高中数学 B版 必修5 笔记 人教版

第一章解三角形

1.1解三角形及三角函数的应用

一、知识导学

1.解三角形的的常用定理：

(1)内角和定理：A+8+C=%结合诱导公式可减少角的个数.

nhc

(2)正弦定理：--=--=--=2R(R指AABC外接圆的半径)

sinAsinBsinC

(S=—absinC=—besinA=—tzesinB)

222

(3)余弦定理：/+/-2abcosC=c・2及其变形.

(4)勾股定理：RtMBC^a2+b2=c2

2.解三角形是指J知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其他的边角的问题.

三角函数的应用是指用三角函数的理论解答生产、科研和日常生活中的实际应用问题.

他的显著特点是(1)意义反映在三角形的边、角关系上，有直角三角形，也有斜三角形.(2)

函数模型多种多样，有三角函数，有代数函数，有时一个问题中三角函数与代数函数并存.

解三角函数应用题一般首先审题，三角函数应用题多以“文字语言，图形语言”并用的方式,

要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的

三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路；其次，寻求变

量之间的关系，也即抽象出数学问题，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等

方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数

学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.

二、疑难知识导析

1.时各类定理的应用要注意使用其变形逆用.同时充分利用方程的思想知道其中的部分量可求

出其他量.

2.三角函数的应用主要是图像和性质的应用.

3.三角形中元素关系的应用与实际问题中的应用关键是如何建立数模结构.

三、经典例题导讲

［例1］已知方程/+4办+3。+1=0(a为大于1的常数)的两根为tana,tan/,

且a、1，］)，则tan212的值是.

错解：Vtan«,tan/7^^^Sx2+4ax+3a+l=0的两个根

tana+tan1二-4ci，tana•tan/=3a+1

tancr+tan/7_-4a4

由tan(二+6)=-------------------------------r=一可得tan*=±2.

I-tana-tan[5I-(37a+1)32

错因：忽略了隐含限制tana,tan尸是方程/+45+3〃+1=0的两个负根，从而导致错误.

正解：*:a>\tana+tan/3=-4a<0,tana•tan/=3〃+1>o

/.tana,tan/7是方程/+4QX+3Q+1=0的两个负根

又a>[3e

./tana+tan£-4Q4a+£、

由tan(二+/)=------------=—7------；=一可得tan——匕=-2.

''1-tanatan^l-(3a+l)32

答案:-2.

[例2]在A48C中，已知a,b,c是角A、B、C的对应边，贝ij

①若a>%,则/(x)=(sinA-sinB)•x在R上是增函数：

@^a2-b2=(acosB+bcosA)2,则&ABC是RfA；

③cosC+sinC的最小值为-V2；

④若cosA=cos28,则A=B；

3

⑤若(l+tanA)(l+tan3)=2,则A+8=—万，其中错误命题的序号是.

4

错解：③④⑤中未考虑0<C<乃.

错因：④中未检验.

正解：错误命题③⑤.

①a>〃=sinA>sin8,sinA-sin5>0

/(x)=(sinA-sin8)x在R上是增函数。

@a2-b2=c2,a2=b2+c?,则AABC是R丛.

③sinc+cosc-V2sin(c+—),当sin(c+—)=-1,最小值为-V2.

44

显然0<c<乃,.得不到最小值为一72.

④cos2A=cos2B=>i>2A=2B,A=B

或2A=2乃一28,4=万-8,4+8=不(舍)，A=8.

⑤1+tanA+tan8+tanA♦tanfi=2,1-tanA♦tan6=tanA+tanB

tan4+tan81小14n71

--------------------L即Rrltxan(Az44-B)—1,A+8=—

1-tanA-tanB---------------------------------------------4

・二错误命题是③⑤.

