高中数学极坐标与参数方程大题

参数方程极坐标系

解答题

22f„o++

1.已知曲线C：三+工=1,直线1：=(t为参数)

49[y=2-2t

(I)写出曲线C的参数方程，直线I的一般方程.

(口)过曲线C上随意一点P作与1夹角为30。的直线，交1于点A,求|PA|的最大值与最小值.

考点：参数方程化成一般方程；直线与圆锥曲线的关系.

专题：坐标系和参数方程.

分析：(I)联想三角函数的平方关系可取x=2cos。、y=3sin0得曲线C的参数方程，干脆消掉参数t得直线1的一般方程;

(口)设曲线C上随意一点P(2cos。，3sin0).由点到直线的距离公式得到P到直线1的距离，除以

sin30。进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.

解答：22

解：(I)对于曲线C：2_+?_=1,可令x=2cos。、y=3sin。，

49

故曲线C的参数方程为[x=2cos6,(8为参数).

ly=3sin0

，=2+t①

对于直线1：

y=2-2t②

由①得：t=x-2,代入②并整理得：2x+y-6=0；

(II)设曲线C上随意一点P(2cos0,3sin0).

P到直线1的距图为*_-14cos0+3sin0~6|•

则|PA|=-'3^|5sin(8+a)-6|>其中a为锐角.

sin305

当sin(6+a)=-1时，|PA|取得最大值，最大值为必近.

5

当sin(6+a)=1时，|PA|取得最小值，最小值为2；底.

5

点评:本题考查一般方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法,是中档题.

2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线1的极坐标方程为：psin(0--)=1,

62

曲线C的参数方程为：1x=2+2cosa(a为参数).

1尸2sina

(I)写出直线1的直角坐标方程；

<n)求曲线c上的点到直线1的距离的最大值.

考点：参数方程化成一般方程.

专题：坐标系和参数方程.

分析：(1)首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；

(2)首先，化简曲线C的参数方程，然后，依据直线与圆的位置关系进行转化求解.

解答：解：(1),直线1的极坐标方程为：psin(e-21)=1,

62

p(^/^sin0--IcosB)=A,

_222

.娟_11

2,2X2

x-V3y+i=o.

(2)依据曲线C的参数方程为：1x=2+2cosas为参数).

]y=2sina

得

(x-2)2+y2=4,

它表示一个以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，

圆心到直线的距离为：

d=g

2

曲线C上的点到直线1的距离的最大值•|+2=*.

点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等学问，属于中档题.

3.已知曲线Ci：/-4+cost«为参数),C2：rX=8cos0(°为参数).

尸3+sint(y=3sin0

(1)化Ci,C2的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(2)若Ci上的点P对应的参数为t=H,Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：fx=3+2t6为参数)距离的最小

2[y=-2+t

值.

考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.

专题：计算题；压轴题；转化思想.

分析：(1)分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的一般方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭

圆；

(2)把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为一般方程，依据曲线C2的参数方

程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利

用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值.

解答：fx=_4+cos+

解：(1)把曲线Ci：广一'COST(t为参数)化为一般方程得：(X+4)2+(y-3)2=1,

y=3+sint

所以此曲线表示的曲线为圆心(-4,3),半径1的圆；

把C2：1x=8cos8(°为参数)化为一般方程得：z1+y!=i,所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦

]y=3sin0649

点在x轴上，长半轴为8,短半轴为3的椭圆；

(2)把1=工代入到曲线Ci的参数方程得：P(-4,4),

2

把直线C3：[x=3+2ta为参数)化为一般方程得：x-2y-7=0,

尸-2+t

设Q的坐标为Q(8cos0,3sin0),故M(-2+4cos0,2+ain。)

2

所以M到直线的距离d[4c°se3jine13|=|5sin(a)-13|.(其中向aJ,cosa=3

V5V555

从而当cose=9,sine=-E时，d取得最小值同5

555

点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，敏捷运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求

值，是一道综合题.

4.在直角坐标系xOy中，以0为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为p=2后cos（9+^）,

直线1的参数方程为Jx=t（t为参数），直线1和圆C交于A,B两点，P是圆C上不同于A,B的随意一点.

y=-l+2V2t

（I）求圆心的极坐标；

（II）求^PAB面积的最大值.

考点：参数方程化成一般方程；简洁曲线的极坐标方程.

专题：坐标系和参数方程.

（I）由圆C的极坐标方程为p=2后cos（9+^）,化为p2=2«（堂Pcos8-喙psin8）,把

[x=Pcos8代入即可得出.

]y=Psin8

（II）把直线的参数方程化为一般方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d,再利用弦长公式可得

|AB|=2Jr2_d2,利用三角形的面积计算公式即可得出.

