高中数学人教A版（2019）必修第一册知识点总结

局中数学

新教材

人教A版(2019)

必修第一册知识点总结

专题01集合与常用的逻辑用语...................................................................3

知识点一集合的概念......................................................................3

知识点二集合间的关系....................................................................4

知识点三集合的基本运算..................................................................5

知识点四充分条件与必要条件..............................................................5

知识点五全称量词与存在量词..............................................................6

专题02一元二次方程、函数与不等式............................................................7

知识点一不等式的性质....................................................................7

知识点二基本不等式......................................................................7

知识点三二次函数与一元二次方程、不等式..................................................8

专题03函数的概念与性质.......................................................................9

知识点一函数的概念与分段函数............................................................9

知识点二函数的三要素...................................................................10

知识点三函数的单调性...................................................................12

知识点四函数的奇偶性...................................................................14

知识点六幕函数........................................................................16

专题04指数函数与对数函数的概念、简单性质....................................................17

知识点一指数运算、对数运算与嘉运算.....................................................17

知识点二指数函数与对数函数的概念及图像.................................................18

知识点三比较大小（常与0、1、-1作比较）................................................18

知识点四函数的零点.....................................................................19

专题05指数型与对数型复合函数的性质.........................................................20

知识点一复合函数简单的单调性与奇偶性问题...............................................20

知识点二复合函数的单调性...............................................................20

知识点三复合函数的最大值与最小值.......................................................21

知识点四最值问题（含有参数）...........................................................22

知识点五恒成立问题.....................................................................22

专题06三角函数的图像与性质..................................................................23

知识点一任意角和弧度制.................................................................23

知识点二常用的角的集合表示方法.........................................................23

知识点三弧度与弧度制...................................................................24

知识点四三角函数定义...................................................................25

知识点五三角函数在各象限的符号.........................................................26

知识点六特殊角的三角函数值：...........................................................26

知识点七同角三角函数的关系与诱导公式...................................................26

知识点八两角和与差公式的基本应用.......................................................27

知识点九辅助角公式.....................................................................27

知识点十二倍角公式.....................................................................27

知识点十一降累公式.....................................................................27

知识点十二基本三角函数的图像与性质（正弦、余弦与正切）...............................28

知识点十三函数y=Asin（3x+0）的图像.....................................................29

知识点十四三角函数的实际应用...........................................................30

专题07三角函数的综合运用....................................................................30

专题01集合与常用的逻辑用语

知识点一集合的概念

1.集合的有关概念

(1)集合的描述：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.元素通常用小写字母a,b,c,…

表示，集合通常用大写字母A,B,C,…表示.

⑵集合元素的特性：

确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个元素可以判断该元素在或者不在该集合中.

互异性：集合中的元素互不相同，即集合中的元素不能重复出现。

无序性：集合中的元素没有顺序，即调换集合中元素的位置，集合不变。

(3)集合与元素的关系：属于和不属于；若a是集合A中的元素，就说a属于集合A,记作aGA,读作：元素

a属于集合A；若b不是集合A中的元素，就说b不属于集合A,记作bqA,读作：元素b不属于集合A.

(4)集合的常见表示方法：列举法、描述法、图示法、自然语言法.

(5)常用数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*（或N+）ZQR

2.知识链接:

(1)自然数：像0、1、2、3这样的非负整数叫自然数；

(2)有理数：整数和分数统称有理数；有限小数和无限循环小数可化为分数，所以也是有理数;

(3)实数：有理数和无理数统称实数。是无理数)。

知识点二集合间的关系

1.集合间的基本关系

关系自然语言符号语言Venn图

集合A中任意一个元素都Ac8（或©A）

子集都是集合8中的元素，就称读作：A包含于B（或B包

或

集合A是集合B的子集.含A）

如果集合AUB,但存在集A8（或BA）

合6中至少有一个元素不

真子集读作：A真包含于B（或B(^)

在集合/中，就称集合A

真包含A）

是集合B的真子集.

集合集合48中的元素相同

A=B

相等或1U8,且BUA.

（1）空集6：不含任何元素的集合；我们规定：空集是任何集合的子集,任何一个集合都是它本身的子集.

注：当AGB,若集合A可能为空集时，则要对集合A进行分类讨论，即：分为“①A为空集；②A不为

空集”两种情况。

（2）子集个数结论：

①含有〃个元素的集合有2〃个子集；

②含有A个元素的集合有2"—1个真子集；

③含有A个元素的集合有2"—2个非空真子集.

