高中数学 第03讲 函数性质选择填空压轴题

第三讲函数的性质选择填空压轴题专练

A组

一、选择题

1.(2016年山东卷)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，/(x)=/—1；当-14%41

时，/(-X)=-/(%)；当X〉g时，〃X+；)=/(X-g)，则/(6)=()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】D

【解析】当TWxWl时，/(x)为奇函数，且当x>g时，/(%+1)=/(%),

所以)(6)=/(5xl+l)=/(I).而/(I)=-/(-I)=_[(-1)3_1]=2,所以/(6)=2,

故选D.

2.已知函数/(%)是定义在R上的偶函数，且在区间10,+oo)单调递增.若实数a满足

/(log2a)+/(log।a)<2/(1),则a的取值范围是

2

(A)[1,2](B)(0』,(C)「±2](D)(0,2]

I2」12」

【答案】C

【解析】因为函数/(x)是定义在R上的偶函数，且log〕a=-log2〃,

2

所以/(log2a)+/(logIa)=/(log,a)+/(-log2a)=2/(log2a)<2/(1),即

2

/(log2<?)</(1),

因为函数在区间[0,+oo)单调递增，所以/(|bg24)4/(l),即Mg2《41,

所以—14log,“41,解得彳4442,

即a的取值范围是口？],选C.

_2_

3.(2017年山东卷理)已知当时，函数丁=(皿一的图象与的

图象有且只有一个交点，则正实数所的取值范围是()

A(0,l]U[动，问B.(°』U区同

C(。词U[2在词口(O,0]U[3,同

【答案】B

【解析】当0<〃zWl时，—>1，y-(mx-1)2单调递减，且

y-(mx-1)2e[(/«-1)2,1],y=4+/〃单调递增，Ji=yfx+m&[m,1+m],此

1,1

时有且仅有一个交点；当加〉1时，0〈一<1,丁=(加无一1)2在[一,1]上单调递增，

mm

所以要有且仅有一个交点，需(/〃-1尸N1+，〃=>/〃23选B.

4.已知函数/(x)=x+sinx(xeR),且/(：/—2y+3)+/(f—4x+l)<0,则当

yNl时，上的取值范围是()

£3

454

C.[1,372-3]一,4-00

3

【答案】A

【解析】

由于/(一力=-/(%),所以函数为奇函数,f(x)=l—cosx20为增函数.由

/(y2-2y+3)+/(x2-4%+l)<0

/(y2-2y+3)<-/(x2-4x+1)=/(-x2+4x-1),根据函数的单调性，有

y2-2y+3<-x2+4x-l,BP(x-2)2+(y-l)2<1,由于yNl故点(x,y)表示的是

圆心为(2,1)半径为1的圆的上半部分，包括圆内.七的几何意义是(x,y),(T,0)两

点连线的斜率的取值范围，画出图像如下图所示，由图可知，斜率的最小值为&。=；,

斜率的最大值为心「由于3B=；，NC/5=2N84X,利用二倍角的正切值得

试卷第2页，总24页

5.已知/(x)满足对WxwR,/(-x)+/(x)=O,且x20时，,f(x)=e*+〃2(m

为常数)，则/(一ln5)的值为()

A.4B.-4C.6D.-6

【答案】B

【解析】

由题意“X)满足对VxeR,”—x)+〃x)=O,即函数/(x)为奇函数，由奇函数

的性质可得〃0)=/+加=0,；.川=—1则当xNO时,=•.•ln5>0故

/(-ln5)=-/(ln5)=-(eln5-l)=-4,选B

6.已知函数/(x)=5x+sinx(xwR)，且/(第2—4x)+/(y2+3)40,则当y>0时,

上+土的取值范围是()

【答案】C

【解析】

由函数/(x)=5x+sinx(XG/?)则

/(-x)=-5x+sin(-x)=-[5x+sinx]=-f(x),所以函数为奇函数，所以不等式可

转化为/(%2-4*〈一/卜2+3)=/[-(/+3)]；又因为

/'(x)=5+cosx>0,所以函数/(x)为单调递增函数，所以可得/一4%<一。2+3)

nx2+y2—4x+3<0,又y>0,所以表示圆心在(2,0),半径为1的上半圆.设f=2,

X

则可得

r=^e［0,—J,则y=»+土=/+1在区间立］上为单调递减函数，则当

x3xy3

r=时，y=迪，所以2+土的取值范围是迪,+8］，故选C.

