解一元二次方程(第二课时配方法)

九年级数学上分层优化堂堂清二十一章一元二次方程第二课时配方法（解析版）学习目标：1.理解配方法的基本过程，会运用配方法解一元二次方程。2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想。老师对你说：配方法解一元二次方程

（1）概念：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．

（2）配方的对象：二次三项式知二求一，即将中的二次项、一次项、常数项任取两项，再配一项，使其能成为完全平方式。（3）利用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①一移：把方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；

②二除：方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；

③三配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程左边配成一个完全平方式，右边是一个常数；

④四开方：如果方程的右边是一个非负数，就用直接开平方法求出它的解；如果方程的右边是一个负数，那么方程无解．要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．基础提升教材核心知识点精练知识点1：配方及其应用【例1-1】下列式子中是完全平方式的是（）A．a2+2ab+b2 B．a2+2a+2 C．a2﹣2b+b2 D．a2+2ab+1【解答】解：a2+2ab+b2＝（a+b）2．故选：A．【例1-2】若多项式x2+kx+16是一个完全平方式，则k的值应是（）A．4或﹣4 B．8 C．﹣8 D．8或﹣8【解答】解：∵x2+kx+16是完全平方式，∴kx＝±2•x•4，解得：k＝±8，故选：D．【例1-3】若代数式，，则的值（）A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是负数 D．一定不是正数【答案】B；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.知识点2：用配方法解一元二次方程【例2-1】用配方法解方程x2-7x-1＝0．

【答案】x＝+或x＝-．【解析】将方程变形为x2-7x＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得

x2-7x+＝1+，所以有＝1+．

直接开平方，得x-＝或x-＝-．

所以原方程的根为x＝+或x＝-．

【点评】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：

(1)把形如ax2+bx+c＝0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；

(2)把常数项移到方程的右边；

(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n≥0)的方程；

(4)用直接开平方的方法解此题．

【例2-2】在解方程2x2+4x+1=0时,小思与小博对方程进行如下配方:小思:2x2+4x=-1,x2+2x=-12x2+2x+1=-12(x+1)2=1小博:2x2+4x=-1,4x2+8x=-2,4x2+8x+4=-2+4,(2x+2)2=2对于两人的做法,说法正确的是()A.两人都正确B.小思正确,小博不正确C.小思不正确,小博正确【答案】A【解析】小思的做法:2x2+4x=-1,移项正确,x2+2x=-12,二次项系数化为1,变形正确,x2+2x+1=-12+1,方程的两边都加1,正确,(x+1)2=12,变形正确小博的做法:2x2+4x=-1,移项正确,4x2+8x=-2,方程的两边都乘2,变形正确,4x2+8x+4=-2+4,方程的两边都加4,变形正确,(2x+2)2=2,变形正确.故小博的做法正确.故两人的做法都正确.故选A.【例2-3】某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果．【详解】解：∴解得：,丁同学是错的，故选：D．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．能力强化提升训练若多项式4x2﹣（k﹣1）x+9是一个完全平方式，则k的值是（）A．13 B．13或﹣11 C．﹣11 D．±11【解答】解：∵（2x±3）2＝4x2±12x+9，又∵多项式4x2﹣（k﹣1）x+9是一个完全平方式，∴k﹣1＝±12，解得：k＝13或k＝﹣11，故B正确．故选：B．.已知，求的值．【答案】【分析】采用配方法求出的值，代入计算即可得到答案．【解析】解：由题意可得：∴，∴将代入得：【点评】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．求代数式x2+8x+17的最小值【答案】x2+8x+17＝x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2＝0时，代数式x2+8x+17的最小值是1用配方法证明的值小于0．【答案】【证明】：．∵，∴，即．故的值恒小于0．【点评】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致．堂堂清选择题（每小题4分，共32分）1.用配方法解方程x2+6x+8＝0时，配方后得到方程是（）A．（x+3）2＝1 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝1 D．（x﹣3）2＝9【解答】解：用配方法解方程x2+6x+8＝0时，配方结果为（x+3）2＝1．故选：A．2.用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（

