高中数学人教课标A版必修2-4 立体几何 公开课

专题4立体几何

一、选择题

1.已知互相垂直的平面a,△交于直线/,若直线机，〃满足机〃a,nYp,则（）

K.m//1B.m//nC.MJLZD./n_Ln

2.已知平面a,直线〃z,〃满足机Q。，〃ua,则"相〃〃”是"加〃a”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.设川，〃为直线，a,4为平面，则〃的一个充分条件可以是（）

A.a_l_夕，aCp=n,mVnB.a〃夕，m邛C.aJ_尸，m//[iD.HCO,机_L〃

4.如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位:cm）,则该几何体的表面积为（

A.l571cm2B.21ncm2

C.24兀cm2D.33兀cm2

5•祖唯是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幕势既同，则积不容异”称为祖睢原理，利用该原理可以

得到柱体的体积公式V柱体=S/z,其中S是柱体的底面积，力是柱体的高.若某柱体

的三视图如图所示（单位：cm）,则该柱体的体积（单位：（?:1?）是（）

A.158B.162

C.182D.324

6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

A.60B.30

C.20D.10

I-3—

侧视图

7.已知在平行六面体ABC£>—AIBIGQI中，AA与平面A圈GD垂直，

且AO=A8,E为CG的中点，P在对角面8BQQ所在平面内运动，

俯觇图

若EP与AC成30。角，则点P的轨迹为（）

A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆

8.如图所示，在棱长为1的正方体ABC£）-4BiGZ）i中，P,。分别为82，BBi

上的动点，则△GPQ周长的最小值为（）

B”4+2.C、4+豺i

9.如图，正方体ABC。-4BiG£>i的棱长为1,E,尸分别是棱44i，CG的中点，

过EF的平面与棱8为，QQi分别交于点G,4.设BG=x,xW[0,1].①四边形EGF”

一定是菱形；②4c〃平面EGFH；③四边形EGF”的面积5=兀0在区间[0,1]上具

有单调性；④四棱锥4-EG"/的体积为定值.以上结论正确的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

1

10.已知四棱锥s—ABC。的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段4B上的点（不含端点）.设SE与BC所成的

角为〃1，SE与平面ABCD所成的角为灰，二面角S-AB-C的平面角为彷，则（）

ARW&W仇B.仇〈仇〈仇C.9W仇〈仇D.fhWfhWOi

二、填空题

27r

11.已知圆锥的侧面积（单位:cn?）为6兀,且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径

（单位:cm）是.

12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是cm3；表面积是cm2.

第12题图第13题图

13.已知某多面体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱长和为,其体积为.

14.已知点E,F分别在正方体ABCO-AiBiCQi的棱88”CG上，且&E=2EB,CF=2FCi，则

平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为.

15.如图，已知乙4cB=90。，DAmABC,AELDB交DB于E,AElOC交0c于况且A£>=AB=2,则

三棱锥O—AEF体积的最大值为.

第15题图第16题图

16.如图，在长方形ABCZ）中，AB=2,BC=l,E为。C的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将△/!小）

沿河折起，使平面4BO_L平面A8C在平面A8D内过点。作£>K_LA8,K为垂足.设AK=f,贝lj/的取值范围

是.

17.如图，在棱长为2的正四面体S-A8C中，动点P在侧面SA8内，PQ,底

面ABC,垂足为。，若然=乎0。，则PC长度的最小值为.

2

三、解答题

18.如图，已知多面体ABC4囱G，AiA,B\B,GC均垂直于平面ABC,

ZABC=120°,A/=4,GC=1,AB=BC=BtB=2.

⑴证明:A8iJ_平面

(2)求直线AG与平面AB以所成的角的正弦值.

19.如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点，平面

ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.

(1)求证:AB〃FG;

(2)若PAL底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.

3

20.如图，三棱台ABC-4&G中，A6_LBC,NACB=30°,侧面ACC14为等腰梯形,

AC=2A41=2AG=2CC=4，^B=3.

(D求证：ACLA^B.

(ID求直线gC与平面ACGA所成角的正弦值.

21.如图，在四棱锥尸一ABC。中，四边形A8CD为边长为2的菱形，ZADC=60°,PC1CD,E为PC的中点,

PC=1,布=市.

