安徽省宿州市2024-2025学年高一数学下学期期中联考试题含解析

Page19安徽省宿州市2024-2025学年高一数学下学期期中联考试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.将210°化成弧度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据角度与弧度的关系求解即可.【详解】，故选：D.2.在中，设，，为边上靠近的一个三等分点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面的基本定理求解.【详解】解：如图所示：，，故选：B3.下列各式的符号为正的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由得可推断A；由，得，可推断B；由得可推断C；由得可推断D【详解】因为，所以，故A错误；因为，，所以，，所以，故B错误；因为，所以，所以，故C正确；因为，所以，故D错误.故选：C.4.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】干脆利用余弦定理计算可得；【详解】解：由余弦定理，又所以，所以，因为，所以故选：D5.菱形的边长为2，且，（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】依据向量数量积计算公式可得.【详解】菱形的边长为2，且，的夹角为，.故选：C.6.砀山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树梨花开，游客八方来．如图1，梨花广场的标记性建筑就是依据梨花的形态进行设计的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看作由两个对称的弓形组成，图2为其中的一个“花瓣”平面图，设弓形的圆弧所在圆的半径为，弦长为，则一个“花瓣”的面积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用扇形面积公式和三角形面积公式求弓形面积，由此可得结果.【详解】因为弓形的圆弧所在圆的半径为，弦长为，所以弓形的圆弧所对的圆心角的大小为，所以弓形面积，所以一个“花瓣”的面积为，故选：B.7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题可得函数奇函数，当时，，即可推断.【详解】∵，，定义域关于原点对称，∴，所以函数为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，所以选项C错误；又当时，，所以选项BD错误.故选：A.8.公元263，魏晋时期的数学家刘徽借助圆内接正多边形计算圆的面积，其“割圆术”思想为：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不行割，则与圆周合体．某数学爱好小组，分别计算单位圆内接正边形和外切正边形（各边都和圆相切）的面积，将它们的平均数作为圆的面积，则用此法求得圆面积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据题意，利用三角形面积公式，分别求出单位圆内接正边形的面积和单位圆外切正边形的面积，然后求它们的平均数即可.【详解】取单位圆，即半径，所以，单位圆内接正边形，可以分解成个三角形，且每个三角形面积为，所以，单位圆内接正边形的面积为.单位圆外切正边形可以同样分解成个三角形，且每个三角形面积为，所以，单位圆外切正边形的面积为.故它们的平均数为.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.终边相同的角的同一三角函数值肯定相同B.，则的最小值为C.已知，，，则在上的投影数量为D.非零向量，，，若，则【答案】AC【解析】【分析】对于A，写出全部终边相同角，再利用诱导公式即可推断；对于B，利用基本不等式可推断；对于C，依据投影数量的定义代入公式求解推断；对于D，举一个反例说明与不相等的即可.【详解】对于A，与角终边相同的角：，依据诱导公式一即可得出三角函数值肯定相同，A正确；对于B，，当且仅当即时，等号成立，此时最小值为，B错误；对于C，在上的投影数量为，C正确；对于D，因为，所以D错误.故选：AC.10.要得到如图所示图象，可由图象经过怎样的变换得到（）A.每个点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将横坐标向右平移个单位，纵坐标不变B.每个点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将横坐标向右平移个单位，纵坐标不变C.横坐标向右平移个单位，纵坐标不变，再将每个点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变D.横坐标向左平移个单位，纵坐标不变，再将每个点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变【答案】BCD【解析】【分析】先由图象求出，再对四个选项依据图像变换一一验证即可.【详解】由图像可知：A=1.，解得：，所以，解得：.所以.又由，解得：，所以.对于A：把图象每个点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象，再将横坐标向右平移个单位，纵坐标不变得到即为的图象.故A错误；对于B：把图象每个点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象，再将横坐标向右平移个单位，纵坐标不变得到即为的图象.故B正确；对于C：把图象横坐标向右平移个单位，纵坐标不变得到的图象，再将每个点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象.故C正确；对于D：把图象横坐标向左平移个单位，纵坐标不变,即为的图象，再将每个点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象.故D正确.故选：BCD.11.已知函数（）在上单调，则的可能值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】AB【解析】【分析】先计算的取值范围，代入正弦函数的增区间，求得的范围，再依据进行选择.【详解】因为，故可得，又的单调增区间为，故，解得且又，故，.故选：AB.12.定义在上的函数满意在上单调递增，，且图象关于点对称，则下列选项正确的是（）A.B.C.在上单调D.