）A． B． C．0 D．2【答案】B【分析】由，配方可得，进而可得的值，然后代入，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，∴，故选：B．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出的值．一元二次方程x2+px+q=0在用配方法配成(x+m)2=n时,下面结论正确的是()A.m是p的一半B.m是p的一半的平方C.m是p的2倍D.m是p的一半的相反数【答案】.A【解析】(x+m)2=n化为x2+2mx+m2-n=0,∴p=2m,∴m=12p,用配方法解方程x2−4x=1，变形后结果正确的是（A．x+22=5 B．x+22=2 C．【答案】C【分析】根据配方法可直接进行求解．【详解】解：由方程x2−4x=1两边同时加上4可得故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法是解题的关键．下列方程中配方中有错误的是（）A．x2−4x−1=0B．x2+6x+8=0C．2x2D．3x2【答案】C【分析】把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，配方即可．【详解】A、x2-4x-1=0化为（x-2）2=5，故正确；B、x2+6x+8=0化为（x+3）2=1，故正确；C、2x2−7x−6=0D、3x2−4x−2=0故选C【点评】本题考查了解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数已知x2﹣mx+25是完全平方式，则常数m的值为（）A．10 B．±10 C．﹣20 D．±20【答案】B【解答】解：∵x2﹣mx+25是完全平方式，∴﹣m＝±10，即m＝±10．故选：B．.不论x，y取什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（）A．不小于2 B．不小于7 C．为任何实数 D．可能为负数【答案】A【解答】解：原式＝x2+2x+1+y2﹣4y+4+2＝（x+1）2+（y﹣2）2+2，∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，故选：A．8.m、n为正整数，m2+n2+1＝2m+2n，则m+n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵m2+n2+1＝2m+2n，∴m2﹣2m+1+n2﹣2n+1＝1，∴（m﹣1）2+（n﹣1）2＝1，∵（m﹣1）2≥0，（n﹣1）2≥0，m、n为正整数，∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1，∴m+n＝3，故选：B．填空题（每小题4分，共20分）9.用配方法将方程进行配方得___________．【答案】【分析】在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，即可求解．【详解】解：，方程两边加上1，，即，故答案为：．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．10.（1）x2-43x+_____=()2；（2）x2+px+_____=()2【答案】49x−23p【分析】（1）二次项系数为1时，等式两边同时加上一次项系数一半的平方即(2（1）二次项系数为1时，等式两边同时加上一次项系数一半的平方即(p【详解】（1）x2-43x+(23（2）x2+px+(p2)故答案为