解答：解：（I）由圆C的极坐标方程为p=2、历cos（8+々），化为p2=2后（堂Pcos8-*psinB），

222

把（X=PCOS9代入可得：圆C的一般方程为x+y-2x+2y=0,即（x-1）+（y+1）2=2.

ly=Psin8

・•・圆心坐标为（1,-1）,

・•・圆心极坐标为（后，斗）;

Z

（H）由直线1的参数方程，厂（t为参数），把t=x代入y=-1+2会可得直线1的一般方程：

2折-旷-1=0，

圆心到直线1的距离d』2&+LJ

33

点P直线AB距离的最大值为r+d=券招^

c1、，2亚、5&10灰

Sntax^X—X—=-F-

点评：本题考查了把直线的参数方程化为一般方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形

的面积计算公式，考查了推理实力与计算实力，属于中档题.

0

5.在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为!xf^cos（Q为参数）.以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,

]y=sin0

直线的极坐标方程为2pcos（8+工）=3^.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.

3

考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用.

专题：计算题；压轴题._

分析：由题意椭圆的参数方程为卜3行0°$0（8为参数），直线的极坐标方程为2Pcos（8+—）=又两.将椭圆和

（y=sin93

直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.

解答：解：将2Pcos（8+（）=班化为一般方程为x-ay-SV^nO（4分）

3

兀

点（«cos8,sin8）到直线的距离我“s8一J|sin8_3找|二I捉cos（__至J（6分

所以椭圆上点到直线距离的最大值为2代，最小值为灰.（10分）

点评：此题考查参数方程、极坐标方程与一般方程的区分和联系，两者要会相互转化，依据实际状况选择不同的方程进行

求解，这也是每年高考必考的热点问题.

4

x=l+Trt

5

6.在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为，（t为参数），若以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,

y=-1--ft

5

曲线c的极坐标方程为p=V2cos（e+2I）.

4

（1）求直线I被曲线c所截得的弦长；

（2）若M（x,y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值.

考点：参数方程化成一般方程.

专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程.

分析:（1）将曲线C化为一般方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满意的勾股定理，即可求弦

（2）运用圆的参数方程，设出M,再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值.

解答:4

解：（1）直线I的参数方程为｛（t为参数），消去t,

y=-1--1t

5

可得，3x+4y+l=0；

由于P=J^cos（6+—）=A/2（—cos9-—sin8），

422_

即有pJpcosB-psin。，则有x?+y2-x+y=0,其圆心为（工，-A）,半径为r=Y2,

222

碌-2+11]

圆心到直线的距离d=

V9+16]。'

（2）可设圆的参数方程为:（e为参数）,

T告H0

则设M<-^-P^Cos0，一=十器sin8),

则x+y=^^cQs0+~^sin0二sin(0

由于eeR,则x+y的最大值为1.

点评:本题考查参数方程化为标准方程，极电标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算实

力，属于中档题.

7.选修4-4：参数方程选讲

已知平面直角坐标系xOy,以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（班，.2L）,曲线C的

6

极坐标方程为p2+2j^psin9=1-

（I）写出点P的直角坐标及曲线C的一般方程;

（U）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线1：JX=3+2t（t为参数）距离的最小值.

［尸-2+t

考点：参数方程化成一般方程；简洁曲线的极坐标方程.

专题：坐标系和参数方程.

分析：（1）利用x=pcos。,y=psin。即可得出;

（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，

解答：解（1）点的极坐标为（姐，—），

6

二点P的直角坐标（3,近）

把p2=x2+y2,y=psine代入p2+2唬Rsin8=l可得x2+y2+2«y=l，即x?+（9a）2=4

・••曲线C的直角坐标方程为x2+（y+我）2=4-

（2）曲线C的参数方程为］x=2cosS（。为参数），直线1的一般方程为x-2y-7=0

y="V3+2sin9

设Q（2cos8,-73+2sin0）,则线段PQ的中点M（日+COS8,sinO）•

那么点M到直线1的距离

|-|+cosO-2sin0-7||cos8-2sin8-甘|遥sin（8-。）+号-粕得L口在

d=71W=飞>=飞A丁=I。-1>

.••点M到直线1的最小距离为工/-1，

10

点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单

调性等基础学问与基本技能方法，考查了计算实力，属于中档题.

8.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程［x=l+cos中（中为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（y=sin0

（I）求圆C的极坐标方程；

（D）直线1的极坐标方程是p（sin0+V3cos9）=3«,射线OM：。=工与圆C的交点为O,P,与直线1的交点为Q,求

3

线段PQ的长.

考点：简洁曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系.

专题：直线与圆.