［例3］函数地尸,inxcosx的值域为______________

1+sinx+cos%

错解:V_2，-F_2

令后忽视从而且⑺=一.力

错因:t=sinx+cosxr*-1,7

克」，-心

正解:'V|_2

22J

［例4］(06年高考江苏卷)cot200cos10°+V3sin10°tan700-2cos400=

【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值

解：cot20°cos100+V3sinl00tan700-2cos40°

cot20°cos10°sin100sin700

-2cos40°

sin20°cos70°

cos20°cos10°+V3sin10°cos20°

-2cos40°

sin20°

cos20°(cos10°+V3sinl00)

-2cos40°

sin20°

2cos20°(cos10°sin300+sin100cos30。)

-2cos40°

sin20°

_2cos20°sin40°-2sin20°cos40°

sin20°

=2

【解后反思】方法不拘泥，要注意灵活运用，在求三角的问题中，要注意这样的口决“三看”即

（1）看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化，（2）看名称，把一道等式尽量化成同一名称或相近

的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，（3）看式子，看式

子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用，如果不满足转化一下角或转换一下名称，就可

以使用.

［例5］在锐角AABC中，A<B<C,且B=60°,

,________________________/T_i

7(1+COS271)(1+cos2C)二号」，求证:a+V2Z?=2c.

解：VB=60°A+C=120°cos(A+Q=-—

又由已知J2cos2A•2cos?C=二L•锐角AABC中，cosA>0,cosC>0,

2

V3-1V3+1

/.cosAcosC=------sinAsinC=

44

.\cos(C-A)=^y即C-A=30°

；.A=45°B=60°C=75°

*7-4-

00

a+V2b=2R(sin45+-x/2sin60)=2•2R_=2•2Rsin75°=2c

4

［例6］如图，在平面有点A、B、P、Q,其中|4理=百，］44=忸2|=|0同=1,设4醺8与

△PQB面积为S、T,求S?+T2的取值范围.

解：设NBAP=aaG[0,-]

2

ZBQP=B,在△PAB,APBQ中

由余弦定理cosB=cosa-1

S2+T2=sina)2+(—sin3)2

22

3,1、27

=——(cosa———尸)+—

22A/38

当cosa=1时，S'd有最小值』百一3

I7

当cosa=一产时，S'+T?有最大值一

2738

［例7］已知函数段尸sin（3x+（p）,xeR,（其中3>0）的图像与x轴在原点右侧的第一个交点为N

（6,0），又;（2+x尸拿2-x）©）<0,求这个函数的解析式.

解:vf(2+x)=f(2-x)

，f(x)关于x=2对称，又x轴在原点右侧的第一个交点为N(6,0)

—=6-2=4,即7=16,/.co=—=—,

4T8

■7T3乃

将N(6,0)代入f(x)=sin(&x+(p)得:sin(—+<p)=0,

84

得:(p=2k/r+—或(p=2k;r+——(keZ),

44

•,-f(0)<0,.-.q)=2k;r+2(keZ),满足条件的最小正数(p=笆，

44

/.所求解析式f(x)=sin(

［例8］已知AABC的周长为6,|就,而,而|成等比数列，求

(1)AABC的面积S的最大值;

(2)BA-8C的取值范围.

解设依次为a,b,c,则a+b+c=6,b2=ac,

22

由余弦定理得cosB=a+c'-bQ~+C—CIC

2ac2ac

故有0<84C,又6=病<竺^=生也，从而0<bW2

322

(1)所以S=Lacsin8=L/sin8wL.22・sin2=百，B|JSmax=#)

2223

八、„a2+c2-b'(a+c)2-2ac-b~

(2)所以8A•8C=accos8=------------------=--------------------------

22

_2

(6-/?r-3/r=(/?+3)+27

■,-0<h<2,:.2<BABC<IS,

四、典型习题导练

BAA

1.在RtAABC中,C=90°，则sinAcos2(45°——)-sin一cos一

222

A.有最大值,和最小值0B.有最大值,但无最小值

44

C.即无最大值也无最小值D.有最大值,但无最小值

2

JI

2.要得到y=sin2x的图像，只需将y=cos（2x--）的图像（)

4

JIJIJI

A.向右平移一B.向左平移一C.向右平移一

884

3.电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数

1=A-sin®f+g（4>0,ty*0）的图像如图

所示，则当/=」-秒时，电流强度是安.

