广东省广州市2022届高考二模考试 数学 试题（含答案）

秘密★启用前试卷类型：B

2022年广州市普通高中毕业班综合测试（二模）

数学

本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座

位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信

息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂

改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若复数z=巴」是实数，则实数〃尸（）

1+i

A.-1B.0C.1D.2

2.下列函数中，既是偶函数又在（0,+oo）上单调递增的是（）

/11

A.y=-B.y=-fc.y=|x|-lD.y=x——

、2Jx

3.某种包装的大米质量J（单位：kg）服从正态分布J〜N（10,o-2）,根据检测结果可

MlP（9.98<^<10.02）=0.98,某公司购买该种包装的大米2000袋，则大米质量在10.02kg

以上的袋数大约为（）

A.10B.20C.30D.40

4.已知数列｛〃〃｝是等差数列，且。2+。5+4=万，则tan（4+/）=（）

A.73B.且C.-且D.-73

33

5.如果函数=sin（2x+°）的图像关于点（—（，0）对称，则网的最小值是（）

6.甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要比赛一场），每场比赛的计

分方法是：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分.全部比赛结束后，四队的得分为:

甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则（）

A.甲胜乙B.乙胜丙C.乙平丁D.丙平丁

7.已知抛物线Ci：/=4x,圆C2：(x—2)2+V=2,直线/：y=左(》一1)与Ci交于A,

B两点，与Q交于M,N两点，若1A用=8,则|MN|=()

A.V14B.76C.巫D・亚

22

2

8.已知a>0且awl,若集合M={x，<x},^={%|x<logflx),且N=则实

数a的取值范围是()

A.(O,l)U1,靛B.(O,1)|Je\+oo

,7

/_1_■

c.(O,l)uL&D.(0,1)Ue2e,+<x)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A,“第二枚骰子

出现的点数不小于3”为事件B,则下列结论中正确的是()

A.事件A与事件B互为对立事件B.事件A与事件B相互独立

C.P(B)=2P(A)D.P(A)+P(B)=1

10.如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，E在底面圆周上，AE=BE,AF1DE,F是垂足,

G在BD上，DG=2BG,则下列结论中正确的是()

A.AF±BD

B.直线DE与直线AG所成角的余弦值为1

2

C.直线DE与平面ABCD所成角的余弦值为

D.若平面AFGfl平面ABE=/,则〃/FG

11.已知a>0,b>0,直线y=x+a与曲线y=e*T-26+1相切，则下列不等式成立的是

()

A.ah<-B.-+-<8C.y[a+4b<—D.百

8ab2

12.我们常用的数是十进制数,如1079=1x103+0x102+7x1()1+9x10。,表示十进制的数要用

10个数码：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个

数码0和1.如四位二进制的数1101<2)=1X23+1X22+0X2'+1X2°,等于十进制的数13.把机

位”进制中的最大数记为M(，"，〃)，其中相，nGN*,n>2,M(w,〃)为十进制的数，

则下列结论中正确的是()

A.M(5,2)=31B.M(4,2)=M(2,4)

C.<A/(〃+l,〃+2)D.M(〃+2,“+l)>M(〃+l,〃+2)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知a,b是两个单位向量，c=2a+b,且b_Lc,贝比a.(a+b)=.

14.写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程.

①中心在原点，焦点在y轴上；②一条渐近线方程为y=2x；③焦距大于10.

15.函数/(x)=sin;rx-In|2x-3|的所有零点之和为.

16.在梯形ABCD中，AB//CD,AB=2,AD=CD=CB=1,将AACD沿AC折起，连接BD,

得到三棱锥D7BC,则三棱锥D乂BC体积的最大值为.此时该三棱锥的外接球

的表面积为.(第一个空2分，第二个空3分)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

问题：已知〃eN*,数列｛%｝的前〃项和为S“，是否存在数列｛5｝,满足5=1,

an+i>\+an,?若存在，求通项公式勺；若不存在，说明理由.

在①%M=2(67+后>②a“=S,i+〃(n>2)；③%讨=2%+〃一1这三个

条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（12分）

某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质

监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校随机抽取

60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表

成绩等级优良合格不合格

频数711411

(1)从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人

数记为X,求P(X=l)；

(2)将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑

测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成

活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分.这3名学生所得总分记为Y,

求y的数学期望.

19.（12分）

在平面四边形ABCD中，ZA=90。，/D=60。，AC=6,CD=3百.

（1）求△ACD的面积；

93

（2）若cosNACB=—,求AB+—BC的值.

164

20.(12分)

如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，ZABC=60°,EF〃AC,AC=2EF,平面

AEFCJL平面ABCD,AE=AB.

(1)求证：平面BEDJ_平面AEFC；

(2)若AE_LAC,求二面角AVF-D的余弦值.

