高考数学数列难题训练题含答案解析5份

高考数学数列真题训练50题含答案

一、单选题

1.若数列｛乐｝满足=9,an_1+n=an+l（n22且neN*）,贝U臂的

最小值为（）

A.\B.-C.-D.|

2.在等比数列小｝中。<%<a8=i.则能使不等式a-部+@-J+…+（«n-

W）<o成立的正整数n的最大值为（）

A.13B.14C.15D.16

3.已知｛an｝满足an+1=an+2n,且的=32,则智的最小值为（）

A.8V2-1B.等C.挈D.1（）

4.已知Sn为数列｛时｝的前n项和，且即=1,即+1+以=3x2",则Si。。=（）

A.2100-3B.2100-2C.2101-3D.2101-2

5.函数/（%）=靖+acosx,xe（―zr,+oo）,下列说法不正确的是（）

A.当a=l时，/（%）无极值点

B.当a=-l时，/（%）存在唯一极小值点

C.对任意a>0,/（%）在工€（-兀，+8）上不存在极值点

D.存在a<0,/（%）在%€（-兀，+8）上有且只有一个零点

6.设数列｛a"的前n项和为S“，且2S"是6和an的等差中项.若对任意的n£

N*,都有3Sn-*C[s,t],则t-s的最小值为（）.

A.|B.C.1D.1

3426

7.已知在数列｛即｝中，的=3,ci2=6,且an+2=an+1-an,贝!Ja20i7=（）

A.3B.-3C.6D.—6

8.设Sn是等比数列｛an｝的前几项和，a”>0,若S6-2S3=5,则S9-S6的

最小值为（）

A.1B.1C.20D.与

424

a111

9.数列｛a九｝满足的=z，即+i=成一斯+1,nWN*,则三+以-------的整数部

X4乙1U乙乙

分是()

A.1B.2C.3D.4

x

10.已知函数/(x)=e-x-l,数列｛a"的前n项和为Sn,且满足%=④，

an+i=/(an)，则下列有关数列｛a"的叙述正确的是()

1

A、Q，2>4B.。6V。7

C.Si。。<26D.附>14a2—3ali

二、填空题

11.数列｛an｝满足斯+1=『"°彩听?，且即=与，则

(an一1(。九>1)/

a2017=•

12.在无穷等比数列｛%｝中，若lim(cti+a+•••+a)=1,则由的取值范围是_

nT82nO

13.化简：(lg2)2+lg2*lg5+lg5=.

14.已知数列｛an｝满足臼=1,o九+I=A^T，贝I的=.

23

15.设即(71=2,3,4,…)是(3-於)n的展开式中x的一次项的系数，则无+支+

a2a3

•••-j------=_________.

a18

16.若数列｛a0｝满足ai=2,a“+产簪(n6N*),则该数列的前2015项的乘积

aiea2,a3>...a2oi5=・

17.若三个非零实数：x(y-z)、y(z-x)、z(y-x)成等比数列，则其公比

q=・

18.等差数列｛a“的前n项和为Sn,a3+a8<0,Sn>0,当Sn取得最小值时，n=.

19.已知数列｛册｝中，Q1=1,Q九>0,前几项和为S〃.若斯=yfs^+Js九一1(716

1

N",n>2),则数列｛不W」｝的前曲项和为

Q〃Q什1

20.记数列(«„｝的前n项和为Sn,已知匣M±l=cos罢-Sin罢(ne/v*)，且

19

=

m+52oi9-1009,a^m>0,则底+而的最小值为.

21.在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列｛册｝,｛“J分别表

示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：an+1=2an+bn,bn+1=

an+2bn(n=l,2-),描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息

的初始信息强度满足的>打，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：

①VneN*,an>bn；

6N*,O.n+l>an>^n+1>^n:

③北€N*,使得当n>k时，总有|耨-

®3keNf,使得当n>k时，总有|2*-2|<1()T°.

an

其中，所有正确结论的序号是

22.数列为｝是公比为q(q*1)的等比数列，S,为其前n项和.已知由•CI3=16年=12,

给出下列四个结论：

①q<0;

②若存在m使得的,。2，…，火”的乘积最大，则小的一个可能值是3；

③若存在小使得a-a2,/a„t的乘积最大，则小的一个可能值是4；

④若存在m使得的，«2,的乘积最小，则m的值只能是2.