50

4.在4ABC中,sin4singsinC=」4QABC的形状

2228

为•

5.直角三角形的周长为定值2/,则斜边的最小值是

6.如果方程X2-4XCOS0+2=0与方程2x2+4xsin20-1=0有一根，互为倒数求«值,

其中0<0<JT.

7T

7.如图，已知一半径为1,圆心角为一的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD,

3

求该矩形的最大面积.

jr

8.在AA8C中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A-C--,求sinB

3

的值.

第二章数列

2.1数列概念

知识清单

1.数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作乙，在数列第•个位置的项叫第1项（或首项）,

在第二个位置的叫第2项，……，序号为〃的项叫第〃项（也叫通项）记作/；

数列的一般形式：ax,a2,a3,……,4,……,简记作｛a“｝。

(2)通项公式的定义：如果数列｛%｝的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么

这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如，数列①的通项公式是=n(n<7,〃eN+),

数列②的通项公式是=—(neN+

n

说明：

①｛4｝表示数列，%表示数列中的第〃项，a“=/(〃)表示数列的通项公式；

—]〃—2k--1

②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，4=(—1)"=4伙eZ)；③

+1,n-2k

不是每个数列都有通项公式。例如，1,1.4,1.41,1.414,……

(3)数列的函数特征与图象表示：

序号：123456

项：456789

上面每一项序号与这•项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函

数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N.(或它的有限子集)的函数/(〃)当自变量〃

从1开始依次取值时对应的一系列函数值/(1),/(2),/(3),……，/(«),…….通常用来

代替/(〃)，其图象是一群孤立点。

(4)数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项

之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。

(5)递推公式定义：如果已知数列｛4｝的第1项(或前几项)，且任一项凡与它的前一项a,-

(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

5(〃=1)

(6)数列｛«"｝的前”项和S”与通项册的关系：4

S“—S3心2)

课前预习

1.根据数列前4项，写出它的通项公式:

(1)1,3,5,7...；

22-132-142-152-1

(2),----------,------

2345

1111

(3)

1*22*33*44*5

2.数列｛a“｝中，已知a“=~~~一-(〃eN+),

⑵用上面的数列｛4｝,通过等式a=%-an+i构造新数列也｝,写出力,并写出｛〃｝

的前5项。

5.（05广东，14）设平面内有〃条直线（〃23）,其中有且仅有两条直线互相平行，任意三

条直线不过同一点.若用/（«）表示这〃条直线交点的个数，则/（4）=；当〃>4

时，/（〃）=（用〃表示）。

6.（2003京春理14,文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄

的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内。

年龄（岁）303s404550556065

收缩压（水银柱毫米）110US12012513013S(一)14S

舒张压（水银柱毫米）707375788083（一）88

2.2等差数列

知识清单

1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一

个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表

示。用递推公式表示为an-h=N2）或an+l-a„^d（n>1）。

2、等差数列的通项公式：a“=%

说明：等差数歹U(通常可称为AP数列)的单调性：4>0为递增数列，4=0为常数列，4<0

为递减数列。

3、等差中项的概念：

定义：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做。与力的等差中项。其中A=小

2

a,A,匕成等差数列

2

4,等差数列的前〃和的求和公式：S„=吗*。="4+迎二Dd»