（3）符号的使用:

e和任用于元素与集合之间，c和&用于集合与集合之间.

知识点三集合的基本运算

1.集合间的基本运算

如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为，全集通常

用字母表示;

集合的并集集合的交集集合的补集

对于集合A,由全集U中

由属于集合A或属于集合由属于集合A且属于集合

不属于集合A的所有元

B的元素组成的集合，称B的元素组成的集合，称

素组成的集合称为集合

为集合A与集合B的并集.为集合A与集合B的交集.

A相对于全集U的补集.

画

图形(3D

符号AUB=AQB=(必=______________

2.交集并集的性质

(1).ADA=A,API<i>=4>；AUA=A,AU0=A

(2).A(~IB=BnA,AUB=BUA

(3).AQB^AHB=A^UB=B

知识点四充分条件与必要条件

1、充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p团q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件p回q且q国p

p是q的必要不充分条件p国q且q国p

P是q的充要条件p^q

p是q的既不充分也不必要条件p团q且q团p

2、若条件p,q以集合的形式出现，即4={x|p(x)},B={x\q(x)}9则由AM可得，p是q的充分条件，请

写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系.

①若4至8,则p是q的充分不必要条件；

②若A姐，贝Up是q的必要条件；

③若A区8,则p是q的必要不充分条件；

④若A=B,则p是q的充要条件；

⑤若AEJB且AEIB,则p是q的既不充分也不必要条件.

3.要证明p是q的充要条件：既要证明充分性，也要证明必要性，二者缺一不可，证明思路如下：

证明：①充分性：已知条件证明结论，即把P看作已知，证明q成立；

②必要性：已知结论证明条件，即把q看作已知，证明p成立；

知识点五全称量词与存在量词

1.全称量词和存在量词

(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“必”表示；

(2)存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“旦”表示.

(3)含有全称量词的命题，叫做全称命题.“对M中任意一个x,有p(x)成立"用符号简记为：WxGM,

〃(x),

(4)含有存在量词的命题，叫做特称命题.“存在M中元素前，使p(xo)成立"用符号简记为：皿"

。(殉).

2.含有一个量词的命题的否定

一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：

⑴全称量词命题p：VxWM,"(x),它的否定「p：3x^M,「p(x)；

(2)存在量词命题p：p(x),它的否定「p：VxGM,--/?(%),

全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.

3.书写命题否定的步骤：

(1)书写全称量词命题的否定：①全称量词改为存在量词，即“V”改为“m"；②否定结论.

(2)书写存在量词命题的否定：①存在量词改为全称量词，即“十‘改为“V"；②否定结论.

4.命题p与它的否定」p有且只有一个是真命题，即：若p为真，则「p为假；若p为假，则「p为真。

专题02一元二次方程、函数与不等式

知识点一不等式的性质

(1)对称性：a>b<^b<a.

(2)传递性：a>b,b>c=>a>c.

⑶可加性：a>h^a+c>b+c.

(4)可乘性：a>b,c>O=>ac>bc^a>b,c<O=>ac<bc.

(5)同向可加性：a>b,c>cl=^a+c>b+d.

(6)乘法法则：a>h>0,c>d>O=>ac>hd.

(7)乘方法则：a>小>0=>〃">方〃>05&N,佗2).

知识点二基本不等式

1.基本不等式(一正二定三相等)

如果。>0力〉0,那么a+b22府5,当且仅当。=力时，等号成立.

常见的变形有：①V^<—；②abM(乎产其中”2叫做正数a1的算术平均数，而

222

叫做正数a、b的几何平均数.

2.重要不等式:若a,beH,则a2+b2>2ab；

3.一个重要的不等式链：卷&曲哈河

---1---

ab

4.最值定理

已知都是正数，

（1）如果积孙等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2户.（积定和最小）

（2）如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积孙最大值,S?.（和定积最大）

4

知识点三二次函数与一元二次方程、不等式

L一元二次不等式的概念

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式.

