高考数学一轮复习第八章立体几何课时达标检测（三十三）空间几何体的三视图直观图表面积与体积(1)文

课时达标检测（三十三）空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积[小题对点练——点点落实]对点练(一)空间几何体的三视图和直观图1．给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选A①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④显然错误，故选A.2．(2018·广州六校联考)已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数为()A．5 B．4C．3 D．2解析：选B由题知可以作为该几何体的俯视图的图形可以为①②③⑤.故选B.3．在如图所示的空间直角坐标系O­xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A．①和③ B．③和①C．④和③ D．④和②解析：选D由题意得，该几何体的正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)，且内有一条虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图即在底面的射影，是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.4.如图，△O′A′B′是△OAB的水平放置的直观图，其中O′A′＝O′B′＝2，则△OAB的面积是________．解析：在Rt△OAB中，OA＝2，OB＝4，△OAB的面积S＝eq\f(1,2)×2×4＝4.答案：45．一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为_______cm.解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5(cm)．∴AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．答案：13对点练(二)空间几何体的表面积与体积1．已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是()A.eq\f(a,2) B.eq\f(\r(3πa),3π)C.eq\f(2\r(3πa),3π) D.eq\f(2\r(3a),3π)解析：选C设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2πr＝πl，∴l＝2r，则圆锥的表面积S表＝πr2＋eq\f(1,2)π(2r)2＝a，∴r2＝eq\f(a,3π)，∴2r＝eq\f(2\r(3πa),3π).2．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90π B．63πC．42π D．36π解析：选B由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V＝π×32×10－eq\f(1,2)×π×32×6＝63π.3．(2018·湖北四校联考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．16 B．(10＋eq\r(5))πC．4＋(5＋eq\r(5))π D．6＋(5＋eq\r(5))π解析：选C该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体，其表面积为S＝π＋4π＋4＋eq\r(5)π＝4＋(5＋eq\r(5))π.4．(2017·山东高考)由一个长方体和两个eq\f(1,4)圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V＝2×1×1＋2×eq\f(1,4)×π×12×1＝2＋eq\f(π,2).答案：2＋eq\f(π,2)5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)解析：由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V＝eq\f(1,3)πh(req\o\al(2,中)＋req\o\al(2,下)＋r中r下)＝eq\f(π,3)×9×(102＋62＋10×6)＝588π(立方寸)，降雨量为eq\f(V,142π)＝eq\f(588π,196π)＝3(寸)．答案：36．(2018·合肥市质检)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的________．解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为eq\f(1,2)×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为eq\f(1,3)eq\f(1,2)×2×2×4＝8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)对点练(三)与球有关的切、接应用问题1．在三棱锥A­BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，则该三棱锥外接球的表面积为()A．2π B．6πC．4eq\r(6)π D．24π解析：选B设相互垂直的三条侧棱AB，AC，AD分别为a，b，c则eq\f(1,2)ab＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(1,2)bc＝eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2)ac＝eq\f(\r(6),2)，解得a＝eq\r(2)，b＝1，c＝eq\r(3).所以三棱锥A­BCD的外接球的直径2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)＝eq\r(6)，则其外接球的表面积S＝4πR2＝6π.2．已知正四面体的棱长为eq\r(2)，则其外接球的表面积为()A．8π B．12πC.eq\f(\r(3),2)π D．3π解析：选D如图所示，过顶点A作AO⊥底面BCD，垂足为O，则O为正三角形BCD的中心，连接DO并延长交BC于点E，又正四面体的棱长为eq\r(2)，所以DE＝eq\f(\r(6),2)，OD＝eq\f(2,3)DE＝eq\f(\r(6),3)，所以在直角三角形AOD中，AO＝eq\r(AD2－OD2)＝eq\f(2\r(3),3).设正四面体外接球的球心为P，半径为R，连接PD，则在直角三角形POD中，PD2＝PO2＋OD2，即R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)－R))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2，解得R＝eq\f(\r(3),2)，所以外接球的表面积S＝4πR2＝3π.3．(2018·湖北七市(州)联考)一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为()A．36π B.eq\f(112,3)πC．32π D．28π解析：选B根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是2eq\r(3).将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为4的正三角形，高是4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球，其中心到三棱柱6个顶点的距离即为该四棱锥外接球的半径．∵三棱柱的底面是边长为4的正三角形，∴底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为eq\f(2,3)×2eq\r(3)＝eq\f(4\r(3),3)，∴外接球的半径R＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))2＋22)＝eq\r(\f(28,3))，外接球的表面积S＝4πR2＝4π×eq\f(28,3)＝eq\f(112π,3)，故选B.4.(2018·陕西西工大附中训练)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝eq\r(2)m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是________．解析：由PD⊥底面ABCD，得PD⊥AD.又PD＝m，PA＝eq\r(2)m，则AD＝m.设内切球的球心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，OD，OP(图略)，易知VP­ABCD＝VO­ABCD＋VO­PAD＋VO­PAB＋VO­PBC＋VO­PCD，即eq\f(1,3)·m2·m＝eq\f(1,3)·m2×R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·m2·R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·eq\r(2)m2·R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·eq\r(2)m2·R＋eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·m2·R，解得R＝eq\f(1,2)(2－eq\r(2))m，所以此球的最大半径是eq\f(1,2)(2－eq\r(2))m.答案：eq\f(1,2)(2－eq\r(2))m[大题综合练——迁移贯通]1．有一根长为3πcm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC＝3πcm，AB＝4πcm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝5π(cm)．故铁丝的最短长度为5πcm.2.一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为eq\r(3)、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为eq\r(3).所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1CS＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).3．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为eq\r(15)，求这个三棱锥的体积．解：正三棱锥S­ABC如图所示，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于点E，则E为BC的中点，且AE⊥BC.∵△ABC是边长为6的正三角形，∴AE＝eq\f(\r(3),2