其中所有正确结论的序号是.

2

23.设数列｛时｝的前n项和为S”，且臼=1,Sn=(2n-n)an(n€N*),贝lj

S2020=•

24.已知数列｛a。｝中，ai=l且a»产a“+2n+l,设数列｛、｝满足b产a”-1,对任意正整数n

111

不等式上+亩+…+由<m均成立，则实数m的取值范围

为.

25.已知数列｛。九｝与｛“｝满足册+1=3cin,bn=bn+1-1,坛=%=3,若

(2A-l)an>366n,对一切nCN*恒成立，则实数A的取值范围

是.

26.数列｛%｝为1,1,2,1,1,3,1,1,1,1,4,…,前n项和为Sn,且数列｛册｝的

构造规律如下：首先给出%=1,接若复制前面为1的项，再添加1的后继数为2,于

是。2=1，a3=2,然后复制前面所有为1的项，1,1,再添加2的后继数为3,于是

a4=1,a5=1,a6=3.接下来再复制前面所有为1的项，1,1,1,1,再添加3的

后继数为4....如此继续.现有下列判断：

①。3。=6；②S30=40；

③。1034=11；④$2022=2077.

其中所有正确结论的序号为.

n

27.已知数歹!J｛aQ满足ai=l,an+i+(-l)an=2n,其前n项和为Sn,则裟整=.

22a

28.已知首项为1的数列｛&(｝各项均为正数，且nan+1—(n+l)an=ann+i对

2

任意正整数n恒成立，若满足不等式a2_2an<t-2t的正整数n有且只有两个，

则实数t的取值范围为.

29.已知函数/㈤=3%+与—6,函数9(久)=电吐1一小，若对任意修[1,2],存在

XX

X2e[J,e],使得/(Xi)<g(%2)，则实数m的取值范围为.

30.已知直线y=a与函数f(x)=x3-3x.当a=-2时，直线y=a与函数y=f(x)的图象的交点个

数为；若直线y=a与函数y=f(x)的图象有相异的三个公共点，则a的取值范

围是.

三、解答题

31.在数列｛即｝,｛“｝中，a1=b1=l,｛%｝为各项均为正数的等比数列，且其前三项

和为《，｛M匕｝为等差数列，且其前三项和为9.

住

(1)求｛%｝,｛g｝的通项公式;

(2)求｛八｝的前n项和7n.

n

32.已知数列｛an｝的前n项和为Sn,bn-an=2+l,且2Sn=/一n.

(1)求数列｛3｝的通项公式；

(2)求数列｛。2九+与九｝的前n项和T".

33.等差数列｛%｝和等比数列出"满足小=/=1,=14,b2b4=a6,且九>0.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)已知：①勾<1000；②加€N+，使设S为数列｛b｝中同时满足条

件①和②的所有的项的和，求S的值.

34.已知数列｛an｝满足：+a2+a3-I--•-+an=n-an,(n=1,2,3,...).

(1)求证：数列｛即-1｝是等比数列;

（2）令b九二（2—n）（an—l）（n=1/2,3,...）,如果对任意n6/V*,都有bn+

it<t2,求实数t的取值范围.

35.已知数列｛aj的前n项和为Sn,且ai=2,an+i=Sn+2,n^N*.

求数列｛an｝的通项公式；

36.已知正项数列｛a九｝满足«i=1,an_i-an=0n0n>2）,等比数列｛bn｝满

足：药=b],人2—既二。8•

（1）证明数列｛2｝是等差数列，并求数列｛即｝,｛%｝的通项公式；

（2）设7n=削+卢+…+》，求2,•

anan-lal

37.等差数列｛%｝（71eN*）中，％,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某

一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行582

第二行4312

第三行1669

（1）请选择一个可能的｛的,a2，a3｝组合，并求数列｛a"的通项公式；

（2）记（1）中您选择的｛an｝的前n项和为Sn,判断是否存在正整数k,使

得的，ak,Sk+2成等比数列，若有，请求出k的值；若没有，请说明理由.