函数在上可能有2024个零点【答案】AC【解析】【分析】由，且图象关于点对称，得到的周期为4，结合满意在上单调递增，结合周期性与对称性得到在单调递减，分别判定选项即可.【详解】所以的对称轴为，且，又图象关于点对称，则，所以，，所以，所以，所以的周期为4，所以为的对称中心，所以奇函数，且定义域为，所以，所以A正确；依据周期性，且,又对称轴为，所以，且函数满意在上单调递增，所以，所以，所以B错误；函数满意在上单调递增，且周期为4，所以函数满意在上单调递增，又图象关于点对称，所以在单调递增，又对称轴为，所以在单调递减，且在单调递减，且，所以在单调递减，所以C正确；对于D，在上有且仅有2个零点，且周期为4，在上有且仅有1010个零点，在上有且仅有2个零点，函数在上可能有1012个零点，所以D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.向量，，且，则______．【答案】【解析】【分析】利用向量共线求解即可.【详解】因为向量，，且，所以，解得，故答案为：.14.函数，的值域为______．【答案】【解析】【分析】由的范围求出的范围，再依据二次函数的性质即可得出答案.【详解】因为，所以，，则当时，，当时，，所以函数值域为.故答案为：.15.已知，则______．【答案】##【解析】【分析】利用诱导公式结合已知条件求解即可【详解】因为，所以，故答案为：16.某同学为测量数学楼的高度，先在地面选择一点，测量出对教学楼的仰角，再分别执行如下四种测量方案，则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案编号为______．方案（1）：从点向教学楼前进米到达点，测量出角；方案（2）：在地面上另选点，测量出角，，米；方案（3）：在地面上另选点，测量出角，米；方案（4）：从过点的直线上（不过点）另选点、，测量出米，，．【答案】（1）（2）（4）【解析】【分析】利用正弦定理可推断方案（1）（2）；依据在中已知米，，无法解可推断方案（3）；设米，依据结合余弦定理可得出关于的方程可推断方案（4）.【详解】对于方案（1），，，在中，由正弦定理可得，所以，米，在中，米，方案（1）满意条件；对于方案（2），在中，由正弦定理，所以米，在中，米，方案（2）满意条件；对于方案（3），在中，已知米，，无法求出的长，从而无法求出的长，方案（3）不满意条件；对于方案（4），设米，则米，米，米，因为，则，可得出关于的方程，即可解得的值，方案（4）满意条件.故答案为：（1）（2）（4）.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知角终边上一点，，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义可得答案；（2）先利用诱导公式进行化简，再代入三角函数值可得答案.【小问1详解】∵，且终边过点，∴，解得或（舍）．所以．【小问2详解】又，，所以.18.已知，，向量与的夹角为150°．（1）计算；（2）若，求实数的值．【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）干脆利用向量的模的公式求解；（2）由题得，化简即得解.【小问1详解】解：，，向量与的夹角为150°，∴，∴；∴.【小问2详解】解：∵，∴，即，即，解得．19.已知函数．（1）用“五点（画图）法”作出在的简图；（2）求函数的单调递减区间．【答案】（1）作图见解析（2），【解析】【分析】（1）令为0、、、、、可得相应的的值，然后列表、描点、连线可得答案；（2）令，，求出可得答案.【小问1详解】列表如下：00020对应的图象如图：【小问2详解】令，，得，．所以函数的单调递减区间为，．20.在中，角，，的对边分别为，，，且，．（1）求大小；（2）若边上的中线长为，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由正弦定理化边为角，化简求解；(2)由余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求面积.【小问1详解】已知，由正弦定理，得，因为，所以，，所以，【小问2详解】设边上的中线为，在中，由余弦定理得：，即①．在和中，，所以，即化简，代入①式得，所以的面积21.已知中，，，，（）．（1）求的取值范围；（2）若线段上一点满意，求的最小值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）依据题意，两边平方可得关于的二次函数，进而求出的取值范围；（2）依据、、三点共线，可得，利用基本不等式可求的最小值．【小问1详解】依据题意，，所以取值范围为；【小问2详解】由题可得：，因为、、三点共线，所以故，所以当且仅当时等号成立，所以最小值为2．22.已知函数（，），其图象一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______；从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．①函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称且．②函数的一条对称轴为且；（1）求函数的解析式；（2）若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由最小正周期先求出．选①：利用函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称求得的可能取值为、，再由验证出得到；选②：由函数的一条对称轴，求出的可能取值为、．再由验证出得到；（2）令，由得，时为增函数，时为减函数，并且．由得：，，探讨方程存在4个不相等的实数根，列不等式，求出的取值范围.【小问1详解】由题意可知，函数的最小正周期为，∴．选①，将函数向左平移个单位，所得函数为.由于函数的图象关于轴对称，可得（），解得（）.∵，所以，的可能取值为、．若，则，，符合题意；若，则，，不符合题意．所以，；选②：因为函数的一条对称轴，则（），解得（）.∵，所以，的可能取值为、．若，则，则，符合题意；若，则，则，不符合题意．所以，；【小问2详解】令，由得，，所以．其中满意，时为增函数，满意时为减函数解方程得：，要使方程存在4个不相等的实数根，当，即在上存在两解，故取值范围应在或在或．即或或解得：或或故所求的的取值范围是【点睛】（1）已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质求其解析式时，A比较简单，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：①由ω＝即可求出