33xyL3,

______/_a2\

7.设函数/(x)=V+ln(J?W+x)且/泊3则实数a的

取值范围为()

A.(3,+<x>)B.(6,+oo)

C.出,3)D.(0,啊U(3,+8)

【答案】C

【解析】

由函数f(x)=x3+in^\Jx2+\+xj,令x=-l,则

(_O2\

3

/(-1)=(-1)+ln(V2-1)=ln(V2-1)-1,所以/"丁"-ln(V2-1)<-1,即

\a-3J

,/j^^|y^<ln(V2-l)-l,即]</(-1)，又函数

/(力=丁+片(&71+»为单调递增函数，所以、;工；<—1,解得g<a<3,

故选C.

-X2+X,X<1

7

8.已知函数/(x)=嚏尸，x〉l若对任意的xwR,不等式〃x)W2根2—丁及恒

.3

成立，则实数加的取值范围是()

A.(-°o,--]B.(-00,--]0[1,+00)

OO

C.[l,+oo)D.,1]

o

【答案】B

【解析】

-X2+再xK1111

对于函数/(%)=<log,x,x〉l，当XW1时，/8=《-7+/"当》>1时，

3

试卷第4页，总24页

17

/(x)=log1x<0,则函数/(x)的最大值为一，则要使不等式/一」机恒

344

711

成立，则2>——m>—,解得“ze(-oo,--]U[l,4-oo),故选B.

448

9.已知函数是定义在R上的单调函数，且对任意的都有

/(x+y)=/(x)+/(y),若动点尸(x,y)满足等式

/(x2+2x+2)+/(2y2+8y+3)=0,则x+y的最大值为()

A.V6+3B.一3C.V6-3D.3

【答案】C

【解析】

因为对任意的x,yeR都有/(x+y)=/(x)+/(>'),令x=y=0,

・・・/(o)=/(o)+/(o),・・・/(0)=0.令y=T,Ay(O)=/(x)+/(-x)=O,

:./(-%)=—f(x),该函数为奇函数.***f(x2+2x+2)+/(2y2+8y+3)=0.:.

/(x2+2x+2)=—/(29+8j+3)=/(-2y2-8j-3).丁是定义在R上的单调函

数.x2+2x+2=-2y2-8y-3,即x2+2x+2+2j+8y+3=0.整理,得

(x+1)2(y+2)2r-

---=1.令x=2cos0-l,y=V2sin0-2,/.

4-------2

x+y=2cos0-1+0sin6-2

—y/6sin(0+夕)-3,(x+Am、=V6-3,故选C.

x2-2Y>0

10.已知函数/(x)=\'的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，

-3\x+a|+a,x<0

则。的取值范围是()

1717

A.(--,-2)B•(一胃，-2]

oo

,17、八17、

c.r1,—D.1,—

1616

【答案】D

【解析】

x2—2,x>0…一一’.,一.

当。=-2时，函数/(x)=<，结合图象可知不存在三对点关于原点

—31x—2|—2,x<0

_2V*〉0

成中心对称，所以答案B不正确.当a=l时，函数/(x)=4一'，结合图

-3|x+l|+l,x<0

象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案C也不正确.当a=-2—时，函数

16

x2-2,x>0

/(%)=\11，结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,

-3|x-2—1-2—,x<0

I1616

所以答案A也不正确.故应选D.

11.已知定义在R上的函数y=/(x)满足下列三个条件

①对任意的xeH都有/(x+4)=/(力；

②对任意的04%<%42,都有"%)</(x2)；

③y=/(x+2)的图象关于y轴对称，则”4.5)J(6.5)J(7)的大小关系为()

A./(7)</(4.5)</(6.5)B./(4.5)</(6.5)</(7)

C./(6.5)</(7)</(4.5)D./(4.5)</(7)</(6.5)

【答案】D

【解析】

由题意可知函数是周期为4的周期函数，且关于直线x=2对称，因为

/(4.5)=/(0.5),/(7)=/(3)=/(1),/(6.5)=/(2.5)=/(1.5),且在区间上单调递

增,所以44.5)</(7)</(6.5),应选D.

