人教A版必修第二册6433余弦定理正弦定理应用举例学案

第三课时余弦定理、正弦定理应用举例

课前篇咱主梳理稳固根底

［笔记教材］

学问点1测量距离问题

当线段48的长度不行直接测量时，求A,8两点间的距离有以

下三种类型:

类型图形解法

测出两边及其夹角：

A,8两点间不行达又BC=a,AC=b,角C,运用

不行视余弦定理得AB=

c

\la2-hb2—2abcosC

测出两角及其夹边：

BC=a,角3,角C,依据正

弦定理-^=-^=

sinCsinA

BC

A,B两点间可视但不A

sin[7c—(B+Q]

行达（如人与点5在河

_BC

的同侧，A在另一侧）B'u---------C

"sin(B+C)

_________W_______彳曰

-sin(B+C)'得

AB=

sin(B+C)

续表

类型图形解法

先在△AOC和△3DC中分别求出

A,8两点都不行达（如AJi

--.K.--------AD,3。（或AC,BQ,再在△

点4与8在河的同侧，

~~r—'、wA3。（或△ABC）中运用余弦定理求

人在另一侧）DaC

解.

在△4DC中，由正弦定理可得AO

asinNACZ)

sin(NADC+NACD)'

在△8DC中，由正弦定理可得8Q

asinNBCO

sin(N3OC+N3c0'

在△450中，由余弦定理可得AB

7AU+BD1-2ADBDcos/ADB

学问点2测量角度问题

实际应用问题中的一些关于角的术语、名称:

⑴坡角

坡面与水平面的夹角，如图：

(2)仰角和俯角

与目标视线在同一铅直平面内的水平线和目标视线的夹角，当目

标视线在水平线上方时叫做仰角，当目标视线在水平线下方时叫做俯

角，如图：

.视线

铅

水

,平线

仰

角

垂

角

俯

线.

、视线

(3)方位角

指从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角，方位角的取

值范围是［0,2兀).如图中B点的方位角为a.

北,

西东

南B

(4)方向角

相对于某一正方向的水平角，即从指定方向线到目标方向线的水

平角.方向角小于90。，通常表达成：正北或正南，北偏东30°,南

偏西30。等.如图，点C位于点8的北偏东60。或东偏北30。方向上.

学问点3测量高度问题

测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造直角三角形，依据条

件结合正弦定理和余弦定理来解决.解决测量高度问题时，经常会消

失仰角和俯角，要留意它们的区分与联系.

［重点理解］

运用正、余弦定理解决实际问题的根本步骤

⑴分析:理解题意，弄清与未知，画出示意图(一个或几个三角

形)；

(2)建模:依据条件与求解目标，把量与待求量尽可能地集中在

有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；

(3)求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的

解；

(4)检验:检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题

的解.

［自我排查］

1.思维辨析.(对的打“,错的打"X")

(1)基线选择不同，同一个量的测量结果可能不同.()

(2)东偏北45。的方向就是东北方向.()

(3)两点间可视但不行到达问题的测量方案实质是构造两角及一

边的三角形并求解.()

(4)如下图，为了测量隧道A3的长度，可测量数据。，江〉进行

计算.()

解析：⑴J.

(2)由方向角的定义可知该说法正确.

(3)，可由正弦定理解三角形求解.

(4)4由余弦定理可求出AB.

2.一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏

西75。距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N

处，那么此船的航行速度的大小为()

A.17y(nmile/h)B.344(nmile/h)

C.17y(nmile/h)D.34/(nmile/h)

答案：A

解析：如下图，在APMN中,

PMMN

sin45。=sin120°'

68乂仍

：.MN=E=34^r6.

.MNn^6

.-v=~^~=_2（nmile/h）.

3.两灯塔A,B与海洋观看站C的距离都等于a(km),灯塔A

在。北偏东30。的方向上，B在。南偏东60。的方向上，那么A,B

之间距离为()

A.-\[2akmB.小akm

C.akmD.2akm

答案：A

4.一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120。的方向航行，

河水流速为2km/h,那么经过2h,该船实际航程为km.

