2024-2025学年高中数学第1章数列1.2等差数列1.2.1第2课时等差数列的性质同步练习湘教版选择性必修第一册

PAGEPAGE1第2课时等差数列的性质A级必备学问基础练1.(2024安徽亳州高二期末)已知{an}为等差数列,公差d=2,a2+a4+a6=18,则a5+a7=()A.8 B.12 C.16 D.202.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m=()A.12 B.8 C.6 D.43.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=18,a2+a5+a8=14,则a3+a6+a9的值为()A.10 B.9 C.8 D.74.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,立春当日日影长为9.5尺,立夏当日日影长为2.5尺,则春分当日日影长为 ()A.4.5尺 B.5尺 C.5.5尺 D.6尺5.(多选题)若{an}是等差数列,则下列数列为等差数列的是()A.{an2} B.{an+1-aC.{2an+n2} D.{2an}6.已知等差数列{an}的公差为d,若a1+a2+a3=9,a2+a4=8,则d=,a1=.

7.已知公差为正整数的等差数列{an}满意下列两个条件:①a3+a5+a7=93;②满意an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值.B级关键实力提升练8.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=40,则a7-12a8的值为(A.4 B.6C.8 D.109.在等差数列{an}中,a1+a5+a7+a9+a13=100,a6-a2=12,则a1=()A.1 B.2C.3 D.410.(2024吉林延边二中高二期中)在等差数列{an}中,若a1+a2+a3=32,a11+a12+a13=118,则a4+a10等于()A.45 B.50C.75 D.6011.(多选题)已知等差数列{an}的公差d>0,且满意a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式肯定成立的有()A.a1+a101>0B.a2+a100=0C.a3+a100≤0D.a51=012.(多选题)(2024江西临川一中高二月考)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何?”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得钱数依次成等差数列.问五人各得多少钱?”关于这个问题,下列说法正确的是()A.甲得钱是戊得钱的2倍B.乙得钱比丁得钱多12C.甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍D.丁、戊得钱的和比甲得钱多1313.已知数列{an}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a13+a14=77,则公差d=.

14.已知等差数列{an}是递增数列,且a1=1,a3a5=91,则{an}的通项公式为,满意am+am+1+am+2+…+am+5=123的正整数m=.

15.已知{an}是等差数列,且满意a2+a3+a4=18,a2a3a4=66,求数列{an}的通项公式.16.设数列{an}是等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),试求ap+q.C级学科素养创新练17.(2024江苏启东高二期末)我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩二,七七数之剩二,问物几何?”依据这一数学思想,全部被3除余2的整数从小到大组成数列{an},全部被5除余2的正整数从小到大组成数列{bn},把数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},则下列说法正确的是()A.a1+b2=c2 B.b8-a2=c4C.b22=c8 D.a6b2=c9

参考答案第2课时等差数列的性质1.D∵a2+a4+a6=18,∴3a4=18,解得a4=6.∴a6=a4+2d=10,∴a5+a7=2a6=20.故选D.2.B由等差数列性质得,a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,则a8=8.又d≠0,∴m=8.3.A设b1=a1+a4+a7=18,b2=a2+a5+a8=14,b3=a3+a6+a9.因为{an}是等差数列,所以b1,b2,b3也是等差数列,得b1+b3=2b2,所以b3=2b2-b1=2×14-18=10,即a3+a6+a9=10.故选A.4.D设十二节气自冬至起的日影长构成的等差数列为{an},则立春当日日影长为a4=9.5,立夏当日日影长为a10=2.5,所以春分当日日影长为a7=12(a4+a10)=6.故选D5.BD设等差数列{an}的公差为d.对于A,∵an+12-an2=(an+1-an)(an+an+1)=d∴{an对于B,∵an+1-an=d,∴{an+1-an}为常数列,∴{an+1-an}为等差数列;对于C,2an+1+(n+1)2-(2an+n2)=2d+2n+1,∴{2an+n2}不是等差数列;对于D,∵2an+1-2an=2d,∴{2an}是等差数列.6.12∵a1+a2+a3=9,且a1+a3=2a2,∴a2=3.∵a2+a4=2a3=8,∴a3=4,∴d=a3-a2=4-3=1,∴a1=a2-d=3-1=2.7.解因为a3+a5+a7=93,所以3a5=93,所以a5=31,所以an=a5+(n-5)d=31+(n-5)d.解不等式31+(n-5)d>100,得n>69d+5因为n的最小值是15,所以14≤69d+5<所以6910<d≤23又因为d为正整数,所以d=7,a1=a5-4d=3.8.A∵a2+a4+a6+a8+a10=5a6=40,∴a6=8.∴a7-12a8=12(2a7-a8)=12(a6+a8-a8)=12a9.B设等差数列{an}的公差为d,∵a1+a5+a7+a9+a13=100,∴5a7=100,∴a7=20.∵a6-a2=4d,且a6-a2=12,∴4d=12,∴d=3.∴a7=a1+6d=20,∴a1=2,故选B.10.B因为在等差数列{an}中,a1+a2+a3=32,a11+a12+a13=118,所以a2=323,a12=1183,所以a4+a10=a2+a12=11.BD∵等差数列{an}满意a1+a2+a3+…+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,∴a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B,D正确,A错误.又a51=a1+50d=0,∴a1=-50d,∴a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C错误.故选BD.12.AC依题意,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d.∵a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,∴a=1,d=-16,∴a-2d=1-2×-16=43,a-d=1--16=76,a+d=1+-16=56,a+2d=1+2×-16=23∴甲得43钱,乙得76钱,丙得1钱,丁得56钱,戊得则甲得钱是戊得钱的2倍,故A正确;乙得钱比丁得钱多76甲、丙得钱的和是乙得钱的43+1丁、戊得钱的和比甲得钱多56+2313.23∵a4+a7+a10=3a7=17,∴a7=17∵a4+a5+a6+…+a13+a14=11a9=77,∴a9=7,∴公差d=a914.an=3n-25设{an}的公差为d(d>0).由条件可得a3a5=(1+2d)(1+4d)=91,解得d=3或d=-154因此an=1+(n-1)×3=3n-2.am+am+1+am+2+…+am+5=3(am+am+5)=3×[3m-2+3×(m+5)-2]=18m+33=123,解得m=5.15.解∵{an}是等差数列,且a2+a3+a4=18,∴3a3=18,a3=6.∵a∴a2+当a2=11,a4=1时,∴an=a1+(n-1)d=16+(n-1)·(-5)=-5n+21.当a2=1,a4=11时,∴an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)·5=5n-9.综上,an=-5n+21或an=5n-9.16.解设数列{an}的公差为d,∵ap=aq+(p-q)d,∴d=ap-a从而ap+q=ap+qd=q+q×(-1)=0,∴ap+q=0.17.C依据题意,数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,an=2+3(n-1)=3n-1;数列{bn}是首项为2,公差为5的等差数列,bn=2+5(n-1)=5n-3.把数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},故数列{cn}是首项为2,公差为15的等差数列,cn=2+15(n-1)=1