2.三个“二次”的关系

设>=加+法+（?（4>0）,方程加+fer+c=O的判别式/=〃一4〃c

判别式J>0/=0J<0

有两个方口等的实数

有两个不相等的实数没有

求方程y=0的解h

根M，X2（X1<X2）根X\=及=一五实数根

解不等

式>>0函数y=ax2+bx+c(a7\r/

X

或y<0>0）的图象

的步骤

不等式解y>0{巾<须_或X>X2}R

集

y<0{,¥ki<X<X2)00

3.一元二次不等式恒成立问题

（1）一元二次不等式的解集为R（或恒成立）的条件

一元二次不等式a^+bx+c^加+/?%+(;<0

[a<0

存0b<ob<o

⑵有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法

设二次函数

若dX^+hx+c^k恒成立=)，maxWA

y=ax1+bx+c

4.一元二次不等式的解法

(1).解不含参数一元二次不等式的一般步骤：

①让不等式的右边为零；

②化二次项系数为正数；

③解对应方程的根；

④若③有解，利用口诀“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集；若③无解，画出对应一元二

次函数的草图，根据草图写出不等式的解集.

(2).解分式不等式的步骤：

CLX-Vb

①通过移项使不等式的右边为零，左边通分将其化为一->0形式；

cx+a

②将分式不等式一->0转为整式不等式(ax+b)(cx+d)>0；

cx+d

③之后步骤解不含参数一元二次不等式的一般步骤相同

注：当不等号为“之与<"时，要考虑“ex+dH0”

(3).解含参数一元二次不等式的一般步骤：

解含参数一元二次不等式的时候，往往要进行分类讨论：

①若二次项系数含参数，对二次项系数进行分类讨论，分为：a>0,a=0,a<0三种情况；

②若能因式分解，则解出方程的跟，观察根的大小，若不能确定根的大小，对两根的大小进行分类讨

论，分为：X】>X2,X1=X2,X]<X2三种情况；若不能因式分解，根据判别式，利用求根公式求出对应方

程的跟，再对两根的大小进行分类讨论.

专题03函数的概念与性质

知识点一函数的概念与分段函数

i.函数与映射的相关概念

(1)函数与映射的概念

函数映射

两个集合

设A、8是两个非空数集设A、8是两个非空集合

A、B

按照某种确定的对应关系力使对于集按某一个确定的对应关系力使对于集合

对应关系合A中的任意一个数x,在集合8中都4中的任意一个元素x,在集合8中都有

有唯一确定的数八X)和它对应唯一确定的元素y与之对应

称力A—B为从集合A到集合B的一个称f：A—B为从集合A到集合B的一个

名称

函数映射

记法

(2)函数的定义域、值域

在函数y=Ax),xdA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做

函数值，函数值的集合伏x)|xW4｝叫做函数的值域.

(3)函数的表示方法

函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.

①解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；

②列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；

③图象法：注意定义域对图象的影响.

2.判断对应关系是否是函数的方法：

①定义法：若一个x对应一个y,或多个x对应一个y,则该对应关系是函数；若一个x对应两个及两个以

上的y,则该对应关系不是函数；

即：函数允许一对一，多对一，但不不允许一对多

②图像法：作一条垂直于x轴的直线，并在定义域内左右平移，若与图像只有一个交点，则该图像为函数

图像；若存在与图像没有交点或有两个及两个以上的交点，则该图像不是函数图像.

3.函数相等的条件：①定义域相同；②对应关系相同.

知识点二函数的三要素

L函数的三要素

函数的三要素为定义域、值域、对应关系.

2.给出函数的解析式，求函数的定义域，一般考虑：

①分式的分母不为零；

②偶次方根内的式子大于等于0；

③指数嘉的指数为零时，底数不为零，即：/中XHO；

④对数函数或对数型函数的真数大于零.

注：①求函数的定义域时，不能对对应关系进行化简；②定义域和值域都要写成集合或区间的形式；

③多个定义域区间或多个值域区间用“U”连接.

3.常见函数的定义域：

(1)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(2)y=x°的定义域是国存0}.

(3)y="(a>0且a,l),y=siiv,y=cosx的定义域均为R.

(4)y=1og“x(a>0且存1)的定义域为(0,+oo).

兀

(5)y=tarir的定义域为{x|尤Wkjt+—,kGZ}.

4.抽象函数的概念

没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数.

5.复合函数的概念

若函数/⑺的定义域为A,函数f=g(x)的定义域为D,值域为C,则当时，称函数y=/(g(x))

为f(t)与g(x)在D上的复合函数.

6.抽象函数或复合函数的定义域

(1)已知/(x)的定义域为(a,b),求f(g(x))的定义域,解不等式a<g(x)<b所得x即为f(g(x求的定

义域；

(2)已知/(g(x))的定义域为(a,b),求/(x)的定义域，只要求出g(x)在(a,b)的取值范围，即为

/(%)的定义域；

(3)已知/(g(x))定义域，求/(版划)定义域.(1)(2)的综合，需转化.