38.已知数列｛a“的前n项和为S”，且m=1+Sn对一切正整数n恒成立.

（1）试求当ai为何值时，数列｛a“是等比数列，并求出它的通项公式；

（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列口g警｝的前n项和Tn取得最大值.

Qn

39.已知在各项均为正数的等差数列｛4｝中，a?+a3+a4=21,且a2-1"3+l-a4+a3

构成等比数列｛m｝的前三项.

（1）求数列｛%｝,｛%｝的通项公式；

（2）设Cn=a“bn，求数列｛7｝的前几项和S”.

40.已知｛即｝为等差数列，｛%｝为等比数列，｛%｝的前71项和Sn=3-2n-3,即=比，

+a16=外.

（1）求数列5｝,｛砥｝的通项公式;

(2)记扇=驾>，求数列｛0｝的前71项和7”.

41.对于数列｛。九｝,记=\o,2—011+|。3-^21+…+|。九一火1-11(九>1，HGN").

(1)若数列｛5｝通项公式为：0n=l±^l£(n€N*)，求U(5)；

(2)若数列｛。九｝满足：⑥=a,an=b,且a>b,求证：1/(几)=Q-b的充分必要

条件是。计1W见。=1,2,…，71—1)；

(3)已知P(2022)=2022,若无="(%+4---Fat),t=1,2,…，2022.求

仅2~yi\+仅3一+…+仅2022一〉20211的最大值・

42.已知函数f(x)=2sinxcosx—2V3cos2x+V3.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

(2)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=7,若锐角

A满足/(红卷)=b,且sinB+sinC=,求△ABC的面积.

43.已知数列Q｝中，装，an+1=2^(neN*).

(1)求证：数列｛富1｝是等差数列，并求数列｛时｝的通项公式；

(2)设bn+czn=1(九GN),Sn=bib2+b2b3+…+bnbn^,试比较ctn与8Sn

的大小.

44.已知数列｛Q九｝,其前n项和为Sn,满足臼=2,Sn=筋。九+〃册_1,其中

n>2,nWN*,A,

(1)若2=0,〃=4,bn=an+1-2an(nWN*),求数列｛g｝的前n项

和；

(2)若。2=3,且4+〃=方，求证：数列｛册｝是等差数列.

45.已知数列｛。„｝各项均为正数，且为=4,a"1+2an+1an—4an+1=3成+12an-

(1)求｛。几｝的通项公式；

(2)记数列｛彳)一｝的前n项和为％,求S”的取值范围.

anan+2

46.已知函数/(x)=x2-2ax+5(Q>1).

(1)若/(x)的定义域和值域均是[La],求实数Q的值;

(2)若/(x)在区间(一8,2]上是减函数，且对任意的xe[l,a+1],都有

/(x)<0,求实数a的取值范围；

X

(3)若g(x)=2+log2(x+1)，且对任意的xe[0,1],都存在x0E[0,1],

使得/Qo)=g(X)成立，求实数a的取值范围.

47.若各项均为正数的数列｛斯｝的前〃项和sn满足“+1=2S“+n+2(716N*),

且a3+a5=10.

(1)判断数列｛a“｝是否为等差数列？并说明理由；

(2)求数列｛每1的通项公式；

n

(3)若bn=2an,求数列｛%｝的前n项和T..

48.已知函数/(%)对任意实数m、n都满足等式/(m-n)+f(m+n)=/(2m),当％>0

时，/(x)<0,月/(2)=-4.

