2025届新高考数学重难点01数列教师版

重难点01数列新高考中考查数列难度不大，但解答题中作为了必考内容，一般是解答题的前两题，会考察开放式的题型。学问点考查比较简洁，也是新高考中务必拿分题目，对于大部分人来说，数列这一学问点是不容失分的。本专题是通过对高考中常见高考题型对应学问点的探讨而总结出来的一些题目，通过本专题的学习补充巩固，让你对高考中数列题目更加娴熟，做高考数列题目更加得心应手。1、通项公式的求法1）累加法（叠加法）若数列满意，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。2）累乘法（叠乘法）：若数列满意，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。3）由数列的前n项和与的关系求通项公式若已知数列的前n项和，则不论数列是否为等差数列或等比数列，当时，都有，可利用公式求通项。4）构造新数列对于的形式，主要是利用的形式进行转化；对于，主要采纳的形式进行转化运算；对于一般采纳转化成的形式进行转化运算。2、数列求和问题1、常见裂项求和公式：，，eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)．；2、错位相减求和问题（1）要擅长识别题目类型，特殊是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特殊留意将两式“错项对齐”，以便下一步精确写出“Sn－qSn”的表达式．（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种状况求解．3、分组求和问题，分为三种，一种是肯定值分组求和问题，另外一种是两种不同数列的分组求和问题，还有一种是分奇偶项求和。热点1：由递推式求通项公式；热点2：数列求和；热点3：数列中的新定义与最值（范围）问题；A卷（建议用时90分钟）一、单选题1．（2024·四川·内江市教化科学探讨所一模）记数列的前n项和为，若，则（）A．B．是等差数列C．是等比数列 D．【答案】C【分析】当时，，所以选项A错误；推理得到，所以选项B错误，选项C正确；,所以选项D错误.【详解】解：当时，，，所以选项A错误；因为，，所以，化为所以数列是等比数列.所以选项B错误，选项C正确；,所以选项D错误.故选：C2．（2024·黑龙江·勃利县高级中学高三期中）“垛积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最终一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从其次层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】先依次求出各层货物总价，再利用裂项抵消法进行求解.【详解】由题意，得第一层货物总价为1万元，其次层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，，第层货物总价为万元.设这堆货物总价为万元，则，两式相减，得，即，则，令，得.故选：B.3．（2024·江西高安·模拟预料）已知等差数列，其前项和为，有最小值，若，则使成立的的最大值为（）A．17 B．16 C．15 D．14【答案】C【分析】依题意可得，，再依据，即可得到，，且，再依据等差数列前项和公式及下标和性质计算可得；【详解】解：因为等差数列的前项和为有最小值,所以，，所以，因为，所以，，且，所以，，所以当时，所以使成立的的最大值为；故选：C4．（2024·全国全国·模拟预料）高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.已知数列满意，且，若数列的前n项和为，则（）A．4950 B．4953 C．4956 D．4959【答案】C【分析】由题利用累加法可得，进而可得，分类探讨的取值，即求.【详解】由，可得，依据累加法可得所以，故，当时，；当时，；当时，；当时，，因此.故选：C.5．（2024·江苏徐州·高三期中）已知等比数列的前项和，数列的前项和为，若数列是等差数列，则非零实数的值是（）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】依据求出通项公式，利用可求出，求出，依据等差数列的特点可得.【详解】因为等比数列的前项和，则当时，，则，解得，则，即是以为首项，为公比的等比数列，则，因为是等差数列，则通项公式不能出现次方项，所以，解得.故选：C.6．（2024·辽宁试验中学高三期中）数列中，，，使对随意的（）恒成立的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据数列的通项公式，列出各项，找数列的规律，推断到哪一项是等于，即可得答案.【详解】由已知可得，数列：，可得规律为；；；此时将原数列分为三个等差数列：，；，；;因为，所以满意对随意的恒成立的最大值为．故选：B.7．（2024·山东泰安·高三期中）若数列满意，，则（）A．2 B． C．-1 D．-2【答案】C【分析】由题意得数列是周期为3的数列，即可得解.【详解】由，代入可得，同理可得.由，得，从而有，即，从而有，所以数列的周期为3，所以.故选：C.8．（2024·河北衡水中学模拟预料）数列满意，，且其前项和为.若，则正整数（）A．99 B．103 C．107 D．198【答案】B【分析】依据递推公式，构造新数列为等比数列，求出数列通项，再并项求和，将用表示，再结合通项公式，即可求解.【详解】由得，∴为等比数列，∴，∴，，∴，①为奇数时，，；②为偶数时，，，∵，只能为奇数，∴为偶数时，无解，综上所述，.故选：B.【点睛】本题考查递推公式求通项，合理应用条件构造数列时解题的关键，考查并项求和，考查分类探讨思想，属于较难题.二、多选题9．