高中数学第一章数列2.1第1课时等差数列的概念及通项公式跟踪训练（含解析）北师大版必修5

第一章数列§2等差数列2.1等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式[A组学业达标]1．数列{an}的通项公式为an＝1－3n，则下列说法中正确的是()A．数列{an}一定不是等差数列B．数列{an}是公差为3的等差数列C．数列{an}是公差为－3的等差数列D．数列{an}不一定是等差数列解析：n≥2时，an－an－1＝(1－3n)－[1－3(n－1)]＝－3，所以数列{an}是公差为－3的等差数列．答案：C2．(2019·西昌市模拟)在等差数列{an}中，已知a2＝－2，a4＝4，则公差等于()A．1 B．2C．3 D．4解析：∵在等差数列{an}中，a2＝－2，a4＝4，∴a4－a2＝2d＝6，解得d＝3.故选C.答案：C3．已知点(n，an)(n∈N＋)都在直线3x－y－24＝0上，那么在数列{an}中有()A．a7＋a9＞0 B．a7＋a9＜0C．a7＋a9＝0 D．a7·a9＝0解析：由条件知3n－an－24＝0，即an＝3n－24，∴a7＋a9＝(3×7－24)＋(3×9－24)＝－3＋3＝0.故选C.答案：C4．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是()A．d＞eq\f(8,3) B．d＜3\f(8,3)≤d＜3 \f(8,3)＜d≤3解析：由题意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a9≤0，,a10＞0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－24＋8d≤0，,－24＋9d＞0，))解得eq\f(8,3)＜d≤3.答案：D5．若lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值等于()A．1 B．0或32C．32 D．log25解析：由等差数列的定义知：lg(2x＋3)－lg(2x－1)＝lg(2x－1)－lg2，即lg2＋lg(2x＋3)＝2lg(2x－1)，2(2x＋3)＝(2x－1)2，(2x)2－4·2x－5＝0，因为2x＞0，所以2x＝5，x＝log25.答案：D6．数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝________．解析：∵{an}是等差数列，∴an＋1－an＝常数，∴[a(n＋1)2＋(n＋1)]－(an2＋n)＝2an＋a＋1＝常数，∴2a＝0，∴a答案：07．已知{an}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝0,a1＋d＝－8))解得d＝4.答案：48．等差数列{an}的公差d＜0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则此数列的通项公式为________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2·a4＝12，,a2＋a4＝8，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝2，,a4＝6，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝6，,a4＝2，))∵d＜0，∴a2＝6，a4＝2，∴d＝－2，∴an＝10－2n.答案：an＝10－2n9．在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.解析：(1)由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝－1，,a1＋7d＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝1.))(2)∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋5d＝12，,a1＋3d＝7，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.∴a9＝2×9－1＝17.10．已知f(x)＝eq\f(3x,x＋3)，数列{an}满足an＝f(an－1)(n≥2，且n∈N＋)，a1＝eq\f(1,2).(1)求证：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列．(2)求a100.解析：(1)证明：因为an＝f(an－1)＝eq\f(3an－1,an－1＋3)，n≥2，n∈N＋，所以eq\f(1,an)＝eq\f(an－1＋3,3an－1)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,an－1)，所以eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,3)(n≥2，n∈N＋)．故数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，公差为eq\f(1,3).(2)eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)·eq\f(1,3)，因为a1＝eq\f(1,2)，所以eq\f(1,a100)＝2＋(100－1)×eq\f(1,3)＝35，所以a100＝eq\f(1,35).[B组能力提升]11．(2019·宿州市模拟)等差数列{an}中，a4＝－8，a8＝2，则a12＝()A．10 B．12C．14 D．16解析：∵等差数列{an}中，a4＝－8，a8＝2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝a1＋3d＝－8,a8＝a1＋7d＝2))，解得a1＝－eq\f(31,2)，d＝eq\f(5,2)，∴a12＝－eq\f(31,2)＋eq\f(5,2)×11＝12，故选B.答案：B12．(2019·邯郸市模拟)若公差为d的等差数列{an}满足an＝(3a－1)n2＋2an，则d\f(1,3) \f(2,3)\f(3,4) \f(4,5)解析：∵公差为d的等差数列{an}满足an＝(3a－1)n2＋2an，∴a1＝3a－1＋2a＝a2＝(3a－1)×4＋2a×2＝a3＝(3a－1)×9＋2a×3＝∵a1，a2，a3成等差数列，∴2a2＝a1＋a3即2(16a－4)＝(5a－1)＋(33a－9)，解得a＝eq\f(1,3)，∴d＝a2－a1＝(3a－1)×4＋4a－(3a－1＋2a)＝11a－3＝eq\f(11,3)－3＝eq\f(2,3).故选B.答案：B13．已知f(n＋1)＝f(n)－eq\f(1,4)(n∈N＋)，且f(2)＝2，则f(2019)＝________．解析：由f(n＋1)＝f(n)－eq\f(1,4)，得f(n＋1)－f(n)＝－eq\f(1,4)(n∈N＋)．∴{f(n)}是一个以－eq\f(1,4)为公差的等差数列．∵f(2)＝2，∴f(2019)＝f(2)＋(2019－2)d＝2＋2017×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝－eq\f(2009,4).答案：－eq\f(2009,4)14．一架飞机在起飞时，第一秒滑行了2m，以后每秒都比前一秒多滑行4m，又知离地前一秒滑行了58m，这架飞机起飞所用的时间为________．解析：飞机每秒滑行的距离组成等差数列，记为{an}，其中a1＝2，d＝4，an＝58，代入等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得2＋4(n－1)＝58，∴n＝15(秒)．答案：15秒15．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，设bn＝eq\f(an,2n－1).(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解析：(1)证明：由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝eq\f(an＋1,2n)＝eq\f(2an＋2n,2n)＝eq\f(an,2n－1)＋1＝bnb1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知，数列{bn}的通项公式为bn＝n，又bn＝eq\f(an,2n－1)，所以数列{an}的通项公式为an＝n·2n－1.16．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常数．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值．(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．解析：(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，且a1＝1.所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列{an}不可能为等差数列，理由如下