初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习2.1 等式性质与不等式性质（教师版）

第二章《一元二次函数、方程和不等式》2.1等式性质与不等式性质【知识梳理】知识点一基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.依据如果a>b⇔a－b>0.如果a＝b⇔a－b＝0.如果a<b⇔a－b<0.结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小知识点二重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．知识点三等式的基本性质(1)如果a＝b，那么b＝a.(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.(4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).知识点四不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bcc的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正【基础自测】1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．M>N B．M＝NC．M<N D．与x有关【答案】A【详解】∵M－N＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴M>N.2．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3.则不正确的不等式的个数是()A．0B．1C．2D．3【答案】C【详解】由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，①②均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，③正确；a3>b3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.3．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是()A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．a2>b2C．eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1) D．a|c|>b|c|【答案】C【详解】对于A，若a>0>b，则eq\f(1,a)>0，eq\f(1,b)<0，此时eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，∴A不成立；对于B，若a＝1，b＝－2，则a2<b2，∴B不成立；对于C，∵c2＋1≥1，且a>b，∴eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1)恒成立，∴C成立；对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．4．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________.(不用化简)【答案】5x－2(19－x)≥80，x∈N*【详解】这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，即5x－2(19－x)≥80，x∈N*.5．若α，β满足－eq\f(1,2)<α<β<eq\f(1,2)，则α－β的取值范围是________．【答案】－1<α－β<0【详解】∵－eq\f(1,2)<α<eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)<－β<eq\f(1,2)，∴－1<α－β<1.又α<β，∴α－β<0，∴－1<α－β<0.【例题详解】一、用不等式(组)表示不等关系例1(1)某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不等关系求解即可.【详解】经过年之后，方案的投入为，故经过年之后，方案的投入不大于方案的投入，即故选：D(2)用不等式表示图中两个函数之间的关系为______．【答案】．【分析】根据观察图象可知，函数的图象在函数的上方，故可以得不等关系为.【详解】解：的图象始终在的图象的上方，也就是说的函数值总是大于的函数值，即．故答案为：.【点睛】本题考查根据图象构造不等关系，属于基础题.跟踪训练1(1)下列说法正确的是（）A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x＜2000”B．若小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮表示为“x＞y”C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”【答案】C【分析】对于应满足；对于应满足；对于应表示为，从而可得结果.【详解】对于应满足，故中说法错误；对于应满足，故中说法错误；至少是可表示为“”，中说法正确；对于与得关系可表示为，故中说法错误，故选C.【点睛】本题主要考查阅读能力以及对不等关系的理解与应用，属于基础题.(2)一个盒子中红、白、黑三种球分别为个、个、个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为，则用不等式（组）将题中的不等关系表示为________．【答案】【分析】根据已知条件可得出不等式组.【详解】由题意可得．故答案为：．二、作差法比较大小例2(1)已知，，则_______．（填“>”或“<”）【答案】<【分析】作差判断正负即可比较.【详解】因为，所以.故答案为：<.（2）已知，求证：；（3）已知，且，比较与的大小．【分析】（2）作差后变形化简证明即可；（3）利用作差法，分类讨论证明即可.【详解】（2)，因为，所以，，所以，故.(3)．由于，所以当时，，即；当时，，即．跟踪训练2已知，试比较与的值的大小．【答案】时，；时，．【分析】用做差法比较可得答案.