初升高数学暑假衔接（人教版）第18讲 用二分法求方程的近似解（教师版）

第18讲用二分法求方程的近似解1．了解二分法的原理及其适用条件；2．掌握二分法的实施步骤；3．体会二分法中蕴含的逐步逼近思想和程序化思想。一、二分法1、二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法。2、注意点：（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；（2）函数图象在零点附近连续不断；（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如，该函数有零点0，但不能用二分法求解。二、用二分法求函数零点近似值的步骤1、给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤（1）确定零点的初始区间，验证；（2）求区间的中点；（3）计算，进一步确定零点所在的区间：=1\*GB3①若（此时），则就是函数的零点；=2\*GB3②若（此时），则令；=3\*GB3③若（此时），则令.（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；2、关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算，精确到0.01，即0.33（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。考点一：判断二分法的适用条件例1．下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据零点存在定理，对于A，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点.故选：A．【变式训练】（多选）下列函数零点能用二分法求解的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解；对于B选项，在单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解；对于C选项，恒成立，所以不能用二分法求解；对于D选项，，在单调递增，单调递减，所以，则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，故选：ABD.考点二：二分法的步骤例2．用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，，所以函数在区间上有唯一零点，所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.故选：B.【变式训练】用“二分法”研究函数的零点时，第一次计算，可知必存在零点，则第二次应计算__________，这时可以判断零点__________．【答案】【解析】因为第一次计算，可知必存在零点，又，，由零点存在性定理可知.故答案为：；考点三：二分法次数的确定例3．已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分（）A．8次B．9次C．10次D．11次【答案】D【解析】设对区间至少二等分n次，此时区间长度为2，则第n次二等分后区间长为，依题意得，所以，，所以.故选：D【变式训练】在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（）次区间中点的函数值．A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，经过次二分法计算后，区间长度变为，又使用二分法计算函数的在区间上零点的近似解时，要求近似解的精确度为0.1，所以，则，又，所以，又，故，所以接下来至少需要计算你次区间中点的函数值．故选：C.考点四：用二分法求函数零点近似值例4．某同学在用二分法研究函数的零点时，．得到如下函数值的参考数据：x11.251.3751.406251.43751.50.05670.14600.3284则下列说法正确的是（）A．1.25是满足精确度为0.1的近似值B．1.5是满足精确度为0.1的近似值C．1.4375是满足精确度为0.05的近似值D．1.375是满足精确度为0.05的近似值【答案】D【解析】因为，且，故AC错误；因为，，且，故D正确；因为，且故C错误；故选:D【变式训练】用二分法求函数的零点.（精确到0.1）【答案】1.2.【解析】易知函数在R上递增，又，且，所以在上存在唯一的零点，又，且，所以在上存在唯一的零点，又，，由精确度为0.1得：需计算，又，所以的零点精确到0.1约是1.2.考点五：用二分法求方程的近似解例5．已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：x00.50.531250.56250.6250.7510.0660.2150.5121.099由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（）A．0.625B．C．0.5625D．0.066【答案】C【解析】由题意得在区间上单调递增，设方程的解的近似值为，由表格得，所以,因为，所以方程的近似解可取为0.5625．故选：C.【变式训练】利用二分法，求方程的近似解．（精确度为0.1）【答案】，．【解析】设，作出函数f（x）的草图如图所示:通过观察函数的草图得，，，所以方程有一根在内，设为，因为，所以．又因为，所以．由，则，由，则，由于，所以方程的一个近似解为，用同样的方法，可求得方程的另一个近似解为．1．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（）A．f(x)＝3x－1B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x|D．f(x)＝lnx【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)＝3x－1在R上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；对于B，f(x)＝x3在R上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；对于C，f(x)＝|x|，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点；对于D，f(x)＝lnx在(0,+∞)上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；故选：C．