2025版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式章末复习课导学案新人教A版必修第一册

其次章章末复习课知识网考点聚考点一不等式性质的应用1．利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小，可以证明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的方法．2．通过对不等式性质的考查，提升学生的逻辑推理素养．例1(多选)下列不等式中不成立的是()A．若a>b>0，则ac2>bc2B．若a>b>0，则a2>b2C．若a<b<0，则a2<ab<b2D．若a<b<0，则1a>跟踪训练1已知a、b、c、d∈R，下列命题正确的是()A．若a>b，则ac>bcB．若a>b，c>d，则ac>bdC．若a>b，则1a<D．若1a<1b，则|a|>|考点二基本不等式1．基本不等式为ab≤a+b2，其变式为ab2．通过对基本不等式考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．例2(多选)下列结论中，全部正确的结论是()A．当x>0时，x+B．当x<0时，x＋1xC．当x>－3时，y＝x＋1x+3D．当x<54时，y＝4x－2＋1跟踪训练2已知x，y都是正实数，且x＋2y＝xy，则x＋y的最小值为________．考点三一元二次不等式的解法1．解一元二次不等式需熟识一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽．(1)确定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判别式Δ＞0时解集的结构是关键．在未确定a的取值状况下，应先分a＝0和a≠0两种状况进行探讨．(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系．(3)解含有参数的一元二次不等式，要留意对参数的取值进行探讨：①对二次项系数与0的大小进行探讨；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行探讨；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行探讨．2．通过对一元二次不等式解法的考查，提升学生逻辑推理、数学运算素养．例3(1)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解是α<x<β，其中β>α>0，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集；(2)解关于x的不等式ax2－(a＋4)x＋4<0(a∈R)．跟踪训练3已知关于x的不等式x2－x＋a－a2≤0.(1)若a＝2时，求不等式的解集；(2)求不等式的解集．考点四不等式恒成立问题1．娴熟驾驭一元二次不等式恒成立的等价条件，理解不等式恒成立与最值的关系，对于含参的不等式要留意对参数进行探讨，做到不重不漏．2．通过对不等式恒成立问题的考查，提升学生逻辑推理和数学运算素养．例4已知关于x的不等式mx2＋mx－2<0.(1)当x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围．(2)当x∈{x|－3≤x≤－1}时不等式恒成立，求实数m的取值范围．跟踪训练4已知函数y＝x2＋ax＋2.(1)若对∀x∈{x|1≤x≤2}，有x2＋ax＋2≥－2恒成立，求实数a的取值范围；(2)若∃x∈{x|1≤x≤2}，有x2＋ax＋2≥－2成立，求实数a的取值范围．考点五不等式在实际问题中的应用1．不等式的实际问题常以函数为背景，多以解决实际生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值．2．通过对不等式实际问题的考查，提升学生数学建模和数学运算素养．例5某市为推动漂亮乡村建设，发展农业经济，激励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．(1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将削减8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？(2)为提高月总利润，企业确定下月调整营销策略，安排每瓶售价x(x≥16)元，并投入334(x－16)万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应削减0.8x-跟踪训练5某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪四周(斜线部分)均种满宽度相同的鲜花．已知两块绿草坪的面积均为200平方米．(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．章末复习课考点聚焦·分类突破例1解析：A.若a>b>0，当c＝0时，ac2＝bc2，故A满意题意；B．若a>b>0，则a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，即a2>b2，故B不满意题意；C．