重难点02不等式（6种解题模型与方法）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

重难点02不等式（6种解题模型与方法）

•:利用不等式的基本性质判断不等式是否成立,题型四：底本不等式-运用凑配法求最值

题型：：二次函数的图像和性旗及其应川不等式题型自居本不等式-运用1的代换求最值

题型三：一元：次不等式与二次函数题型六：底本不等式的运用

Q技巧方法

等式与不等式的性质

【知识点的认识】

1.不等式的基本性质

（1）对于任意两个实数“，b,有且只有以下三种情况之一成立：

®a>b<^>a-Z?>0；

②a<boa-6V0；

③a=b=a-b=0.

（2）不等式的基本性质

①对称性：a>bob<a：

②传递性：a>b,b>c=>a>c；

③可加性：a>b^a+c>b+c.

④同向可加性：a>b,c>d=>a+c>b+d；

⑤可积性：a>h,c>0=^ac>hc；a>b,c<0=>ac<hc；

⑥同向整数可乘性：a>b>0,c>d>0=^ac>bd；

⑦平方法则：a>b>0^>an>bn（nGN,且〃>1）；

⑧开方法则：4>6>0=^^>牛^（且〃>1）.

二.不等关系与不等式

【不等关系与不等式】

不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如马与刍就是相等关系.而

24

不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说。>匕，a-b

>0就是不等式.

【不等式定理】

①对任意的a,b,有a>6=a-Q0；a=b=a-b=0；a<b=a-b<0,这三条性质是做差比较法的依据.

②如果。>匕，那么b<“；如果那么b>a.

③如果a>b,且b>c,那么a>c；如果a>b,那么a+c>6+c.

推论:如果a>b,且c>d,那么a+c>8+d.

④如果a>b,且c>0,那么ac>6c；如果cVO,那么ac<尻

三.基本不等式及其应用

【概述】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的儿何平均数小于

或等于它们的算术平均数.公式为：生也》后(a》O,b》O),变形为MW(三也户或者后.常

22

常用于求最值和值域.

四.其他不等式的解法

【知识点的知识】

不等式的解法

(1)整式不等式的解法(根轴法).

步骤：正化，求根，标轴，穿线(偶重根打结)，定解.

特例：

①一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式卬?+笈+。>0(。#0)解的讨论.

(2)分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

g(x)八兄「g(x)|g(x)#O.

(3)无理不等式：转化为有理不等式求解.

©师>历0愣；；｝=定义域

[y(x)>g(x)

f(][\>o____y(jc)?o

@〃(x)>g(x)o<g(x)£0或力器;@Jfx()<g(x)O(g(x)20

l/(x)>[g(x)]2Q)<°LAX)<[4x)f

(4)指数不等式：转化为代数不等式

小吟>/("(a>1)o/(x)>烈x);a'Q)>〃(“)(0va<1)o/(x)<g(x)

a"'">b(a>0,d>0)of(x)le,a>\etb

(5)对数不等式：转化为代数不等式

/(x)>07(x)>o

log."X)>log.g(x)(a>1)o4g(x)>0logj(x)>log.g(xX0<av1)o4g(x)>0

/(x)>g(x)f(x)<g(x)

(6)含绝对值不等式

①应用分类讨论思想去绝对值;

②应用数形思想；

③应用化归思想等价转化.

I/(X)|<g(x)O｛驾j</(,)<g(x)

I/(x)>g(x)=g(x»OWx)，g(x坏同时为。成佛泛g(x的(x)>g(x)

注：常用不等式的解法举例(x为正数)：

①x(l-x)2=i-2x(l-xXl-x)<|(|)3=*

②尸x(l-x2)=>y2=

y=sinxcos2x=sinx(l-sin:x),③|x+L|=|x|+|L|(冉［同号，故取等)22

YYY

五.一元二次不等式及其应用

【概念】

含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是ax2+bx+c>Q

或ax1+bx+c<0(a不等于0)其中a^+bx+c是实数域内的二次三项式.

【特征】

当△=/-4izc>0时，

一元二次方程ar2+%x+c=0有两个实根，那么a^+foc+c可写成a(x-xi)(JC-%2)

当△=/-4ac=0时，

一元二次方程ax2+bx+c=0仅有一个实根，那么aj^+bx+c可写成a(x-xi)2.

当△=层-4碇<0时.

•—元二次方程cvr+bx+c-0没有实根，那么a^+bx+c与x轴没有交点.