12.函数“X)的图象关于y轴对称，且对任意xwR都有“x+3)=-/(x),若当

x噌，|)时,，㈤叫),则f(2017)」()

A.--B.-C,-4D.4

44

【答案】A

【解析】

因为函数〃x)对任意xeR都有/(x+3)=-/(x),所以/(x+6)=_/(x+3)=〃x),

函数/(x)是周期为6的函数，/(2017)=/(336x6+l)=/(l),由/(x+3)=-〃x)可

得/(-2+3)=-〃-2)=〃1),因为函数“X)的图象关于y轴对称，所以函数“X)是

偶函数，/(-2)=/(2)=^'=i,所以〃2017)=〃1)=一〃-2)=-(,故选A.

13.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数

1X为有理数

/(幻=<',J'称为狄利克雷函数，则关于函数/(X)有以下四个命题：

0,x为无理数

试卷第6页，总24页

①/(/(x))=l；

②函数f(x)是偶函数；

③任意一个非零有理数T,f(x+T)=f(x)对任意xGR恒成立；

④存在三个点8(々,/(/))，C(x3,/U3)),使得AABC为等边三角

形.

其中真命题的个数是()

A.4B.3C.2I).1

【答案】A

【解析】

由/⑶是有理数n/(/(x))=l,故命题①正确；易得/(—x)=/(x)n/(x)是偶

函数，故②正确；易得/(x+T)=/(x)是偶函数，故③正确；取

A(l—日,O),5(1,1),C(1+*,O),可得A4BC为等边三角形，故④正确，综上真命

题的个数有4个.

二、填空题

14.(2018北京高考)能说明“若/(x)>/(0)对任意的xG(0,2］都成立,则/(x)

在［0,2］上是增函数”为假命题的一个函数是.

【答案】y=sinx(答案不唯一)

【解析】令)(“=匕Ke］，贝厅(x)>f(o)对.任意的xe(0,2］都成立，

4—x,xG(0,2］

但“X)在［0,2］上不是增函数.

又如，令/(x)=sinx,则“0)=0,f(x)>“0)对任意的x«0,2］都成立,

但/(x)在［0,2］上不是增函数.

%

15.函数“X)=%3-12x+3,g(x)=3-m,若对3x2G［0,2］,

/(x,)>g(x2),则实数加的最小值是.

【答案】41

【解析】

/(X)=X2_12X+3=(X—6)2—33,对称轴x=6,在区间［-1,5］递减，

/a)min=/(5)=-32,/(x)max=/(-1)=16,g(x)=3'-根是增函数,

g(Mmax=l-加，g(x)min=9-M,，只需/(x)min>g(x)min即可,解得：机>41,

故答案为：41.

16.已知函数/(x)=2+痴X,则

/H)+/(-3)+/(-2)+/(-l)+/(O)+/(l)+/(2)+/(3)+/(4)的值

是.

【答案】9

【解析】

22ex

因/(x)=x+sinx+-------,/(-%)=-sinx+-------,故

ex+11+e'

22ex

/(x)+/(-x)=^-+-—-=2,所以

e+11+e

/(-4)+/(-3)+/(-2)+/(-l)+/(0)+/(l)+/(2)+/(3)+/(4)

=2x4+l=9,应填9.

17.定义在(T,l)上的函数/(x)满足:f(x)-f(y)=f(AzZ),当xe(-l,O)时，有

\-xy

f(x)>0,且=1.设m=/&)+/(4)+…+~~-)〃22,〃eN*，

2511n+n-l

则实数m与一1的大小关系是.

【答案】m>-\

【解析】

V函数f(x)满足f(x)-f(y)=/(±2),令x=y=O得〃0)=0;令尤=0得

1-X),

-f(y)=/(-、)・

/(x)在(-1,1)为奇函数，单调减函数且在(-1,0)时，.f(x)>o，则在(0,1)时

/W<o.又宿)=-1，

11

/(—==/(“।〃+/)=/(3-/「)，

〃+〃一1n(n+1)-1n〃+1

nn+\

，"=冲+得)+…+八^^4［吗)…=/g)7(W)=T-/(W)>T

18.已知函数/(x)是周期为2的奇函数，当—IWxWO时，f(x)=x2+x,则

/(等)

【答案】-

4

【解析】

因为函数/(%)是周期为2的奇函数所以

试卷第8页，总24页

八警)=/(504x2+g)=吗)7(一+一,步+(一手〉；，即应填

三、解答题

19.已知函数/(x)=x2-2x-8,g(x)=2x~-4x-16

(1)求不等式g(x)v()的解集；

(2)若对一切x〉2,均有/(%)之(加+2)尢一根—15成立，求实数田的取值范围.