(1)求证：以〃平面BOE；P

(2)求直线BE与平面PB。所成的角的正弦值./

4

专题4立体几何

一、选择题

1.已知互相垂直的平面a,尸交于直线/,若直线〃?，〃满足〃z〃a,n邛,则（）

A.机〃/B.m//nD.〃z_L〃

解析因为aCQ=/,所以仁£,又所以〃，/,故选C.

答案C

2.已知平面a,直线"2,〃满足〃心a,nua,则''机〃〃"是"〃2〃a"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析若加。a,nda,m//n,由线面平行的判定定理知加〃a.若加〃a,mQa,nua,不一定

推出机〃小直线机与〃可能异面，故“机〃〃”是“加〃a”的充分不必要条件.故选A.

答案A

3.设,〃，〃为直线，a,4为平面，则机_La的一个充分条件可以是（）

A.aJ_"aC\/3=n,ml.nB.a//（J,m上0C.a_L夕，m//[}D.nca,mVn

解析对于A,直线机与平面a可能平行、相交或直线〃z在平面a内，A错误；对于B,由直线

垂直于两平行平面中的一个，得该直线垂直于另一个平面，B正确，对于C,直线机与平面a可

能平行、相交或直线机在平面a内，C错误；对于D,直线〃?与平面。可能平行、相交或直线机

在平面a内，D错误.综上所述，故选B.

答案B

4.如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）,则该几何体的表面积为（）

A.157Tcm2B_21TTcm2

C.24兀cm2D.33兀cm2

解析由三视图得该几何体为一个底面圆直径为6,母线长为5的圆锥，则其表面积为兀X32+7TX：

X6X5=24兀，故选C.

答案C

5

5.祖眶是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“鼎势既同，则积不容异”称为祖唾原理，利

用该原理可以得到柱体的体积公式V住体=S〃，其中S是柱体的底面积，h

是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位:cm）,则该柱体的体积（单位:

cm3）＞（）MI觇图

A.158B.162

C.182D.324

解析由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱的高为6,底面可以看作由两个直角

梯形组合而成，其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下

底为6,高为3.

则底面面积S=8^X3+V地X3=27.

因此，该柱体的体积V=27X6=162.故选B.

6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

-5----h—3~~

正视图侧视图

俯视图

A.60B.30

C.20D.10

解析由三视图知可把三棱锥放在一个长方体内部，即三棱锥Ai-BCD,VM-BCD=\x\

><3X5X4=10,故选D.

答案D

7.已知在平行六面体ABCD-A\B\C\D\中，A41与平面A\B\C\D\垂直，且AD=AB,E为CCi的

中点，P在对角面881。。所在平面内运动，若“与AC成30。角，则点P的轨迹为（）

A.圆B.抛物线

C.双曲线D.椭圆

解析因为在平行六面体A3CO-AiBCiQi中，441与平面AIBICIOI垂直，且所以该

6

平面六面体ABC。-是一个底面为菱形的直四棱柱，所以对角面83。。，底面ABCD,

AC_L对角面BBOiD取A4i的中点居贝UE尸〃AC,因为EP与AC成30。角，所以EP与瑁7成

30。角.设EF与对角面88DQ的交点为。，则EO_L对角面BBi。。，所以点P的轨迹是以EO为

轴的一个圆锥的底面，故选A.

8.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-AiBiC。中，P,Q分别为BDi,上的动点，则

△GP。周长的最小值为（）

解析连接Bi。，BCi,由图易得△GPQ的三边分别在三棱锥8—BCD］的三个侧面上，将三

棱锥B-SGOi的侧面展开成平面图形，如图，可得四边形为直角梯形，当CY,P,Q,

G四点共线时，△CiPQ的周长最小，最小值为MtYD?+QiG=N4+2啦,即△CPQ的周长的

最小值为人4+2故选B.

D,B,C、

C；B

答案B

9.如图，正方体ABCO—AiBCiDi的棱长为1,E,尸分别是棱A4i,CG的中）5

点，过EF的平面与棱分别交于点G,H.设BG=x,%e［0,1］.