(1)判断/(无)的奇偶性;

(2)判断/(%)的单调性，求/(%)在区间[-3,5]上的最大值；

(3)是否存在实数a,对于任意的[-1,1]，使得不等式/(x)<a2—

2ab+2恒成立.若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

49.数列｛a/,｛bn｝满足下列条件：®ai<0,仇>0；②当k>2时，/，瓦

满足：依-1+公-120时‘ak=ak-l>氏=。之二，九二1;Ofc-1+bfc-1<0时，

bk=b/c-i>ak=a.k二I：%二1.

(1)若的=-1,玩=1,求&2，&3，&4和b2,b3,b4的值，并猜想数列｛%-册｝

可能的通项公式(不需证明)；

(2)若的=-1,bA=2019,n是满足/>电>久>…〉勾522)的最

大整数，求n的值.

50.已知等差数列的前n项和为S”，。3=7,S3=5al.

⑴求｛an｝的通项公式；

(2)设数列口+4｝的前n项和为Tn,用符号[刈表示不超过x的最大数，当

[邛+庄]+•••+["]=52时，求n的值.

答案解析部分

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】C

1L【答案】芋

12.【答案】（0,|）U,|）

13.【答案】1

14.【答案】1

15.【答案】17

16.【答案】3

17.【答案】学

18.【答案】5

19.【答案】||

20.【答案】16

21.【答案】①②③

22.【答案】①②③

23.【答案】瑞翳

24.【答案】［/+8）

25•【答案】（||,+00）

26.【答案】②③④

27.【答案】1009

28.【答案】(-1,0]U[2,3)

7

29.【答案】(一8,留

30.【答案】2；(-2,2)

31•【答案】(1)解：设等比数列｛3｝的公比为q(q>。)，

因为数列也｝的前三项和为京所以必+b2+b3=：=l+q+q2=：=q=；,

或q=—^<0舍去，所以%=($"T，

设等差数列｛M匕｝的公差为d,因为｛。君工前三项和为9,

所以有。1瓦+Q2b2+。3b3=9=l+l+d+l+2d=9=d=2,

所以即"=1+(n-1)-2=2n-1,因为“=

所以厮=(2n-l)-2n-1;

n-1

(2)解：由⑴可知:an=(2n-l)-2,

所以=1+3-2+5-22+7•23+-+(2n-1)-2n-1(l),

27^=1-2+3-224-5-234-7-244--+(2n-1)-2n(2),

(1)-(2),得一2=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)-2n,

=一〃=1+2.2(17；1)_(2n-1).2%所以Tn=(2n-3)-2"+3.

32•【答案】(1)解：•.♦25日=於一般，.••511=三2，

=Si=0,

当几32时，an=Sn-Sn_i=n-1,又即=0也满足，故an=n-1.

n

又勾—%=2"+1,Abn=2+n

(2)解：•Q2n+b2n=2九-1+22"+2/i=4H—1+4",

.F=晔也+隼%n(2…+学•

33.【答案】(1)解：由等差数列｛%｝和等比数列｛“｝满足%=比=1,a2+a4=14,

b2b4=@6，且b九>°，

设｛册｝的公差为d,｛九｝的公比为q,

可得'将代入，解得『二2)由小>°，则取q=2,

n

故0n二3九-2,bn=2~;

rl

(2)解：由%二2"1,bn<1000,令21000，

由于必o=2。=512,=210=1024，故九一149,即几410,

3mE/V+,使0nl=%,故令3zn-2=2九一1,

则=2“-1+2,由于血，n€N*，

3

故可以看出当n=l,3,5,7,9时，7n=2n；+2成立,

故S=Z)i+无+生++d=1+4+16+64+256=341.

34.【答案】(1)证明：由题可知：的+4+。3+…+=九—，(D>%+。2+

03---1-an+l=九+1一册+1，②

(J)・②可得2an+i-an=1,即：册+i-1=；(61九~1),乂的一1二—；,

所以数列｛册-1｝是以-义为首项，以I为公比的等比数列；

(2)解：由(1)可得斯=1—(今"，••.既=(2-2(即-1)=蒙，

n+l—2n—23—TL

由bn+l-bn=苫甲---尹-=声I>0可得n<3,由bn+1-bn<0可得n>

2，2

3,

所以b]Vb2Vb3=b4,b4>>bn>•••,故bn有最大值b3=h4=i，

111

有

9N*都

+-<c^nG-<--

n4-8-4

成立，

所以t2-1t-1>0，解得t>|或tw—，所以实数t的范围是(一8,-i]u

1

[2'+8)•

35.【答案】解：Van+i=Sn+2,neN*.

