高中数学立体几何知识点复习总结

斜♦u；

①枪柱awm0、q由校-柱I;其A他校M拄*…J正棱柱

的棱钳用血力▼行尚造琴

依什图第油为城方那.底回函

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高中课程复习专题数学立体几何

一空间几何体

㈠空间几何体的类型

1多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的

各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的

棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

2旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋

转形成了封闭几何体。其中，

这条直线称为旋转体的轴。

㈡几种空间几何体的结构特征

1棱柱的结构特征

1.1棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边

形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些

面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2棱柱的分类

图1图-11棱柱-1棱柱

1.3棱柱的性质

⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形；

⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；

⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；

(4)直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。

1.4长方体的性质

⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三

条棱的平方和：2222+AAAC+AC=ABII图1-2长方体

⑵长方体的一条对角线AC与过定点A的三条棱所成1

的角分别是a、B、丫，那么:222222

cosa+cosB+cosy=1sina+sinB+siny=2

AC⑶长方体的一条对角线与过定点A的相邻三个面所

组成的角分别为，则：8a、、丫1222222sina+sinB+sin

Y=1cosa+cosB+cosy=2

1.5棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等

矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。

1

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1.6棱柱的面积和体积公式

S=c•h（c为底面周长，h为棱柱的高）直棱柱侧面

S=c,h+2S底直棱柱全

V=S,h底棱柱

2圆柱的结构特征

2-1圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线

为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成

的几何体叫圆柱。

2-2圆柱的性质

图1-3圆柱⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆；

⑵过轴的截面（轴截面）是全等的矩形。

2-3圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线

长为邻边的矩形。

2-4圆柱的面积和体积公式

=2兀・r•h（r为底面半径，h为圆柱的高）S圆柱侧面2

=2几rh+2几rS圆柱全2V=Sh=rrh底圆柱

3棱锥的结构特征

3-1棱锥的定义⑴棱锥：有一个面是多边形，其余各面是

有由这些面所围成的一个公共顶点的三角形，几何体叫做棱

锥。如果有一个棱锥的底面是正多⑵正棱锥：图1-4棱锥

边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正

棱锥。

正棱锥的结构特征3-2

⑴平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶

点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；

⑵正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；

⑶正棱锥中的六个元素，即侧棱（SB）、高（SO）、斜高（SH）、

侧棱在底面上的射影（0B）、斜高在底面上的射影（0H）、底

面边长的一半（BH）,构成四个直角三角形（三角形SOB、

SOH、SBH、

OBH均为直角三角形）。

n棱锥的侧面展开图是由n个全等的等腰三角形组成。正棱锥

的侧面展开图：正3-3

正棱锥的面积和体积公式3-4

,

=0.5ch（c为底面周长，h'为侧面斜高）S正棱锥侧=0.5c

h'+SS底面正棱锥全

）（h为棱锥的高・=1/3SVh底面棱锥

4圆锥的结构特征

2

gsWS3♦，羯

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4-1圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋

转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆

锥。

圆锥的结构特征4-2

平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等⑴

于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；

轴截面是等腰三角形；⑵

图1-5圆锥母线的平方等于底面半径与高的平方和：⑶

222+h

I=r

圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线

长为半径的扇形。4-3

圆锥的面积和体积的公式4-4

S=兀r•I（r为底面半径，I为母线长）圆锥侧

S=nr*（r+I）圆锥全2h­）为圆锥高（h圆锥r兀=1/3V

棱台的结构特征5棱台的定义：用一个平行于底面的平面去

截棱锥，5.1我们把截面和底面之间的部分称为棱台。正棱

台的结构特征5.2⑴各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰

梯形；

图1-6棱台⑵正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多

边形；

⑶正棱台的对角面也是等腰梯形；

（4）棱台经常被补成棱锥，然后利用形似三角形进行研究。

5-3正棱台的面积和体积公式

S=n/2（a+b）•h'（a为上底边长，b为下底边长，h'

