高考数学二轮复习考点突破练14圆锥曲线中的定点定值探索性问题

考点突破练14圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题1.(2023河北张家口二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>(1)求双曲线C的方程;(2)若过点F作直线l交双曲线C的右支于P,Q两点,点M满足FP=QM,求证:存在两个定点E1,E2,使得|ME1||ME2|2.(2023全国乙,理20)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>(1)求C的方程;(2)过点(2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.3.(2023山东日照一模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,E为C上的动点,EQ垂直于动直线y=t(t<0),垂足为Q,当△EQF为等边三角形时,其面积为43.(1)求C的方程.(2)设O为坐标原点,过点E的直线l与C相切,且与椭圆x24+y22=1交于A,B两点,直线OQ与AB交于点M,试问:是否存在t4.(2023湖南张家界二模)已知曲线C:x24-y25=1(x>0),倾斜角为α的直线l过点F2(3,0),且与曲线C(1)当α=90°时,求三角形ABO的面积.(2)在x轴上是否存在定点M,使直线l在与曲线C有两个交点A,B的情况下,总有∠OMA=∠OMB?如果存在,求出定点M;如果不存在,请说明理由.考点突破练14圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题1.(1)解由题意可得ba=3,即b2=3a2.又右焦点为F(2,0),所以c=2,即a2+b2=4,可得a2=1,b2=3.因此双曲线C的方程为x2y(2)证明设点M(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2),x1,x2>1,设直线l的方程为x=my+2,与双曲线C的方程x2y23=1联立,整理得(3m21)y2+12my+9则3m21≠0,Δ=(12m)236(3m21)=36(m2+1)>0,整理得m2≠13由根与系数的关系得y1+y2=12m3m2-1,于是x1+x2=m(y1+y2注意到x1+x2>2,于是-43m2-1>又点M满足FP=QM整理得x消去m得x24-y2因此点M的轨迹是以(4,0),(4,0)为焦点,实轴长为4的双曲线的右支,由双曲线的定义可知,存在两个定点E1(4,0),E2(4,0),使得|ME1||ME2|=4.2.(1)解由题意,椭圆C:y2a2+x2b2∴e=c∴椭圆的方程为y29+(2)证明根据题意,直线PQ的斜率存在,设MN的中点为T,直线PQ的方程为y=k(x+2)+3(k<0),P(x1,y1),Q(x2,y2),联立y则(4k2+9)x2+(16k2+24k)x+16k2+48k=0,∴x∵直线AP,AQ分别与y轴交于M,N两点,且过A(2,0),∴设直线AP的方程为y0=k1(x+2),即y=k1x+2k1,设直线AQ的方程为y0=k2(x+2),即y=k2x+2k2,∴M(0,2k1),N(0,2k2),T(0,k1+k2).又y1=k(x1+2)+3,y2=k(x2+2)+3,y1=k1x1+2k1,y2=k2x2+2k2,∴k1=k(x1+2)+3x1+2,k2=k(x2+2)=2k+3x1+x2+4(x1+2)(x2+2)=2k+3[综上,线段MN的中点为定点(0,3).3.解(1)∵当△EQF为等边三角形时,其面积为43,∴12×|EQ|2sinπ3=43,解得|EQ|=根据|EF|=|EQ|和抛物线的定义可知,点Q落在抛物线C的准线上,即y=t=p2设准线和y轴交点为H,如图,易证∠HFQ=π3于是|FQ|cosπ3=2=|FH|=p,∴C的方程为x2=4y(2)存在t=1满足题意.假设存在t,使得|AM|=|BM|,则M为线段AB的中点.设E(x0,x024),当x0=0时,任意t均满足|AM|=|BM|;当x0≠0时,依题意得Q(x0,t),则kOQ由y=x24可得y'=x2,所以切线l的斜率为kl=1设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x1+x22,所以(x1整理可得y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=12,即kl又因为kOQ=kOM=tx0,所以当t=1时,kOQ=kOM=1x0,此时O,M,Q三点共线,满足M综上,存在t=1,使得|AM|=|BM|.4.解(1)由x24-y25=1(x>0)可知曲线C是以F过焦点F2(3,0)、倾斜角为90°的直线l的方程为x=3,当x=3时,y=±52,所以S△AOB=12×3×5=(2)存在定点M(43,0)满足题意当α≠90°时,设直线l的方程为y=k(x3),联立x整理得(54k2)x2+24k2x36k220=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则5解得k<52或k>5假设在x轴上存在定点M(m,0),m≠x1,x2,则由∠OMA=∠OMB得x轴平分∠AMB,所以kAM+kBM=0.kAM=y1x1-m,kAM+kBM=y1x即y1(x2m)+y2(x1m)=0,展开可得x2y1+x1y2m(y1+y2)=0.y1=k(x13),y2=k(x23),则x2y1+x1y2=2kx1x23k(x1+x2),y1+y2=k(x1+x26).则2kx1x23k(x1+x2)mk(x1+x26)=0.因为斜率k的取值范围为(∞,52)∪(52,+所以2x1x2(m+3)(x1+x2)+6m=0,即72k2+404整理可