人教版高中数学选修11教材用书第三章导数及其应用34生活中的优化问题举例

生活中的优化问题举例[提出问题]某厂家计划用一种材料生产一种盛500mL溶液的圆柱形易拉罐．问题1：生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？提示：计算出圆柱的表面积即可．问题2：如何制作使用材料才能最省？提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S＝2πx2＋eq\f(1000,x)(x＞0)，求S最小时，圆柱的半径、高即可．[导入新知]1．优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．用导数解决优化问题的基本思路[化解疑难]1．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．2．在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围．面积、容积最值问题[例1]某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．(1)将S表示为θ的函数；(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．[解](1)BM＝AOsinθ＝100sinθ，AB＝MO＋AOcosθ＝100＋100cosθ，θ∈(0，π)．则S＝eq\f(1,2)MB·AB＝eq\f(1,2)×100sinθ×(100＋100cosθ)＝5000(sinθ＋sinθcosθ)，θ∈(0，π)．(2)S′＝5000(2cos2θ＋cosθ－1)＝5000(2cosθ－1)(cosθ＋1)．令S′＝0，得cosθ＝eq\f(1,2)或cosθ＝－1(舍去)，此时θ＝eq\f(π,3).当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))eq\f(π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))S′＋0－S极大值所以，当θ＝eq\f(π,3)时，S取得最大值Smax＝3750eq\r(3)m2，此时AB＝150m，即点A到北京路一边l的距离为150m[类题通法]解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．[活学活用]用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)．问：该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为xcm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)，V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．当0<x<10时，V′(x)>0，V(x)是增函数；当10<x<24时，V′(x)<0，V(x)是减函数．因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600(cm3)．故当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积是19600cm3.用料最省(成本最低)问题[例2]某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋eq\r(x))x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640时，需新建多少个桥墩才能使y最小？[解](1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝eq\f(m,x)－1，所以，y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)－1))＋eq\f(m,x)(2＋eq\r(x))x＝eq\f(256,x)m＋meq\r(x)＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256m,x2)＋eq\f(1,2)mx＝eq\f(m,2x2)(x－512)．令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.当0<x<64时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64<x<640时，f′(x)>0，f(x)在区间(64,640)内为增函数．所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时n＝eq\f(m,x)－1＝eq\f(640,64)－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．[类题通法]解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小值．[活学活用]甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(单位：元)关于速度v(单位：千米/时)的函数关系是P＝eq\f(1,19200)v4－eq\f(1,160)v3＋15v，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式．(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．解：(1)Q＝P·eq\f(400,v)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19200)v4－\f(1,160)v3＋15v))·eq\f(400,v)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19200)v3－\f(1,160)v2＋15))·400＝eq\f(v3,48)－eq\f(5,2)v2＋6000(0＜v≤100)．(2)Q′＝eq\f(v2,16)－5v，令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80.当0＜v＜80时，Q′＜0；当80＜v≤100时，Q′＞0，∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝eq\f(2000,3)(元).利润最大问题[例3]某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(单位：百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(单位：百万元，且0≤t≤5)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(单位：百万元)，可增加的销售额约为－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x(单位：百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(注：收益＝销售额－投入)．[解](1)设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销的资金为(3－x)百万元，又设由此获得的收益是g(x)，则g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋x2＋3x))＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－eq\f(1,3)x3＋4x＋3(0≤x≤3)，∴g′(x)＝－x2＋4.令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.当0≤x＜2时，g′(x)＞0；当2＜x≤3时，g′(x)＜0，故g(x)在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数．∴当x＝2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．[类题通法](1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．(2)关于利润问题常用的两个等量关系①利润＝收入－成本．②利润＝每件产品的利润×销售件数．[活学活用]某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝eq\f(3x,4x＋32)(x∈N*)．(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；(2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？解：(1)因为次品率p＝eq\f(3x,4x＋32)，所以当每天生产x件时，有x·eq\f(3x,4x＋32)件次品，有xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))件正品．所以T＝200x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))－100x·eq\f(3x,4x＋32)＝25·eq\f(64x－x2,x＋8)(x∈N*)．(2)T′＝－25·eq\f(x＋32x－16,x＋82)，由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去)．当0<x<16时，T′>0；当x>16时，T′<0;所以当x＝16时，T最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利.eq\a\vs4\al(,,)[典例](12分)如图所示，有一块半椭圆形钢板，椭圆的长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S.