【一元二次不等式的常见应用类型】

①一元二次不等式恒成立问题：

一元二次不等式a^+hx+c>0的解集是R的等价条件是：a>0且△V0；一元二次不等式ax2+hx+c<0的解

集是R的等价条件是：〃<0且△<().

②分式不等式问题：

4(X)一>0%(x)・g(x)>0；

g(x)

.Ho可(x”g(x)<0；

g(x)

f(x)>修［f(x)，g(x)>0.

g(x)Ig(x)7t0

f(x)<0^ff(x)"g(xXO

g(x)Ig(x)7t0

七.一元二次方程的根的分布与系数的关系

【概述】

一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当a^+bx+c^O(aWO)有解时，不妨设它

的解为xi,xi,那么这个方程可以写成ox2-〃(xi+x2)x+ori，:v2=0.即％2-(xi+%2)x+x\*x2—Q.它表示

根与系数有如下关系:X\+X2=-A,X1・X2=£.

aa

【考点分析】

首先申明，这是必考点.一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，

然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等.所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳.

A.绝对值不等式

【知识点的认识】

绝对值不等式的解法

1、绝对值不等式卜|>〃与团<〃的解集

不等式〃>067=04Vo

\x\<a{x|-4VxV。}00

\A>a{x\x>a,或xV-〃}{4xWO}R

2、|ox+6|Wc(c>0)和欣+臼(c>0)型不等式的解法：

(1)|ox+/?|Wc=-cWax+bWc；

(2)\ax+b\5sc<^ax+bc或or+bW-c；

(3)|x-a\+\x-h\^c(c>0)和|x-“|+|x-例Wc(c>0)型不等式的解法:

方法一：利用绝对值不等式的儿何意义求解，体现了数形结合的思想.

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

【解题方法点拨】

1.不等式|x-a|+|x-臼2c的解就是数轴上到A(a),B(b)两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，

只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解.

2.不等式间-|瓦W|a+例W|4|+|例，右侧“=”成立的条件是昉20,左侧“=”成立的条件是必《0且同》

I例；不等式⑷-|b|W|a-b|W|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是"W0,左侧“="成立的条件是ab^O且同

冽讣

3、解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求

解.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x-«|+|x-b\>m或|x-«|+|x-b\<

m(根为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便.

九.绝对值不等式的解法

【知识点的认识】

绝对值不等式的解法

1、绝对值不等式|x|>a与的解集

不等式a>0a=0a<0

M<«{x\-a<x<a}00

\x\>a[x\x>a,或1V-〃}{小WO}R

2、|ar+b|Wc(c>0)和|ax+b|2c(c>0)型不等式的解法:

(1)-cWax+bWc；

(2)\ax+b\S5c<^ax+bc或ax+b^-c；

(3)|x-a|+|x-h\^c(c>0)和-a|+|x-b|Wc(c>0)型不等式的解法：

方法一：利用绝对值不等式的儿何意义求解，体现了数形结合的思想.

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

【解题方法点拨】

1、解绝对值不等式的基本方法：

(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.

2.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求

解.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如Qal+k-例>机或仇-〃|+仅-句<

m（加为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便.

3.不等式以-。|+|、-切》。的解就是数轴上到4（a）,B"）两点的距离之和不小于c,的点所对应的实数，

只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解.

4.不等式同-向W|a+b|W|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是曲》0,左侧“=”成立的条件是MW0且⑷N

\b\；不等式同-|b|W|a-b|W|a|+|臼,右侧“=”成立的条件是"W0,左侧“=”成立的条件是ab^O且⑷

21bl.

Q能力拓展

题型一：利用不等式的基本性质判断不等式是否成立

选择题（共5小题）

1.（2022秋•河南月考）已知-l〈x+2yW5,-lWx-2），<3,则x的取值范围是（）

A.-2«2B.-2«C.-KW4D.-1WXW2

2.（2022秋•辽中区校级月考）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等

号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入

对不等式的发展影响深远.若a,b,cGR,则下列命题正确的是（）

A.若a>h,则工

ab

B.若a>b,则/-而〈功-序

C.若a>/>>c>0,则」->_2_

a-ba-c

D.若a>6>c>0,则曳<生之

bb+c

3.（2022秋•金水区校级月考）已知x>0,P=47I-4,Q力羡，则P与。的大小关系为（）

A.P>QB.P<QC.P=QD.不确定

4.（2022秋•虹口区校级月考）记关于x的三个方程分别为：

①/+aix+l=0；

@x1+a2x+2—0；

③^+皿+4=0,其中“1,42,43是正实数，且满足422=4143.