22

5、等差数列的性质：

(1)在等差数列｛%｝中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

(2)在等差数列｛2｝中，相隔等距离的项组成的数列是AP,

女口：,。3，。5'a：,・・・・・・；。3，。8，。13，8，♦

Z7一0

(3)在等差数列｛。“｝中，对任意机，nwN「a=a+(«-m)d,d------(mn)；

nmn-m

(4)在等差数列｛”“｝中，若m,n,p,qeN+且m+n=p+q,贝ij%,+a“=%,+4；

说明：设数列｛%｝是等差数列，且公差为d,

C

(I)若项数为偶数，设共有2〃项，则①S奇—S偶=nd：②上='；

s偶。〃+1

S4n

(H)若项数为奇数，设共有2“一1项，则①S偶一S奇=%=a中；②』=——。

S仙n—\

6、数列最值

(1)q>0,d<0时，S„有最大值；4<0,d>0时，Sn有最小值；

(2)S“最值的求法：①若已知S“，可用二次函数最值的求法(〃eN+)；②若已知可，则

Aa>0[a<0

S〃最值时〃的值(nwNQ可如下确定<〃n或<"no

[。“+1<0b«+i20

课前预习

1.(01天津理,2)设S是数列｛&｝的前〃项和，且£=值则｛&｝是()

A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列

2.（06全国I）设｛4｝是公差为正数的等差数列，若q+%+/=15，%。2a3=80,则

a｝i+a]2+a]3=（）

A.120B.105C.90D.75

3.（02京）若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,

则这个数列有（）

A.13项B.12项C.11项D.10项

4.（01全国理）设数列｛4｝是递增等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的

首项是（）

A.1B.2C.4D.6

5.（06全国II）设S是等差数列｛a｝的前"项和，若区=,，则盘=

§63Sl2

6.（00全国）设｛为｝为等差数列，S,为数列｛&｝的前〃项和，已知S=7,Ss=75,A为

数列｛4｝的前〃项和，求T“。

n

7.（98全国）已知数列（AJ是等差数列,*1,7+/+…+儿=100.

（I）求数列｛〃,｝的通项b“；

（II）设数列｛&｝的通项a„=U（l+—）,记S是数列｛a〃｝的前〃项和，试比较S,与Llgb⑹

bn2

的大小，并证明你的结论。

8.（02上海）设｛4｝（/?GN*）是等差数列，S,是其前〃项的和，且W=S>&,则

下列结论埼送的是（）

A.d<0B.&=0C.&>£D.S与S均为S,的最大值

9.（94全国）等差数列｛a〃｝的前而项和为30,前2卬项和为100,则它的前3勿项和为（）

A.130B.170C.210D.260

疑难知识导析

1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按定的次序排列的，如果组成的数相同

而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列

看做一个定义域为正整数集或其有限子集（｛1,2,3,…，n｝）的函数.

2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.

[5,（«=1）,

3.数列｛aj的前n项的和S.与间的关系：*《1〉若④适合

EFI（n>2）.

a.（n22），则%不用分段形式表示，切不可不求ai而直接求a”.

4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a„=a,+(n-l)d=d-n+a「d,a。是关于n的一

次式；从图像上看，表示等差数列的各点(n,%)均匀排列在一条直线上，由两点确定一条

直线的性质，不难得出，任两项可以确定个等差数列.

5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为

2n

Sn-y/7+(tZ]~~)>若令A=g,B=a,—y,贝IjS"=Arf'+Bn.

6、在解决等差数列问题时，如已知，a.,a”，d,Sn,n中任意三个，可求其余两个。

经典例题导讲

[例1]已知数列1,4,7,10,3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通

项公式；(2)指出1+4+-+(3n-5)是该数列的前几项之和.

错解：(1)a„=3n+7;

(2)1+4+-+(3n-5)是该数列的前n项之和.

错因：误把最后一项(含n的代数式)看成了数列的通项.(1)若令n=l,ai=10H1,显然3n+7

不是它的通项.

正解：(1)a„=3n-2;

(2)1+4+…+(3n—5)是该数列的前n—1项的和.

[例2]已知数列｛q｝的前〃项之和为①S“=2〃2_〃②S“=〃2+〃+1

求数列｛4｝的通项公式。

22

错解：①an=2n-n-2(n-1)+(/?-1)=4/i-3

22

②an=H+n+l-(n-1)-(n-1)-1=2n

错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a=Sn—Se与的关系，没注意a二S1.