7.解析式的求法(常用四种方法)

(1)待定系数法(适用于已知所求函数类型)：设出所求函数的一般形式，再根据题意列出方程求出系数：

(2)换元法(适用于已知f(g(x))的解析式)：可令t=g(x),解出x=h(t),代入表达式f(g(x))求出f(t)

得到关于t的解析式，再将t换成X即得到f(X)的解析式；

(3)配凑法(适用于已知条件为f(g(x))=F(x))：可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，再用x代替

g(x)即得f(X)的解析式；

(4)解方程组法(适用于已知f(x)满足某个等式，且除了f(x)外还有其他未知量，如f(-X),f(i)

X

等)：将题目已给等式作为①式，用-X,工替换题目已知等式中的X得到一个新的等式作为②式，联立

X

两式即得f(X)的解析式.

8.值域的求法(观察法、分离常数法、换元法、配方法)

(1)二次函数科利用图象或配方法求最值；

(2)分离参数法：形如y=空当，通过分离参数得到确定函数的值域为｛y|y#2

cx+dc

(3)换元法:对于一些无理数，可通过换元将其转化为有理数，如丫=ax+b±Vex+d,可令t=g+d,

转化为关于t的二次函数.

知识点三函数的单调性

1、函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数yu)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上

的任意两个自变量的值X”及

定义当X|<X2时，都有7(X1)勺(X2),那

当凶，时，都有段1)次X2)，那

么就说函数7U)在区间D上是增函

么就说函数J(x)在区间。匕是减函数

数

产)

图象7修)［曲)

opi~~%~X0X\~~X

描述

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y=/(x)在区间。上是增函数或减函数，那么就说函数y=/(x)在这一区间具有(严格的)单调性,

区间D叫做)，=4》)的单调区间.

注：当函数f(x)有多个增或减区间时，不能用“U”连接，用“，”或“和”连接.

2.单调性的性质

(1)若f(X)在区间D上单调递增QVX],X2>当X1VX2时,都有f(xjVf(X2)

=(x2—X1)[f(x2)—f(xj]>0<=>，(X2)——'(Xl)>Q

x2—X1

(2)若f(x)在区间D上单调递减QVX1，x2,当X1VX2时，都有f(Xi)>f(X2)

=(X2-X1)[f(x)-f(x)]<0<=>-<0

2tX2-X1

3.利用定义证明或判断y=f(x)在区间D上单调性的一般步骤：

①取值：取Vxi，x26D,且Xi<x2;

②作差：f(x2)-f(Xi)；

③变形：通常采用通分、配方、因式分解、分子有理化、分母有理化等；

④定号：判断差与0的大小；

⑤下结论.

4.利用导数的知识证明或判断y=f(x)的单调性的一般步骤：

(1)求函数的定义域；

(2)求导数F(x);

(3)令F(x)>0,解不等式，不等式的解集即为单调增区间，解集在定义域内的补集为单调减区间。

5.复合函数求单调性

对于复合函数，先将函数分解成/«)和t=g(x),然后分别讨论(或判断)这两个函数的单调性，

再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断，即：f(t)和t=g(x)单调性相同时，f(g(x)]单调递增；f(t)和t

=g(x)单调性不同时，f[g(x)]单调递减。

6.函数的最值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：

(1)对于任意的xGL都有f(x)〈M；存在与€/，使得f(x0)=M,那么，我们称M是函数y=f(x)的最

大值.

(2)对于任意的xei,都有f(x)\M；存在使得f(x0)=M,那么，我们称M是函数y=f(x)的最

小值.

7.求函数最值的方法：

(1)图像法：作出y=f(x)的图像，图像最高点的纵坐标即为函数f(x)的最大值，图像最低点的纵坐标即为

函数f(x)的最小值；

(2)单调性法：①若f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)min=f(a)，f(x)max=f(b)；

②若f(X)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)min=f(b)，f(X)max=f(a).

注意：(1)函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；

(2)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函

数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.

知识点四函数的奇偶性

1.函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性偶函数奇函数奇函数土奇函数=奇函数

偶函数士偶函数=偶函数

条件设函数f(x)的定义域为1,vxeI,都有一xel

奇函数X奇函数=偶函数

结论火x)y—x)/(X)=-/(-x)偶函数X偶函数=偶函数

图象特点关于y轴对称关于原点对称奇函数X偶函数=奇函数

(1)函数具有奇偶性的

一个前提条件是：定义域关于原点对称

(2)若奇函数的定义域包括0,则/(o)=o.