21.(12分)

已知椭圆C:—5'+—1(6!>Z>>0)的离心率为----，短轴长为4.

a2b12

(1)求C的方程；

(2)过点P(T,0)作两条相互垂直的直线/i和自直线人与C相交于两个不同点A,B,

在线段AB上取点Q,满足陷=凹，直线，2交y轴于点R，求APQR面积的最小值.

3阿

22.(12分)

已知函数/(%)=2xlnx-x2-mx+\.

(1)若根=0,求〃x)的单调区间；

a+h4ab

(2)若机vO,0<h<a,证明：21n----<-----.

a-ba2-b2

2022年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学试题参考答案及评分标准

评分说明：

1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同.可根据试题

的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.

2.对计算题.当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的

一半：如果后继部分的解答有较严重的错误.就不再给分.

3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

4.只给整数分数.选择题不给中间分.

一、选择题：本题共8小题，每小题S分，共M分.

邈号12345678

答案ACBDBCBD

二、选择题：本题共4小题，每小题S分，共20分.

9.BCD10.AD11.AC12.ABD

三、填空题：本题共4小题.每小题5分.共20分.

1y2x2c73

1314.-------=1t15.916.—,5cn

224612

说明第（14）题答案可以为部一a=1（从>5）

四、解答题：本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

解：若选条件①.

由于.=S[=1>0•4.121+%，得4>0.....................1分

由4“=2（斤+疯），得=2（反+右），.................2分

得（⑸+国际-国=2（瓦+图.....................3分

因为标+收

所以VU-疯=2.......................4分

所以数列｛底｝是首项为k=1.公差为2的等差数列...................5分

所以=1+2（„-1）=2//-1.

所以工=(2〜if.6分

当“N2时.an=S“-Se=(2〃-1)2-(2〃-3)2=8〃-8...........................7分

由于4=1不满足上式，

因为&=8,l+q=2,满足。221+q.

当勿22时,。用一。+%)=7>0,满足qrZl+勺.缺验证扣1分......9分

所以选择①时问题中的数列｛%｝存在,此时q=4'"=L....................10分

8〃-8,n>2.

若选条件②.

由于4=S“_[+M〃N2),得/=$+2=3...........................1分

当〃22时.4=S〃T+",an^=Sn+w+l,..........................2分

两式相减得4“-4=S,-Sz+1=q,+L..........................3分

得4.i=2q+1...........................4分

得4+i+1=2(4+1)(〃N2)...........................5分

由于。2+1=4=2(%+1),..........................6分

则数列｛3+1｝是首项为4+1=2.公比为2的等比数列.................7分

故q+]=2x2i,即4=k—L..........................8分

因为%“_(1+3)=(2"'_1)_(1+2"—1)=2"-]>0,缺验证扣1分......9分

所以符合题意・

所以选择②时问题中的数列｛4｝存在，此时4=h-i...........................io分

若选条件③.

%=S1=l...........................1分

因为43=24+〃-1,得4/+(〃+1)=2(4+〃),..........................3分

由于q+1=2/0,贝J4+"0...........................4分

则+(〃+1)=2...............5分

所以｛/+〃｝是首项为2.公比为2的等比数列.................6分

所以q+〃=2\即q=7一〃.................7分

因为4+1-(1+4)=2必|_(〃+1)-(1+2"-〃)=2"—220..............8分

满足q.i21+q.缺验证扣1分......9分

所以选择③时问题中的数列存在，此时％=2"-〃...............10分

18.(12分)

(1)解：根据踵意.这60名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数为7+11=18.

....................................1分

成绩等级为合格或不合格的人数为42...............................2分

则尸(X=l)=^^.=当..........................................4分

,7C%295

(2)解法1：从该校的学生中随机抽取3名,相当于进行了3次独立重复试验.设所抽取的

3名学生中耐力跑成绩为优或良的人数为岁，则J服从二项分布8(3p)...5分

由题意得任取1名学生耐力跑成绩为优或良的频率为=〃=0.3.........6分

60

将样本频率视为榛率得p=0.3......................................7分

根据二项分布的均值公式得礴=3p=0.9.有期望=3睁1分......9分

根据题意得，=100岁.10分

所以y的数学期望为£7=100酸=90.有第一个等式给1分..............12分

解法2：从该校的学生中随机抽取3名.相当于进行了3次独立重复试验.设所抽取的

3名学生中耐力跑成绩为优或良的人数为g.则g服从二项分布3(3,2)..5分

由题意得任取1名学生耐力跑成绩为优或良的频率为土U=03.........6分

60

将样本频率视为概率得p=0.3......................................7分

而y=iooj,则丫的所有可能取值为o.ioo.200.300...............8分

且p(y=0)=C；x0.3°X0.73=0.343.P(r=100)=C；x0.3,x0.72=0.441.

