新教材2025版高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大小值第3课时导数在解决实际问题中的应用课后提能训练新人教A版选择性必修第二册

5．3.2函数的极值与最大(小)值第3课时导数在解决实际问题中的应用A级——基础过关练1．将8分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为 ()A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不对【答案】B2．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(140－x)件，要使利润最大每件定价为 ()A．80元 B．85元 C．90元 D．95元【答案】B3．(2024年合肥期末)设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为 ()A．eq\f(1,2)V B．eq\r(4V) C．2eq\r(3,V) D．eq\r(3,4V)【答案】D【解析】设底面边长为x，则高为h＝eq\f(4V,\r(3)x2)，S表＝3×eq\f(4V,\r(3)x2)·x＋2×eq\f(\r(3),4)x2＝eq\f(4\r(3)V,x)＋eq\f(\r(3),2)x2，所以S′表＝－eq\f(4\r(3)V,x2)＋eq\r(3)x，令S′表＝0，得x＝eq\r(3,4V)，经检验得，当x＝eq\r(3,4V)时，S表取得最小值．4．(2024年四川期中)某厂生产x万件某产品的总成本为C(x)万元，且C(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3.已知产品单价(单位：元)的平方与x成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元，则为使总利润y(单位：元)最大，产量应定为 ()A．23万件 B．25万件C．50万件 D．75万件【答案】B【解析】设产品单价为m，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，所以m2＝eq\f(k,x)(其中k为非零常数).又因为生产100万件这样的产品单价为50元，所以502＝eq\f(k,100)，故k＝250000，所以m＝eq\f(500,\r(x)).记生产x万件产品时，总利润为f(x)，所以f(x)＝mx－C(x)＝500eq\r(x)－1200－eq\f(2,75)x3(x>0)，则f′(x)＝eq\f(250,\r(x))－eq\f(2,25)x2，令f′(x)＝0，得x＝25，且f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，且由f′(x)>0，得0<x<25，由f′(x)<0，得x>25，故函数f(x)在(0，25)上单调递增，在(25，＋∞)上单调递减，因此当x＝25时，f(x)取最大值，即产量定为25万件时，总利润最大．故选B.5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为p元，销售量为Q件，且Q与p有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出) ()A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元【答案】D【解析】由题意知，毛利润等于销售额减去成本，即L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).因为在p＝30旁边的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0，所以L(30)是极大值，依据实际问题的意义知，L(30)是最大值．L(30)＝(8300－170×30－302)×(30－20)＝23000.故选D.6．现要做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为 ()A．6m B．8m C．4m D．2m【答案】C【解析】设底边长为x(x＞0)，由题意可得，高h＝eq\f(256,x2)，用料y＝x2＋4xh＝x2＋eq\f(4×256,x)＝x2＋eq\f(1024,x).故y′＝2x－eq\f(1024,x2)，令y′＝0，得x＝8.当在x＝8旁边左侧时，y′<0，在x＝8旁边右侧时，y′>0，故当x＝8时，y取微小值也是最小值．故它的底边长为8m，高为4m时最省材料．故选C.7．(多选)一艘船的燃料费y(单位：元/时)与船速x(单位：千米/时)的关系是y＝eq\f(1,100)x3＋x.若该船航行时其他费用为540元/时，航程为100千米，设航行总费用为L(x)，则下列说法正确的是 ()A．L(x)＝x2＋eq\f(540,x)＋100(x＞0)B．L(x)＝x2＋eq\f(54000,x)＋100(x＞0)C．要使得航行的总费用最少，航速应为20千米/时D．要使得航行的总费用最少，航速应为30千米/时【答案】BD【解析】由题意可得，航行的总费用L(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)x3＋x＋540))eq\f(100,x)＝x2＋eq\f(54000,x)＋100(x＞0)，故A错误，B正确；L′(x)＝2x－eq\f(54000,x2)，令L′(x)＝0，得x＝30，当0＜x＜30时，L′(x)＜0，L(x)单调递减，当x＞30时，L′(x)＞0，L(x)单调递增，所以当x＝30时，L(x)取得微小值，也是最小值，所以要使得航行的总费用最小，航速应为30千米/时，故C错误，D正确．故选BD.8．(2024年广州期末)用总长11m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制容器底面一边的长比另一边的长多1，则最大容积为______m3，此时容器的高为________m.【答案】eq\f(9,16)eq\f(3,4)【解析】由题意，设容器底面的两边分别为x，x＋1，则x>0，容器的高为eq\f(11－4(x＋x＋1),4)＝eq\f(7,4)－2x.记容器的体积为V(x)，则V(x)＝x(x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)－2x))＝－2x3－eq\f(1,4)x2＋eq\f(7,4)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(7,8))).∴V′(x)＝－6x2－eq\f(1,2)x＋eq\f(7,4)＝－eq\f(1,4)(2x－1)(12x＋7).当V′(x)＝0时，解得x＝eq\f(1,2).当V′(x)<0，即eq\f(1,2)<x<eq\f(7,8)时，函数单调递减；当V′(x)>0，即0<x<eq\f(1,2)时，函数单调递增．∴V(x)max＝Veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(9,16)(m3)，此时高为eq\f(3,4)m.9．(2024年河南期末)剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片，直径AB＝20cm，须要剪去菱形EFGH，可以经过两次对折、沿EF裁剪、绽开后得到．若CF＝EF，要使镂空的菱形EFGH的面积最大，则菱形的边长EF＝________cm.【答案】eq\f(20,3)【解析】设圆心为O，由圆的性质可知，A，E，O，G，B共线，C，F，O，H，D共线，由菱形性质可知，EG⊥FH，不妨令0F＝m，OE＝n，且半径为10，则EF＝eq\r(m2＋n2)＝CF＝10－m，即2m＝10－eq\f(1,10)n2，0<n<10.故S菱形EFGH＝4SΔOEF＝2OE·OF＝2mn＝－eq\f(1,10)n3＋10n.