则下列选项中，能推出方程③无实根的是（）

A.方程①有实根，且②有实根

B.方程①有实根，且②无实根

C.方程①无实根，且②有实根

D.方程①无实根，且②无实根

5.（2022秋•荔湾区校级期中）设集合A=[0,工），B=[—.1]-函数=<x+了’A，若

2212（l-x）,x€B

JCOWA,且加'（xo）]EA,则xo的取值范围是（）

A.（0,y]B.[0,卷]C,（A,A）D.（A（-1]

二.多选题（共3小题）

（多选）6.（2022秋•南岗区校级月考）对任意实数mb,c,d,则下列命题中正确的是（）

A.若a>8,cWO,贝UB.若a>b,则

21

C.ac>bc,则a>bD.若/>/,ab<.Q,则工〉工

ab

（多选）7.（2022秋•市南区月考）如果“V6V0,c<“<0,那么下列不等式一定成立的是（）

A.a+d>b+cB.ac>bdC.—<—D.a2<ab<b2

aa

（多选）8.（2022秋•安阳月考）设”>b>0,则（）

A.a+—>b+—B.---<

baa+bVab

2.,2,2

C.a22>a+bD.2—<2b-a

Vaba

三.填空题（共5小题）

9.（2022秋•新北区校级月考）某高校在2022年9月初共有机名在校学生，其中有〃（〃?>"）名新生，在

9月底，又补录了匕名学生，则新生占学生的比例（选填“变大”“变小”或“不变”），其理论

论据用数学形式表达为.

10.（2022秋•涅中区校级月考）若-l<a+8<3,2<a-b<4,t=2a+3b,则f的取值范围为.

11.（2022秋•于洪区校级月考）已知实数“>b>0,且满足@2b4^L=4b，则“+2方=.

a-b

12.（2022秋•阜宁县校级月考）已知关于x的一元二次不等式24/+飘+〃<0的解集为｛x|x=」｝，且。

a

>b,则^^的最大值为

2八2

a+b

13.（2022秋•西城区校级期中）某购物网站在2022年10月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商

品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：包的价格为200元，衣服的价格为200元，鞋的价格

为150元，用户应支付200+200+150=550元，减免价格最低商品价格150元，实际支付400元，实际折

扣400・550=约7.3折，立省150元.

(1)如果在此网站上购买的三件商品价格分别为500元、700元、400元，按照“买三免一”的规则购

买这三件商品的实际折扣为折；

(2)在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为折

(保留一位小数).

四.解答题(共5小题)

2

14.(2022秋•涅中区校级月考)已知试比较且11与且/L值的大小.

aTa2-l

15.(2022秋•松北区校级月考)(1)设2＜。＜7,1＜6＜2,求“+3儿la-b,目的范围.

b

(2)下面的问题与著名的柯西不等式有关，若a,h,c,d€R,请你比较(a2+b2)(?+/)与(ac+bd)

2的大小,根据以上结论猜测(«l2+«22+--+a/i2)(42+历2+“・+加2)与(〃向+“2历+…+“"〃")2的大小(不

必证明).

16.(2022秋•河南月考)已知关于x的不等式履＞22的解集为{小V-11}.

(1)求k的值；

(2)比较a2-与2a-3的大小•

17.（2022秋•定边县校级月考）已知a>0,b>0.

(1)求证:/+3反22Z?(〃+/?)；

（2）若a+b=2ab,求砂的最小值.

18.（2022秋•霞山区校级月考）（1）已知x,jER,求证：/+2/22肛+2y-1；

（2）已知〃>0,b>0,a+b=1,求证：（11J）

题型二：二次函数的图像和性质及其应用

选择题（共1小题）

1.（2022秋•南岸区校级月考）已知函数f（x）=log°“l+x2-x）T——-xeR,若meqo,工]使关于

22X+12

。的不等式/（sinWcos。）+f（.2-sinO-cos0-m）V2成立，则实数机的范围为（）

A.（-8,B.（2,+8）C.（-8,2）D.（.Z.-y[2,+8）

2V2

二.多选题（共1小题）

（多选）2.（2022•洪山区校级开学）已知函数/（x）=（"X，x4°,若方程/（%）+勿"（X）+1=

-X2+2X,x>08

0有六个相异实根，则实数〃可能的取值为（）

A.-2B.-1C.D._史4亚

216

三.填空题（共2小题）

3.（2022秋•浦东新区校级期中）若关于x的不等式iWfc?+x+ZWZ的解集中只有一个元素，则实数々的取

值集合为.