（I）圆C的参数方程fx=l+c°sO（巾为参数）.消去参数可得：（X-1）2+y2=i.把x=pcose,y=psine代入化简即

ly=sin0

可得到此圆的极坐标方程.

（II）由直线1的极坐标方程是P（sine+V3cos0）=3加，射线OM：0=2£.可得一般方程：直线

_3

射线OM尸百x.分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出.

解答：解：⑴圆C的参数方程［x=l+COS。（巾为参数）.消去参数可得：（X-1）2+y2=l.

［尸sin©

把*=「8$仇y=psin。代入化简得：p=2cos0,即为此圆的极坐标方程.

（II）如图所示，由直线1的极坐标方程是p（sinO+5/scos0）=3M,射线OM：0=—.

__3

可得一般方程：直线ly+正x=W5，射线OM厂百x.

3

联立［"Fx=喃，解得,即Q^3).

y=V3x

联立产

（X-1）

点评:本题考查了极电标化为一般方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础学问与

基本方法，属于中档题.

9.在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为!xW^cos。（a为参数），以原点。为极点，x轴正半轴为极轴，建立极

ly=sinCL

坐标系，曲线C2的极坐标方程为psin（6+工）=4&.

4

（1）求曲线C1的一般方程与曲线C2的直角坐标方程；

（2）设P为曲线Ci上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标.

考点：简洁曲线的极坐标方程.

专题：坐标系和参数方程.

分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式

x=pcos0>y=psin。，把极坐标方程化为直角坐标方程.

（2）求得椭圆上的点P（J^cosa,sind）到直线x+y-8=0的距离为

lEcosa+sina-8l3in（a+三）-8|

“3coss?in5=----------3--------可得d的最小值，以及此时的a的值，从而求得点P的坐标.

V2V2

解答：（-ra/工a

解：⑴由曲线Cl：Ix-V3cos，可得"COS,两式两边平方相加得:C）22

|y=sina…•cV3

ly=smO.

2.

即曲线Ci的一般方程为：女+，二1.

由曲线C2：psin（8+A）二为心得：券P（sin©+cos0）二4亚，

即psin0+pcos0=8,所以x+y-8=0,

即曲线C2的直角坐标方程为：x+y-8=0.

（2）由（1）知椭圆Ci与直线C2无公共点，椭圆上的点p（我cosa,Sina）到直线x+y-8=0的距离为

TT

|V3C0Sa+sina-81l2sin（a+y）-81

d=V2=72'

，当sin（Q+—）=1时，d的最小值为为历，此时点P的坐标为（心，1）.

322

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域,

属于基础题.

f忆

10.已知直线I的参数方程是4l（t为参数），圆c的极坐标方程为p=2cos（e+工）.

恪免4

(I)求圆心c的直角坐标；

(H)由直线1上的点向圆c引切线，求切线长的最小值.

考点：简洁曲线的极坐标方程.

专题：计算题.

分析：（D先利用三角函数的和角公式绽开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用pcos0=x,

psin9=y,p2=x2+y2,进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标.

（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线1上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线1上的点

到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可.

解答：解：⑴VP=V2COSe-V2sin0,p2=^Pcos0-^psine，

・••圆C的直角坐标方程为*2+丫2-&乂+正尸0，

即（x-*）2+（y+春）2口，.•・圆心直角坐标为一返）.（5分）

2

（II）直线1的一般方程为x-y+4V2=0>

圆心C到直线1距离是

V2二5’

直线1上的点向圆C引的切线长的最小值是旧二p=2遥（1°分）

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标

系中刻画点的位置的区分，能进行极坐标和直角坐标的互化.

11.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线1的参数方程为（x-t,（t为参数），曲线Ci

1尸at

的方程为p（p-4sin。）=12,定点A（6,0）,点P是曲线Ci上的动点，Q为AP的中点.

（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；_

（2）直线1与直线C2交于A,B两点，若|AB|22«,求实数a的取值范围.

考点：简洁曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程.

专题：坐标系和参数方程.

分析：（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，依据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐

标方程；

（2）首先，将直线方程化为一般方程，然后，依据距离关系，确定取值范围.

解答：解：（1）依据题意，得

曲线Ci的直角坐标方程为：x2+y2-4y=12,

设点P（x\y9,Q（x,y）,

依据中点坐标公式，得

X=2x-6,代入x2+y2_4y=12,

y'=2y

得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x-3）2+（y-1）2=4,

（2）直线1的一般方程为：y=ax,依据题意，得

解得实数a的取值范围为：［0,回.

4

点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等学问，考查比较综合，属于中档题，解

题关键是精确运用直线和圆的特定方程求解.