（2024·河北邯郸·高三期末）Look—and—say数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音，例如第一项为3，其次项是读前一个数“1个3”，记作13，第三项是读前一个数“1个1，1个3”，记作1113，按此方法，第四项为3113，第五项为132113，….若Look—and—say数列第一项为11，依次取每一项的最右端两个数组成新数列，则下列说法正确的是（）A．数列的第四项为111221B．数列中每项个位上的数字不都是1C．数列是等差数列D．数列前10项的和为160【答案】AD【分析】A.列举前四项可得答案；B.依据数列中最终读的数字是1可得答案；C.列举前四项可得答案；D.列举可得数列中数的规律，进而可求和.【详解】，，，，A正确；数列中最终读的数字总是1，故数列中每项个位上的数字都是1，B错误；数列：11，21，11，21，…，不是等差数列，C错误；通过列举发觉数列的第一，三，五，七，九项都为11，其次，四，六，八，十项为21，故前10项的和为，D正确．故选：AD．10．（2024·山东·泰安一中模拟预料）我国古代闻名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安动身到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走里.良马先到齐国，再返回迎接驽马，9天后两马相遇.下列结论正确的是（）A．长安与齐国两地相距1530里B．3天后，两马之间的距离为里C．良马从第6天起先返回迎接驽马D．8天后，两马之间的距离为里【答案】AB【分析】A,设良马第天行走的路程里数为，驽马第天行走的路程里数为，求出良马和驽马各自走的路程即得A正确；B，计算得到3天后，两马之间的距离为里，即可推断B正确；C,计算得到良马前6天共行走了里里，故C不正确；D，计算得到8天后，两马之间的距离为390里，故D不正确.【详解】解：设良马第天行走的路程里数为，驽马第天行走的路程里数为，则.良马这9天共行走了里路程，驽马这9天共行走了里路程，故长安与齐国两地相距里，A正确.3天后，良马共行走了里路程，驽马共行走了里路程，故它们之间的距离为328.5里，B正确.良马前6天共行走了里里，故良马行走6天还末到达齐国，C不正确.良马前7天共行走了里里，则良马从第7天起先返回迎接驽马，故8天后，两马之间的距离即两马第9天行走的距离之和，由，知8天后，两马之间的距离为390里，故D不正确.故选：AB11．（2024·辽宁·大连市第一中学高三期中）如图的形态出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，其次层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】依据已知条件求得，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意可知，，B选项错误.，，A正确.，，C正确.，.D选项正确.故选：ACD12．（2024·江苏如皋·高三期中）视察如下数阵：该数阵特点：在第行每相邻两数之间都插入它们的和得到第行的数，.设第行数的个数为，第行的全部数之和为，则（）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】由条件可得，即可推断A，然后求出可推断D，由，，，，可推断B、C.【详解】第行个数为，第行个数为，∴，A对；，，，，，则B对C错；，∴，∴，∴是2为公比的等比数列，∴，∴，∴，D对，故选：ABD三、填空题13．（2024·江苏·海门中学高三期中）已知数列满意，则_________．【答案】50【分析】依据所给递推关系，可得，两式相减可得即相邻奇数项的和为2，即可求解.【详解】两式相减得则，故答案为：5014．（2024·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）已知数列的前项和为，若，且，则数列的通项公式为___________.【答案】【分析】项和转换可得，可得数列从其次项起先是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式，分段表示即得解【详解】由题意，故两式相减可得：，在中，令，可得，即因此数列从其次项起先是以为首项，为公比的等比数列有故答案为：15．（2024·河北·衡水市冀州区第一中学高三期中）在正项数列中，，且，令，则数列的前2024项和___________．【答案】【分析】利用关系式的变换求出数列的通项公式，然后利用裂项相消法的应用求出数列的和．【详解】正项数列中，，整理得：，则，即，∴数列是以为公比的等比数列．由于，则，即，∴，∴，∴，则．故答案为：﹒16．（2024·湖北·华中师大一附中高三期中）习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键．要主动培育本土人才，激励外出能人返乡创业．2024年1月8日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的看法》.看法指出，要实行党中心、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为激励返乡创业，某镇政府确定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预料该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列（单位：万元），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金（万元）的3倍，已知．