【解析】

(1)g(x)=2x?—4x-16<0,

・・・(2x+4)(x-4)<0,A-2<x<4,

・•・不等式g(x)<0的解集为{x|-2<x<4}.

(2)Vf(x)=X2-2X-8.当x>2时，f(x)2(m+2)x—m—15恒成立，

x2—2x—82(m+2)x—m—15,即x*—4x+72m(x—1).

x~—4x+7

对一切x>2,均有不等式^~成立.

x—1

r2-4r+74/,、4

而^―竺二＞=（x—1）+「一一2》2,（x—l）x---------2=2（当x=3时等号成立）.

x-1x-1Vx-1

实数m的取值范围是（-8,2],

B组

一、选择题

1.（2017年天津卷理）已知函数若关于x的不等式

/（x）斗'+可

2在R上恒成立，则a的取值范围是

意给C.42召,2]＞[一温急

【答案】A

f（x）＞RaY

-f(x)<-+a<f(x)

【解析】不等式2为2(*),

xx3

一炉x—34—卜aWX2-x+3一三4---3Wa<f—x+3

当xWl时，(*)式即为2,22

x=—

4时取等号）,

2八+3=（凸+7」

X

241616（4时取等号）,

47/39

----W。W—

所以1616,

2,1,23

—X——<—+6F<%+———X——<6?<—+—

当X>1时，(*)式为X2x,2x2x,

32,3°62百

——x——=-(—x+—)<-2\/3x=----

又2x2x(当3时取等号)，

x2、c[x_2_

—I—>2./—X—=2

2xN2x(当*=2时取等号)，

所以-2百KaK2,

~—<a<2

综上16.故选A.

2.(2016全国卷H)已知函数/(x)(xwR)满足/(-x)=2-〃x),若函数y=四与

X

y=/(x)图像的交点为(西，y),(x2,y2),■■■,(x,„,y,„),则Z(x,.+%)=()

/=1

A.0B.tnC.2mD.

【答案】B

【解析】由/(-x)=2-/(x)得/(—x)+/(x)=2,可知”x)关于(0,1)对称，

X+11

而丁=——=1+—也关于(0,1)对称，・

xx

对于每一组对称点七+x：=0%+y.=2,

nimm

；•2(%+)',)=2斗+2丫=0+2--=m,故选B.

/=1z=li=l2

3.若不等式/+2尤+42-y2—2y对任意实数x,y都成立，则实数a的取值范围

()

A.a>0B.a>lC.a>2D.a>3

【答案】C

【解析】

因为7+2%+42-丁—2y所以，(X+1)2+()，+1『22—a,要对任意实数x,y都

成立，

只需2—aWO,即。22,故选C.

4.已知函数/(x)=2016'+log2oi6(Z?W+x)—20167+2,则关于x的不等式

试卷第10页，总24页

/（3x+l）+.f（x）＞4的解集为（）

B.C.(0,

D.(-oo,0)

【答案】A

【解析】

/(3x+l)-2+/(x)-2>0,设

x2

F(x)=/(x)-2=2016'-2016-+log2016(Vx+l+xj,F(-x)=-F(x),所以

F(x)为奇函数，图像关于原点对称，要尸(3x+l)+E(x)>0,只需

3x+l+x>0,—.

4

5.已知函数/(x)=2x+sinx+ln(/?W+x),若不等式/伊一9')+-3卜。

对任意xeR均成立，则加的取值范围为()

A.(-oo,273-l)B.(-OO-2V3+1)

C.(-273+1,273-1)D.(-2V3+1.+OO)

【答案】A

【解析】

因为/(x)+〃-x)=0,(2x+sinx)r=2+cosx>0,ln(^?+1+,所

以函数/(尤)为R上单调递增的奇函数，从而/(3,一叫+/(〃，3-3)<°

of(3x-9x)<y(-/n-3'+3)o3*-9、<一、3*+3om<3*-1+1

y-\+—>2y---i^2y/3-1y=—

又3'V3'，当且仅当3、时取等号，所以，”的取值范

围为(-8,26-1),选A.

