2025届高考数学二轮复习专项突破04比较大小

《比较大小》专项突破高考定位比较大小题型每年必考，而且以多种形式出现，可以囊括中学各部分学问，综合性极强，该题型很好的考察了学生的综合素养。考点解析（1）特别值法（2）单调性法（3)基本不等式法（4）放缩法（5）图像法（6）作差法（7）作商法（8）构造法（9）反证法题型解析类型一、特别值法例1-1．已知，则的大小关系正确的为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】依据指数函数与幂函数的单调性即可求解.【详解】解：，，指数函数在上单调递减，，即，又幂函数在上单调递增，，即，，故选：B.例1-2．设，记，，，则比较，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据，得到，再利用对数函数和指数函数的性质推断.【详解】因为，所以，，，所以，故选：A例1-3．已知，则的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据指数函数的单调性，将问题转化为比较当时的大小，利用特值法即可求得结果.【详解】因为，函数是单调增函数，所以比较a，b，c的大小，只需比较当时的大小即可.用特别值法，取，简洁知，再对其均平方得，明显，所以，所以故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数的单调性比较指数式的大小关系，属基础题.本题解题的关键在于将问题转化为比较当时的大小，再通过特别值法即可得答案.例1-4．设，，若，，，则实数，，的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用，可知，结合不等式性质知，，，再利用指数函数、对数函数的性质干脆求解．【详解】，，利用不等式性质可知，，，，，，实数，，的大小关系为．故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查指数对数的大小推断，推断方法：解题时要依据实际状况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，假如指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1，考查学生的转化实力，属于基础题.类型二、单调性法例2-1．设，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据指数函数与幂函数的单调性推断的大小关系.【详解】因为函数在上是增函数，所以，即，又因为函数在上是增函数，所以，所以，故.故选：C练．已知，则这三个数的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小.【详解】，因为在上单调递增﹐则，又.故.故选：B.练．设，，，则，，大小关系为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据指数函数、对数函数的性质推断可得；【详解】解：因为，所以，即，又，即，所以；故选：B类型三、简洁同构法（同底、同指、同真、同分母、同分子等）例3-1．已知，，，则、、的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先依据题意得到，从而得到，又依据，，从而得到，即可得到答案.【详解】因为，，所以，即.又因为，，即，所以.故选：A练．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a【答案】D【分析】利用对数运算、指数运算化简，结合对数函数的性质比较三者的大小关系.【详解】，所以，，所以.故选：D例3-2．已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用比差法分别比较与，进而可得结果.【详解】因为，所以；又，所以，所以.故选：D.练．已知，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】依据三个数的形式，构造函数，利用导数推断函数的单调性，最终依据单调性进行比较大小即可.【详解】构造函数，，当时，，单调递增，所以，.故选：A练．已知，，，则、、的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合导数求的单调性，可推断，令，结合对数的运算性质可推断出，从而可选出正确答案.【详解】解：设，则，当时，；当时，，则在上单调递增，在上单调递减，则当时，，即；，则，所以，故选：C．【点睛】思路点睛：比较几个数的大小关系时，常用的思路是：1、求出函数的单调性，结合增减性进行推断；2、利用作差法，推断两数与零的关系；3、利用作商法，推断两数与1的关系.练．已知，，，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先把a、b、c化为“同构”形式，利用函数的单调性推断大小.【详解】∵，∴，因为为增函数，所以，所以.故选：B【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，找寻“中间桥梁”，通常与0、1比较.练．已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，，利用导数推断函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小；【详解】解：设，，则恒成立，∴函数在上单调递增，又，，，∵，，∴，故选：D.例3-3．已知，若，则与的大小关系为（）A． B． C． D．不确定【答案】C【分析】由得，构造新函数，利用导数探讨的单调性，从而推断出，即可得到.【详解】因为，所以，即，设，则，令=0，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减；因为，，所以，所以，即.故选：C.【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，找寻“中间桥梁”，通常与0、1比较.练．若，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用指数函数和幂函数的单调性得到和，再构造函数，利用导数得到函数的单调性得到，即可得到答案.【详解】因为在上为增函数，所以，即.因为在为增函数，所以，即.设，，令，.，，为增函数，，，为减函数.则，即，因此，即，.又，所以.所以.故选：A【点睛】本题主要考查指数和幂的比较大小，利用导数得到函数的单调性来比较大小为解决本题的关键，属于中档题.练．已知，，，则a，b，c的大小关系是A． B． C． D．【答案】C【分析】令，利用导数探讨函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系.【详解】解：令，，可得函数在上单调递减，

，

同理可得：，

∴.