4.（2022秋•肇州县校级月考）若存在正实数b,使得劭（a+b）=…,则。的最大值为.

四.解答题（共6小题）

5.（2022秋•南海区校级期中）某蔬菜仓库供应甲、乙两个大型超市.蔬菜仓库的设计容量为45万吨，去

年年底时该仓库的蔬菜存储量为9万吨，从今年开始，每个月购进蔬菜〃7万吨，再按照需求量向两个超

市调出蔬菜.已知甲超市每月的蔬菜需求量为1万吨，乙超市前x个月的蔬菜总需求量为万吨，其

中1WXW12且xCN*,且前4个月，乙超市的蔬菜总需求量为12万吨.

（I）求第x个月月底时，该仓库的蔬菜存储量M1万吨）与x的函数关系式；

（II）若要今年每月按计划购进蔬菜之后，仓库总能满足两个超市的需求，且每月调出蔬菜后，仓库的

蔬菜剩余量不超过设计容量，试确定m的取值范围.

6.（2022秋•荔湾区校级期中）某电动摩托车企业计划在2021年投资生产一款高端电动摩托车.经市场调

研测算，生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产该款电动摩托车x万台需投入资金y万

mx2+2600x（0<x<4）

元，且丫=2，生产l万台该款电动摩托车需投入资金3000万元；当该款

15001x-R5n0n0i1x+25（

,x

电动摩托车售价为5000（单位：元/台）时，当年内生产的该款摩托车能全部销售完.

（1）求根的值，并写出2021年该款摩托车的年利润Z（单位：万元）关于年产量x（单位：万台）的

函数解析式；

（2）当2021年该款摩托车的年产盘x为多少时，Z年利润最大？最大年利润是多少？

（年利润=销售所得-投入资金-设备改造费）

7.（2022秋•秦淮区校级期中）我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某

款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（干部）手机，需另投

10X2+200X+1000,0<X<40

入可变成本R（x）万元，且R（x）=\innnn、，由市场调研知，每部手机售

801x+1^k-8450x>40

x）

价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本）.

（1）求2023年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；

（2）2023年产量为多少（干部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

8.(2022秋•南京期中)已知二次函数/(x)=7-(a+1)x+a,a&R.

(1)若关于x的不等式/G)2-1对Vxe(1,3]恒成立，求a的取值范围；

(2)已知函数g(x)=x-1,若对1J,3JC2G[-1,2],使不等式g(xi)2f(x2)成立，求a

的取值范围.

9.(2022秋•金州区校级月考)已知函数/(x)=a？-2ar-3.

(1)若a=l,求不等式/(X)20的解集；

(2)已知。>0,且f(x)》0在[3,+8)上恒成立，求“的取值范围；

(3)若关于x的方程/(x)=0有两个不相等的实数根xi、xi,且xi+x2>0,xix2>0,求xJ+xz?的取值

范围.

10.(2022秋•南阳期中)为了激励销售人员的积极性，某企业根据业务员的销售额发放奖金(奖金和销售

额的单位都为十万元），奖金发放方案要求同时具备下列两个条件：①奖金/（X）随销售额x（2WxW8）

的增加而增加；②奖金金额不低于销售额的5%.经测算该企业决定采用函数模型f（x）=工』+〃（/«

30x

>0,»>0）作为奖金发放方案.

（I）若山=工，n」，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由；

24

（II）若n=X要使奖金发放方案满足条件，求实数m的取值范围.

2

题型三：一元二次不等式与二次函数

一.选择题（共1小题）

1.（2022秋•高新区校级月考）若关于x的不等式（2x-1）2<好2的解集中的整数恰有3个，则实数“的

取值范围是（）

A/57R「57、

（T[7'彳）

二.填空题（共3小题）

2.（2022秋•滨湖区期中）若对任意x>y>0,不等式m2_m+5〈三恒成立，则实数m的取值范围

yx-y

是.

3.（2022秋•东安区校级月考）已知函数/（x）=*-若WaH-2,2],2]使不等式f（x）W〃P

成立，则实数，"的取值范围为

3

4.（2022秋•苏州月考）若不等式/-6>〃状对任意满足|〃?|W1的实数m都成立，则x的取值范围是.