6已知

+Jj+La"(殍｝6=崂,c=_/(2—〃)，下

列结论正确的是()

A.h>a>cB.c>a>h

C.a>h>cD.c>b>a

【答案】B

【解析】

因函数y（-x）=-y（x），故函数/（X）是奇函数，且在（o,+8）单调递增，由于

万—2>1,1>--->，所以c>a>Z?,故应选B.

35

7.已知/(X)是定义在R上的增函数，函数y=/(x-l)的图象关于点(1,0)对称，若

对任意的等式/(y-3)+/(54%一/—3)=()恒成立,则上的取值范围是

X

()

A.[2-|V3,2+|V3]

B.[1,2+|V3]

C.[2-173,3]

D.[1,3]

【答案】C

【解析】

由于“函数y=/(x—1)的图象关于点(1,0)对称"，故/(力图象关于原点对称，为奇

函数，不妨设/(x)=x.根据/(y-3)+/(V4X-X2-3)=0,得

y—3+"x—3=0,y=3-14x—3,作图象如下图所示，故上最大值为3.

X

f(x)=，%eR,aW0)的定义域与值域都是[m,n](n>m)，则区间[祖,n\

a~x

取最大长度时实数a的值为()

A.B.-3C.1I).3

3

【答案】D

【解析】

设[〃?,〃]是已知函数定义域的子集.XH0,卜”,〃]三(-8,0)或卜72,〃k(0,+8),故函

试卷第12页，总24页

=m

数/'(x)=3—-L在［rn,n］上单调递增，则，J\/，故m,n是方程

aax[/(〃)=〃

———二=x的同号的相异实数根，即a2x2-(a2+。卜+1=0的同号的相异实数根,

aax

1

mn=w同号，只需△=/(。+3)(4-])>0,/.a>\或。<一3,

n-m取最大值为2叵.此时。=3,

3

故选：D.

9.已知函数/(x)(xeR)满足/(—x)=2—/(x),若函数y=出■与y=/(x)图像

X

的交点为(内,M),(々，当)，…，a,”，y,”)，则Z(七+%)=

1=1

(A)0(B)m(C)2m(D)4m

【答案】B

【解析】

r_l_11

由于“T)+/(X)=2,不妨设/(X)=X+1,其图像与函数丁=干=1+；的图像

的交点为(1,2),(—1,0),故玉+々+弘+%=2，故选B.

10.定义：如果函数/(%)在［a,。］上存在%,x2(4＜办＜々＜b)满足

/，&)=/(")―/("),/⑻J®-"。),则称函数/(x)是［a,句上的“双

中值函数”，已知函数/卜)=2炉一？+=是［Oja］上“双中值函数”,则实数a的取

值范围是(

【答案】B

【解析】

当事二空产二小2。，…)=6一］，由题意方程

f\x)=6x2-2x=8a2-2a即g(x)=3/一》—4/+a=0在[0,2a]上有两个不等

实根.

△=1-12(-4/+a)>0

0<-<2tz

所以46解得故选B.

84

g(0)=-4a2+a>0

g(2a)=8/-a>o

11.已知定义在R上的函数/(x)满足：y=/(x—l)的图像关于点(1,0)对称，且当

31

x>0时恒有/(%--)=/(%+-),当xe(0,2)时,/(x)="—1,则

/(2016)+/(-2015)=()

A.1—eB.e—1C.-1—eD.e+1

【答案】A

【解析】

y=/(x—1)的图象关于点(1,0)对称，则/(x)关于原点对称，/(0)=0.当xNO时

31

恒有y(x-1)=/(x+l),则函数周期为2.所以

/(2016)+/(-2015)=/(0)-/(l)=0-e+l=l-e.

12.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】

由f(x+2)=-f(x)可知函数具有周期性，周期7=4.-./(6)=/(2)=-/(0)=0

二、填空题

13.己知定义在R上的偶函数满足：/(x+4)=/(x)+/(2),且当xe［0,2］时，

y=/(x)单调递减，给出以下四个命题:

①八2)=0；

②x=T为函数y=/(x)图象的一条对称轴；

③y=/(x)在［8/0］单调递增；

④若方程/(幻=加在［-6,—2］上的两根为再、％,贝|」为+々=一8.

以上命题中所有正确命题的序号为.