••当n^2时，an=Sn-1+2,可得an+i-an=an,化为an+i=2an.

又a2=ai+2,满足a2=2ai,

数列｛an｝是等比数列，首项为2,公比为2.

n

，an=2.

36•【答案】（1）证明：,.•｛即｝各项为正，且an-i-an=anan_1（n>2）,

11

••年一占=l（n22）.

anan-1

...｛a｝是公差d=1，首项1的等差数列.

,*=n，则与4'

2

设等比数列｛&｝的公比为q,则比=4,b2-b3=bAq-q）=l-

故q_q2=1解得q另，故"=%q"T=去

⑵解：7n=*+占+…+号+^+…+方•①

2"=n+?+旨+…+•②

2

②一①：rn=n-（1+^+^+-++^）=n-i_f=n-1+

37•【答案】（1）解：由题意可知：有两种组合满足条件：

①的=8,a2=12,a3=16,此时等差数列｛aj,%=8,d=4,

所以其通项公式为an=4n+4.

②的=2,a2=4,a3=6,此时等差数列｛%｝,%=2,d=2,

所以其通项公式为On=2n.

2

（2）解：若选择①，Sn=2n+6n.

22

则Sk+2=2（k+2）+6（k4-2）=2k+14k+20.

2

若的,ak,Sk+2成等比数列，则ak=at-Sk+2，

即（4k+4）2=8（2/+14k+20）,整理，得廿+2k+1=廿+7k+10,即5k=

—9,

此方程无正整数解，故不存在正整数k,使内,ak,Sk+2成等比数列.

2

若选则②，Sn=n+n,

则Sk+2=（k+2）2+（k+2）=必+5k+6,

若巴,ak,Sk+2成等比数列，则ak2=a「Sk+2，

即（2k）2=2（公+5k+6），整理得/c2-5/c-6=0，因为k为正整数，所以k=6.

故存在正整数k=6,使%,ak,Sk+2成等比数列.

38.【答案】（1）解：由an+i=l+Sn得:当吟2时，an=l+Sn-B两式相减得:an+i=2anj

♦.•数列｛an｝是等比数列，，a2=2ai,

又,.•a2=l+Si=l+ai,解得：ai=l.

n-1

得：an=2

(2)解：均4嘿00=①400端，可知数列｛ig4喑00｝是一个递减数歹U,

xx

UJI2"2"

・7400、7400、,400、、,400、、,400、

•处>s/>ig3>°n>ig干〉…

由此可知当n=9时,数列。。誓｝的前项和Tn取最大值

39.【答案】(1)解:因为数列｛&J为各项均为正数的等差数列,

所以。2+。3+。4=3a3=21,

即得=7,

设公差为d,则有a2—1=&3-d—1=6—d,(13+1=8,

。4+。3=。3+d+。3=14+d,

又因为。2-1，。3+1，。4+。3构成等比数列｛%｝的前三项，

2

所以Q+I)=(a2—1)•Q+。3)，即64=(6—4)(14+d),

解得d=2或d=-10(舍去)，

_

所以cii=a32d=7—4=3,

所以数列｛an｝是以3为首项，2为公差的等差数列，

故得a”=2n+1,

由题意得，比=a2—1=4,£»2=+1=8,

所以数列｛%｝是以4为首项，2为公比的等比数列，

故既=4・2吁1=2n+1

n+1

(2)解:设q=anbn=(2n+1)-2»

则S”=3-224-5-23+7•24+•••+(2n-1)-2n+(2n+1)-2n+1®.