(1)求S以x为自变量的函数表达式，并写出其定义域；(2)求S的最大值．[解题流程][活学活用]有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问：供水站解：如图所示，依题意，点C在线段AD上，设C点距D点xkm，则BD＝40，AC＝50－x，所以BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(402＋x2).设总的水管费用为y元，则y＝3a(50－x)＋5aeq\r(x2＋402)(0<x<50)，y′＝－3a＋eq\f(5ax,\r(x2＋402))，令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．当x＜30时，y′＜0；当x＞30时，y′＞0，所以当x＝30时，y取得最小值，此时AC＝50－30＝20(km)，即供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．[随堂即时演练]1．做一个容积为256m3A．6m B．8mC．4m D．2m解析：选C设底面边长为xm，高为hm，则有x2h＝256，所以h＝eq\f(256,x2).设所用材料的面积为Sm2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·eq\f(256,x2)＋x2＝eq\f(256×4,x)＋x2.S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0，得x＝8，因此h＝eq\f(256,64)＝4(m)．2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件 B．11万件C．9万件 D．7万件解析：选Cy′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0.所以当x＝9时，y取得最大值．3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析：设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L所以L＝eq\f(27,R2).要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·eq\f(27,R)，令S表′＝2πR－eq\f(54π,R2)＝0，得R＝3，即当R＝3时，S表最小．答案：34．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)．为使利润最大，应生产________千台．解析：设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．答案：65．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)若商品降价x元，则多卖的商品数为kx2件，由题意知24＝k·22，得k＝6.若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋6x2)＝(21－x)(432＋6x2)，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．(2)根据(1)有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：0(0,2)2(2,12)12(12,30)f′(x)－0＋0－f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减故x＝12时，f(x)取得极大值，因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定价为30－12＝18元时，能使一个星期的商品销售利润最大．[课时达标检测]一、选择题1．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))(0＜x＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为()A．30B．40C．50D．60解析：选BV′(x)＝2x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))＋x2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2)x2＋60x＝－eq\f(3,2)x(x－40)．令V′(x)＝0，得x＝40或x＝0(舍)．故不难确定x＝40时，V(x)有最大值．选B.2．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元解析：选D毛利润为(P－20)Q，即f(P)＝(P－20)(8300－170P－P2)，f′(P)＝－3P2－300P＋11700＝－3(P＋130)(P－30)．令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去)．又P∈[20，＋∞)，故f(P)max＝f(P)极大值，故当P＝30时，毛利润最大，∴f(P)max＝f(30)＝23000(元)．3．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为()A.eq\f(R,2)和eq\f(3,2)RB.eq\f(\r(5),5)R和eq\f(4\r(5),5)RC.eq\f(4,5)R和eq\f(7,5)RD．以上都不对解析：选B设矩形一边的长为x，则另一边的长为2eq\r(R2－x2)，则l＝2x＋4eq\r(R2－x2)(0＜x＜R)，l′＝2－eq\f(4x,\r(R2－x2))，令l′＝0，解得x1＝eq\f(\r(5),5)R，x2＝－eq\f(\r(5),5)R(舍去)．当0＜x＜eq\f(\r(5),5)R时，l′＞0；当eq\f(\r(5),5)R＜x＜R时，l′＜0.所以当x＝eq\f(\r(5),5)R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为eq\f(\r(5),5)R，eq\f(4\r(5),5)R.4．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－eq\f(x3,900)＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A．150B．200C．250D．300解析：选D由题意可得总利润P(x)＝R(x)－100x－20000＝－eq\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，P′(x)＝－eq\f(1,300)x2P′(x)＝0，得x≤x<300时，P′(x)>0；当300<x≤390时，P′(xx＝300时，P(x)最大．5．某工厂要围建一个面积为512m2A．32m,16mB．30m,15mC．40m,20mD．36m,18m解析：选A设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为xm，其他两边的边长均为ym，则xy＝512.则所用材料l＝x＋2y＝2y＋eq\f(512,y)(y＞0)，求导数，得l′＝2－eq\f(512,y2).令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．当0＜y＜16时，l′＜0；当y＞16时，l′＞0.所以y＝16是函数l＝2y＋eq\f(512,y)(y＞0)的极小值点，也是最小值点，此时，x＝eq\f(512,16)＝32.所以当堆料场的长为32m，宽为16m时，砌新墙壁所用的材料最省．二、填空题6．已知某矩形广场面积为40000m2解析：设广场的长为xm，则宽为eq\f(40000,x)m，于是其周长为y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(40000,x)))(x＞0)，所以y′＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(40000,x2)))，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800m.答案：8007．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________cm.解析：设该漏斗的高为xcm，体积为Vcm3，则底面半径为eq\r(202－x2)cm，V＝eq\f(1,3)πx(202－x2)＝eq\f(1,3)π(400x－x3)(0<x<20)，则V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝eq\f(20\r(3),3)，x2＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)．当0<x<eq\f(20\r(3),3)时，V′>0；当eq\f(20\r(3),3)<x<20时，V′x＝eq\f(20\r(3),3)时，V取得最大值．答案：eq\f(20\r(3),3)8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．解析：存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3kx2，x∈(0,0.048)．所以银行的收益是ykx2－kx3(0<x<0.048)，由于y′kx－3kx2，令y′＝0得xx＝0(舍去)，又当0<x<0.032时，y′>0；当0.032<x<0.048时，y′<0，所以当x＝0.032时，y取得最大值．答案：三、解答题9．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多