法解题相对比较繁琐的题型。

（P17

应用

＞四、函数的三大性质案+教(高)

(二)奇偶性

奇函数

对定义域内任意X,有对定义域内任意X,有

定义

/(-*)=一f(x)f(r)=/(x)

定义域关于原点对称

图象关于原点对称关于y轴对称

y=x,y=x3,y=x2,y=|x|,

典型代表

y=sinxy=cosx

其他特征若o属于定义域，则f(0)=0常数函数为偶函数

4

①18

应用

四、函数的三大性质案+教（高）

（二）奇偶性

2.利用定义判断函数的奇偶性的步骤：

①先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

②确定/（-X）与人工）的关系；

③作出相应结论。

【注】函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数。

①18

检验下听课效果

【例】(2013年下半年-初级中学-选择题)设/(x)是R上的函数，则下列叙述正确的

是()。

A./(x)/(-x)是奇函数B./(x)|/(x)|是奇函数

CJ(x)-/(r)是偶函数DJ(x)+/(t)是偶函数

一

①18

选

四、函数的三大性质

(三)周期性

若7为非零常数，对于定义域内的任意x,使

：/(x+T)=f(x)：

、✓

恒成立，则/(X)叫做周期函数，7叫做这个函数的一个周期。

(P19

跟着〃定义〃闯天下

【例】(2014年上半年-初级、高级中学-选择题)设函数O(x)=仁下

0,x为无理数，

列结论正确的是()o

A.。(x)不是偶函数B.D(x)是周期函数

C.D(x)是单调函数D.D(x)是连续函数

①15、（P19

简+应用（初+高）

总结映射!案例+教（高）

函数的概念O/----

--------------函数的概念

指教函数

；e基本初等函数彳对数函数

幕函数

第二节从分段函数与反函数

,单调性

।函数的三大性质制,奇偶性

周期性

三角函数

谈I

考点5：三角函数基础公式

五、三角函数

।应用।

一）三角函数的基础公式

1.基本关系式

sin2+C0S21

tan=cot=cos

sin

csions

tancot=1

(P*0

书上没有

需要请截图~

常见的三角函数值

itTt兀713兀

a0兀2兀

s432T

1V2G

sinOL010-i0

I22

V2j_

cosct1旦0-101

22I

tana01不存在。不存在0

3

五、三角函数应用

（一）三角函数的基础公式

2.和差公式

sin()=sincoscossin

cos(+)=coscos-sinsin

tanf+)=1tan-

cosT-,J=coscos+sinsin

tanv+tantan

tan(-)=1+tantan

tantan

五、三角函数应用

(一)三角函数的基础公式

3.倍角公式

sin2a=2sinacosa

cos2«=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a

(9cos2cx+1.71—cos2«\

(COSP=---------------,sin^«=------------)

c2tanoc

tan2a=--------—

1—tan~a

经五、三角函数★辅助角公式前提：I应用I

（一,—）

（三）辅助角公式

(1)asinx+bcosx=y/a~+b2sin(x+,(p=arctan—,即tan9=一。

aa

(2)as\nx+bcosx=\Ja2+b2cos(x-e),(p=arctan—,即tan夕=一

bb

例如：sinx+=12sii/

1.,V3.

-sinx+—=sin

应用（初+高）

五、三角函数!案例+教（高）

（二）正弦定理

在△/5C中，内角/、B、。所对的边分别为

Q、b、c,火为△/5C的外接圆的半径，则有

(PT1

应用（初+高）

一五、三角函数!案例+教（高）

（二）正弦定理

•三角形的面积公式

1

SJBC=5besin/=yacsin5—absinC

2-^

应用（初+高）

五、三角函数!案例+教（高）

（三）余弦定理

―Q2=〃+〃2bccosA

在任意三角形ABC中，有一

b2=a2+c2laccos5

c2=a2+b22Q6COSC

・余弦定理的推论:

b2+c~—a2

cosA=

2be

a2+c2—b2

cosB=

2ac

a2+b2—c2

cosC=

2ab

(PT1

(

帼(

+帼

星)