(3)若函数“X)是偶函数，则〃—X)=/(%)=/(凶).

(4)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)=0,xe(-a,a);

2.判断函数奇偶性的三种常用方法

而炊法:

仅)图蒙法:

(力性质法：奇乂奇=偶，奇又偶二奇，偶X偶二偶,奇十奇二奇等.

3.利用奇偶性求函数解析式的思路:

若已知f(x)的奇偶性和一个区间［a,b］上的解析式，求关于原点对称的区间卜b,同上的解析式:①设-xe［a,b］,

则xe［-b,-a］；②将-x代入已知区间［a,b］上的解析式中得f(-x)；根据函数的奇偶性与f(x)、f(-x)的关系求

出f(x).

知识点六幕函数

1、定义

a品函数的定义

_一般地,函数股.叫做事函数，其中隈自麦量,x是常数.

自易函数的图象与性废

在同一平面直南坐标系F星感数8”.8必

&稻打g二外t的图象如图.

一被湃心数的囹彖将征：

（I）所有的麴数在（。，十〜）上梆有之义,并且

图彖都过点a,必在第四象限一望没有图象，因为x>o时,上宏大于o；

⑵宾>0时,第囱数的图原通过原点,即图象-尬点（0，。）,“♦并且在区间

。十R）k是增函数特别也当a>1时，藕数鱼图象下凸；当。必1时序函数的

醵上凸；

G）当址0时是函数的图象在区间“，十R）上是戚函数，•不过（0，。）点，过点“D；

阳在第-象限,作直段“二1，题在直残2的右M舄指数越大，图彖越高.J

2.判断一个函数为塞函数的条件：

①丫二%。中％a的系数只能为1；②a为常数，X为自变量.

3.比较寨值大小的方法：

①单调性法：若幕值的指数相同或可化为相同指数时，则构造函数，利用幕函数

的单调性进行求解；

②中间值法：若塞值的底数与指数都不同时，常与中间值：“T、0、1”作比较；

专题04指数函数与对数函数的概念、简单性质

知识点一指数运算、对数运算与幕运算

1、指数与根式的运算

⑴.函)"="；

(2).n为奇数时，厂=。；n为偶数时，板F=|止卜

va[-a.a<0

(3).正分数指数塞：规定：。了=电区(。>0，m,〃£N*,且心1)

(4).负分数指数累：规定：an=(a〉0,m,〃£N*,且〃>1)

加晦

(记忆口诀：负指数幕等于正指数塞的倒数)

(5).事的运算性质(。>0,h>0,r,s£R)

(1)。社=亡.(2)(#)(3)(abY=aE

2、指数与对数间的关系

必=N=>%=logaN由此可得：(^>ogai=0；(^>ogaa=1

3、对数的性质、换底公式与运算性质

⑴对数的性质：①。臃/=乂②logM=b(a〉0,且存1).

(2)对数的运算法则：如果a>0且分1,M>0,N>0,那么

M

①loga(MAQ=log„M+logjv；②log，w=logaM—logaN；

③log,M』Mog"(〃£R)；④log〃机"="log“M机，〃金R,且加邦).

“III

(3)换底公式：1/火=警23,。均大于零且不等于1).

知识点二指数函数与对数函数的概念及图像

1、指数函数及其性质

(1)概念：函数且存1)叫做指数函数，其中指数X是自变量，函数的定义域是R,。是底数.

(2)指数函数的图象与性质

a>\0<。<1

尸’

图象

O|~1~WIX

定义域R

值域(0,+oo)

过定点(0,1),即1=0时，y=l

当x>0时，y>\；当光<0时，y>\；

性质

当犬<0时，0<yvl当x>0时,0<y<l

在(-8,+8)上是增函数在(-8,+00)上是减函数

2、对数函数及其性质

(1)概念：函数y=log我(。>0,且存1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+8).

(2)对数函数的图象与性质

a>\0<4<1

y

尸产log»X=1

图象

O

1

定义域：(0，+oo)

值域：R

当％=1时，y=0,即过定点(1,0)

性质

当x>l时，y>0；当x>\时,y<0；

当0<x<l时，><0当0<X<l时,y>0

在(0,+oo)上是增函数在(0,+8)上是减函数

知识点三比较大小(常与0、1、作比较)

知识点四函数的零点

1.函数的零点与方程的解

(1)函数零点的概念

对于函数了=/(了)・我们把使/(4)=0的实数Z叫

做函数、=/(/)的零点.