①四边形EGFH一定是菱形；②AC〃平面EGFH；③四边形EGFH的面积S£r^llJZJc

=/U）在区间［0,1］上具有单调性；④四棱锥A—EGF”的体积为定值.以上结论A'B

正确的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

解析由正方体的性质易得OiH=8G=x,则四边形AiOiHE、四边形ABGE、四边形CBG/7、四

边形GOiHF为四个全等的直角梯形，则HE=EG=GF=FH,即四边形EGF"为菱形，①正确；

因为AC〃EREFu平面EGFH,ACQ平面EGF”,所以AC〃平面EGF”,②正确；在线段OQi

上取DM=x,则易得△”MG为直角三角形，且HM=1-2x,则GH=yjHM2+GM2=

7

yj（l-2x）2+2,则菱形EGFH的面积S=j{x）=^EFGH=^j（l-2x）2+2,易得其在0,匀上

单调递减，在1］上单调递增，在［0,1］上不具有单调性，③错误；V四棱镇A-EGFH=V三较镀A-EFH

+VSft4-EGF=VF-AEH+VF-AEG=1x1xlx1x1+|x1XyX1x1=^,为定值，④正确.

综上所述，正确结论的个数是3,故选B.

答案B

10.已知四棱锥S—A8CO的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）.设SE

与8C所成的角为，”SE与平面45C0所成的角为。2,二面角S—A3—C的平面角为。3,则（）

A.awaw/B.仇w仇&仇

C.0iW，3W02D&WfhWBi

法一由题意知四棱锥s—A3CO为正四棱锥，如图，连接AC,BD,记ACnBO=O,连接S。，

则SO,平面ABCD,取的中点M,连接SM,OM,OE,易得ABLSM,则依:/SEO,仇

=ZSMO,易知伪三。2.再根据最小角定理知。3WO1,所以。2W&W01,故选D.

AEMB

法二如图，不妨设底面正方形的边长为2,E为A3上靠近点A的四等分点，£为A3的中点，

S到底面的距离SO=1,以EE',F。为邻边作矩形OO'EF,则NSEO=Oi,ZSEO=62,ZSE'O

,tanft=1,此时tan。2Vtan/〈tan0i,可

E0—后方

得仇＜仇＜夕，当E在A3中点处时，电=仇=。\,故选D.

11.已知圆锥的侧面积（单位:cn?）为6兀,且它的侧面展开图是一个圆心角为行的扇形，则这个圆锥

的底面半径（单位:cm）是.

答案V2

12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是『J］'\/

8

俯视图

cm3；表面积是cm2.

解析由三视图得该几何体为一个长、宽、高分别为6,6,8的长方体挖去两个底面半径为3,

高为4的圆锥体后剩余的部分，则其体积为6X6X8—2X；X4X7tX3』288—24兀，表面积为

2(6X6+6X8+6X8)-2XKX32+2X^X5X2X71X3=264+12K.

答案288—24兀264+12兀

13.已知某多面体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱长和为，其体积为.

解析由三视图画出几何体的直观图如图所示，其是正方体的一部分，其中£,

产是所在棱的中点，正方体的棱长为2,所以该几何体的所有棱长的和2X7+1

+1+6+2*吊？针+26=16+3应+2小.该几何体的体积为2X2X2—g

X2XI-XIXI+2X2X2+

答案16+372+2^5y

14.已知点E,R分别在正方体ABCO-AiBiG»的棱CCi上，且CF=2FC\,

则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为.

解析延长在，CB相交于点G,连接AG,如图所示.

设正方体的棱长为3,则GB=BC=3,作8”J_AG于点"，连接EH,则为所求二面角的

平面角，D,c,

・・tanNEHB=3,

15.如图，已知NAC8=90。，D4J_平面ABC,交DB于E,AfUQC交。C于R且AO

9

=AB=2,则三棱锥。一AEF体积的最大值为

解析因为。AJ_平面ABC,所以AD1BC,

"JAELDB,又AO=A3=2,

：.DE=yf2,又因为BC_LAC,AC^AD=A,所以BC_L平面AC。，

所以平面BCOJ_平面AC。，VAF±DC,平面BCDA平面ACO=CD,

所以4尸，平面BCD,

所以A/LEEBDLEF,

所以3。，平面AEF,由AF2+EF2=AE2=2^2AF-EF可得AFEFW1,

所以SAAEF§,所以三棱锥£>—AEb体积的最大值为gx啦乂拄坐.