若a<b<0，则a2>ab，ab>b2，即a2>ab>b2，故C满意题意；D．若a<b<0，则1a-1b＝b-答案：AC跟踪训练1解析：对于A，当c≤0时不成立；对于B，当a＝1，b＝－2，c＝0，d＝－1时，明显不成立；对于C，当a＝1，b＝－2时不成立；对于D，因为0<1a<1b，所以有|a|>|b|>0，即|a|>|答案：D例2解析：对于A，因为x>0，所以x+1x对于B，因为x<0，所以x＋1x＝－(－x)－≤－2-x·1-x＝－2，当且仅当x对于C，因为x>－3，则x＋3>0，所以y＝x＋1x+3＝x＋3＋1x+3－3≥2x+3·1x+3－3＝－1当且仅当x＋3＝1x+3，即x＝－2时取等号，所以当x>－3时对于D，因为x<54，则4x－5<0，所以y＝4x－2＋14x-5＝4x－5＋14x－25-4x·15-4x＋3＝1当且仅当5－4x＝15-4x，即x＝1时取等号，所以当答案：AC跟踪训练2解析：因为x＋2y＝xy，x，y都是正实数，所以1y+2x＝1，所以x＋y＝(x＋y)(2x+1y)＝2＋xy+2yx＋1≥3＋22，当且仅当xy＝2yx，x＋2y＝xy时等号成立，即答案：3＋22例3解析：(1)由已知不等式可得a<0，α、β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以α+由cx2＋bx＋a<0得cax2＋ba则有αβx2－(α＋β)x＋1>0即(αx－1)(βx－1)>0，因为β>α>0，所以0<1β<1所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为{x|x<1β或x>1(2)不等式ax2－(a＋4)x＋4<0等价于(ax－4)(x－1)<0，其中a∈R，当a＝0时，不等式化为4x－4>0，解得x>1，则不等式的解集为{x|x>1}；当a>0时，不等式等价于(x－4a)(x若4a>1，即0<a<4，不等式的解集为{x|1<x<4若4a＝1，即a若0<4a<1，即a>4，不等式的解集为{x|4a<当a<0时，不等式等价于(x－4a)(x－1)>0，且4a<0<1，则不等式的解集为{x|x<4a综上所述，当a<0时，不等式的解集为{x|x<4a或x当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<4时，不等式的解集为{x|1<x<4a当a＝4时，不等式的解集为空集；当a>4时，不等式的解集为{x|4a<x跟踪训练3解析：(1)当a＝2时，x2－x－2≤0，(x＋1)(x－2)≤0，得－1≤x≤2，所以不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．(2)由x2－x＋a－a2≤0，得(x－a)[x－(1－a)]≤0，当a<1－a，即a<12时，不等式的解集为{x|a≤x≤1－a当a＝1－a，即a＝12时，不等式的解集为1当a>1－a，即a>12时，不等式的解集为{x|1－a≤x≤a综上，当a<12时，不等式的解集为{x|a≤x≤1－a}，当a＝12时，不等式的解集为12，当a>12时，不等式的解集为{x|1－a≤例4解析：(1)∵关于x的不等式mx2＋mx－2<0，当x∈R时不等式恒成立，∴当m＝0时，－2<0，明显成立；当m≠0时，要使x∈R时不等式恒成立，∴m<0Δ=综上所述，实数m的取值范围为{m|－8<m≤0}．(2)当－3≤x≤－1时，关于x的不等式mx2＋mx－2<0恒成立，(ⅰ)当m＝0时，－2<0，明显成立；(ⅱ)当m≠0时，①当m>0时，令y＝mx2＋mx－2，二次函数f(x)的图象开口向上，且对称轴为直线x＝－12∴y在－3≤x≤－1上随x的增大而减小，要使当－3≤x≤－1时，关于x的不等式mx2＋mx－2<0恒成立，则即9m－3m－2<0，解得0<m<13②当m<0时，令y＝mx2＋mx－2，二次函数f(x)的图象开口向下，且对称轴为直线x＝－12∴y在－3≤x≤－1上随x的增大而增大，要使当－3≤x≤－1时，关于x的不等式mx2＋mx－2<0恒成立，即m－m－2<0，明显恒成立，综上所述，实数m的取值范围为{m|m<13跟踪训练4解析：(1)依题意x2＋ax＋4≥0在x∈{x|1≤x≤2}恒成立，所以a≥－x2+4x＝－(x＋4所以a≥-x由－(x＋4x)≤－4，当且仅当x所以a≥－4，即a∈{a|a≥－4}．(2)依题意x2＋ax＋4≥0在x∈{x|1≤x≤2}有解，所以a≥－x2+4x＝－(x＋4所以a≥-x所以当x＝1时，-x所以a≥－5，即a∈{a|a≥－5}．例5解析：(1)设提价a元，由题意，每瓶饮料的利润为(a＋5)元，月销售量为(8－0.8a)万瓶，所以提价后月销售总利润为(a＋5)(8－0.8a)万元．因为原来月销售总利润为5×8＝40(万元)，月利润不低于原来月利润，所以(a＋5)(8－0.8a)≥40，即a2－5a≤0，所以0≤a≤5，所以售价最多为5＋15＝20(元)，故该饮料每瓶售价最多为20元．(2)由题意，每瓶利润为(x－10)元，月销售量为8－0.8x-152(x－15)＝(8－0.8x-15)万瓶，设下月总利润为y＝(x－10)(8－0.8整理得y＝－14x－4＝－[14(x－15)＋4因为x≥16，所以x－15≥1，所以y≤－214当且仅当x＝19时取到等号，故当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元．跟踪训练5解