高中数学第二章平面向量章末质量检测课时作业新人教A版必修

章末质量检测(二)平面向量一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，在⊙O中，向量eq\o(OB,\s\up10(→))，eq\o(OC,\s\up10(→))，eq\o(AO,\s\up10(→))是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：由图可知eq\o(OB,\s\up10(→))，eq\o(OC,\s\up10(→))，eq\o(AO,\s\up10(→))是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.答案：C2．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则eq\o(AB,\s\up10(→))＋2eq\o(BC,\s\up10(→))等于()A．5B．(－1,5)C．(6,1)D．(－4,9)解析：eq\o(AB,\s\up10(→))＝(2,3)，eq\o(BC,\s\up10(→))＝(－3,3)，∴eq\o(AB,\s\up10(→))＋2eq\o(BC,\s\up10(→))＝(2,3)＋2(－3,3)＝(－4,9)．答案：D3．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(3π,4)解析：因为|a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cosθ＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(2π,3).答案：C4．若A(x，－1)，B(1,3)，C(2,5)三点共线，则x的值为()A．－3B．－1C．1D．3解析：eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(BC,\s\up10(→))，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x)＝4，x＝－1，故选B.答案：B5．已知向量a，b满足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为()A．(4,0)，(－2,6)B．(－2,6)，(4,0)C．(2,0)，(－1,3)D．(－1,3)，(2,0)解析：由题意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，3，,a－b＝3，－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，0，,b＝－1，3.))答案：C6．若a＝(5，x)，|a|＝13，则x＝()A．±5B．±10C．±12D．±13解析：由题意得|a|＝eq\r(52＋x2)＝13，所以52＋x2＝132，解得x＝±12.答案：C7．下列说法正确的是()A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行B．终点相同的两个向量不共线C．若|a|>|b|，则a>bD．单位向量的长度为1解析：A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．答案：D8．已知平面内四边形ABCD和点O，若eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，eq\o(OD,\s\up10(→))＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为()A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四边形解析：由题意知a－b＝d－c，∴eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→))，∴四边形ABCD为平行四边形，故选D.答案：D9．某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|>|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为()A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1|－|v2|D.eq\f(v1,v2)解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数，故逆风行驶的速度大小为|v1|－|v2|.答案：C10．已知O为坐标原点，点A的坐标为(2,1)，向量eq\o(AB,\s\up10(→))＝(－1,1)，则(eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→)))·(eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)))等于()A．－4B．－2C．0D．2解析：因为O为坐标原点，点A的坐标为(2,1)，向量eq\o(AB,\s\up10(→))＝(－1,1)，所以eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＝(2,1)＋(－1,1)＝(1,2)，所以(eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→)))·(eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)))＝eq\o(OA,\s\up10(→))2－eq\o(OB,\s\up10(→))2＝(22＋12)－(12＋22)＝5－5＝0.故选C.答案：C11．在△ABC中，已知D是边AB上一点，若eq\o(AD,\s\up10(→))＝2eq\o(DB,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up10(→))＋λeq\o(CB,\s\up10(→))，则λ＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)解析：由已知得eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up10(→))－eq\o(CA,\s\up10(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up10(→))，因此λ＝eq\f(2,3)，故选B.答案：B12．在△ABC中，若|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝1，|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))|＝|eq\o(BC,\s\up10(→))|，则eq\f(\o(AB,\s\up10(→))·\o(BC,\s\up10(→)),|\o(BC,\s\up10(→))|)＝()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)解析：由向量的平行四边形法则，知当|eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))|＝|eq\o(BC,\s\up10(→))|时，∠A＝90°.又|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝1，|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝eq\r(3)，故∠B＝60°，∠C＝30°，|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝2，所以eq\f(\o(AB,\s\up10(→))·\o(BC,\s\up10(→)),|\o(BC,\s\up10(→))|)＝eq\f(|\o(AB,\s\up10(→))||\o(BC,\s\up10(→))|cos120°,|\o(BC,\s\up10(→))|)＝－eq\f(1,2).答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量eq\o(AB,\s\up10(→))是平行向量，与eq\x\to(BC)是共线向量，则m＝________.解析：∵A，B，C不共线，∴eq\o(AB,\s\up10(→))与eq\o(BC,\s\up10(→))不共线．又m与eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))都共线，∴m＝0.答案：014．若向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝(1，－3)，|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝|eq\o(OB,\s\up10(→))|，eq\o(OA,\s\up10(→))·eq\o(OB,\s\up10(→))＝0，则|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝________.