则该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为______万元）【答案】100【分析】依据题意，得到五年累计总投入资金的表达式，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意知，五年累计总投入资金为，当且仅当时等号成立，所以该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为100万元.17．（2024·辽宁·育明中学高三期中）已知递增数列的前项和为，且满意（），则首项的取值范围为__________．【答案】【分析】依据前项和的公式得到递推公式，进而化简整理得到，从而得列是偶数项以4为公差的等差数列，奇数项从起奇数项也是以4为公差的等差数列，从而知需满意，然后将用表示后，解不等式组即可求出结果.【详解】因为，所以，当时，，当时，，则，即，又，故，所以数列是偶数项以4为公差的等差数列，奇数项从起奇数项也是以4为公差的等差数列，若数列单调递增，所以需满意，又，所以，解得，故的取值范围为.四、解答题18．（2024·江苏·南京市中华中学高三期中）设是等比数列的前项的和，，且、、成等差数列.（1）求的通项公式；（2）设为实数，为的前项的和，为数列的前项的和，且，求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）求出等比数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2）利用等比数列的求和公式求出、，进而可求得的值.（1）解：设等比数列的公比为，则，由已知可得，即，即，则，解得，因此，.（2）解：由（1）可知，则，，则，且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，，因此，.19．（2024·辽宁·高三期中）已知等差数列{an}满意：S6=21，S7=28，其中是数列的前n项和.（1）求数列的通项；（2）令bn=，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）将条件用首项，公差表示，计算即可.（2）利用裂项相消法求和即可.（1）数列为等差数列，依题意S6=21，S7=28，所以，所以d=1，所以（2）20．（2024·江苏·南京师大附中高三期中）设Sn是等比数列{an}的前n项和，已知S2＝4，a32＝3a4．（1）求an和Sn；（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．【答案】（1），；（2）Tn＝1－【分析】（1）依据等比数列的通项公式、求和公式列出方程求解即可；（2）由（1）写出，利用裂项相消法求和即可.（1）设{an}的公比为q，则，而，所以解得，而，所以，则；（2）bn＝＝＝＝2(－)，∴Tn＝2(－＋－＋…＋－)＝2(－)＝1－．21．（2024·江苏海安·高三期中）已知数列满意a1＝1，an＋1＝.（1）从下面两个条件中选一个，写出b1，b2，并求数列的通项公式；①bn＝a2n－1＋3；②bn＝a2n＋1－a2n－1．（2）求数列的前n项和为Sn．【答案】（1）所选条件见解析，；；（2）.【分析】（1）分为奇数和为偶数进行探讨，分别构造数列即可求出结果.（2）分为奇数和为偶数进行探讨，然后结合等比数列的求和公式以及分组求和即可求出结果.（1）当为奇数时，，则，且，则，即，当为偶数时，，则，且，，则，即，若选①，则，则；若选②，则，则，（2）当为偶数时，当为奇数时，.22．（2024·陕西安康·高三期中）已知数列的前n项和为，且.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和；（3）若，，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）当时，可得，两式相减求得，得到数列为等比数列，进而求得数列的通项公式；（2）由，得到，结合乘公比错位相减法，即可得数列的前n项和.（3）由，得到，令，结合的单调性，求得的最大值，即可求解.（1）解：由题意，数列的前n项和为，且当时，可得，两式相减得，即，所以，令，可得，解得，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式为.（2）解：由，可得，则，可得，两式相减得，所以.即数列的前n项和.（3）解：由，即，令，则，当时，，当时，，即，即有，所以当时，取得最大值，最大值为，所以，故的最小值为.B卷（建议用时90分钟）一、单选题1．（2024·陕西临渭·一模）已知数列的前项和为，若，则=（）A． B． C． D．【答案】A【分析】当时，求出，当时，利用可得是等比数列，求出其通项公式即可求出结果.【详解】当时，因为，所以.当时，，所以，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，则.故选：A2．（2024·上海虹口·一模）设等差数列的前项和为，假如，则（）A．且B．且C．且D．且【答案】B【分析】由可得，，结合前项和公式，推断，的符合可得正确选项.【详解】∵，∴，，∵数列为等差数列，∴，，∴，，故选：B.3．（2024·江苏盐城·高三期中）已知数列满意，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】变换得到，得到是首项为，公比为的等比数列，，计算得到答案.【详解】，，易知，故，故是首项为，公比为的等比数列，，，故.故选：C.4．（2024·四川·高三期中）数列满意对随意，恒成立，且为常数，若是的前项和，且，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据已知条件得到，，从而得到，，再依据求解即可.