初升高数学暑假衔接（人教版）第30讲 三角函数的应用（教师版）

第30讲三角函数的应用1．会用三角函数解决一些简单的实际问题；2．体会三角函数是周期变化现象的重要函数模型一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义1、简谐运动的振幅就是A.2、简谐运动的周期T＝eq\f(2π,ω).3、简谐运动的频率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π).4、ωx＋φ称为相位．5、x＝0时的相位φ称为初相．二、三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．三、建立函数模型的一般步骤四、运用三角函数模型解决问题的几种类型1、由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．2、由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性．3、利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题．五、解三角函数应用问题的基本步骤六、建立三角函数拟合模型的注意事项1、在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数．2、在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题．3、在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题．考点一：三角函数在物理上的应用例1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的弧长与时间的函数关系式为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为A．B．C．D．【答案】D【解析】单摆来回摆动一次，即完成一个周期，因为的最小正周期，所以单摆来回摆动一次所需的时间为，故选D.【变式训练】如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（）A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5cmC．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D．该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零【答案】BC【解析】由题图可知，运动周期为，故A错误；该质点的振幅为5cm，B正确；由简谐运动的特点知，在0.1s和0.5s时运动速度为零，质点在0.3s和0.7s时运动速度最大，故C正确，D错误．故选：BC．考点二：三角函数在生活上的应用例2．在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为，但当气温上升到时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时时的气温（单位：）与时间（单位：小时）近似满足函数关系式，则在6时时中，观花的最佳时段约为（）（参考数据：）A．时时B．时时C．时时D．时时【答案】C【解析】当时，，则在上单调递增.设花开､花谢的时间分别为.由，得，解得时；由，得，解得时.故在6时时中，观花的最佳时段约为时时.故选：C【变式训练】心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80mmHg为标准值.设某人的血压满足（），其中为血压（mmHg），为时间（min）.（1）求此人每分钟心跳的次数；（2）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较.【答案】（1）80；（2），血压偏高.【解析】（1）函数的最小正周期，根据题意可知，在一个周期内，心脏跳动一次，所以此人每分钟心跳的次数为次.（2）由题意得，，，所以此人的血压在血压计上的读数为，与标准值相比较，此人血压偏高.考点三：三角函数在圆周中的应用例3．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为号的个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要.若甲、乙两人分别坐在号和号座舱里，当时，两人距离地面的高度差（单位：）取最大值时，时间的值是.

【答案】10【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系，设时，游客甲位于点，以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，由题意可得，.如图，甲、乙两人的位置分别用点表示，则，经过后甲距离地面的高度为，点相对于点始终落后，此时乙距离地面的高度为.则甲、乙距离地面的高度差因为，所以，所以得，即开始转动分钟时，甲乙两人距离地面的高度差最大值为.故答案为：.【变式训练】一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．（1）以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？【答案】（1）；（2）2秒【解析】（1）设，根据函数的物理意义可知：，由题意可知当时，，则，所以，则，又因为函数的最小正周期为，所以，所以；（2）根据题意可知，，即，当水轮转动一圈时，，，可得：，所以此时，解得，又因为（秒，即水轮转动任意一圈内，有秒的时间点距水面的高度不低于2米．考点四：拟合法建立三角函数模型例4．海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为米，安全间隙（船底与海底距离）为米，该船在开始卸货，吃水深度以米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择（）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（）（要考虑船只驶出港口需要一定时间）时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深（米）5.07.55.02.55.07.55.02.55.0A．至B．至C．至D．至【答案】C【解析】由题意得，函数的周期为，振幅，所以，又因为达到最大值，所以由，可得，所以，所以函数的表达式为，令，解得，所以在可安全离港，故选：C【变式训练】某港口其水深度y（单位：m）与时间t（，单位：h）的函数，记作，下面是水深与时间的数据：t/h3691215182124y/m12.015.018.114.912.015.018.015.0经长期观察，的曲线可近似地看作函数的图象，其中A＞0，，．（1）试根据以上数据，求出函数的近似表达式；（2）一般情况下，该港口船底离海底的距离为3m或3m以上时认为是安全的（船停靠时，近似认为海底是平面）．某船计划靠港，其最大吃水深度（船吃水一般指船浸在水里的深度，是船的底部至船体与水面相连处的垂直距离）需12m．如果该船希望在同一天内安全进出港，问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？【答案】（1），;（2）18h【解析】（1）根据表格数据可得，则，，．由，可知．当时函数取最大值，即，，所以．又因为，所以．所以函数的近似表达式为，．（2）由题意得，即，因为，所以．通过正弦函数图象可知，当，即时，．由于停泊时的要求恒成立，如果该船希望在同一天内安全进出港，它至多能在港内停留．1．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置．若初始位置为，当秒针从P0（注此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A．y=sinB．y=sinC．y=sinD．y=sin【答案】C【解析】由题意，函数的周期为，设函数解析式为（因为秒针是顺时针走动），初始位置为，，时，，，可取，函数解析式为，故选：C．2．游乐场中的摩天轮沿逆时针方向匀速旋转，其中心距离地面，半径（示意图如下），游客从最低点处登上摩天轮，其与地面的距离随着时间而变化，已知游客将在登上摩天轮后分钟到达最高点，自其登上摩天轮的时刻起，（1）求出其与地面的距离与时间的函数关系的解析式；（2）若距离地面高度超过时，为“最佳观景时间”，那么在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有多少“最佳观景时间”？【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设，则，，所以，第一次到最高点旋转了半周期，所以游客从最低点登上，所以，故（或）.