解析：方法一：设eq\o(OB,\s\up10(→))＝(x，y)，由|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝|eq\o(OB,\s\up10(→))|知eq\r(x2＋y2)＝eq\r(10)，又eq\o(OA,\s\up10(→))·eq\o(OB,\s\up10(→))＝x－3y＝0，所以x＝3，y＝1或x＝－3，yx＝3，y＝1时，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝2eq\r(5)；当x＝－3，y＝－1时，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝2eq\r(5).故|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝2eq\r(5).方法二：由几何意义知，|eq\o(AB,\s\up10(→))|就是以eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))为邻边的正方形的对角线长，又|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝eq\r(10)，所以|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝eq\r(10)×eq\r(2)＝2eq\r(5).答案：2eq\r(5)15．给出以下命题：①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；③a与b是两个单位向量，则a2＝b2.其中正确命题的序号是________．解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．答案：③16．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N，则每根绳子的拉力大小为________N.解析：如图，由题意得，∠AOC＝∠COB＝60°，|eq\o(OC,\s\up10(→))|＝10，则|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝|eq\o(OB,\s\up10(→))|＝10，即每根绳子的拉力大小为10N.答案：10三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，已知eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，eq\o(OD,\s\up10(→))＝d，eq\o(OE,\s\up10(→))＝e，eq\o(OF,\s\up10(→))＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：(1)eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))；(2)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CF,\s\up10(→))；(3)eq\o(EF,\s\up10(→))－eq\o(CF,\s\up10(→)).解析：(1)因为eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，eq\o(OD,\s\up10(→))＝d，所以eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝d－b.(2)因为eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，eq\o(OF,\s\up10(→))＝f，所以eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CF,\s\up10(→))＝(eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))＋(eq\o(OF,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→)))＝b＋f－a－c.(3)eq\o(EF,\s\up10(→))－eq\o(CF,\s\up10(→))＝eq\o(EF,\s\up10(→))＋eq\o(FC,\s\up10(→))＝eq\o(EC,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OE,\s\up10(→))＝c－e.18．(12分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数(1)c∥d；(2)c⊥d.解析：由题意得a·b＝|a||b|cos60°＝2×3×eq\f(1,2)＝3.(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋k∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝eq\f(9,5).(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋k∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b∴k＝－eq\f(29,14).19．(12分)已知向量a＝(1,3)，b＝(m,2)，c＝(3,4)，且(a－3b)⊥c.(1)求实数m的值；(2)求向量a与b的夹角θ.解析：(1)因为a＝(1,3)，b＝(m,2)，c＝(3,4)，所以a－3b＝(1,3)－(3m,6)＝(1－3因为(a－3b)⊥c，所以(a－3b)·c＝(1－3m＝3(1－3m)＋(－3)×＝－9m解得m＝－1.(2)由(1)知a＝(1,3)，b＝(－1,2)，所以a·b＝5，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(5,\r(10)×\r(5))＝eq\f(\r(2),2).因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,4).20．(12分)已知向量a＝(1,3)，b＝(2，－2)．(1)设c＝2a＋b，求(b－a)·c(2)求向量a在b方向上的投影．解析：(1)由a＝(1,3)，b＝(2，－2)，可得c＝(2,6)＋(2，－2)＝(4,4)，b－a＝(1，－5)，则(b－a)·c＝4－20＝－16.(2)向量a在b方向上的投影为eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(－4,2\r(2))＝－eq\r(2).21．(12分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝0，(1)用eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))表示eq\o(OC,\s\up10(→))；(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．解析：(1)因为2eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝0，所以2(eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))＋(eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→)))＝0，2eq\o(OC,\s\up10(→))－2eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→))＝0，所以eq\o(OC,\s\up10(→))＝2eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)).(2)证明：如图，eq\o(DA,\s\up10(→))＝eq\o(DO,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(2eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)))．故eq\o(DA,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up10(→)).故四边形OCAD为梯形．22．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，eq\r(3))，点M满足eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up10(→))，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图．(1)求∠OCM的余弦值；(2)是否存在实数λ，使(eq\o(OA,\s\up10(→))－λeq\o(OP,\s\up10(→)))⊥eq\o(CM,\s\up10(→))，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．解析：(1)由题意可得eq\o(OA,\s\up10(→))＝(6,0)，eq\o(OC,\s\up10(→))＝(1，eq\r(3))，eq\o(