答案：4小

;二二二X

率骞।善二

水流方.

解析：如下图，

♦实=留+42—2X4X2XCOS60°

=2小(km/h),

所以实际航程为25X2=44(km).

5.如图，在某地震灾区的搜救现场，一条搜救犬从4处沿正北

方向行进％m到达3处发觉一个生命迹象，然后向右转105。，行进

10m到达C处发觉另一个生命迹象，这时它向右转135。后连续前行

回到动身点，那么％=m.

败安.1^/6

解析：由题意NC8A=75。，ZBCA=45°,

所以N5AC=180°-75°-45°=60°,

由正弦定理可得s,45。=sin60"所以%=味⑺•

课堂篇•重点难点研习突破

研习1测量距离问题

［角度一］两点间不行通又不行视

［典例1］如下图，要测量一水塘两侧A,8两点间的距离，其方

法是先选定适当的位置C,用经纬仪测出角a,再分别测出AC,BC

的长b,a,那么可求出A,B两点间的距离，即AB=y］a2-\-b2-2abcosa.

假设测得CA=400m,CB=600m,NACB=60。，试计算AB的长.

［答案］20Mm

［角度二］两点间可视但有一点不行到达

［典例2］如下图，A,3两点在一条河的两岸，测量者与A在同

侧，且3点不行到达，要测出A,3的距离，其方法是在A所在的岸

边选定一点C,可以测出A,C的距离如再借助经伟仪，测出NAC8

=a,/CAB=6,在△ABC中，运用正弦定理就可以求出A,3的距

离.

假设测出AC=60m,/BAC=75。,N3cA=45。，那么A,B两

点间的距离为m.

［答案］20^6

［角度三］两点都可视但不行到达

［典例3］如图，A,8两点在河的同侧，且A,8两点均不行到

达，要测出A,B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C,D,测

得CQ=Q,同时在C,O两点分别测得N3C4=a,ZACD=/3,ZCDB

=y,.在△AOC和△3DC中，由正弦定理分别计算出AC

和8C,再在△ABC中，应用余弦定理计算出A3.假设测得8=宁

km,ZADB=ZCDB=3Q°,ZACD=60°,ZACB=45°,求A,B两

点间的距离.

［答案］乎km

［巧归纳］当A,8两点之间的距离不能直接测量时，求A3的距

离分为以下三类：

（1）两点间不行通又不行视（如图①）：可取某点C,使得A,B与

。之间的距离可直接测量，测出AC=b,BC=a以及NAC3=y,利

用余弦定理得：

AB=-\la2+h2—2abcosy.

（2）两点间可视但有一点不行到达（如图②）：可选取与5同侧的点

C,测出以及NA3C和NACB,先使用内角和定理求出N3AC,

再利用正弦定理求出A3.

（3）两点都可视但不行到达（如图③）：在河边测量对岸两个建筑物

之间的距离，可先在一侧选取两点C,D,测出CO=m,ZACB,Z

ACD,AADC,ZADB,再在△BCO中由正弦定理求出BC,在△AQC

中由正弦定理求出AC,最终在△ABC中，由余弦定理求出A3.

研习2测量高度问题

［角度一］测量仰角（或俯角）求高度

［典例4］（1）如图，在离地面高400m的热气球M上，观测到山

顶C处的仰角为15。，山脚A处的俯角为45。./区4。=60。，那么山的

同度BC为（）

A.700mB.640m

C.600mD.560m

(2)如图，某登山队在山脚A处测得山顶3的仰角为35。，沿倾斜

角为20。的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为65。,

求此山的高度.(精确到1m,参考数据：sin35°^0.5736,^2^1.414)

(1)［答案］C

［解析］如图，过点M作垂足为D

在RtZkAMD中，NK4Q=45°,MD=40Qm,

MD

4so=40(Mr^(m).

ol.ll一)

在△MAC中，ZAMC=45°+15°=60°,

ZMAC=180°-45°-60°=75°,

所以NMCA=180°-ZAMC-ZMAC=45°.