)第

旺+

军

回

+M

胆

一

籁

辙

图

辙

3圈Si

辍

图

辙IE

驷

1峰

2®玄

一

①一

嶷

籁

--\圈

图

①口

H-

印

>1辍

足

-辍

图

将

®图

-M把

1盅

尔III

一

一01①-

一

tup

w

处

瘦

一、不等式的性质

第三节不等式

二、不等式的解法

第一章/2

认识

一、不等式的性质

1.不等式的基本性质

abb

a

ab,bca

c

aba+cb+c

ab,c0acbc;ab,c0ac

be

①22

认识

一、不等式的性质

2.不等式的运算性质

ab,cda+c

b+d

ab0,cd0ac

bd

ab0〃B(nN,n1)

a

y[a您(〃N,n1)

ab0

①22

应用

、不等式的性质

3.均值不等式

①若q,bE，2+2>，当且仅当q=b时，等号成立

②若q>0,b>0,则:一当且仅当。=6时，等号成立。

③若Q,4c巳则一±土「，当且仅当q=b=C时，等号成立。

3

(P22

应用

一、不等式的性质

4.柯西不等式

若Q,b,C,de,都是实数，则(2+2)(2+2)>(+)2,

且仅当

Qd=bc时，等号成立。

【例】已知2+2=1,且p,q为常数，求px+qy的最大值.

①23

书上无应用

补充

J一兀二次方程解法衽bx+c=O（x为未知数，QWO）

（1）直接开平方法/'

:2--6=0

适用于解形如（X+Q）=b[

（2）公式法（A>0）2!

।

求根公式：2~1_!

2I

（3）因式分解法!

16.案例：

下面是某位同学用开方法解方程的过程。

求方程（3z+l）2—4=0中z的值。

解：（37+1）2-4=0

移项（3Z+1）2=4

开平方3I+1=2

移项3z=l

所以

O

问题：

（1）该同学的解题过程哪步错了？分析其原因。（8分）

（3）除了开方法外，本题还可以用哪些方法解答？（至少列举两种）（4分）

案

二、不等式的解法

补充：一元二次不等式的解法2——4

0;

判别式4=b2-4acA>0A=04<0

有两个相异实数根有两个相等实数根

一元二次方程ax2+bx+c=O

-b±y]b2-4acb没有实数根

(a>0)的根y--x,~x—

1,22a2~2a

JIb]

av2+fer+c>0(a>0){x|x<>x1R

一元二次2I12al

不等式的

解集

{小]<

cuC+bx+c<0(a>0)X<x2}00

①Z3

应用

二、不等式的解法

1，

1.分式不等式2——4〉

0

(1)分式不等式的概念

分母里含有未知数的不等式称为分式不等式。

(2)分式不等式的解法

a.将分式不等式(移项，通分)化为标准形式，(><,归之0；

b.将分式不等式标准形式转化为整式不等式求解。

①Z3

应用+简

二、不等式的解法

.二元一次不等式组（线性规划）

2例：一+1>0

（1）二元一次不等式

・小+为+60表示直线4x+坊+。=0某一侧的所有点组成的

平面区域（半平面），不含边界直线（虚线）。

•不等式/%+为+Q0所表示的平面区域（半平面）包含边界直

线（实线）。

（2）任取一点，判断正负。

（3）由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个

不等式所表示的平面区域的公共部分。

（4）观察图形，找出直线在可行域上的最值位置，给出答案。

①73

高中的噩梦……一个小综合

【例】(2013年上半年-初级、高级中学-简答题)设平面闭区域。={(x,j)|x-y+l>0,

x+y-340且x+3y-3)0}。求函数/(x,y)=3x-y在。上的最小值，并说明理由。

(P23

y<x+1

解：(xj)是不等式组,y<-x+3表示的平面区域，如图所示

y>--X+1

I3

设目标函数为z=/(xj)=3》_y,即z=整理得y=3x-z

其中-z表示直线y=3x-z在j，轴上的截距，截距越大z越小，结合图形可知,

当直线过点C时z最小，将点C(O,1)代入得/(苍“