三.解答题（共9小题）

5.（2022秋•新罗区校级月考）已知不等式以2-灰+3>0的解集为{无仇<1或》>3}.

(1)求实数。，人的值；

(2)若帆>0,72>0,5.am+bn=}f求的最小值.

mn

6.(2022秋•渝中区校级月考)若命题p：存在x2-x+3-a<0；命题q：二次函数y=/-2ox+l

在的图像恒在x轴上方.

(1)若命题P，,中至少有一个真命题，求Q的取值范围？

(2)对任意的-存在0〈人<2,使得不等式7-2or+a2g-1|+亚-2|成立，求x的取值范围？

7.(2022秋•龙岩月考)定义函数=/(x)与g(x)在区间/上是同步的：对立口，都有不等式/(x)g(x)

20恒成立.

(1)函数/(x)=x^+ax-a(〃>0)与g(x)=2x+b在区间［1,+°°)上同步，求实数b的取值范围；

(2)设。<0,函数/(x)=3/+。与g(无)=2r+A在以m6为端点的开区间上同步，求|〃-b|的最大

值.

8.(2022秋•西青区校级月考)设函数/(x)=苏+(/?-2)x+3(〃#0),

(1)若不等/(x)>0的解集为(7,3),求2〃+6的值;

(2)当/(2)=0,且a>0,b>0,有」」」)卜2-什2恒成立，求女的取值范围;

4a2bb

(3)若/(I)=4,b>-I,求丁工_」±1的最小值.

aIb+1

9.(2022秋•宝山区校级月考)定义区间(c,rf),[c,d),(c,J],[c,刈的长度均为d-c,其中d>c.

(1)若关于x的不等式2a/-12x-3>0的解集构成的区间的长度为遥，求实数a的值；

(2)已知实数〃，b(a>h),求，」解集构成的各区间长度和；

x-ax-b

Ix-3|<3

(3)已知关于x的不等式组.101的解集构成的各区间长度和为6,求实数t的取值范围.

,VxVtx+3t2

10.(2022秋•朝阳区校级月考)已知函数丫=(k-1)/+a-3)x+1.

(1)若关于x的不等式(k-1)/+(&-3)x+12。的解集为全体实数R,求实数％的取值范围.

(2)若关于x的方程(k-1)W+(%-3)x+1=0的两根为xi,X2,且xi<2,X2<2.求实数k的取值

范围.

11.(2022秋•武侯区校级月考)已知y=/-(a+1)x+a.

(1)若a=2,求/(x)W0的解集A；

(2)若yWO的解集A是集合｛x|-4WxW2｝的真子集，求实数a的取值范围;

(3)若对一切x>2的实数，均有y23x-7恒成立，求实数a的取值范围.

12.(2022秋•鼓楼区校级月考)设函数)，=0?-(2“+3)x+6,«eR.

(1)若y=0的解集是{2,3},求实数a的值；

(2)若y+2>0恒成立，求实数a的取值范围；

(3)当a=l时，Vr>-2,关于x的不等式yW-3x+3+m在［-2,r］有解，求实数的取值范围.

13.(2022•天元区校级开学)解下列关于x的不等式：(a为实数)

(1)X2+2X+«<0；

(2)ax-1>o.

x-2

题型四：基本不等式-运用凑配法求最值

选择题（共1小题）

1.（2022秋•和平区校级月考）已知x,y>0,［则x+2y的最小值为（）

x+2y+2

A.9B.12C.15D.672+3

二.多选题（共4小题）

（多选）2.（2022秋•宁乡市校级月考）若实数加，〃>0,满足2〃什"=1,以下选项中正确的有（）

A.mn的最小值为工

8

B.2△的最小值为1+啦

mn

C.2的最小值为丝

m+1n+25

D.4机2+〃2的最小值为工

2

（多选）3.（2022秋•北培区校级月考）若a,be（0,+«>）,则下列选项成立的是（）

A.a（6-a）W9

B.若ab=a+b+3,则而29

C.一的最小值为2

2

a+2

D.若a+h=2,则工二》3+2如

ab

（多选）4.（2022秋•黑龙江月考）设〃>1,b>l,且（a+b）=1,那么（）

A.有最小值2G/5+1）B./+匕2有最小值18+12加

C.，山有最大值3+簿D.1+1有最小值加

a-1b-1

（多选）5.（2022秋•皇姑区校级月考）下列命题正确的是（）

A.y=x+工的最小值为2

X

2

B.y二_^^=~的最小值为2

卬/

C.若。>0,且6+4=0,则一一的最大值为2

a+b5

D.若x>0,y>0,x+y+xy-3=0,贝Ux+y最小值为2

三.填空题（共6小题）

6.（2022秋•蓟州区校级月考）当x<-1时，/（x）=x+，的最大值为.

x+1

7.（2022秋•皇姑区校级月考）若正实数a,b满足a+6=4,则工+人的最小值是.

a+1b+1

8.（2022秋•锡山区校级月考）若两个正实数x,y满足x+y=3,且不等式殳〉m2-3m+5恒成立，

x+1y

则实数机的取值范围为.