（2）令，则（或），所以，，所以，因此，在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有有最佳观景时间.3．已知挂在弹簧下方的小球上下振动，小球在时间t（单位：s）时相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离h（单位：cm）由函数解析式决定，其部分图像如图所示（1）求小球在振动过程中的振幅、最小正周期和初相；（2）若时，小球至少有101次速度为0cm/s，则的最小值是多少？【答案】（1）；（2）【解析】（1）由图易知小球的振幅，最小正周期，所以，∴，∴代入可得，∴，即，又，∴初相（2）∵小球在振动过程中位于最高、最低位置时的速度为0cm/s，∴小球有100次速度为0cm/s等价于函数有100次取得最值，∵函数在一个周期内取得一次最大值、一次最小值，，∴函数经过50个周期时小球有100次速度为0cm/s，∴时，小球有100次速度为0cm/s，又∵当时，小球速度为0cm/s，∴的最小值为4．如图，一根长l（单位：cm）的线，一端固定，另一端悬挂一个小钢球，当小钢球做单摆运动时，离开平衡位置的位移S（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系可近似的表示为，其中.（1）当时，小钢球离开平衡位置的位移S是多少cm？（2）要使小钢球摆动的周期是1s，则线的长度l应该为多少cm（精确到0.1cm）？【答案】（1）1.5cm；（2）.【解析】（1）在函数中，当时，，所以当时，小钢球离开平衡位置的位移S是1.5cm.（2）依题意，，而周期，又，则，即，解得()，所以线的长度l应该为.5．某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：．（1）求实验室这一天上午8时的温度；（2）求实验室这一天的最大温差．【答案】（1）10℃；（2）4℃．【解析】（1）.故实验室上午8时的温度为10℃．（2），因为，所以，．当时，；当时，，故，于是在上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．6．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140mmHg和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：（1）求函数p(t)的周期；（2）求此人每分钟心跳的次数；（3）求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．【答案】（1）（min）；（2）80；（3）血压计上的读数为140/90mmHg，在正常值范围内．【解析】（1）函数的最小正周期为；（2）次．所以此人每分钟心跳的次数为次．（3），，即收缩压为，舒张压为，在血压计上的读数为，血压在正常值范围内．7．已知某海滨浴场海浪的高度（米是时刻，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时刻的浪高数据：时03691215182124米1.51.00.51.01.51.00.51.01.5经长期观测，的曲线可近似地看成是函数，，的图象.（1）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的至之间，那个时间段不对冲浪爱好者开放？【答案】（1）振幅；最小正周期；函数表达式（2）一天内的至之间，至之间，至之间时间段不对冲浪爱好者开放【解析】（1）根据以上数据，可知，，周期.即当时，可得，即,，故得函数表达式；.（2）当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，即函数时，即.即，即，又，则或或.则一天内的至之间，至之间，至之间时间段不对冲浪爱好者开放.8．某港口的水深（米）是时间（，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：03691215182124101371013710经过长期观测，可近似的看成是函数（1）根据以上数据，求出的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？【答案】（1）；（2）（1：005：00），（13：0017：00）【解析】（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，且相隔12小时达到一次最大值说明周期为12，因此，故.（2）要想船舶安全，必须有深度，即，，解得：，又，当时，；当时，；故船舶安全进港的时间段为（1：005：00），（13：0017：00）.1．如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，，.已知当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在秒时h的值为（）A．-2B．2C．D．【答案】D【解析】因为当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，故，即，又，故，故，故当时，，故选：D2．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则当时，恰有3个使函数最得大值，则的取值范围是.【答案】【解析】根据点可得圆周的半径，又旋转一周用时6秒，所以周期，因为，从而得，∴，又时，函数值恰好在对应点纵坐标，∴，且，∴，∴，，则，根据三角函数的性质，在内恰有3个最大值时，，解得.故答案为：.3．我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距为．（答案精确到，参考数据）【答案】【解析】因为，且天顶距，晷影长，所以，当晷影长度时，所以，故答案为：4．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m，转盘直径为90m，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，转一周需要30min．（1）求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．【答案】（1），.；（2）【解析】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心Q为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，设时，游客甲位于点，以OP为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为，由题意可得，.（2）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则.经过后甲距离地面的高度为，点B相对于点A始终落后，此时乙距离地面的高度为.则甲、乙距离地面的高度差利用，可得，.当或，即或（舍去）时，h的最大值为所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为5．用弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由下列关系式确定：．以t为横坐标，h为纵坐标，作出这个函数在上的图象，并回答下列问题．（1）小球在开始振动时（即时）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？（3）经过多长时间小球往复运动一次？（4）每秒钟小球能往复运动多少次？【答案】（1）小球在开始振动时在距离平衡位置厘米处；（2）都是2厘米（3）秒；（4）【解析】（1）函数在上的图象如图．当时，（厘米），即小球在开始振动时在距离平衡位置厘米处．（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2厘米．（3）小球往复运动一次就是一个周期，易知秒，即经过秒往复运动一次．（4）每秒钟往复运动的次数．6．弹簧振子的振动是简谐振动．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据记录如下表：t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y-20.0-17.3-10010.117.220.017.210.30-10．1-17.3-20.0（1）试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式；（2）画出该函数在的图象；（3）在这次全振动过程中，求位移为10mm时t的取值集合．【答案】（1）；（2）图象见解析；（3）【解析】（1）设函数解析式为，，由表格可知：，，则，即．由函数图象过点，得，即，可取．则这个振子的位移关于时间的函数解析式为；（2）列表：t00.150.30.450.60y-200200-20由表格数据知，，的图象如图所示．；（3）由题意得，即，则或，所以或．又，所以或0.4．所以在这次全振动过程