在上式两边同时乘以2得，

34n+1n+2

2Sn=3-2+5•2+…+(2n-1)-2+(2n+1)-2,(2),

①-②得，

234n+2

-Sn=3-2+2(2+2+…+2。+1)-(2n+1)-2,

=-4+(1-2n)-2n+2,

所以Sn=(2n—l)-2n+2+4

40.【答案】⑴解:设｛an｝的公差为d,｛既｝的公比为q,

由已知可得比=3,b2=S2-S1=9—3=6,则q=*=2,

即勾=biqnT=3x271T=3•271T.

•a1=bi,・・=3,

又•:a74-a16=65=48,

/.a7+a16=2al4-21d—6+21d=48,解得d=2,即册=3+2（n—1）=2n+1.

（2）解：由（1）知。=爷N=^^1，

令7n=|（1+|+/+…+*>/f）①,

①式两边同乘号得：打n=|8+*+W_1--卜+令）②,

错位相减得:7\=|（1+,+也+今+“,+一袋）=WK4）一袋］

则Tn=g（2一第.

71

41•【答案】（1）解：由通项公式册=1+（］）（九GN*）得：即=0,4=L。3=。，

。4=1,。5=0.

所以，（5）=\0,2—+|。3—+1。4—+1。5—^4I=1+1+1+1=4

（2）证明：充分性：若数列｛Qn｝的前n项单调不增，即时W…工做工的.

此时有：V（n）=\ai+l~ai\=（。1-a2）+（。2—。3）+（。3—。4）T---卜（fin-l-

an）=Q］_Q九=Q_b.

必要性:用反证法.若数列｛Q九｝不满足a+1工a（£=1,2,…,九一1）,则存在k（iw

k<n-l）,使得的+i>akf那么1/（九）=R+i-=2仁f\ai+1-at\+\ak+1-

ak\+Yd=k+1\ai+l~ai\

aa

>\ak-ar\+（afc+1-aQ+\n-k+i\

\\an一Qi+以一Q/c+11+（以+1—Qk）

>\a-b+ak+1-ak\+（ak+1-ak）

由于。攵+1>幺，a>b,所以|a-b+以+i-以I+（以+i—以）>a—b.与已知P何）=

a-b矛盾

所以，假设不成立，必要性得证.

综上所述：V(n)=a-b的充分必要条件是q+iWa/i=1,2,•••,n-1)

(3)解：由儿=]+U-2+…+a。，t=1,2,…，2022,令%=+。2+…

+cik),k=1,2,…，2021>则九+i='+](幻+0-2+%+1).

所以

1

\yk+i-yk\I-(a2-al)-2(a3-a2)---------k(ak+l-afc)l

k(k+l)

1

Wk(k+])(出-aj+21cl3-a2\+"■+k\ak+i-afcl)

11

a

=与一1+-il+21a3-a2\+•••+k\ak+1-ak|)

所以1丫2-yil+"3-yzl+…+仅2022一丫20211=Sk=VWk+l~7/cI

111

w(1-2升。2-a/+(2-o)(la2-ail+21a3-a2l)+

11

■+(2021~2022■)(102-all+21a3-al\T------卜2021—2022-a2021l)

111

ail+xFX2022-a2il-01

=|a2-221a3-a2|H------2Q2120211a202022(出一1

4-2|a3-a2|d------1-2O21|a2o22一«202il)

<2022-2^22|2022|=2021.

aaaaa

(因为佃2—Oil+21a3—a2\+----卜2021|a2O22-2021l-\2~ll+l3-2\+----F

la2022—a20211=2022)

当且仅当|。2—a/=2022,。2==…=。2022=0时，仅2—yj+仅3—42|+…

+仅2022一丫2。211取得最大值2021.

42.【答案】(1)解：f(x)=2sinxcosx—2V3cos2x+V3=sin2x—V3cos2x=2sin(2x

-三)

3)9

因此f(x)的最小正周期为T=竽=兀

由2k兀一£<2x—今<2kn+*(keZ)得k?r—金<x<k?r+招,kGZ,

即f(x)的单调递增区间为曲一令，k兀+驾](kGZ).