9.（2022秋•蓟州区校级月考）已知正数x,），满足x+y=5,则的最小值为_______.

x+1y+2

10.（2022秋•和平区校级月考）设正实数x,y,z满足/-母+4/-z=0,则当工取得最小值时，20心

xyxyz

的最大值为.

11.（2022秋•北暗区校级月考）已知正实数a,b,c,满足a+6+c=l,则姓的最大值为•

四.解答题（共2小题）

12.（2022秋•茅箭区校级月考）设二次函数y=a?+（/>-2）x+3（aWO）,

（1）若匕=-a-3,求不等式a?+（b-2）x+3<-4x+2的解集；

（2）若x=l时，y=4,b>-1,求丁工_JAI的最小值.

laib^F

13.（2022秋•海沧区校级月考）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设菜

园的长为x米，宽为），米.

（1）若菜园面积为36平方米，则x,y为何值时，所用篱笆总长最小？

（2）若使用的篱笆总长为30米，求2+工的最小值.

yx

y

X

题型五：基本不等式-运用1的代换求最值

选择题（共2小题）

1.（2022秋•武侯区校级月考）若x>0,y>0,4x+），=孙，且不等式x+X<a2-3“有解，则实数a的取值

4

范围为（）

A.。>4或aV-1B.。<-4或〃>1C.a>4D.a<-1

2.（2022秋•章丘区校级月考）若正实数x,y满足x+2y=孙，则2i+y的最小值为（）

A.8B.9C.10D.11

二.多选题（共3小题）

（多选）3.（2022秋•宁乡市校级月考）若实数机，〃>0,满足2次+〃=1,以下选项中正确的有（）

A.mn的最小值为」

8

B.红二的最小值为1+K历

mn

C.工二一的最小值为四

m+1n+25

D.4/H2+H2的最小值为」

2

（多选）4.（2022秋•沛县月考）以下结论正确的是（）

A.

2

x

B.1x2+2+/1的最小值为2

VX2+2

C.若屋+2庐=1,则与6_>3+2后

Jbz

D.若小且满足〃+b=1,则」_二）：4

ab

（多选）5.（2022秋•江北区校级月考）已知x,y是正实数，且2x+y=l,下列叙述正确的是（）

A.2肛的最大值为2B.4/+）2的最小值为工

42

C.x（x+y）的最大值为』D.X』的最小值为3+2^历

4xy

三.填空题（共4小题）

6.（2022秋•东莞市校级月考）已知a>0.b>0.a+b^l.则（1+工）（1+A）的最小值为.

ab

7.（2022秋•沙坪坝区校级月考）已知匕>0,且。+匕=1,则曳1的最小值为_______.

ba-b（a-b）b

8.（2022秋•金凤区校级月考）已知x>0,y>0,且34口，若x+3y>苏-〃?恒成立，则实数比的取值

xy

范围为.

9.（2022春•衢州期末）已知正实数mb满足上,口，则（”+1）（6+2）的最小值是.

四.解答题（共5小题）

10.（2022秋•武清区校级月考）（1）已知x,y为正数，且——4=1,求x+y的最小值；

2+xy

（2）已知0<x<3,求x（3-2x）的最大值.

2

11.（2022秋•东莞市校级月考）已知关于x的不等式a?-x-2>0的解集为{x|-1<XVZ?}.

（1）求“，6的值；

（2）当x>0,y>0,且满足包4A=1时，有2x+y>必+A+2恒成立，求我的取值范围.

XV

12.（2022秋•霞山区校级月考）（1）已知x,>GR,求证：/+2）222孙+2y-1；

(2)已知a>0,h>0,a+h=1,求证：

13.(2022秋•肇州县校级月考)已知x,y€R+,且满足*4^工+2了+上=6.

2xy

(1)若xy］，求x，y的值；

(2)求：x+2y的最大值与最小值