【详解】，可得，当时，，，则，即；当时，，则，即．综上可得时，；时，．三、作商法比较大小例3(1)设，，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小.【详解】，，则.故，当且仅当时，取等号，故选：D【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题.(2)若，求证：．【答案】证明见解析【分析】作商法证明不等式.【详解】证明：∵a>b>0，∴，且．∴作商得：．∴．跟踪训练3如果，，那么，，从小到大的顺序是___________【答案】【分析】三个式子很明显都是负数，所以可通过作商和1比较判断大小。【详解】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以；同理，所以。综上：故答案为：【点睛】此题考查比较大小，一般可以考虑作差，作商等方法进行比较，属于简单题目。四、利用不等式的性质判断或证明例4(1)若，则下列命题为假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】利用不等式的性质，逐项分析、判断作答.【详解】对于A，，则，而，因此，即，A正确；对于B，，当时，，B错误；对于C，，有，两边同时除以，则有，C正确；对于D，，则，此时，于是，D正确.故选：B(2)利用不等式的性质证明下列不等式：(=1\*romani)若，，则；(=2\*romanii)若，，则．【分析】(=1\*romani)可知，而，即可得证；(=2\*romanii)可知，而，即可得证；【详解】(=1\*romani)证明：，，又，；(=2\*romanii)证明：，，又，．跟踪训练4已知为三角形的三边长，求证：(1)；(2).【分析】（1）根据给定的条件，利用作差法，变形并判断符号作答.（2）利用三角形两边的和大于第三边的性质，结合不等式性质推理作答.【详解】（1）为三角形的三边长，而，显然，即，当且仅当时取等号，因此，所以.（2）为三角形的三边长，则，于是得：，所以.五、利用性质比较大小例5(1)（多选）实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用不等式的性质判断A、C，利用特殊值判断B，再利用作差法判断D；【详解】解：因为，所以，故A正确；令、、、，满足，此时，故B错误；因为，所以，，所以，故C正确；因为，则，因为，，所以，即，故D正确；故选：ACD(2)（多选）若，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】当时，由得，，当时，由得，，可判断AD；由得，且与同号，即可判断BC.【详解】由得，当时，由得，即，可得，当时，由得，即，所以，故AD正确；.由得，且与同号，即，所以与异号，即与同号，由得，故B错误；故C正确；故选：ACD.跟踪训练5（多选）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．，则 D．若，则【答案】ABC【分析】根据不等式的性质判断AD，结合作差法比较大小判断BC.【详解】解：对于A选项，因为，故，故，正确；对于B选项，由于，，故，，故，即，正确；对于C选项，由于，故，故，即，正确；对于D选项，当时，，故错误.故选：ABC六、利用不等式的性质求范围例6(1)已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由不等式的性质求解【详解】，故，，得故选：C(2)已知且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，求出结合条件可得结果.【详解】设，可得，解得，，因为可得，所以.故选：C.跟踪训练6已知实数、满足，，则的取值范围为______．【答案】【分析】设，利用待定系数法求出的值，然后根据不等式的性质即可求解.【详解】解：设，则，解得，所以，因为，，所以，，所以，故答案为：.【课堂巩固】1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】计算出导火索燃烧的时间也即人跑到100米外安全区至少需要的时间，列出不等关系，即可求得答案.【详解】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，人在此时间内跑的路程为米，由题意可得．故选：B．2．设，则的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较大小关系即可.【详解】，，，，.又，故.则.故选：C.3．下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】通过举反例判断AB；利用不等式的性质判断CD.【详解】对于A：当时，，故A错误；对于B：当时，，但，故B错误；对于C：，，，故C正确；对于D：，，，故D错误；故选：C.4．若，，则的取值范围为______.【答案】【分析】运用不等式的性质进行求解即可.【详解】由，而，所以有，因此的取值范围为，故答案为：5．已知实数，，满足则的取值范围是________．（用区间表示）【答案】【分析】直接用表示出，然后由不等式性质得出结论．【详解】,则解得，则，又，∴，即，故答案为：．6．已知等式恒成立，其中为实数，则_____．【答案】【分析】方法一：将等式左边展开，比较系数可得答案；方法二：令可得答案.【详解】法一：，所以；法二：在中，令得.故答案为：7．已知为实数，则__________(填“”、“”、“”或“”).【答案】【分析】作差法解决即可.【详解】由题知，，当且仅当时，取等号.故答案为：.8．已知，，求证：.【答案】证明见解析【分析】根据不等式的性质可得，再根据证明即可.【详解】，.，，即.，，，即.9．设，，，，，证明：．【答案】证明见解析【分析】根据题意证明，进而通分，结合已知条件即可证明.【详解】证明：因为，所以．又，所以，所以．因为，，，所以．10．（1）比较与的大小；（2）已知，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求差法进行大小比较即可；（2）求差法去证明即可解决.【详解】（1）由，可得．（2），∵，∴，，，∴，∴．【课时作业】1．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（