【详解】数列满意对随意，恒成立，所以，即，，解得.所以.故选：C5．（2024·山东·枣庄市第三中学高三期中）构造数组，规则如下：第一组是两个1，即，其次组是，第三组是，…，在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和得到下一组．设第n组中有个数，且这个数的和为．则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】视察和的数组中的数的差异，它们之间的联系，得出的递推关系式，构造出等比数列求得通项公式，从而易得．【详解】设中数组是，即，则的数组是，比的数组中多了这些数：，这些数相加．除只出现1次外，均出现2次，而，所以，因此，又，，所以是等比数列，公比为3，，所以．从而，故选：D．6．（2024·山东烟台·高三期中）我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”依据这一数学思想，所以被除余的自然数从小到大组成数列，全部被除余的自然数从小到大组成数列，把和的公共项从小到大得到数列，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据题意数列、都是等差数列，从而得到数列是等差数列，依次对选项进行推断可得答案.【详解】依据题意数列是首项为2，公差为3的等差数列，，数列是首项为2，公差为5的等差数列，，数列与的公共项从小到大得到数列，故数列是首项为2，公差为15的等差数列，.对于A，，，，错误对于B，，，，正确.对于C，，，，，错误.对于D，，，，，错误.故选：B.7．（2024·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）已知数列是公比为的等比数列，是其前和，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】依据分类探讨确定的表达式，再依据恒成立问题的解法即可求出．【详解】当时，，符合题意；当时，恒成立，当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意；当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意；当时，若为偶数，则不等式变形得，，即，若该不等式恒成立，则，即，所以设，，，所以当时，，此时，此时该不等式不行能恒成立；当时，，若该不等式恒成立，只需，解得（舍去）或，综上，；若为奇数，不等式变形得，，满意题意；综上所述，实数的取值范围是．故选：A．8．（2024·浙江省杭州其次中学高三期中）已知数列满意（，为自然对数的底数），且对随意的都存在，使得成立，则数列的首项须满意（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先推断数列的单调性，再依据选项作取舍.【详解】设，令，得到.当时，，单调递减；当时，，单调递增.故，即（当且仅当时取等号）.故（当且仅当时取等号）.即.要使对随意的都存在，使得成立，明显时，，肯定能满意题意；当时，，如图此时不满意题意；当时，，如图此时满意题意；综上，.故选：C二、多选题9．（2024·福建·三明一中高三期中）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A．若点在函数为常数的图象上，则为等差数列B．若为等差数列，则为等比数列C．若为等差数列，，，则当时，最大D．若，则为等比数列【答案】AB【分析】结合等差数列、等比数列的学问对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】A，依题意，所以为等差数列，A正确.B，依题意，，所以为等比数列，B正确.C，，所以或，最大，C错误.D，，所以不是等比数列.故选：AB10．（2024·福建省泉州第一中学高三期中）已知数列满意，，为数列的前n项和.若对随意实数，都有成立，则实数的可能取值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】ABCD【分析】由和与通项的关系先求出，进而求出，，再用裂项相消求出即可获解.【详解】设数列的前项和为，由题意得，，当时，，即当时，所以，当时，，也满意，所以故故，所以实数的取值范围为故选：ABCD.11．（2024·湖北·高三期中）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则数列的前10项和为49C．若，则的最大值为25D．若数列为等差数列，且，，则当时，的最大值为2024【答案】CD【分析】由与的关系求出，可推断A；由题意求出数列的前10项可推断B；由等差数列的和结合二次函数的性质可推断C；由等差数列的性质与求和公式可推断D【详解】对于A：当时，，当时，，检验时，所以，故A错误；对于B：因为，则，所以数列的前10项和为，故B错误；对于C：由可知数列是等差数列，则，易知时，的最大值为25，故C正确；对于D：由数列为等差数列，且，，所以，，所以当时，的最大值为2024，故D正确；故选：CD12．（2024·辽宁丹东·高三期中）参与工作年的小郭，因工作须要向银行贷款万元购买一台小汽车，与银行约定：这万元银行贷款分年还清，贷款的年利率为，每年还款数为万元，则（）A． B．小郭第年还款的现值为万元C．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法” D．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”【答案】BD【分析】因为小郭每年还款钱数相等，所以小郭选择为“等额本息还款法”，所以利用等比数列前项和公式求出，再设小郭第3年还款的现值为，依据复利规则求出．