P(r=200)=C；x0.32X0.7*=0,189.P(K=300)=C；x0.33x0.7°=0.027.

10分

所以y的分布列为:

Y0100200300

p的值错一个或两个扣1分……11分

P0.3430.4410.1890.027

所以丫的数学期望为EY=0x0343+100x0.441+200x0.189+300x0027=9().

12分

19.(12分)

(1)解：在△48中,ZD=60°,AC=6,CD=*、

由余弦定理得ZC2=.4Zy+CD2-2.4Z>co.sinND......................................1分

即36=仞2+27—2・仞〉3.)<L,

2

整理得AD2-3>l3AD-9=0..................................................2分

3(6+⑺

解得XZ)=-2-----------^或,此=(舍去)，•3分

2

3(6+⑺

所以四=」--------L.4分

2

所以△4。的面积为S=LMC»sin60=

只看结论……5分

2

CD

(2)解法1:在中,由正弦定理得---------

sinZG4DsinZD

得sinNGID、.,6分

4

因为ZE4C=44一NC4D=90°-NC4D,

则sinABAC=cosZCW=Jl-sin?NC4£>=4,正弦值或余弦值有一个正确就给分……7分

3

cosZBAC=sinNCAD=—.

4

因为COS4CE=2,则疝ZACB=Jl-cos?ZACB二牙.只看结果.......8分

1616

因为NH4C+N4CS+"=JC,

则sin乙？=sin(ZBAC+ZACB)=sinZHdCcosZACB+cosZB/1CsinZACB

只看结果..................9分

ACAJRBRC

在△JBC中.由正弦定理上二=———=———

sinsm乙4cBsinZBAC

得AB=5,BC=4.一个值1分............11分

所妞+..................................12分

4

CDAC

解法2:在△/CD中,由正弦定理得

sinZCADsinZD

3

得sinNCW=士.......................，6分

4

因为ZR4C=N4—Z.CAD=90°-ZC4D,

则cosZBAC=cos(90--Z.CAD)=sinZ.CAD=1.有正弦等于余弦给1分，

6分

9

在中.8SN4C8=—,由余弦定理得

16

AB'AC'BCSCBC.cosZACB,

BC!=AB2+AC2-2^1BACCOSZ£MC.

77

即他2=36+802-二8C,①©分

4

BC?=AB"+36-9AB.10分

3

①+②血+-BCrS.12分

4

［另法］

(1)解：如图.作CE_L4。于E.D

在RtZsCED中,ZD=60°.CD=3/、

E

则3=8.疝1160。=班x乎g…

1分

D£，=CD-cos60o=373x-=—.…2分

8

22

在RtZ\4EC1中.吊C=6,则他=1在。2-。七2=地

3分

2

故.AD=AE+DE=4分

2

所以△XCO的面积为S=L-4Z>CE=

5分

28

CE3

(2)解：在Rt△必7中.得sinNC4E=B=2,6分

AC4

因为C=N4—ZCAE=90°-Z.CAE.

则cosZBAC=8s(90°-/CAE)=sinNCAE=:.有正弦等于余弦给1分8分

在△M7中.作8户J,4C于尸.则4C=4F+CF......................................9分

得6=/lBcosZE4C+3CcosZ/lCS..............................................10分

因为8sN4C8=2.

16

393

所以6=亍4?+；6c得AB+二B号8............................f等式册…一12分

41674

20.(12分)

(1)证明：因为四边形,4BC及是菱形，所以5OJ_,4C......................................1分

因为8Du平面平面的Cl平面NSC。.平面皿CPI平面月3CD=4C.

所以BD_L平面曲C........................................................................2分

因为BDu平面匝阻，所以平面EHD_L平面..........................3分

(2)解法1:设.4。口8。=。,连接。厂.

由加平面的C・/Eu平面gT.得/E_L8Q.............................4分

因为他，/。，，4Cu平面48s,BDu平面ABCD，

z

所以AEL平面ABCD....................................................5分勺1F

因为历〃4c.AO=^AC=EF.l\'；V\.

所以四边形4印。是平行四边形..一左：卜/

所以越〃0尸.心

所以OFJL平面ABC。................................6分

以08,0C,分别为x.y,z轴建立如图所示空间坐标系。一平.