【答案】①②④

【解析】

①依题意，)(x+4)=/(x)+/(2),令x=—2,则

/(2)=/(-2)+/(2)=/(2)+/(2),/.42)=0；②〃x+4)=/(x),.••函数周

试卷第14页，总24页

期为4,偶函数的对称轴是x=0,••”=^是/(力的对称轴;③在［0,2］上递减,

又函数周期为4,...函数在［8,10］上递减；④/(可在［0,2］上递增，且为偶函数，，

/(力在［—2,0］上递减，，/(x)在［-6,T］上递减，图象关于x=T对称，两个根

的和为占+々=—8,故正确的有①②④.

14.函数/(x)对任意内,工2e［m,川都有|工(%)-/；(刈4归一耳，则称/(%)为在区

间［加，网上的可控函数，区间［加,〃］称为函数/(x)的“可控”区间，写出函数

/(x)=2d+x+1的一个“可控”区间是.

【答案】的子集都可以

2

【解析】

因为)-f(x2)=［2(x,+x2)+l］(x,-x2),由可控函数的定义可得

|2(再+/)+1区1,即

-1<X,+0<0,所以区间［九〃］应为［一；，01的一个子区间.

15.给出下列命题：

(1)设/(%)与g(x)是定义在R上的两个函数，若|/(4)+/(々)|>|g(^)+g(W)|恒

成立，且/(x)为奇函数，则g(x)也是奇函数；

⑵若V/weR,都有|/a)-/(w)|>|ga)-g(w)|成立，且函数/(X)在R上

递增,则/(x)+g(x)在R上也递增；

(3)已知。>0,。工1,函数=,,若函数/(x)在［0,2］上的最大值比

a-x.x>\

最小值多则实数4的取值集合为｛J｝；

(4)存在不同的实数3使得关于X的方程卜2一1+左=0的根的个数为2

个、4个、5个、8个.

则所有正确命题的序号为.

【答案】(1)(2)(3)

【解析】

(1)为真，令％2=一再=%即可；(2)为真，不妨设%>%2，则

/（x1）-/（x2）＞l（g（x］）-^（x2）l即/（莅）-/（&）＜ga）-g（%2）＜/（为）-/（%）叩

/（x1）+＜g（xi）＞/（x2）+（g（x2）.（3）为假，作图后如果定势思维很容易漏掉3,加大

P7］

可得正确答案（万，5,（4）为真，方程与函数图象结合，关于/的方程若一正一负，正

大于1,此时有2根；若一零一1,此时有5根；若判别式=0,此时有4根；若两个均

为正，则有8个根.

三、解答题

1—V

16.已知函数/（x）=-x+log---.

21+X

（1）求/（空3）+/•（—型笆）的值；

20152015

（2）当a,a］（其中ae（0,l）,且a是常数）时，若加一4/（x）恒成立，求

D1的取值范围.

【解析】

1—V*

⑴由17r。得一＜x＜L”（x）的定义域为T1）.

又+io宏=-(-x+io三)=r⑴'

f(-x)=xg2g2

/（X）为奇函数.

人煞“煞尸。

/C、、rt-tYriI1-X,L1-2(X,-X.)

(2)ig-l<x.<x2<1,则-----------=——q-----U—

1+X[1+x2(1+Xj)(1+x2)

*/-1<Xj<x<—Xj>0,(1+x)(l+x)>0,

2x212

1+Xj1+x21+X11+x2

.,.函数丁=log,Lm在(-1,1)上是减函数，

1+x

从而得/"(x)=-X+log,上三在(-1,1)上也是减函数.

1+X

加一e-4/(x)恒成立,即加4/(x)+e-x恒成立

令〃(x)=f(x)+e-x,则〃(尤)=/(x)+er在定义域上是减函数,

1—CI

则m<〃(x)min=人(〃)=-a+log2----+e~a

1+Q

试卷第16页，总24页

17.已知函数^=》+,有如下性质：如果常数t>o,那么该函数在(o,J7)上是减函

X

数，在[J7,+=。)上是增函数.

4r2-12x-3

(1)已知/(x)=」------,xero,l],利用上述性质，求函数/(幻的单调区间和

2x+l

值域；

(2)对于(1)中的函数/(x)和函数g(x)=—x—若对任意[0,1],总存在“2

e[0,1],使得g(>2)=/(X1)成立，求实数。的值.