）A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定【答案】C【分析】应用作商法比较的大小关系即可.【详解】由题设，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故选：C.2．已知，则下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合不等式的性质以及差比较法确定正确答案.【详解】为正数，为负数，所以，，，所以.故选：C3．已知实数，满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，，可得，再根据的范围求解即可.【详解】令，，则，所以．因为，所以．因为，所以，所以.故选：B4．设，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法求解即可.【详解】因为，所以.故选：A.5．已知a，，下列表达式中为的充要条件的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对于选项A、B、C可以通过举反例分析，对于选项D，通过立方差公式可证得.【详解】对于选项A，当，时，满足，但不满足，所以选项A错误；对于选项B，当，时，满足，但不满足，所以选项B错误；对于选项C，当，时，满足，但不满足，所以选项C错误；对于选项D，因为，恒成立，所以，即：.当时，又因为恒成立，所以，即，所以.所以选项D正确.故选：D.6．已知，则（

）A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】作差即可比较大小.【详解】,故.故选:A.7．某营救小组有48人，需要乘船过河去执行营救任务，现从甲、乙两种型号的船中选择一种．甲型号的船比乙型号的船少5艘．若只选择甲型号的，每艘船载4人，则船不够；每艘船载5人，则有船没有载满．若只选择乙型号的，每艘船载3人，则船不够：每艘船载4人，则有多余的船．甲型号的船有（

）A．9艘 B．10艘 C．11艘 D．12艘【答案】B【分析】设甲船有艘，则乙船有艘，根据题意列出不等式组，解之即可得解.【详解】设甲船有艘，则乙船有艘，由题意可得，解得，又因为为正整数，所以，即甲型号的船有10艘.故选：B.8．若，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据不等式的形式，即可判断选项.【详解】A.当，此时，但不满足，故A错误；B.若，则，故B错误；C.只有当，有，若，则，故C错误；D.由条件可知，，则，故D正确.故选：D9．（多选）下列四个命题中，正确的是（

）A．若，则 B．若a>b，且，则ab<0C．若a>b>0，c>0，则 D．若，则【答案】BCD【分析】根据不等式的性质判断各选项．【详解】选项A，例如，，时，成立，但不成立，A错误；选项B，，，而，因此，B正确；选项C，，，，则，即，C正确；选项D，，则，，则，D正确．故选：BCD．10．（多选）若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用求差法证明选项AB正确；举反例否定选项CD.【详解】选项A：由，可得.判断正确；选项B：由，可得.判断正确；选项C：当时，，由，可得.判断错误；选项D：当时，.判断错误.故选：AB11．（多选）已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可．【详解】解：对于非零实数，满足，则，即，故A一定成立；因为，故B一定成立；又，即，所以，故C一定成立；对于D：令，，满足，此时，故D不一定成立．故选：ABC12．（多选）下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，，则【答案】ACD【分析】根据不等式的性质、作差比较法等知识确定正确答案.【详解】A选项，当，时，根据不等式的性质可知，A选项是真命题.B选项，当，时，如，，B选项是假命题.C选项，当时，，两边乘以得，C选项是真命题.D选项，当，时，，D选项是真命题.故选：ACD13．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________．（不用化简）【答案】【分析】设这个学生答对了x道题，则答错（20-1-x）道题，根据得分=5×答对题目数-1×答错题目数结合得