由正弦定理，得

AMsinZAMC40Mx

AC=----------------­=40()V3(m).

sinZMCA孚

在RtAABC中，

、行

BC=ACsinZBAC=400V3X^=600(m).

(2)［解］如图，过点。作。?〃AC交BC于E,

由于NQAC=20。，所以NADE=160。,

于是乙4。3=360。-160°—65°=135°.

又/区4。=35°—20。=15°,所以NABO=30°.

在△A3。中，由正弦定理，得

ADsinZADB1000Xsin1350

=100()V2(m).

sinN/AASnDr\sin30°

在中，8C=A8sin35°-8n(m).

［内化•悟］两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，此

类测量高度问题的解题思路是什么？

提示：放在直角三角形中，依据所给的边、角的关系，求出与所

求高相关的一条边的长，然后再求高.

［巧归纳］测量仰角(或俯角)求高度问题

(1)根本思路：构造含建筑物高度的三角形，用正、余弦定理解

答.

(2)构造三角形的方法

①如图①所示，取经过建筑物4?底部3的基线上两点H,G,

用同样高度的两个测角仪。”和CG测量得仰角小«,测量两个测角

仪的距离以G,构成△ACD

②如图②所示，在建筑物CD的顶部直立物体8C,分别在8,C

两处测量俯角«,B，构成△A3C.

［角度二］测量方向角求高度

［典例5］(1)(2020•福建龙岩高二检测)如图，某景区欲在两山顶

A,C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离，山高A3=lkm,CD

=3km,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30。，山顶。的仰角为

60°,ZAEC=150°,那么两山顶A,C之间的距离为()

2市km3A/3km

4啦km3小km

(2)如图，某人在塔的正东方向上的C处，在与塔垂直的水平面

内，沿南偏西60。的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，

在点D处望见塔的底端B在东北方向上，沿途塔的仰角ZAEB=a,

a的最大值为60°.

①求此人沿南偏西60。的方向走到仰角a最大时，走了几分钟；

②求塔的高A3.

⑴［答案］A

［解析］由于AB=\,CD=3,ZAEB=30°,NCED=60。,Z

AEC=150°,

所以AE=2A3=2,6QO=^3=2V3,

在△ACE中，由余弦定理，得

AC2=AE2+CE2~2XAEXCEXCOSZAEC

=28,

所以AC=26km,即两山顶A,C之间的距离为入「km.

(2)［解］①依题意知，在△DBC中，ZBCD=30°,ZDBC=180°

—45。=135。，CD=6000X*100(m),0=18。。-135。-3。。=15。,

CDBC

由正弦定理,得

sinD'

m-CPsinDlOOXsin15°

所以BC=•而

sinZDZJCsmi135

逐一也

VV

IOOX-4--

=----啦----=50（小-l）（m）.

2

在RtAABE中，tan。=左DtL，

由于48为定长，所以当的长最小时，a取得最大值60。，这

时BELCD.

当时，在RtZiBEC中，

EC=BCcosNBCE=50（小一1"=25（3一小）（m）,设该人沿南

EC

偏西60。的方向走到仰角a最大时，走了，分钟，那么，=彳而X60

25（3-^3）3一小八人

=6000*60=4（分钟）.

②由①知，当a取得最大值60。时，BELCD,

在RtABEC中，BE=BCsinZBCD,

所以AB=BE-tan60°=BCsinZBCDtan60°

=50（V3-l）x|xV3

=25（3一小）（m）,

即所求塔高为25（3-小）m.

［巧归纳］测量方向角求高度问题

（1）根本思路

方向角属于水平面的角，而仰角属于铅垂面内的角，所以此类问

题的图形通常是立体图形，解题的根本思路是把目标高度转化为三角

形的边长，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.