(2)解:由f(红看)=2sin[2(.+J]=2sinA=V3,又A为锐角，则A=

TC

3，

由正弦定理可得2R=薪=.=居，sinB+sinC=舞=喈，

则6+。=骞•孕=13,由余弦定理可知，cosA=庐+02_。2=(6+靖一2瓦一。2

14行2bc2bc

_1

一2'

可求得bc=40,再由SAABC=^bcsinC，得SAABC=10V3.

43.【答案】⑴解：•.&，*1=另-(n€N*),

1=-4]=]_2_.几=]_1口口11《

••・向一1-S九+1—1一-Qn-l一Q九一1，即时+「「京T・

...匕当｝是首项为一4,公差为一1的等差数列.

从而_1=_n_3=斯=1一急

(2)解：•.”“+%=l(n€N*),由(1)知的=1一缶.

Abn=^+3>bkbM=k+3~k+4(卜=123,

・$=*2+b2b3+-+bnbn+1=-1)+(1-1)+(1-7)+…+(+-亳)=

11

厂市，

?

而8Sn-an=8(1-+)一(1一+)=(n+3)(n+4)'

...当n=1,2时'有(n&(*4)<。氏<an;

n2_o

当nN3时’有(n+3)(n+4)>°'8Sn>an

44.【答案】(1)解：Sn=4册_1,所以Sn+1=4an.两式相减得Sn+1-Sn=4an-

4%i—i•

即an+1=4an-40nt

所以Qn+1-20n=2(an-2an_D,即刈=241T,

又S2=4al=8,所以做=$2—%=6,得比=勾—2al=2

n

因此数列｛匕｝为以2为首项，2为公比的等比数列.bn=2,前n项和为2"1-2

(2)证明：当n=2时，$2=2入。2+，所以3+2=64+2〃.又2+〃=微，

可以解得2=3，4=1所以an-t,Sn+i=^^册+1+Q…两式相减

得%+1=、彳1Qn+1—1斯+斯-Q九_1即n2^an+l=~2~an+an-l,猜想。九=九十

1，下面用数学归纳法证明：①当n=l或2时，%=2=1+1,做=3=2+1,

猜想成立；(2)假设当n<k(kEN*,k>2)时'ak=k+1成立则当n=k+1

时，tt/c+i—(-2~ak+a/c-i)—(~2~(fc+1)+fc)=fc+2猜想成乂・

由①、②可知，对任意正整数n,an=n+l.

所以an+1-an=l为常数，所以数列｛%J是等差数列.

45.【答案】(1)解：因为成+i+2an+1an-40n+i=3欣+12an,

2aa

所以成+i+n+in-3a2=4an+1+12an

所以(a九+i—。九)(。九+1+3an)=4(an+］+3M)，

因为各项均为正数,即+i+3an>0,

所以即+i—Qn=4,

所以数列｛an｝是首项为4,公差为4的等差数列，

an=4+(九—1)x4=4几,

所以数列｛册｝的通项公式为即=4n(nGN*).

(2)解：因为品=47i(nWN*)

1_1__l_11、

r"rp^lanCln+2-4nx4(n+2)-16yn(n+2)~32mn+2)'

川k_1n1.11、

WJSn=32(l-5+2-4+3-5+-+^-ra+--^)

1111

=32(1+2-^+l-^+2)

3111

二的_亦帝+用》

因为?16N*,故n一+1H九+2>0»

所以Sn<又a九>0,所以SnNSi=焉,

所以5„的取值范围为点给.

