2024-2025学年新教材高考数学第十一章概率9考点1离散型随机变量的均值与方差练习含解析选修2

PAGE2PAGE3考点1离散型随机变量的均值与方差（2024·北京卷（理））电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设全部电影是否获得好评相互独立．（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（3）假设每类电影得到人们喜爱的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜爱，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜爱（k＝1,2,3,4,5,6）．写出方差D（ξ1），D（ξ2），D（ξ3），D（ξ4），D（ξ5），D（ξ6）的大小关系．【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四类电影中获得好评的部数是200×0.25＝50.故所求概率为502000（2）设事务A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事务B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．故所求概率为P（AB＋AB）＝P（AB）＋P（AB）＝P（A）·（1－P（B））＋（1－P（A））P（B）．由题意知P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2.故所求概率估计为0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35.（3）D（ξ1）＞D（ξ4）＞D（ξ2）＝D（ξ5）＞D（ξ3）＞D（ξ6）．【答案】见解析（2024·浙江卷）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是（）则当p在（0,1）内增大时，（）A．D（ξ）减小 B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大 D．D（ξ）先增大后减小【解析】由题意知E（ξ）＝0×1-P2＋1×12＋2×P2＝pD（ξ）＝0-P+122×1-P2＋1-P+＝P+122×1-P2＋P-12＝12P+122＋＝122P＝p2＋14－p（2p＝－p2＋p＋14＝－P-12∴D（ξ）在0,12上单调递增，在12,1上单调递减，即当p在（0,1）内增大时，故选D．【答案】D（2024·天津卷（理））已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采纳分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠足够，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；②设A为事务“抽取的3人中，既有睡眠足够的员工，也有睡眠不足的员工”，求事务A发生的概率．【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采纳分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（2）①随机变量X的全部可能取值为0,1,2,3.P（X＝k）＝C4k·所以随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E（X）＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×4②设事务B为“抽取的3人中，睡眠足够的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事务C为“抽取的3人中，睡眠足够的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．由①知P（B）＝P（X＝2），P（C）＝P（X＝1），故P（A）＝P（B∪C）＝P（X＝2）＋P（X＝1）＝67所以事务A发生的概率为67【答案】见解析（2024·全国卷Ⅲ（理））某群体中的每位成员运用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中运用移动支付的人数，D（X）＝2.4，P（X＝4）＜P（X＝6），则p等于（）A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3【解析】由题意可知，10位成员中运用移动支付的人数X听从二项分布，即X～B（10，p），所以D（