12.在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为p=4sin8,pcos

（9--）=272-

4

（I）求Cl与C2交点的极坐标；

/3

x=tJ+a

（口）设P为Ci的圆心，Q为Ci与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为《bq（teR为参数），求a,b的

理t+1

值.

考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成一般方程.

专题：压轴题；直线与圆.

分析：（D先将圆Ci,直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最终化成极坐标即可；

（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0,2）,（1,3）,从而直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0,由参数方程

可得y=kx-生+1,从而构造关于a,b的方程组，解得a,b的值.

22

解答：解：（I）圆C1,直线C2的直角坐标方程分别为x2+（y-2）2=4,x+y-4=0,

解卜2+（y-2）2=4得卜=。或卜=2,

x+y-4=0〔尸4Iy=2

二.Ci与C2交点的极坐标为（4,（2点,2L）.

24

（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0,2）,（1,3）,

故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0,

由参数方程可得y='x-与+1,

解得a=-1,b=2.

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为一般方程的方法，方程思想的应用，属于基础题.

13.在直角坐标系xOy中，1是过定点P(4,2)且倾斜角为a的直线；在极坐标系(以坐标原点。为极点，以x轴非负半

轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为p=4cos。

(I)写出直线1的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；

(D)若曲线C与直线相交于不同的两点M、N,求|PM|+|PN|的取值范围.

解答：解：⑴直线1的参数方程为fx=4+tcosa(t为参数).

[y=2+tsina

曲线C的极坐标方程p=4cos6可化为p2=4pcos0.

把*=「8S0,y二psinB代入曲线C的极坐标方程可得x?+y2=4x,即(x-2)2+y2=4.

(11)把直线1的参数方程为1x=4+tc°sa(t为参数)代入圆的方程可得：t?+4(sina+cosa)t+4=0.

[尸2+tsinQ

•.•曲线C与直线相交于不同的两点M、N,

△=16(sina+cosa)2-16>0,

sinacosa>0,又aW[0,rt),

・•・a£(o,,

Xti+t2=-4(sina+cosa)>tit2=4.

TT

|PM|+|PN|=|ti|+|t2|=|ti+t2|=4|sina+cosa|=(Q+—)，

•••(o,4)，二“用e(4>耳)，

2444

sin(a+?)€>11,

，|PM|+|PN|的取值范围是(4,4V21.

点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题.

1

x=3+-^t

14.在直角坐标系xOy中，直线1的参数方程为｛j-(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，OC

\y2X

的极坐标方程为p=2«sin。.

(I)写出。C的直角坐标方程；

(II)P为直线1上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.

考点：点的极坐标和直角坐标的互化.

专题：坐标系和参数方程.

分析：<2_22

(I)由。C的极坐标方程为p=2丘in&化为p2=2\行Psin8,把，P=x+y代入即可得出；.

y=Psin©

(II)设P(3+1t,噂t)，又c(o,V3).利用两点之间的距离公式可得|PC|=C7i；,再利用二次函数的

性质即可得出._

解答：解：(I)由0c的极坐标方程为p=2日me.

：p2=2aPsin0,化为x2+y2=2^3y,

配方为x?+(y—a)2=3-

点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理实力

与计算实力，属于中档题.

15.己知曲线C1的极坐标方程为p=6cos。，曲线C2的极坐标方程为。=工（pCR）,曲线Ci,C2相交于A,B两点.

4

（I）把曲线Ci,C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（口）求弦AB的长度.

考点：简洁曲线的极坐标方程.

专题：计算题.

分析：（I）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用pcose=x,psine=y,p2=x2+y2,进行代换即得曲线C2及曲线Ci的直

角坐标方程.

（H）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3,0）到直线的距离，最终结合点到直线的距离公式弦AB的长度.

解答：解：（1）曲线C2：e」（pcR）

4

表示直线y=x,

曲线C1：p=6cos0,即p2=6pcos0

所以x2+y2=6x即（x-3）2+y2=9

（II）•.,圆心（3,0）到直线的距离d望!

r=3所以弦长AB=2^r2-

弦AB的长度3\f2-

点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本

方法，属于基础题.

16.在直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线1的极坐标方程为psin（。+工）=返，圆C的

42

x=~~^+rcos9

参数方程为（0为参数，r>0）

尸一率rsinS

（I）求圆心C的极坐标;

<n）当r为何值时，圆C上的点到直线1的最大距离为3.

考点:简洁曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系.

专题:计算题.

分析:（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线1的一般方程；利用同角三角函数的基本关系,

消去e可得曲线c的一般方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可.

（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线1的距离的最大值，最终列

出关于r的方程即可求出r值.

解答:

解：（1）由psin（0+—）得p（cos0+sin0）=1,直线I：x+y-1=0.

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—a

x--r-+rcoswT-j-

由<i-得c：圆心