江苏高考数学一轮复习讲义第5章第4节数系的扩充与复数的引入

第四节数系的扩充与复数的引入[最新考纲]1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量eq\o(OZ,\s\up7(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2．复数的几何意义复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量eq\o(OZ,\s\up7(→))＝(a，b)．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．eq\O([常用结论])1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．3．z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a∈C，则a2≥0. ()(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．()(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi. ()(4)方程x2＋x＋1＝0没有解． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1 B．0C．1 D．－1或1A[∵z为纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x－1≠0，))∴x＝－1.]2．在复平面内，向量eq\o(AB,\s\up7(→))对应的复数是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up7(→))对应的复数是－1－3i，则向量eq\o(CA,\s\up7(→))对应的复数是()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4iD[∵eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.]3．设复数z满足eq\f(1＋z,1－z)＝i，则|z|等于()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2A[eq\f(1＋z,1－z)＝i，则z＝eq\f(i－1,1＋i)＝i，∴|z|＝1.]4．已知(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i，则z＝.2＋i[由(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i得eq\x\to(z)＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1－2i,5)＝2－i.∴z＝2＋i.]考点1复数的概念复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．1.若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为()A．－1B．0C．1D．2C[由纯虚数的概念得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m＝0，,m≠0，))得m＝1，故选C.]2．(2019·长沙模拟)已知i为虚数单位，若复数z＝eq\f(a,1－2i)＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝()A．－5 B．－1C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(5,3)D[z＝eq\f(a,1－2i)＋i＝eq\f(a1＋2i,1－2i1＋2i)＋i＝eq\f(a,5)＋eq\f(2a＋5,5)i，因为复数z＝eq\f(a,1－2i)＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，所以－eq\f(a,5)＝eq\f(2a＋5,5)，解得a＝－eq\f(5,3).故选D.]3．(2019·唐山模拟)已知eq\f(z,1－i)＝2＋i，则eq\x\to(z)(z的共轭复数)为()A．－3－i B．－3＋iC．3＋i D．3－iC[由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以eq\x\to(z)＝3＋i，故选C.]4．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，则|z|＝()A．0 B.eq\f(1,2)C．1 D.eq\r(2)C[法一：因为z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.法二：因为z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i＋2i1＋i,1＋i)＝eq\f(－1＋i,1＋i)，所以|z|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋i,1＋i)))＝eq\f(|－1＋i|,|1＋i|)＝eq\f(\r(2),\r(2))＝1，故选C.]解决此类时，一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．考点2复数的运算复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化解题中要注意把i的幂写成最简形式．(1)(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i(2)计算：eq\f(2＋i1－i2,1－2i)＝()A．2 B．－2C．2i D．－2i(3)(2019·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为eq\x\to(z)，若eq\x\to(z)(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝()A．i B．i－1C．－i－1 D．－i(4)(2019·武汉调研)已知复数z满足z＋|z|＝1＋i，则z＝()A．－i B．iC．1－i D．1＋i(1)D(2)A(3)C(4)B[(1)由题意得z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝1＋i，故选D.(2)eq\f(2＋i1－i2,1－2i)＝eq\f(－2＋i2i,1－2i)＝eq\f(2－4i,1－2i)＝2，故选A.(3)由已知可得eq\x\to(z)＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C.(4)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋|z|＝(a＋eq\r(a2＋b2))＋bi＝1＋i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝1，,b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1，))所以z＝i，故选B.法二：把各选项代入验证，知选项B满足题意．](1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；(2)在含有z，eq\x\to(z)，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.1.(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋iD[(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.]2．对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②eq\f(α,β)＝－i；③eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(α,β)))＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为()A．1 B．2C．3 D．4C[αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，①不正确；eq\f(α,β)＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝－i，②正确；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(α,β)))＝|－i|＝1，③正确；α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝－2i＋2i＝0，④正确．]3．(2019·贵阳模拟)设i为虚数单位，复数z满足i(z＋1)＝1，则复数z＝()A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1＋iC[由题意，得z＝eq\f(1,i)－1＝－1－i，故选C.]4．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则eq\f(a＋i2020,1＋i)＝()A．1 B．0C．1＋i D．1－iD[z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则有a2－1＝0，a＋1≠0，得a＝1，则有eq\f(1＋i2020,1＋i)＝eq\f(1＋1,1＋i)＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＝1－i.]考点3复数的几何意义与复数几何意义相关的问题的一般解法第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．(1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1(2)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内eq\x\to(z)对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(3)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3,1) B．(－1,3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)(1)C(2)C(3)A[(1)设复数z与i分别表示复平面内的点Z与点P，则P(0,1)，且|z－i|表示复平面内点Z与点P之间的距离，所以点Z(x，y)到点P(0,1)的距离为定值1，所以Z的轨迹是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，故选C.(2)∵z＝－3＋2i，∴eq\x\to(z)＝－3－2i，∴在复平面内，eq\x\to(z)对应的点为(－3，－2)，此点在第三象限．(3)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3＞0，,m－1＜0，))解得－3＜m＜1，故选A.]复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，则复数z1·z2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限D[由已知eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－2，－1)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．]2．若复数z满足|z－i|≤eq\r(2)(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为．2π[设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤eq\r(2)得|x＋(y－1)i|≤eq\r(2)，所以eq\r(x2＋y－12)≤eq\r(2)，所以x2＋(y－1)2≤2，所以z在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以eq\r(2)为半径的圆及其内部，它的面积为2π.]3．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是