【详解】解：小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，小郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D正确，C错误，设每年应还元，还款10次，则该人10年还款的现金与利息和为，银行贷款元10年后的本利和为．，，即，故A错误．设小郭第三年还款的现值为，则，所以，故B正确；故选：BD三、填空题13．（2024·黑龙江·勃利县高级中学高三期中）各项均为正数且公比q＞1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5＝4，a2+a4＝5，则的最小值为_____．【答案】8【分析】先依据等比数列的性质求出首项、公比，然后将结论表示出来，最终利用换元法结合基本不等式求最小值，留意取最小值时等号要成立．【详解】解：由题意：a1a5＝a2a4＝4，又由a2+a4＝5，又公比q＞1，∴a2＝1，a4＝4，故，故q＝2，．∴，．∴，令t＝2n﹣1∈{1，2，22，23，……}，则原式，当且仅当t＝＝2，即n＝2时取等号．故答案为：8．【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的通项公式和前项和公式，考查用基本不等式求最值，求最值时要留意等号成立的条件．14．（2024·海南·三模）已知数列满意，若对于随意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【分析】由，得，所以，通过解不等式，即可得到本题答案.【详解】由，整理得，等式两边同时除以得，所以为等差数列，且首项为-5，公差为1，所以，所以，所以，解得，则实数的取值范围.故答案为：【点睛】本题主要考查数列与不等式恒成立问题的综合应用，考查学生分析问题和解决问题的实力，体现了转化和化归的数学思想.15．（2024·湖北省团风中学模拟预料）将个数排成行列的一个数阵，如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，，记这个数的和为．给出下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是______．（填写全部正确答案的序号）【答案】①③④【分析】依据第一列成等差，第一行成等比可求出，列式即可求出，从而求出通项，进而可得，再依据分组求和法，每一行求和可得S，由此可以推断各命题的真假．【详解】∵，，∴2m2＝2+5m+1，解得m＝3或m（舍去），①正确；∴，③正确；当时，，②不正确；∴，，④正确；故答案为:①③④.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法干脆求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.16．（2024·广东顺德·高三阶段练习）已知数列，，，且，则数列的前100项的和为______．【答案】150【分析】由题目条件可以得到，进而得到，由此得出是常数数列，最终求出答案.【详解】依据题意，所以，即是常数数列，而，所以的前100项的和为：.故答案为：150.17．（2024·广东肇庆·模拟预料）已知数列的前项和为，且满意，那么___________.【答案】【分析】利用与关系可证得数列为等比数列，由等比数列通项和求和公式可求得，由此可得，采纳裂项相消法可求得结果.【详解】当时，，解得：；当时，，；数列是以为首项，为公比的等比数列，，，，.故答案为：.18．（2024·湖南·长郡中学模拟预料）假如数列满意，且，则这个数列的第项等于___________.【答案】【分析】由，化简得，则为等差数列，结合已知条件得．【详解】由，化简得，且，，得，所以是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即故答案为：【点睛】本题关键在于利用已知递推关系构造等差数列，进而求出通项公式．四、解答题19．（2024·福建·模拟预料）已知正项数列的前项和为，满意．（1）求数列的前项和；（2）记，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）依据，整理后，依据等差数列的性质可知是首项为1，公差为1的等差数列（2）先对进行放缩，然后利用分母有理化进行裂项后求和.（1）解：由题意得：等式两边同乘，得整理得，由，得，即是首项为1，公差为1的等差数列∴，；（2），∴，，∴，综上可证：．20．（2024·上海嘉定·一模）某公司2024年投资4千万元用于新产品的研发与生产，安排从2024年起，在今后的若干年内，每年接着投资1千万元用于新产品的维护与生产，2024年新产品带来的收入为0.5千万元，并预料在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2024年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润=累计收入-累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.（1）试求的表达式；（2）依据预料，该新产品将从哪一年起先并持续赢利?请说明理由.【答案】（1）（2）该新产品将从2029年起先并持续赢利，理由见解析【分析】（1）由题意求出累计投入，可推断出每年的收入为等比数列，依据等比数列求和公式求解出累计收入，从而表示出；（2）由（1）可得，依据的正负推断出从第4项起先单调递增，再推断的正负，从而推断出该新产品将从第9年起先并持续赢利.（1）由题意知，第1年至此后第年的累计投入为（千万元）.设第年的收入为，前年的累计收入为，由题意得，，所以数列是以为首项、以为公比的一个等比数列，则有（千万元），（千万元），所以，即（千万元）