答案噜

16.如图，在长方形A3C0中，AB=2,BC=\,E为OC的中点，尸为线段EC（端点除外）上一动

点.现将沿AF折起，使平面ABO_L平面A3C.在平面ABD内过点D作DK工AB,K为垂足.

设AK=t,则t的取值范围是.

解析如图，在平面AO尸内过。作OHLAb,垂足为H,连接HK.过产点作

FP//BC爻AB于点P.

设

贝11cos（半，斗弓）.设DF=x,

则1VXV2,

•.•平面ABD,平面ABC,平面A8OD平面ABC=A8,DKLAB,OKu平面A8O,，。长，平面

ABC,又AFu平面ABC,：.DK±AF.

又•.•OHLAGDKCDH=D,DK,OHu平面。KH,

二4/，平面。K",：.AF±HK,即

在RtZ\AOf中，Ab=W+f，:.DH=

10

•.•△AO/和都是直角三角形，PF=AD,

：.Rt^ADF^Rt/\FPA,：.AP=DF=x.

'：XAHDsXADF,

Vl<x<2,：.\<^<2,

答案&1）

17.如图，在棱长为2的正四面体S—ABC中，动点P在侧面SA8内，P。，底面A3C,垂足为0,

若PS=^PQ,则PC长度的最小值为.

解析作PHLAB于点H,连接Q”，则NPHQ为二面角S—AB—C的平面角，设的中点为

G,S在平面ABC内的射影为。，（。为△ABC的中心），连接SG,GO',SO',则NSGO也是二面

角S—AB—C的平面角，则sinNPHQ=《3=sinNSGO，=^r=斗，所以PH=^PQ,所以PH

11101-734

=PS,所以点P的轨迹是侧面SA8内以A8为准线，以S为焦点的抛物线，S”的中点。是抛物

线的顶点，0到C的距离就是PC的最小值，在△S”C中，由余弦定理，得cos/SHC=

与（妥2—”二g,在中，由余弦定理可知，r。2=惇/+（小y—2X坐X小X；

=y,所以PCniin=¥^

答案手

11

三、解答题

18.如图，已知多面体ABC41BG,A\A,B\B,GC均垂直于平面ABC,ZABC=120°,AiA=4,

CiC=l,AB=BC=B\B=2.

（1）证明：AB_L平面AiBiC；

（2）求直线AC\与平面ABBi所成的角的正弦值.

法一（1）证明如图，以AC的中点。为原点，分别以射线。3,OC为x,

y轴的正半轴，建立空间直角坐标系。一9z.

由题意知各点坐标如下：

A（0,一小，0）,B（l,0,0）,4（0,一小，4）,3（1,0,2）,Ci（0,小，1）.（3

分）

因此前i=（l,小，2）,ATBi=（l,小，-2）,/17Ci=（0,2小，一3）.5分

由MrA归1=0得4Bi_LAi8i.

由协I•庆1=0得ABilAiCi.

又AIBICAiC=Ai,

所以平面分

⑵解设直线AG与平面ABB所成的角为夕

由（1）可知启1=（0,2®1）,AB=（L事,0）,防1=（0,0,2）.9分

设平面AB3的法向量〃=（x,y,z）.

|/i-AB=0,|x+小产0,l

由彳即彳'可取〃=（一小，1,0）.12分

i〃.感=0,12z=0,

所以sin8=|cos<ACi,n）|=」"°创

I届H印

因此，直线AG与平面ABB所成的角的正弦值是昔.15分

12

法二⑴证明由AB=2,A4i=4,8囱=2,AA1I.AB,_LAB得ABi=48=26，所以A囱

+ABT=A4T,

由48I_L4BL3分

由8C=2,BBi=2,CCi=l,BB\LBC,CCiLBC得BiCi=小,

由AB=BC=2,ZABC=120。得AC=2小,

由CGLAC,得ACI=JT5,所以A由+3IG=AG,

故AB_L5iC,6分

又A\B\AB\C\=Bi,

因此AB_L平面A5Ci.7分

(2)解如图，过点。作CQJLABi,交直线4囱于点。，连接AD9分

由A8i_L平面ABiCi,ABC平面A881,得

平面AiBiG,平面ABB,

由GD_LAi8i得GDJ_平面4881,

所以NGAO是ACi与平面ABB\所成的角.12分

由BC尸小，43=2也，4。=旧得cos/GABi=需,

sinNCi48i=仁,所以C\D="\[3,故sinNCiAD=.r.

