初升高数学暑假衔接（人教版）第01讲 集合的概念（教师版）

第01讲集合的概念1．通过实例了解集合的定义，体会元素与集合间的属于关系；2．能通过自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合的意义和作用；一、集合的含义与表示1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．二、元素的三个特性1、确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等2、互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．三、元素与集合关系的判断及应用1、属于与不属于概念：（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．2、常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法或四、集合的两种表示方法1、列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复；(4)集合中的元素可以是任何事物．2、描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．考点一：判断元素是否构成集合例1．下列各组对象不能构成集合的是（）A．上课迟到的学生B．2022年高考数学难题C．所有有理数D．小于x的正整数【答案】B【解析】对于B中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故2022年高考数学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的.其它选项的对象都可以构成集合.故选：B【变式训练】下列各选项中能构成集合的是（）A．学生中的跑步能手B．中国科技创新人才C．地球周围的行星D．唐宋散文八大家【答案】D【解析】对于A，学生中的跑步能手不具有确定性，所以不能构成集合，所以A错误，对于B，中国科技创新人才不具有确定性，所以不能构成集合，所以B错误，对于C，地球周围的行星不具有确定性，所以不能构成集合，所以C错误，对于D，唐宋散文八大家分别为唐代柳宗元、韩愈和宋代欧阳修、苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩八位，研究的对象是确定的，可能构成集合，所以D正确，故选：D考点二：判断元素与集合的关系例2．给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误；，为自然数及有理数，③④正确.故选：C.【变式训练】（多选）给出下列关系中正确的有（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】因为，，，，所以AD正确.故选：AD.考点三：集合中元素互异性的应用例3．设集合，若，则实数m=（）A．0B．C．0或D．0或1【答案】C【解析】设集合，若，，或，当时，，此时；当时，，此时；所以或.故选：C【变式训练】若，则实数a的取值集合为______．【答案】【解析】因为，故或或，当时，，与元素的互异性矛盾，舍；当时，，符合；当时，或，根据元素的互异性，符合，故a的取值集合为.故答案为：考点四：用列举法表示集合例4．方程组的解集是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由方程组，解得：，集合应是点集，正确的形式是.故选：D【变式训练】集合用列举法表示为________．【答案】【解析】因为，，所以的取值可能为1，2，3，6，所以，故答案为：.考点五：用描述法表示集合例5．（多选）集合用描述法可以表示为（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】是无限集，A错误；，B正确；，C正确；，D正确.故选：BCD.【变式训练】所有正奇数组成的集合用描述当表示为_________．【答案】【解析】因为正奇数除以，余数为，所以所有正奇数组成的集合用描述当表示为，故答案为：1．下列四组对象能构成集合的是（）A．高一年级跑步很快的同学B．晓天中学足球队的同学C．晓天镇的大河D．著名的数学家【答案】B【解析】集合元素具有确定性，高一年级跑步很快的同学、晓天镇的大河、著名的数学家，这三组对象不确定，不能构成集合.“晓天中学足球队的同学”满足集合元素的：确定性、互异性、无序性，所以“晓天中学足球队的同学”能够构成集合.故选：B2．已知集合,那么（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知集合，故，故A正确，D错误，，故B错误，，故C错误，故选：A3．（多选）已知集合，则下列属于集合A的元素有（）A．B．3C．4D．6【答案】CD【解析】依题意，是的约数，而的约数有，即，则，因为，因此所以CD正确，AB错误.故选：CD4．（多选）下列说法中，正确的是（）A．的近似值的全体构成集合B．自然数集中最小的元素是0C．在数集中，若，则D．一个集合中可以有两个相同的元素【答案】BC【解析】对于A，的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合，故A错误；对于B，由自然数的定义可得B正确；对于C，若，则，故C正确；对于D，由集合的互异性可知，一个集合中不可以有两个相同的元素，故D错误.故选:BC5．（多选）以下命题中正确的是（）A．所有正数组成的集合可表示为B．大于2020小于2023的整数组成的集合为C．全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形}D．中的元素比中的元素只多一个元素0，它们都是无限集【答案】AD【解析】正数均大于0，故所有正数的集合应表示为，故A正确；大于2020小于2023的整数组成的集合应表示为或，故B不正确；全部三角形组成的集合应表示为{三角形}或{是三角形}，故C不正确；为自然数集，为正整数集，故中的元素比中的元素只多一个元素0，它们都是无限集，故D正确.故选：AD.6．下列各种对象的全体可以构成集合的是______．（填写序号）①高一（1）班优秀的学生；②高一年级身高超过1.60m的男生；③高一（2）班个子较高的女生；④数学课本中的难题．【答案】②【解析】①中“优秀”，③中“个子较高”，④中“难题”不满足构成集合元素的确定性，而②满足集合元素的性质，故②正确，故答案为：②.7．已知集合，，则集合中的元素个数为________．【答案】【解析】由题意得：，中元素个数为.故答案为：.8．已知，则实数_______.【答案】【解析】若，则，不符合集合元素的互异性，排除；若，则，可得或（舍），所以，此时.故答案为：9．表示下列集合：（1）请用列举法表示方程的解集；（2）请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；（3）请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；（4）请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【答案】（1）；（2）；（3），；（4）【解析】（1）方程的解集为.（2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为.（3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，（4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为．10．已知集合.（1）若A中只有一个元素，求的值；（2）若A中至少有一个元素，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时，为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素A中只有一个元素时或.（2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为.1．①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近的所有实数；③方程的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③④【答案】B【解析】对①，联合国安全理事会常任理事国包括中国、法国、美国、俄罗斯、英国，能构成集合.对②，充分接近的所有实数，不满足集合的确定性，不能构成集合，对③，方程，，方程无实根，集合为空集，对④，中国著名的高等院校，不满足集合的确定性，不能构成集合，故选：B2．下列元素与集合的关系中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】N表示自然数集，-1不是自然数，故A错；表示正整数集，0不是正整数，故B正确；Q表示有理数集，不是有理数，故C错；R表示实数集，是实数，故D错.故选：B.3．已知集合，，则（）A．-1B．-3或-1C．3D．-3【答案】D【解析】由题意，

或

，由①得，，或，由②

；当时，，不符合集合描述规则，舍去，；故选：D.4．下列说法：①集合用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图像象交点组的集合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为（）A．3B．2C．1D．0【答案】D【解析】由，得，解得x＝0或x＝1或x＝－1，又因为，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0，1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或，故②不正确．联立，解得，∴一次函数与y＝－2x＋8的图像交点为（2，4），∴所求集合为且，故③不正确．故选：D.5．（多选）下列说法中，正确的是（）A．若，则B．中最小的元素是0C．的近似值的全体构成一个集合D．一个集合中不可以有两个相同的元素【答案】AD【解析】若，则－a也是整数，即，故A正确；因为实数集中没有最小的元素，所以B错误；因为“的近似值”不具有确定性，所以不能构成集合，故C错误；同一集合中的元素是互不相同的，故D正确.故选：AD.6．由下列对象组成的集体属于集合的是_____(填序号).①不超过的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于自身的数.【答案】①④【解析】①④中的对象是确定的，可以组成集合，②③中的对象是不确定的，不能组成集合.故答案为：①④7．已知集合中含有两个元素和．（1）若是集合中的元素，试求实数的值；（2）能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．【答案】（1）1或；（2）不能，理由见解析【解析】（1）因为是集合中的元素，所以或．若，则，此时集合含有两个元素，，符合要求；若，则，此时集合中含有两个