故选：C.【点睛】本题考查了利用导数探讨函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理实力与计算实力，属于中档题.类型四、中间量例4-1．若，，，，则a，b，c，d的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由指数函数、幂函数以及对数函数的单调性比较大小即可.【详解】由指数函数的单调性知：，由幂函数的单调性知：，所以，又由对数函数的单调性可知：综上有：.故选：A例4-2．已知，，，则，，的大小依次是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，，推断.【详解】因为，，，所以故选：D练．已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据指数运算与对数的性质，求得，，，再结合，利用对数函数的单调性，即可求解.【详解】依据指数运算与对数运算的性质，可得，，，设，因为函数为增函数，由于，所以，所以.故选：C.练．已知，则的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】依据指数式与对数式互化公式，结合指数函数和对数函数的性质进行推断即可.【详解】由，由，，所以，故选：B类型五、放缩法例5-1．若，，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用的单调性求出a值范围；再利用的单调性比较b和c的大小而得解.【详解】因，且函数是增函数，于是；函数是增函数，，而，则，，即，综上得：故选：D练．设，记，，，则比较，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据，得到，再利用对数函数和指数函数的性质推断.【详解】因为，所以，，，所以，故选：A练．已知，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用指数函数、对数函数以及三角函数值即可得出选项.【详解】因为，所以，，，所以.故选：C练．已知，，，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】依据指数函数，对数函数的单调性来推断数值大小.【详解】由对数及指数的单调性知：

，，，

所以，，的大小关系为.

故选：C.类型六、比较法例6-1作差法．设，，，则a，b，c的大小依次为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先通过变形，而，故可推断大小，再作差利用基本不等式有即可得解.【详解】由，，所以，所以，故选：A.【点睛】本题考查了对数函数的比较大小，对数函数的比较大小是高考中重点考查对象，考查了利用中间量以及作差法比较大小，考查了变形转化以及对数的运算实力，比较大小有以下几种方法：（1）利用函数单调性比较大小；（2）中间量法比较大小；（3）作差法、作商法比较大小.例6-2作商法．已知，，，则、、的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据对数的运算法则及性质比较与的大小，利用作商法比较的大小.【详解】由,因为，故，所以，因为，故，所以因为，故，因为，故，所以，所以，故，故选：A【点睛】关键点点睛：依据对数的运算性质将写成对数，，利用函数的单调性比较真数大小即可，利用作商及放缩的方法可得的大小，属于较难题目.练．已知，，，则，，的大小关系为A． B．C． D．【答案】D【分析】先由题，易知，而，再将b，c作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.【详解】因为，故所以，即故选D【点睛】本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.类型七、图像法例7-1．若，则的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分别画出函数的图象，由图象交点坐标，即可推断得出的大小关系.【详解】分别画出函数的图象，如图所示，由图象，可得.故选：B.练．若，，，则实数，，的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数与对数函数的单调性，确定各方程根的范围，进而比较它们的大小.【详解】对于，由与有交点，过一、二象限，过一、四象限，∴与的交点必在第一象限且单调递减、单调递增，而，，可得，对于，由与有交点，过一、二象限，过一、四象限，∴与的交点必在第一象限且单调递增、单调递减，而，，，可得，对于，明显有，∴，，的大小关系为，故选：D.例7-2．已知，且，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得，，.依次作出，，，在上的图像，然后依据函数图像可求得答案【详解】，，.依次作出，，，在上的图像，如图所示.由图像可知，，，所以.故选：C.练．正实数，，满意，，，则实数，，之间的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将，，，转化为函数，，与的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解.【详解】，即为函数与的图象交点的横坐标，，即为函数与的图象交点的横坐标，，即为函数与的图象交点的横坐标，在同一坐标系中画出图象，如图所示：由图象可知：.故选：A.练．已知，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先对取对数，可比较，的大小关系，利用对数的运算推断与的大小关系，即可利用单调性推断的范围，进而可得出，，的大小关系.【详解】对两边同时取常用对数可得,所以，，因为在单调递增，所以，所以，即，又因为，，所以，所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是取对数推断，的大小关系，推断与的关系利用单调性得出的范围.类型八、方程中隐含条件例8-1．已知正数，，满意，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．以上均不对【答案】A【分析】将看成常数，然后依据题意表示出，再作差比较出大小即可【详解】解：由，得，则，得，所以，所以，令，则，所以函数在上单调递增，所以，所以，即所以，所以，综上，故选：A练．设正实数a，b，c，满意，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过构造函数，利用导数推断函数的单调性，并推断的范围，通过变形得，得的大小关系，再干脆解方程求的范围，最终三个数比较大小.【详解】设，时，恒成立，在单调递增，时，，而，所以，，故，即，而，所以．故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，并且依据指对互化，这样依据单调性可得.练．设，，为正实数，且，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】为正实数，且，可得：,然后变形，构造函数，利用幂函数的单调性即可得出．【详解】为正实数，且，可得．∴，令，又在上单调递增，∴，即，故选：B．【点睛】关键点睛：本题的关键是指数式与对数式的互化、构造幂函数并运用其的单调性．例8-2．已知、、均为不等于的正实数，且，，则、、的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知，、、同号，分、、和、、两种状况探讨，结合对数函数的单调性可得出、、的大小关系.【详解】，，且、、均为不等于的正实数，则与同号，与同号，从而、、同号.①若、、，则、、均为负数，，可得，，可得，此时；②若、、，则、、均为正数，，可得，，可得，此时.综上所述，.故选：A.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）推断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性干脆解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.练．已知大于1的三个实数满意，则的大小关系不行能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，则为的零点，依据判别式可得，就和分类探讨后可得的大小关系.【详解】令，则为的零点且该函数图象的对称轴为，故，因为，故，所以即.又，若，则，故即.若，则，所以或者，即或.故选：D.【点睛