(2)根本方法

首先在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间中构造

三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或几个三角形，

从而求出高度.

研习3测量角度问题

［角度一］计算角度问题

［典例6］如下图，在坡度肯定的山坡A处测得山顶上一建筑物

CD的顶端C对于山坡的倾斜度为15°,向山顶前进100m到达B处,

又测得C对于山坡的倾斜度为45。，假设0=50m,山坡对于地平

面的坡度为仇那么cos8=()

C

A.B.小

C.3—1D.^2-1

［答案］C

［解析］在3c中，由正弦定理，得

AB________ACABAC

sinNAC3=sinNA8C即sin3(T=sin135°'

所以AC=100Vl

Arm

在中，由正弦定理得sinNsinNCA。'

'sin(6»+90°)sin15°'

所以cos0=sin(9+90°)=/C15=事一1.

［角度二］求航向中的角度问题

［典例7］(2020•江苏南通高一检测)如图，在海岸A处，发觉南

偏东45。方向距A为（2审一2）海里的B处有一艘走私船，在A处正北

方向，距A为人傍每里的C处的缉私船马上奉命以海里/时的速

度追截走私船.

（1）刚发觉走私船时，求两船的距离；

（2）假设走私船正以1所海里/时的速度从B处向南偏东75。方向

逃跑，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时

间.（精确到分钟，参考数据：81.4,册心2.5）

［解］⑴在△A3C中，由于A3=（2小一2）海里，AC=2啦海里,

ZBAC=135°,

由余弦定理，得

BC=y］（2事-2）2+（2立¥-2X2小义（2小-2）cos135°

=4（海里）.

（2）依据正弦定理，

可付sinNABC=口厂=不

nCZ

所以NA8C=30。，易知NACB=15。，

设缉私船应沿CD方向行驶，小时，才能最快截获（在D点）走私

船，如下图.

那么有8=1附/（海里），

M=10V^（海里）.

而NC3O=120。，在△BCD中，依据正弦定理,

BDsinZCBDlOj2?sin120°_V2

可得sinN3CD=

CD10V3z—2'

所以N8CD=45。，/BDC=15°,所以NACD=60。.在△CBD中,

依据正弦定理'得sinNBDC=sinNCBD'

Pfl410^3/

即迅E迈一也，

42

解得胃逅产小时"47分钟.

故缉私船沿南偏东60。方向，大约需47分钟才能追上走私船.

［巧归纳］1.测量角度问题的根本思路

测量角度问题的关键是在弄清题意的根底上，画出表示实际问题

的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理

解三角形，最终将解得的结果转化为实际问题的解.

2.测量角度问题画示意图的根本步骤

1.某人先向正东方向走了xkm,然后他向右转150。，向新的方

向走了3km,结果他离动身点恰好为gkm,那么％的值为（）

A.小B.2小

C.2小或小D.3

答案：C

解析：依据余弦定理，可得

（表）2=JC2+32—2义3%*cos（180。—150。），

即_?一3小%+6=0,解得％=2，5或小.

2.两座灯塔A和B与海岸观看站。的距离相等，灯塔A在观看

站北偏东40。的方向上，灯塔3在观看站南偏东60。的方向上，那么

灯塔A在灯塔B的（）

A.北偏东10°B.北偏西10。

C.南偏东10°D.南偏西10。

答案：B

解析：如图，由，得

ZACB=180°-(40°+60°)=80°,

'：AC=BC,

：.NA=ZCBA=|X(180°-80°)=50°.

又EC//BD,

：.NCBD=NBCE=60°,

那么ZABD=60°-50°=10°,

二.灯塔A在灯塔3的北偏西10。的方向上.

3.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船，由炮台顶部测得俯

角分别为45。和30。，而且两条船与炮台底部连线成30。角，那么两条

船相距m.

答案：30

解析：如图，过炮台顶部4作水平面的垂线，垂足为3,设A处

观测小船C的俯角为45°,A