(1).49；x−23(2).p【点评】本题考查的是配方法.解题关键是熟练掌握完全平方公式的特征.选择配方法时，若二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．11.当_____时，代数式有最小值为______．【答案】3【分析】根据偶次方的非负性可知，当时有最小值，进而可求解．【详解】解：，当时代数式取得最小值，最小值为，即时，代数式的最小值为，故答案为：3；．【点睛】本题主要考查了配方法、偶次方的非负性，掌握偶次方的非负性是解题的关键．方程x2－8x－4=0化为(x+m)2=n的形式是_____．【答案】x−4【分析】先将常数项移到等号的右边为：x2−8x=4，再配方得【详解】解：x2∴x2∴x−42故答案为：x−42【点评】本题考查解一元二次方程的配方法的适用，涉及了完全平方公式的运用．13.已知点在一次函数图象上，则的最小值为______．【答案】【分析】将点代入一次函数解析式得出，，代入代数式，根据配方法即可求解．【详解】解：∵点在一次函数图象上，∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．三、解答题（共5小题，48分）14.（12分）用配方法解下列方程(1)x2-2x-2=0;(2)14x2-6x+3=0(3)2x2-1=4x;(4)x2+3x+2=x-1.解析(1)移项,得x2-2x=2,配方,得(x-1)2=3,所以x-1=±3,所以x1=3+1,x2=-3+1.(2)二次项系数化为1,得x2-24x+12=0.移项,得x2-24x=-12.配方,得x2-24x+144=132,即(x-12)2=132.∴x-12=±233.∴x1=233+12,(3)二次项系数化为1,得x2-12=2x.移项,得x2-2x=12.配方,得x2-2x+1=12+1,即(x-1)2=32.∴x−1=±(4)移项,得x2+2x=-3,配方,得(x+1)2=-2,∵(x+1)2≥0,∴(x+1)2=-2不可能成立,∴原方程无实数根.（10分）下面是小明同学灵活应用配方法解方程4x2﹣12x﹣1＝0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：原方程可化为（2x）2﹣6×2x﹣1＝0……第一步移项，得（2x）2﹣6×2x＝1……第二步配方，得（2x）2﹣6×2x+32＝1……第三步∴（2x﹣3）2＝1……第四步两边开平方，得2x﹣3＝±1……第五步∴2x﹣3＝1或2x﹣3＝﹣1．……第六步∴原方程的解为x1＝2，x2＝1……第七步​任务一：小明同学的解答过程是从第步开始出错的，错误的原因是．任务二：请直接写出该方程的正确解．任务三：小刚同学说：“小明的解法是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先要把二次项系数化为1，再配方．”你同意小刚同学的说法吗？你得到了什么启示？【答案】根据解一元二次方程﹣配方法，进行计算逐一判断即可解答．任务一：小明同学的解答过程是从第三步开始出错的，错误的原因是方程的右边漏加了9；故答案为：三；方程的右边漏加了9；任务二：4x2﹣12x﹣1＝0，4x2﹣12x＝1，4x2﹣12x+9＝1+9，（2x﹣3）2＝10，2x﹣3＝±10，2x﹣3=10或2x﹣3=−x1=3+102，x任务三：我不同意小刚同学的说法，得到的启示：我们要灵活运用配方法来解一元二次方程．【点评】本题考虑解一元二次方程﹣配方法，实数的运算，解一元一次方程，一元二次方程的一般形式，准确熟练地进行计算是解题的关键．（8分）若三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，判断此三角形的形状，并求此三角形面积．【分析】将式子进行化简，配方成完全平方的形式，求得a，b，c，根据勾股定理的逆定理进行判断为直角三角形，再利用面积公式计算．【解答】解：∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴32+42＝52，即a2+b2＝c2，∴此三角形为直角三角形，∴面积为12【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，完全平方公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．17.（8分）先阅读，后解题．已知，求和的值．解：将左边分组配方：即．，，且和为，且，，．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：，求和的值．(2)已知，，是的三边长，满足且为直角三角形，求．【答案】(1)，(2)或【分析】由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，利用非负数的性质即可求解；由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，求得的值，然后根据勾股定理可求解．【详解】（1）解：∵，，即，∵，，且，∴且，，；（2）解：∵，方程变形为，∴，，∴，，为直角三角形，∴当，是直角边时，则；当是斜边，是直角边时，则；或．【点评】本题主要考查配方法的应用及勾股定理，熟练掌握配方法的应用及勾股定理是解题的关键．18.（10分）设x，y都是实数，请探究下列问题，（1）尝试：①当x＝﹣2，y＝1时，∵x2+y2＝5，2xy＝﹣4，∴x2+y2＞2xy．②当x＝1，y＝2时，∵x2+y2＝5，2xy＝4，∴x2+y2＞2xy．③当x＝2，y＝2.5时，∵x2+y2＝10.25，2xy＝10，∴x2+y2＞2xy．④当x＝3，y＝3时，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y2＝2xy．（2）归纳：x2+y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由．（3）运用：求代数式x2【分析】（1）求得x2+y2＝18，2xy＝18，得到x2+y2＝2xy；（2）结合完全平方的非负性即可解答；（3）利用归纳的结论即可求解．【解答】解：（1）当x＝3，y＝3时，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y2＝2xy，故答案为：＝；（2）x2+y2≥2xy，理由如下，∵x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2≥0，∴x2+y2≥2xy；（3）∵x2+y2≥2xy，x2+4x2=（x∵（x−2x）∴代数式x2【点评】本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键．拓展培优*冲刺满分我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式最小值．解：∵无论x取何实数，总有．∴，即的最小值是．即无论x取何实数，的值总是不小于的实数．问题：(1)已知，求证y是正数；(2)知识迁移：如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒时S最大，请求出t和S的值，【答案】(1)见解析(2)t=，S最大值=【分析】（1）仿照例题，利用配方求解即可．

（2）先求s，再利用配方求最值即可．【详解】（1）证明：（1）．∵．∴．∴．∴y是正数．（2）解：∵，，．∴．∵．∴当时，S有最大值，最大值为．【点评】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．【解决问题】：（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式．（2）若x2﹣6x+5可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝．【探究问题】：（3）已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求x+y的值；（4）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（xx、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．【分析】解决问题：（1）根据“完美数”的定义判断即可；（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；探究问题