2．如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（）A．[－2.1，－1]B．[4.1，5]C．[1.9，2.3]D．[5，6.1]【答案】C【解析】结合图象可得：ABD选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点.故选：C3．用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，且单调递增，即当时，，所以零点在内，故选：A4．用二分法判断方程在区间内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：，）（）A．0.825B．0.635C．0.375D．0.25【答案】B【解析】设，，，，在内有零点，在内有零点，方程根可以是0.635.故选：B．5．根据表中数据，可以判定方程的一个根所在的区间为（）x01230.3712.277.3920.0912345A．B．C．D．【答案】C【解析】令，则，，，，，得，由零点存在定理可知：函数的存在零点位于区间内，即方程的一个根所在区间为．故选：C6．用二分法求函数的一个零点的近似值（误差不超过）时，依次计算得到如下数据：，，，，关于下一步的说法正确的是（）A．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值B．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值C．没有达到对误差的要求，应该接着计算D．没有达到对误差的要求，应该接着计算【答案】C【解析】，在内有零点；，没有达到对误差的要求，应该继续计算.故选：C.7．已知定义在上的增函数，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，又，则函数的零点为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由在上单调递增得：，，又恒成立，∴，解得，∴的零点为，故选：C.8．（多选）关于函数的零点，下列说法正确的是：（）（参考数据：，，，，，）A．函数的零点个数为1B．函数的零点个数为2C．用二分法求函数的一个零点的近似解可取为（精确到）D．用二分法求函数的一个零点的近似解可取为（精确到）【答案】AC【解析】易知函数在上单调递增，因为，，所以函数在上有1个零点，取区间中点，则，所以函数在上有零点，取区间中点，则，所以函数在区间上有零点，取区间中点，则，所以函数在区间上有零点，又精确到的近似值都是，所以函数的一个零点的近似解为，故选：AC.9．函数的零点，对区间利用两次“二分法”，可确定所在的区间为______．【答案】/【解析】，，而，∴函数的零点在区间．又，，∴函数的零点在．故答案为：．10．已知函数在上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行______次函数值的计算.【答案】3【解析】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：取区间的中点，且，所以.取区间的中点，且，所以.取区间的中点，且，所以.因为，所以区间的中点即为零点的近似值，即，所以至少需进行3次函数值的计算.故答案为：31．用二分法求函数零点的近似值适合于（）A．变号零点B．不变号零点C．都适合D．都不适合【答案】A【解析】由零点存在定理可知，二分法求函数零点的近似值适合于在零点两边的函数值异号，即适用于变号零点.故选：A.2．下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由图象可知B中零点是不变号零点，其他图象中零点都是变号零点，故B不能用二分法求零点近似值.故选：B3．用二分法求函数在内的唯一零点时，精度为0.001，则经过一次二分就结束计算的条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据二分法的步骤知，经过一次计算，区间长度变为，当时，结束计算，故，故选：B.4．已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：121.51.751.76561.75781.7617－63－2.625－0.140630.035181－0.05304－0.0088要使零点的近似值精确度为0.01，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（）A．6次1.75B．6次1.76C．7次1.75D．7次1.76【答案】D【解析】由表格数据，零点区间变化如下：，此时区间长度小于，在此区间内取近似值，等分了7次，近似解取．故选：D．5．已知函数，用二分法求的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数在上显然是连续函数，和在上都是增函数，当时，，所以在上恒成立；当时，，所以在上也恒成立；当时，，所以在上恒成立，又，，根据函数零点存在性定理，可得的其中一个零点的初始区间可为故选：C.6．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1.（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，故有，解得：，∴至少需要操作4次.故选：C.7．在用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，，即可得出方程的一个近似解为__________（精确度为0.2）.【答案】0.6875【解析】因为，，所以可作为方程的近似解.故答案为：0.6875.8．在用二分法求函数的零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是______．（写出一个符合条件的区间即可）【答案】或或或(写一个即可)．【解析】第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是，；第三次所取区间可能是，，，．故答案为：或或或(写一个即可)．9．用二分法求函数在区间内的零点近似值时，验证了，取区间的中点，得，那