函数、=/(/)的零点就是方程/Q)=0的实数解.

也是函数、=/(/)的图象与才轴的公共点的横坐

标.所以

方程/(“)=0有实数解

㈡函数)=/(n)有牢点

Q函数)=/Gr)的图象与-r轴有公共点.

(2)函数零点存在定理

如果函数、=/(彳)和区间［a上的佟I象是一条连

续不断的曲线•且彳1/(a)/(〃)VO,那么.函数、=f

(了)在区间(a•〃)内至少有一个零点，即存在<€<«,

〃八使得/(c)=0•这个c也就是方程/(7)=0的解.

2.用二分法求方程的近似解

对于在区间上•刃上图象连续不断且/(a)/S)V0

的函数、=/(£),通过不断地把它的零点所在区间

一分为二•使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进

而得到零点近似值的方法叫做二分法.

给定粘确度£•用二分法求函数)，=/(才)零点］。的

近似值的一般步骤如下：

(1)确定零点%,的初始区间［a,〃［,验证/(a)/S)V0.

(2)求区间(a,5)的中点

(3)计算并进一步确定零点所在的区间：

①若/'(C)=O(此时No=。)，贝Uc就是函数的零启：

fQcz)fQc)<CO(litl日寸noC〈a，c))，贝Ub—c;

③若/")/"〉VO(止匕日寸工。£〈。，6))，贝4令口=e.

(4)判断是否达到精确度e：若Ia—6|Ve,贝U得至I」等

点的近彳以彳直a(或仙)；否贝I」重复步骤

由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法

来求方程的近似/解.

专题05指数型与对数型复合函数的性质

知识点一复合函数简单的单调性与奇偶性问题

例1.⑴函数y=ln(d+2x—3)的单调递减区间是()

A.(-8,—3)B.(—oo,—1)C.(-l,+oo)D.(1,+co)

(2)已知/(x)是定义在??上的奇函数，当x20时，/(x)=-x2+x.

(1)求函数的解析式;(2)求函数y=f(x)的零点.

【变式训练1-1L已知指数函数g(x)的图象经过点P(3,8)回

团1)求函数9(*)的解析式；回2)若g(2x2-3x+l)>g(，+2x-5),求x的取值范围.

知识点二复合函数的单调性

例2.⑴函数小)=1。号2r)的单调递增区间是()

A.(-co,2)B.(-00,0)C.(2,+oo)D.(0,4-oo)

(2)函数y=为增函数的区间是()

A.[-l,+oo)B.(-oo,-l]C.[l,+oo)D.(-co,l]

2

【变式训练2T】、已知函数/(X)=loga(-x+or-9)(。＞0,aH1).

(1)当a=10时，求/(x)的值域和单调减区间；

(2)若/(x)存在单调递增区间，求a的取值范围.

12-x

【变式训练2-2]、设/")=--+lg--,

''x+22+x

(1)求函数的定义域；

(2)判断/(X)的单调性，并根据函数单调性的定义证明；

(3)解关于x的不等式/；x(3-x)-g+lg3>0；

知识点三复合函数的最大值与最小值

例3.(1)函数〃x)Togi(-/-2x+3)的定义域为,最小值为.

2

(2)已知函数/(X)=24+2*,X€［O,3］，则该函数的最大值为，最小值为_

(3)函数/*)=1°8］(-2/+力的单调增区间是；“X)的值域是

2

【变式训练31］、已知式x)=log2(l-x)+log2(x+3),求式X)的定义域、值城.

【变式训练3-2】、设/(x)=loga(l+x)+loga(3-x)(a>0,a^l),fi/(1)=2.

(1)求。的值及/(x)的定义域；

-3~

(2)求/(x)在区间0,-上的最大值.

知识点四最值问题(含有参数)

例4.)函数/(x)=log〃(6-ax)在［0,2］上为减函数，则a的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,3)

C.(1,3］D.［3,+co)

【变式训练4-1］、已知函数/(x)=10g“x(。>0,且。工1)在；,2上的最大值为2.

(1)求a的值；

(2)若求使得/(/(划一2)>0成立的x的取值范围.

【变式训练4-2］、若函数y=1。82，-利+3。)在［2,+8)上是单调增函数，则a的取值范围是

11

【变式训练4-3］、已知函数了(幻=弁―一+4(-1<%<2).

42

a

(1)若％=］，求函数/(X)的值域；

(2)若