不妨令f(x)＝－eq\f(1,10)x3＋10x，0<x<10，则f′(x)＝－eq\f(3,10)x2＋10，0<x<10，从而f′(x)>0⇒0<x<eq\f(10\r(3),3)，f′(x)<0⇒eq\f(10\r(3),3)<x<10，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(10\r(3),3)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10\r(3),3)，10))上单调递减．所以当x＝eq\f(10\r(3),3)时，f(x)在(0，10)上取最大值，从而要使镂空的菱形EFGH时面积最大，则n＝eq\f(10\r(3),3).由2m＝10－eq\f(1,10)n2可知，m＝eq\f(10,3)，则此时EF＝10－m＝eq\f(20,3)(m).10．已知某工厂生产x件产品的成本(单位：元)为C(x)＝25000＋200x＋eq\f(1,40)x2.(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：(1)设平均成本为y元，则y＝eq\f(25000＋200x＋\f(1,40)x2,x)＝eq\f(25000,x)＋200＋eq\f(x,40)(x＞0)，所以y′＝eq\f(－25000,x2)＋eq\f(1,40).令y′＝0，得x＝1000(x＝－1000舍去).当在x＝1000旁边左侧时，y′<0，在x＝1000旁边右侧时y′>0，故当x＝1000时，y取微小值，也是最小值，所以要使平均成本最低，应生产1000件产品．(2)利润函数为S＝500x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25000＋200x＋\f(x2,40)))＝300x－25000－eq\f(x2,40).令S′＝300－eq\f(x,20)＝0，得x＝6000.当在x＝6000旁边左侧时，S′>0，在x＝6000旁边右侧时S′<0，故当x＝6000时，S取极大值，也是最大值，所以要使利润最大，应生产6000件产品．B级——实力提升练11．一个帐篷，它下部的形态是高为1m的正六棱柱，上部的形态是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O究竟面中心O1的距离为 ()A．eq\f(\r(3),2)m B．1m C．eq\r(3)m D．2m【答案】D【解析】设OO1为xm(1<x<4)，底面正六边形的面积为Sm2，帐篷的体积为Vm3.由题设得正六棱锥底面边长为eq\r(32－(x－1)2)＝eq\r(8＋2x－x2)(m)，所以底面正六边形的面积为S＝6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2).帐篷的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(x－1)＋eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)＝eq\f(\r(3),2)(8＋2x－x2)[(x－1)＋3]＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)，V′＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2).令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去).当1＜x＜2时，V′＞0，当2＜x＜4时，V′＜0，所以当x＝2时，V最大．12．(多选)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．设方盒的容积为V(x)，则下列结论正确的是 ()A．V(x)＝(a－2x)2x，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))B．V′(x)＝12x2－8ax＋a2C．V(x)在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(a,4)))上单调递增D．V(x)在x＝eq\f(a,6)时取得最大值【答案】ABD【解析】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为(a－2x)的正方形，高为x，则V(x)＝(a－2x)2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(a,2)))，选项A正确；由V(x)＝4x3－4ax2＋a2x，得V′(x)＝12x2－8ax＋a2，选项B正确；令V′(x)＞0，解得0＜x＜eq\f(a,6)，令V′(x)＜0，解得eq\f(a,6)＜x＜eq\f(a,2)，故V(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,6)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,6)，\f(a,2)))上单调递减，故V(x)在x＝eq\f(a,6)处取得最大值，选项C错误，选项D正确．故选ABD.13．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件的收益为200元，对于多于150件的订购合同，每超过1件，则每件的收益比原来削减1元，那么订购________件的合同会使公司的收益最大．【答案】175【解析】设订购x件商品，则单件商品的收益为P(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(200(0≤x≤150)，,200－(x－150)(x＞150)，))故公司的收益R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(200x(0≤x≤150)，,350x－x2(x＞150).))当0≤x≤150时，x＝150，R(x)取得最大值30000；当x＞150时，x＝175，R(x)取得最大值30625.故订购175件的合同会使公司的收益最大．14．(2024年湖南模拟)中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效．已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成(其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中)，容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12cm，则当圆柱的底面半径r＝________时，该容器的容积最大，最大值为________．【答案】eq\f(8,π＋2)cmeq\f(128π,(π＋2)2)cm3【解析】设圆柱的底面半径为rcm，圆柱的高为hcm，则由题意可得πr＋2h＋2r＝12，∴h＝eq\f(12－(π＋2)r,2)＝6－eq\f(π＋2,2)r，由h＞0，得r＜eq\f(12,π＋2)，故容器的容积V＝πr2h＝πr2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(π＋2,2)·r))＝6πr2－eq\f((π＋2)π,2)·r3，其中0＜r＜eq\f(12,π＋2)，V′(r)＝12πr－eq\f(3π(π＋2),2)·r2，令V′(r)＝0，得r＝0(舍去)或r＝eq\f(8,π＋2)，当r∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(8,π＋2)))时，V′(r)＞0，函数单调递增，当r∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,π＋2)，\f(12,π＋2)))时，V′(r)＜0，函数单调递减，∴当r＝eq\f(8,π＋2)时，V有最大值为eq\f(128π,(π＋2)2)cm3.15．水库的蓄水量随时间而改变，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，依据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数