46.【答案】(1)解：：/(x)=x2-2ax+5=(x-a)2+(5-a2)

.,./(%)在(-co,a］上单调递减，又a>1,.../(%)在［La］上单调递减，

.(/⑴—a•(1—2a+5=a-_o4

••1(a)=「F-2a2+5=l'n/4

(2)解：•.•/(%)在区间(一8,2]上是减函数，...(-8,2]C(-00,a],：.a>2

11—a\>|(a+1)-a|,f(1)>/(a+1)

.,.xe[La+1]时，/(x)max=/(l),

又•.•对任意的xe[1,a+1],都有f(x)<0,

/./(I)<0,即1-2a4-5<0,也就是a23

综上可知a238

X

(3)=2+log2(x+l)在[0,1]上递增,/(x)在[0,1]上递减，

当％e[0,1]时,g(x)e[1,3],f(x)e[6-2a,5]

•.•对任意的xG[0,1],都存在x0e[0,1],使得/(的)=9(乃成立

.,.[1,3]£[6-2a,5]

6—2a<1,所以aN,

47.【答案】(1)解：因为W+i=2Sn+n+2，当nN2时，冠=ZS-i+(n-1)+2,

2

两式相减得W+i—成=2an+1,即a"1=碎+2an+1=(a„+l).

因为a">0，所以a4+i=cin+1,即%1+1-=1•

所以，当n22时，｛an｝是公差d=1的等差数列.

因为a3+a5=10,所以a4=5,所以a2=3.

当n=1时、«2=2«i+1+2,所以刈=3.

因为。2—=0于1，

所以数列不是等差数列.

(2)解：由(1)知：数列｛时｝从第二项开始是等差数列，当7122时，斯=71+1,

Q77=1

所以数列｛时｝的通项公式册="'

九+1,n>2.

n6,n

(3)解：bn=2dn=i

((n+l)2n,n>2.

23n-1n

当n之2时，rn=6+3-2+4-2+-+n-2+(n+1)-2,①

27^=12+3-23+4-24+•••4-n-2n+(n+1)-2n+1,(2)

34n+1

②-①，WTn=-6-(2+2+•••+2")+(n+1)-2

nn+1

=(n+1)-2+i/七言2)-6=n•2+2•

n+1

当n=l时，Ti=6,满足上式，所以Tn=n-2+2.

48.【答案】(1)解：取m=n=0,则/(0)=2f(0),

.,./(0)=0,

取m=0,n=x,则f(x)+/(—x)=f(0)=0,

/./(-x)=—f(x)对任意xGR恒成立，

.../(%)为奇函数；

(2)解：任取41，x2e(-00,+8)且久2<%1，则％1-久2>0，

因为/(m-n)+f(m+n)=/(2m),故/(2m)-f(m+n)=f(m—n),

令m=,,n=%2一斗，则有/QL)-f(¥+*2-?)=f(乎-"2+争)'

即fOi)-/(x2)=/(%i-x2),

Vx>。时，/(x)<0,

故-x2>0时，f(xx—x2)<0,

'-f(%2)<

故f(x)为R上的减函数.

•••xG［-3,5］./(x)</(-3),

Vf(m—n)+f(m+n)=/(2m),/(2)=—4,

令6=1,n=0，则/'(1)+/(1)=/(2)=-4,故f(l)=-2,

因为

令m=l,n=2，则f(l-2)+/(l+2)=/(2),即f(—1)+”3)=/(2)=-4,

由(1)知：f(x)为奇函数,故/(-I)=一/(1)=2,

故2+f(3)=—4,解得：〃3)=-6,

故f(-3)=-/(3)=6,

故/'(X)在［一3,5］上的最大值为6；

(3)解：•••/(%)在［一1,1］上是减函数,

/./(%)</(-1)=-/(1)=2,

V/(x)<a2-lab4-2,对所有％W[-1,1],bG[—1,1]恒成立.

：.a2-2ab+2>2,VbG[-1,1]恒成立；

即a?-2ab>0,\fb6[-1,1]恒成立，

令。㈤…则喘）即｛驾痘。°,

解得：a>2或Q<-2.

・•・实数a的取值范围为(—8,-2)U(2,+8).

49.【答案】(1)解：的=-1,比=1,故%+/=0,

，均=-1，b?=—=。，。2+力2=-1V0，

%=82=0，的=i=—^<0,

・•・力4=b3=0，04=