【解析】

4X2-12X-34

(1)y=/(x)=—2x+1+-8

2x+l2x+l

设〃=2X+1,X£[0,1],则1<"<3

4

则y=---8,uG[1,3].

u

由已知性质得，当即时，/(x)单调递减;

所以减区间为[0,g]；

当2W〃W3,即寸，/(x)单调递增；

所以增区间为[工,1]；

2

由/(0)=-3,/(1)=-4,/(l)=-y,

得了(x)的值域为[一4,一3].

g(x)=-九一2。为减函数，

故g(x)£[-1-2a.2a],xe[0,1].

由题意，的值域是g(幻的值域的子集,

一1一2。4一4,3

—2。2—3.2

C组

一、选择题

1.是定义在R上的奇函数，且"X—3)=.f(x+3),当0<x<3时，

,/(x)=2-log2(x+2),则当0<x<6时，不等式(x-3)/(x)>0的解集是()

A.(0,2)U(3,4)B.(O,2)U(4,5)C.(2,3)U(4,5)D.(2,3)U(3,4)

【答案】D

【解析】

当0<x<3时,不等式(x—3),f(x)>0即为/(x)=2—log2(x+2)<0,所以

log2(x+2)>2,/.2<x<3；当-3<x<0时，()<-x<3,所以

/(--^)=-/W=2-log2(2-x),

/(x)=—2+log,(2—x),当3<x<6时，一3<x—6<0,由=.f(x+3)

可得〃x)=/(x—6)=—2+log2(8—x)>(),不等式(x—3)/(x)>()可转化为

/(x)>0BP—2+log2(8—x)〉()，所以3<x<4,综上所述：不等式(x—3)/(x)〉0

的解集是(2,3)U(3,4),故选D.

Av-

2.已知函数f(x)=x2-x--(x<0),g(x)=x~+Z?x-2(x>0),beR,若/(x)

x-1

图象上存在A,8两个不同的点与g(x)图象上A',8'两点关于y轴对称，则的取

值范围为()

A.(―4-\/2—5,+co)B.(4>/2—5,+co)C.(―4\/2—5,1)D.(4\/2—5,1)

【答案】D.

【解析】

设g(x)函数图象上任一点+区-2),其关于y轴的对称点为(-尤,/+bx-2),

由题意可知方程f+笈—2=/+》—^^LnS—i)x2+3+i)x—2=o在

-x-1

A=(/?+l)2+80-l)>O

(0,+8)上有两个不等实根，.•Jb—lvO=4及—5<人<1,即实数

b的取值范围是(40—5,1),故选D.

3.定义在R上的函数/(x)对任意(玉H/)都有红止丛°<0,且函数

X]一工2

y=/(X-l)的图象关于(1,0)成中心对称，若取满足不等式

试卷第18页，总24页

t—2s

f(s2-2s)<-f(2t-t2),则当1WSW4时,的取值范围是()

s+r

A.-3一B.-3--c.-5——D.-5--

2，2，2，2

【答案】D

【解析】

设玉<马，则%一％2Vo.由,知/(%1)-/(%2)>0,即

玉-x2

/(x,)>/(x2),所以函数/(x)为减函数.因为函数y=/(x—l)的图象关于(1,0)成

中心对称，所以y=/(x)为奇函数，所以/($2—2s)K—/(2f—产)=/(产—2f),所以

s2-2s>t2-2t,即(5-/)"+♦—2)20.因为=1一上-=1—--,而在条

s+fs+t1+£

s

(s—1)(5+，-2)N0t1t1

件下，易求得[-一川，所以1+2£[—,2],所以

1<5<4s2s2

—e［-,6］,所以1—--e［-5,--］,即上生e［-5,」］,故选D.

1+-21+£2s+t2

SS

4.设/(x)和g(x)是定义在同一个区间上的两个函数，若函数y=/(x)—g(x)在

上有两个不同的零点，则称/(x)和g(x)在［a,b］上是“关联函数”，区间［。,同

称为“关联区间”.若/(x)=f-3x+4与g(x)=2x+/n在［0司上是“关联函数”，

则力的取值范围是()

9

A.(—,—2]B.[―1,0]C.(―co,—2]D.----,+oo

4

【答案】A

【解析】

由题意，方程/(乃一8(尤)=/一5》+4-根=0在［0,3］上有两不等实根，设

A=25-4(4-tn)>0

h(0)=4-m>0

9

h(x)-x2-5x+4-m,贝卜h(3)=-2-m>0解得一一<m«-2.故选A.

4

0<-<3

2