为棱台的斜高，n为边数）棱台恻

S=S+S+S侧棱台全下底上底

V=棱台

6圆台的结构特征

6-1圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我

们把截面和底面之间的部分称为圆台。

6-2圆台的结构特征

⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；

⑵圆台的截面是等腰梯形；

⑶圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。

图1-7圆台6-3圆台的面积和体积公式

S=n•（R+r）•I（r>R为上下底面半径）圆台侧

3

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22I•兀.（R+r）r兀•+兀.R+S=圆台全22

V=1/3（E+兀R+兀rR）h（h为圆台的高）圆台7球的

结构特征

7-1球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，

半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定

点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的

几何体称为球体。

球的结构特征7-2

⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面；

⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方

222d差：r=R-图1-8球

★7-3球与其他多面体的组合体的问题

球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问

题的基本思路是：

⑴根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；

⑵找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面,

然后做出剖面图；

⑶将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；

(4)注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正

方体对角线；

球外切正方体，球直径等于正方体的边长。

7-4球的面积和体积公式2兀)R(R为球半径=4S球面3兀

R=4/3V球

㈢空间几何体的视图

1三视图：观察者从三个不同的位置观察同一个空间几何体而画

出的图形。正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的

投影图。

侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。俯视

图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。

注意：⑴俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视

图画在正视图的右方，

“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图相等。（正侧一样高，

正俯一样长，俯侧一样

⑵正视图、侧视图、俯视图都是平面图形，而不是直观图。

2直观图

2-1直观图的定义：是观察者站在某一点观察一个空间几何体而

画出的图形，直观图通常

是在平行投影下画出的空间图形。

2-2斜二测法做空间几何体的直观图

⑴在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy,即取NxOy=

90

⑵画直观图时，把它画成对应的轴。，它们确定的=45。或

135''',取/\,OxOyxOy

4

旦

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平面表示水平平面；

⑶在坐标系x'o'中y画'直观图时，已知图形中平行于数轴

的线段保持平行性不变；平行于

x轴的线段保持长度不变；平行于y轴的线段长度减半。

结论：采用斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的

2-3解决关于直观图问题的注意事项

⑴由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”；

⑵由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实

线，不能看见的轮廓线和棱画成

虚线。

二点、直线、平面之间的关系

㈠平面的基本性质

1立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化

图形语言文字语言符号语言

Aea点A在直线a上

外B在直线a点Ba

AGa点A在平面a内

点B在平面a外aB

直线a在平面a内aa

外a直线b在平面ab

直线a与平面a相交于点Aana=A

直线a与直线b相交于点Aanb=A

平面a与平面B交于直线aanB=a

5

Pwa

Awa

=>PA与a异面

aca

Aca

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★2平面的基本性质

公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面

内。

公理二：不共线的三点确定一个平面。

推论一：直线与直线外一点确定一个平面。

推论二：两条相交直线确定一个平面。

推论三：两条平行直线确定一个平面。

公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这

些公共点的集合是一条直

线（两个平面的交线）o

㈡空间图形的位置关系

1空间直线的位置关系（相交、平行、异面）

1.1平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。

即：a//b,b〃ca//c

1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,

那么这两个角相等或互补。

1.3异面直线

⑴定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。

⑵判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面

内不过此点的直线为异面直线。

即：1.4异面直线所成的角图2-1异面直线

⑴异面直线成角的范围：（0°,90°].

⑵作异面直线成角的方法：平移法。

注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一

条异面直线的特殊点（如

,形成异面直线所成的角。中点、端点等）

2直线与平面的位置关系（直线在平面内、相交、平行）

图2-2直线与平面的位置关系

3平面与平面的位置关系（平行、斜交、垂直）

㈢平行关系（包括线面平行和面面平行）

6

ailb

a^a"alia（线线平行n线面平行）

bca

alia

aupna〃b（线面平行n«Ut早行）

af}0・b

1.1线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直

线和平面平行。

1.2判定定理：

1.3性质定理：

判断或证明线面平行的方法1.4

利用定义（反证法）：IAa=,如〃a（用于判断）；⑴

（用于证明）;线面平行⑵利用判定定理：线线平行

线面平行（用于证明）;利用平面的平行：面面平行⑶

（用于判断）o⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行

2线面斜交和线面角：IAa=A

（简称线面角）：若直线与平面斜交，直线与平面所成的角2.1

则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。92.2线

面角的范围：ee[0°,90°]图2-3线面角；。=0。注意：当直线在

平面内或者直线平行于平面时，当直线垂直于平面时，9=90°

3面面平行3.1面面平行的定义：空间两个平面没有公共点,

则称为两平面平行。3.2面面平行的判定定理：⑴判

定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平

面，那么两个平面相互平行。即：图2-4面面平行

推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两

条线段，那么这两个平面平行。即：

图2-5判定1推论⑵判定定理2：垂直于同一条直线的两平

面互相平行。即：

3.3面面平行的性质定理

图2-6判定2

7

咽…=

aQya=>«///><（面面平行=>鳗线平行）

阳…

%bua

a（］b»O

l^anUa（缈微克n线面■宣）

Us

ILb

/la,aca=>;±o（皎面垂直n线线垂直）

aLa.b工anallb

PB・PCgOB=OCaPA>PB^OA>OR

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⑴（面面平行线面平行）

⑵

⑶夹在两个平行平面间的平行线段相等。

㈣垂直关系（包括线面垂直和面面垂直）

1线面垂直

1.1线面垂直的定义：若一条直线垂直

于平面内的任意一条直线，则这条直线垂

直于平面。

1.2线面垂直的判定定理：

1.3线面垂直的性质定理：

⑴若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。

即:

⑵垂直于同一平面的两直线平行。

即：

1.4常用的判定或证明线面垂直的依据

⑴利用定义，用反证法证明。

⑵利用判定定理证明。

⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也

垂直与平面。

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。

⑸如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线,

则该直线垂直于另一平面。

★1.5三垂线定理及其逆定理

⑴斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，斜

线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。

如图：⑵三垂线定理及其逆定理图2-7斜线定理内的

射影为，斜线PA在平面a，已知POa是平面aOA,

a内的一条直线。

①三垂线定理：若a±0A,则a±PAo即垂直射影则垂直

斜线。

8

z/y

a<"®!=>al/r（线面垂直二的的垂直）

alfl

A

,aQf>sAnn,jLA（面面型直n线面重宣）1

aua

tf±AA

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A^a

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②三垂线定理逆定理：若a，PA,则a±OAo即垂直斜线则

垂直射影。

⑶三垂线定理及其逆定理的主要应用

三垂线定理2-8图①证明异面直线垂直;

②作出和证明二面角的平面角；

③作点到线的垂线段。

2面面斜交和二面角

2.1二面角的定义：两平面