初升高数学暑假衔接（人教版）第12讲 幂函数（教师版）

第12讲幂函数1．理解幂函数的概念；2．会画幂函数，，，，的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化规律和性质；3．能解决与幂函数有关的复合函数问题。一、幂函数的概念1、幂函数的概念：把形如函数y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．2、幂函数需要满足三个条件：（1）系数为1；（2）指数α为常数；（3）后面不加任何项。例如，，等的函数都不是幂函数．二、幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x1三、幂函数的性质1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．四、画幂函数图象的技巧（类比具体幂函数）1、当时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于的图象；2、当时，函数的图象向轴弯曲，类似于的图象；3、当时，函数的图象向轴弯曲，类似于的图象。再结合函数的奇偶性就容易知道它们的图象了。考点一：判断是否为幂函数例1．下列函数为幂函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由幂函数的定义可知：是幂函数，，和的系数不为1，故不是幂函数，故选：D【变式训练】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B考点二：根据函数是幂函数求参数例2．已知幂函数f(x)＝x(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（）A．B．C．3D．【答案】C【解析】由题意f（2）＝2α＝，所以α＝，所以f(x)＝，所以f(9)＝＝3.故选：C【变式训练】幂函数在第一象限内是减函数，则（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】由幂函数的定义可知，解得，由幂函数的单调性可知，所以．故选:D．考点三：幂函数的定义域问题例3．函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，则，可得，故函数的定义域为.故选：D.【变式训练】给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】C【解析】①的定义域为，不符合.②的定义域为，符合.③的定义域为，不符合.④的定义域为，符合.⑤的定义域为，不符合.所以符合的是②④.故选：C考点四：幂函数的图象判断与应用例4．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）A．①，②，③B．①，②，③C．①，②，③D．①，②，③【答案】A【解析】由函数是反比例函数，其对应图象为①；函数的定义域为，应为图②；因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.故选：A.【变式训练】如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于，，，的依次为（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】B【解析】根据幂函数的性质，在第一象限内的图象:当时，越大，递增速度越快，故的，的；当时，越大，曲线越陡峭，所以曲线的，曲线的.故选:B考点五：幂函数图象过定点例5．当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为________．【答案】【解析】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点,故答案为：【变式训练】不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________．【答案】【解析】因为，故当，即时，，即函数恒过定点.故答案为：.考点六：幂函数的单调性与奇偶性例6．下列函数中，在区间上为增函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于在为单调递减函数，在时无意义，A错误；在为单调递增函数，B正确；定义域为，在无意义，C错误；在为单调递减函数，D错误，故选：B【变式训练1】已知幂函数的图象经过点，则在定义域内（）A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值【答案】B【解析】设，则，所以，即，则函数的定义域为，且在定义域内单调递减，没有最大值和最小值.故选：B.【变式训练2】已知幂函数的图象关于y轴对称，则的值为_________．【答案】【解析】由已知得，解得或，当时，，其图象关于y轴对称，当时，，其图象关于原点对称.故答案为：考点七：利用幂函数单调性解不等式例7．已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.【答案】【解析】由幂函数，可得函数的定义域为，且是递减函数，因为，可得，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.【变式训练】若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______．【答案】【解析】设幂函数，其图像过点，则，解得；∴，函数定义域为，在上单调递增，不等式等价于，解得；则实数的取值范围是.故答案为：考点八：幂函数的综合应用例8．已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.（1）求同时满足①②的幂函数的解析式，（2）在（1）条件下，求时的值域.【答案】（1）；（2）【解析】（1）对任意的，都有，∴是奇函数.且，则当时，，满足①不满足②；当时，，满足①②；当时，，不满足①②.故幂函数的解析式为；（2），，故的值域为.【变式训练】已知幂函数(Z)的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数．（1）求的值；（2）解不等式．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为幂函数(Z)的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，为偶数，为奇数，因为函数在上是单调递减函数，所以，解得，因为Z，则，，，当时，为偶数，舍去；当时，为奇数，当时，为偶数，舍去；故；（2）由（1）可得，定义域为，且在上是单调递减函数，为偶函数，又，即，且，解得且，所以不等式的解集为．