河南省豫北名校2025届高三数学上学期10月大联考文试卷

Page16河南省豫北名校2024届高三数学上学期10月大联考（文）试卷考生留意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清晰.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本试卷主要命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、解三角形、平面对量.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】∵，∴.故选：D2.在中，，，则外接圆的半径为（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【详解】由正弦定理，则，故外接圆的半径为1.故选：A.3.已知为平面上四点，则“向量”是“直线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】若，则四点共线或，若，则，故“向量”是“直线”的必要不充分条件.故选：B4.已知平面对量与的夹角为，若，，则（）A.2 B.3 C. D.4【答案】D【解析】【详解】由平方可得，因为，平面对量与的夹角为，所以即，解得或（舍去），故选：D5.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】,,.故选：C6.我们知道二氧化碳是温室性气体，是全球变暖的主要元凶．在室内二氧化碳含量的多少也会对人体健康带来影响．下表是室内二氧化碳浓度与人体生理反应的关系：室内二氧化碳浓度（单位：）人体生理反应不高于空气清爽，呼吸顺畅空气浑浊，觉得昏昏欲睡感觉头痛，嗜睡，呆滞，留意力无法集中大于可能导致缺氧，造成永久性脑损伤，昏迷甚至死亡《室内空气质量标准》和《公共场所卫生检验方法》给出了室内二氧化碳浓度的国家标准为：室内二氧化碳浓度不大于（即为），所以室内要常常通风换气，保持二氧化碳浓度水平不高于标准值．经测定，某中学刚下课时，一个教室内二氧化碳浓度为，若开窗通风后二氧化碳浓度与经过时间（单位：分钟）的关系式为，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准须要开窗通风时间至少约为（参考数据：，）（）A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟【答案】A【解析】【详解】由题意可知，当时，，可得，则，由，可得，故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准须要开窗通风时间至少约为分钟.故选：A.7.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则为（）A.钝角三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【详解】由结合正弦定理可得，即，所以，所以，因为，所以，因为，所以，故为直角三角形，故选：C8.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B. C.1或 D.或【答案】D【解析】【详解】由题意可得：点P与原点间的距离，∴.当时，则，故；当时，则，故故选：D.9.在中，为边的中点，在边上，且，与交于点，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】以为基底向量，则有：∵三点共线，则，又∵三点共线，且为边的中点，则，∴，解得，即.∵，∴，则.故选：A.10.已知函数的最大值与最小值之和为6，则实数a的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【详解】解：，定义域为，令，因为，所以函数为奇函数，设的最大值为，最小值为，所以，因为，函数的最大值与最小值之和为，所以，解得.故选：B11.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则下列结论错误的是（）A.的图象关于点对称B.在上单调递增C.在上的值域为D.将的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称【答案】C【解析】【详解】解：，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，函数的最小正周期是，∴，∴，，，∴关于对称，故A正确；由，解得，所以的一个单调增区间为，而，∴在上单调递增，故B正确；当时，有，则，所以，∴，故C错误；将的图象向右平移个单位长度得到关于轴对称，故D正确.故选：C12.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】令，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，即，当且仅当时，等号成立，所以，，令，其中，则且不恒为零，所以，函数在上单调递增，当时，，所以，当时，，则，且，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，故当时，，即，因为，所以，，因此，.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数且，则___________.【答案】【解析】【详解】因为，则，则.故答案为：.14.已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则___________.【答案】【解析】【详解】因为，该函数的定义域为，则，，①，且，②由①②可得，.故答案为：.15.在中，，，，则的周长为___________.【答案】6【解析】【详解】设，则有均为单位向量，且与同向，与同向，所以与的角平分线共线，又因为，所以的角平分线与垂直，即的角平分线与高线合一,所以为等腰三角形，且,又由，得，所以是等边三角形，则的周长为.故答案为:6.16.如图为矩形ABCD与半圆O的组合图形，其中，E为半圆弧上一点，，垂足为F，点P在线段AD上，且，设，则的面积与的关系式为______；的最大值为______．【答案】①.②.【解析】【详解】设与交于点，依据题意可得，，因为，，所以，所以的面积，其中，因为，所以，所以，所以当且仅当时，取最大值为，所以的最大值为，故答案为：；三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，，.（1）若，求实数的值；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【小问1详解】由题意可得：，∵，则，即，解得：或，∴实数的值或.【小问2详解】由（1）可得：当时，则，即，故与同向；当时，则，即，故与反向.∵与的夹角为锐角，则，解得或，且，∴实数的取值范围.18.已知向量，，函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】解：，所以，函数最小正周期为.【小问2详解】解：当时，，则，故.因此，当时，的取值范围为.19.函数在x=1处取得极值-3-c，其中a､b､c为常数.（1）探讨函数的单调区间；（2）若对随意，不等式恒成立，求c的取值范围.【答案】（1）减区间，增区间（2）【解析】【小问1详解】因为，所以，由题意知，因此，从而．又由题意知，因此，解得；所以．令，解得．令，解得；令，解得；因此的单调递增区间为，单调递减区间为；【小问2详解】由（1）知，在处取得微小值，此微小值也是最小值．要使不等式恒成立，只需，即．所以，从而．解得或．所以的取值范围为.20.在中，角、、的对边分别为、、，且．（1）证明：；（2）若，，求的面积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【小问1详解】解：由及正弦定理可得，即，即，、、，则，所以，，，则，所以，，故.【小问2详解】解：由余弦定理可得，所以，，，则为锐角，故，因此，.21.在平面四边形中，，，．（1）若，求的长；（2）求四边形周长的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【小问1详解】解：连接，因，，故为等边三角形，，，则，由正弦定理得，所以，.【小问2详解】解：由余弦定理可得，所以，，当且仅当时，等号成立.因此，四边形周长的最大值为.22.已知函数.（1）证明：有两个极值点，且分别在区间和内；（2）若有3个零点，求整数的值.参考数据：.【答案】（1）证明见详解（2）或0【解析】【小问1详解】∵，则，令，则，令