由于他=功=2.则B(Q.0.OXC(0,l,0)J)(-币,0.0>F(0,0,2).................7分

则而=(-VJ,-l,O),CF=(0,-1.2),赤=(-26,0,01........................8分

设平面CDF的法向量为"=(x9y,z),

由卜.丝=0,即卜氐-y=0,,令*=1,解得“=|7-"-期，…9分

〃・CF=0.l-y+2z=0,I2)

由于8DJ•平面/®r,则丽=(-2JI0.0)是平面的。的法向盘.......10分

诉nBD2M

则8s<〃,即>=丽=一丁’...............................U分

所以二面角幺一CF-Q的余弦值为丝B......................................................12分

解法2：过。作。G_LR?,垂足为G.连接QG,..........4分

由8Q«L平面/加RU,得ODLFC,...........................5分

又8「|OG=O.8u平面QOG.OGu平面ZX9G.

则R7_L平面。OG................................6分

因为QGu平面QOG,则R?_LDG............................7分

故NDGO为二面角N-CF-D的平面角..........................6分

因为月/_L/C.EF〃AC.AC=2EF.则平面四边形的O为直角梯形.

2

在直角梯形的《中，求得。G飞'©分

在RtZ\ZX?G中，DG=>JOG2+OD210分

cosZDGO=—11分

DG19

所以二面角/-CF,-Q的余弦值为2叵.

12分

19

21.（12分）

，2分

所以a=20,b=2.■3分

所以C的方程为工+二=1

，4分

84

（2）解法1：由题意，直线乙斜率存在且不为0,设直线4的方程为），=无（x+3）.

且月（不，”）・夙电，心）・。（工0，乂），

将卜"（x+3）代入/+2»2=8,整理可得

（1+*卜2++18公—8=0,

nkix5分

A二I44X一代】+2k2网8左2_8）>0,解得一2<k<2,

由根与系数的关系可得

-12k~18左~8

巧+电二------再也=-----------r-只要弓对一个等式不扣分.......6分

l+2k-l+2Ar2

根据导爵则沈•泼

...............................7分

_3_6_k_2___1_6___36—

解得％=2"用+%$[+,）=1+2尸「+2广=_]只看结论.........8分

x.+x,+6]2k2q3

----------T-+0

1+2公

7

又22,则，2的方程为y=—/x+3）.

令x=0,则y=-*,即/?(0,一?).

故附k，9分

而|尸。|10分

记△PQR面积为S・

则S=；|PR|x|尸0

》T+2

AgJF工=*.（当且仅当4=±1时取等号）只看结论，

11分

2

所以△厘面积的最小值为1.12分

解法2:由题意.直线〈斜率存在且不为0,设直线乙的方程为不=少一3,

4%,乂），8（马,％）,。（工’为）

x=ty-3

*■X1y2，消去X得(r+2))J-6伊+1=0.，5分

---+----=1

84

由A=36/-4x(/+2)xl=32?-8>0,得或，<一?.

由韦达定理得乂+%=言］-乂匕=了三•只要写对一个等式不扣分•

6分

由掰=掰及"‘42,B四点共线.

5%一必一M

知------------7分

y2-y0y2

2

得犷乎=分=;8分

必+必613/

C+2

则|尸目=\y\=，

Ji+JQ9分

8

因为则6的方程为》=-一夕-3,令x=0得）=一3/.

即R（0,-3。.

所以卜卜和4=3,1+/.

10分

所以△PQR面积S=^\PR\\PQ\=；-#3,1+广=与-=J"+

上；'2田^=1・只看结论..................II分

当且仅当M=i>g等号成立.

所以△PQA面积的最小值为1......................................................12分

解法3：由题意.直线乙斜率存在且不为0.设直线乙的方程为K="-3.

/（0乂）,8（5,必）.0gJo）

x=ty-3

由1x?y1消去X得（，+2）/-6夕+1=0........................................5分

-----I-----=1

184

由△=36/-4x（r+2）x1=32/_g>g,得/或/<一；.

由韦达定理得必+儿=言5,乂必=产3，只要写对一个等式不扣分.......6分

设由四点共线，知4Q=地8，AP=-APB•

由"=一好即（一3一不，一乂）=一/（巧—3,必）.得乂=%%・..............7分

由而=义函.即（/-%,义-乂）=〃彳2-/，8一）'0）・得

=a+4a=U=3z=_L

1+A1+2L乃+必3,只看结论..................8分

外

则|尸目=^^7|%|=2^・.....................................................

9分

9

因为则4的方程为x=-ly-3.令x=0得y=-3，.

t

即~0.—3，).

所以|产用=j|3z|=3J1+3..............................10分

所以△PQR面积S=5?刚尸2|=3JiTT7=晶~=：(M+j)

zgx2桶=1.只看结论......................“分

当且仅当卜1=1>3等号成立

所以△PQR面积的最小值为1..............................12分

22.(12分)

(1)解：函数/'(x)的定义域为(0,+8)..............................1分

由于用=0.则f(x)=Zxlnx-Y+l.