1．下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据幂函数的定义：形如的函数是幂函数，排除A；的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶的函数，所以排除B;是偶函数，所以排除C；，既是幂函数，又是奇函数，所以选D.故选：D.2．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，所以，即，解得，即函数，也即，则函数的定义域为，所以排除选项CD；又，函数单调递减，故排除B，故选：A.3．幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（）A．偶函数，单调递增区间B．偶函数，单调递减区间C．偶函数，单调递增区间D．奇函数，单调递增区间【答案】C【解析】设幂函数为，则，解得，所以，定义域为，关于原点对称，又，故为偶函数；显然其单调增区间为.故选：C.4．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，所以由图像得：，故选：D5．（多选）下列关于函数的描述中，正确的是（）A．是幂函数B．是指数函数C．是对数函数D．不是二次函数【答案】ACD【解析】因为，所以是幂函数;因为，所以不是指数函数;因为，所以是对数函数;不是二次函数．故选：ACD.6．（多选）下列函数为幂函数的是（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】根据幂函数的定义可得结果.故选：BD.7．（多选）下列关于幂函数说法正确的是（）A．图像必过点B．可能是非奇非偶函数C．都是单调函数D．图像不会位于第四象限【答案】ABD【解析】幂函数的解析式为，当时，无论取何值，都有，图像必过点，A选项正确；当时，，定义域为，此函数为偶函数，当时，，定义域为，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B选项正确；当时，，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，C选项错误；当时，无论取何值，都有，所以图像不会位于第四象限，D选项正确；故选：ABD.8．已知幂函数的图象经过点，则的值为________．【答案】/【解析】设幂函数，的图象过点，即，解得，所以.所以（4）.故答案为：.9．已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为_______.【答案】【解析】因为的图象恒过，所以的图象恒过定点.故答案为：10．已知幂函数在上是减函数，则实数值是______.【答案】【解析】因为幂函数在上是减函数，所以，解得.故答案为：11．已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为__________.【答案】【解析】因为幂函数的图像过点，所以，，易知函数在上是奇函数，且单调递增，所以可化为，即，解得，故取值范围为.故答案为：12．已知幂函数的图像经过四点中的两点，且在上为减函数．（1）求的解析式；（2）若，求实数a的值．【答案】（1）；（2）实数a的值为4或．【解析】（1）解法一：设，易知幂函数的图像必过点，当幂函数的图像经过点时，，所以，在上为增函数，不符合题意；当幂函数的图像经过点时，，所以，在上为减函数，符合题意；当幂函数的图像经过点时，，所以，在上为增函数，不符合题意：故；解法二：设，易知幂函数的图像必过点，因为在上为减函数，所以在的图像上，所以，所以，故；（2）易知的定义域为，且为偶函数，由可得，，解法一：两边平方整理得，，解之得或．故实数a的值为4或．解法二：或，解之得或．故实数a的值为4或．13．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增.（1）求m和n的值；（2）求满足不等式的a的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】（1）∵是幂函数，∴，解得m=3.由在上单调递增得，解得.∵，∴或.当时，函数，图象关于y轴对称，符合题意.当时，函数，图象关于原点对称，不合题意.综上，，.（2）由（1）得，，∴.∵函数在和上均单调递减，∴当时，，当时，.∴满足不等式的条件为或或，解得或，∴满足不等式的的取值范围.1．下列函数中不是幂函数的是()A．B．C．D．【答案】C【解析】A选项中，，故它是幂函数．B选项是幂函数．C选项的系数为3，所以它不是幂函数．D选项是幂函数．2．下列函数是幂函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】形如（为常数且）为幂函数，所以，函数为幂函数，函数、、均不是幂函数.故选：C.3．若幂函数的图象与x轴没有交点，则的图象（）A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．不具有对称性【答案】A【解析】∵幂函数的图象与x轴没有交点，∴，且，解得.∴是奇函数，其图象关于原点对称.故选：A4．在下列幂函数中，是偶函数且在上是严格增函数的是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】函数为偶函数，在上是严格减函数，A错，函数不是偶函数，在上是严格减函数，B错，函数是奇函数，在上是严格增函数，C错，函数是偶函数，在上是严格增函数，D对，故选：D.5．已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（）A．奇函数B．偶函数C．在单调递减D．定义域为【答案】C【解析】设幂函数，由题意得：，故，定义域为，故D错误；定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A，B错误；由于，故在单调递减，C正确，故选：C6．函数的图像可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，函数，则满足，解得，故函数的定义域为，又，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意．故选：C7．如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，幂函数在第一象限内单调递减，当时，幂函数在第一象限内单调递增，所以，当时，幂函数在第一象限内单调递增，所以，所以相应曲线的依次为.故选：A8．已知幂函数的图像过点，则=______.【答案】4【解析】设幂函数，故，解得：，则，则.故答案为：49．若函数是幂函数，则当时的函数值为______．【答案】2