因此，直线AG与平面ABB所成的角的正弦值是普.15分

19.如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE

的中点，平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.

(1)求证:AB〃FG;

⑵若PA_L底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.

解析(1)证明:在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB〃DE.

又因为ABQ平面PDE,

所以AB〃平面PDE.

因为ABu平面ABF,且平面ABFC1平面PDE=FG,

13

所以AB〃FG.

(2)因为PA_L底面ABCDE,所以PA±AB,PA1AE.

如图建立空间直角坐标系Axyz,则A(O,O,O),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),BC=(1,1,0).

设平面ABF的法向量为〃=a,y,z),

叱震刎二

令z=l,则y=-l.所以/7=(0,-1,1).

设直线BC与平面ABF所成角为«,

则sin«=lcos<n,BC>|=|^|4

因此直线BC与平面ABF所成角的大小为方

6

设点H的坐标为(〃,匕W).

因为点”在棱PC上，所以可设丽=2玩(0<4<1),

即(w,v,vv-2)=2(2,l,-2).

所以w=2A,v=A,vv=2-2Z

因为〃是平面ABF的法向量，所以n-AH=0,

即(0,-11)•(2，,2-22)=0.

解得a=|,所以点”的坐标为G，l().

所以加的了+(1y+㈢2幺

14

20.如图，三棱台ABC—44G中，AB工BC,NACB=30,侧面ACG4为等腰梯形，

AC-2AA,-2A^C}-2C,C=4,A8=3.

AiCt

(I)求证：AC1A,B.

(ID求直线gc与平面ACGA所成角的正弦值.

B

第19题图

z八

20.解法一：(D如图，过点8作AC的垂线，垂足为0,

以06、0C所在直线为x轴和y轴建立空间直角坐标系.

............................................................................2分

由于NAOB为二面角A-AC-B的平面角，由于

40=7§,3。=/，43=3,故/4。8=120°.则

B\

40,—1,0),8(6,0,0)00,3,0),4(-/,。,|).X

考虑到而=(6,1,0),则丽=；福=(去;,0),从而(为+半，治,Z/，-1)制3。)，

13

故点片(0,2，2),......・,・・■,■・■・■,,・,..................................................................

由于冠=(0,4,0),踵=(三二,0,—5),从而恁后=0,故ACJ.4&

…7分

(II)设平面ACCA的法向量为1=(x,y,z),由于西—方二=(0,3,0),

n,OA.=0,[—―1—

且《_」，从而x:y:z=G：0:l,因此取〃=(6,0,1)....................•11分

〃。。=0

----53I-——»1孔.(

又C4=(0,-j，a).设直线8c与平面ACCM所成角为。，则cos<〃,CB,>=———

\n\-\

15

3

333M

~~J34~2734--68

2xJ—

V4

Icos<7,函>|=土里，直线gc与平面ACC,A所成角的正弦值为当1.

解法二：(D如图，过点3作AC的垂线，垂足为。,

则8O_LAC,40,AC,BOnA,O=O,80,40<=平面4。8,

故AC_L平面A08.

又A^u平面4。8,故ACJ.AB.

(II)设A耳,48交于点。，在AC上取一点E,使得。E//BC，

54

则瓦=2:1,故4£:£C=2:1,从而40=1,0石=§,£1。=§.直线与。与平面4。。14所成的角即

为直线DE与平面ACGA所成的角.

考虑到平面4。8,平面ACC4，则过点。作A。的垂线，垂足为〃，则£归，平面ACGA，故NDEH

为直线与平面ACGA所成的角・