正解：①当及=1时，a]=S[=1

22

当〃22时,an=2n—n—2(n—l)4-(n—1)=4n—3

经检验〃=1时卬=1也适合，「.。〃二4〃-3

②当〃=1时，a]=S[=3

当〃22时，氏+〃+1—(〃-I)2—(〃-1)—1=2〃

._f3(〃=1)

♦・ci—<

"[2n(〃>2)

［例3］已知等差数列［“｝的前n项之和记为S.，SuFlO,SM=70,则SM等于

错解:Sso=S10•2d.d=30,Sio=S：w+d=100.

错因:

将等差数列中S.,S2m—S”,S3.-S编成等差数列误解为S”S2m>S30成等差数列.

10%+2=1。22

正解:由题意：<30x29得％=

30%+--------a=70

2

40x30

代入得So=404+x40d=120。

42

［例4］等差数列｛4｝、曲,｝的前n项和为S.、T,„若&=J"1(〃eN+),求”;

Tn4〃+27b1

错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故山题意令aF7n+l;bn=4n+27.

a1_7x7+1_10

^--4x7+27

错因：误认为——=―-

T〃bn

正解：.・.生=%+%=_7x13+1=92

b7%+〃7ri34x13+2779

［例5］已知一个等差数列｛可｝的通项公式an=25-5n,求数列｛|an|｝的前n项和;

错解：山为20得n<5

・•・｛〃〃｝前5项为非负，从第6项起为负,

Sn=a1+a2+a3+ai+a5=50(n<5)

当nN6时，Sn=Ia«|+|a7I+Ia«I+•••+Ia„I=-------'""------

2

50,n<5

•••Sn=<(20—5〃)(〃一5),

--------------------,n>6

I2

错因：一、把n45理解为n=5,二、把“前n项和”误认为“从n»6起”的和.

〃(45-5〃)

n<5

2

正解:

(20-5〃)("-5)।50

n>6

2'-

［例6］已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,

由此可以确定求其前〃项和的公式吗？

解：理由如下：由题设：S1°=310$20=1220

102+454=3104=4

得：4

20%+190d=1220［d=6

2

：.Sn=4/1+x6=3»+n

"2

［例7］已知：*=1024+lg2(lg2=0.3010)neN+(1)问前多少项之和为最

大？（2）前多少项之和的绝对值最小？

an=1024+(l-n)lg2>0=></?<-^+1n3401<n<3403

解：（1）

an+1=1024-n1g2<0lg2lg2

n=3402

（2）S“=1024“+2（；1）（一怆2）=o

当S0=0或S”近于0时其和绝对值最小

令：S“=0即1024+33二»(一馆2)=0

得："生+1。6804.99

1g2

'/nwN+，n=6805

［例8］项数是2n的等差数列，中间两项为。“和a“+1是方程/-px+q=0的两根，求证此

数列的和$2.是方程怆2%一（怆〃2+lgp2）lgx+（］g〃+［gp）2=。的根。（S2“>0）

证明：依题意a“+%+i=p

c2n(a

aaa=}

•\+2n=%+n+\P**S2n=-"—二叩

V1g2X-(1gH24-1gp2)1gX+(1gn+1gp)2=0

2

J.(Igx-lgn/?)=0/.x=np=S2n(获证)。

典型习题导练

1.已知q=3且。“=S.T+2",求an及Sn。

2.设6=加*反1+反^+--+”(〃+1)，求证：＜9；匕

3.求和：1+」一+——+•■•+-------------

1+21+2+31+2+3+…+”

4.求和：(IO。？-992)+(982-972)+---+(42-32)+(22-12)

5.已知a,6,c依次成等差数列，求证：一姐从一行一"依次成等差数列.

6.在等差数列｛%｝中，出+。13=40，贝1J«8+«9+«|0=()。

A.72B.60C.48D.36

7.已知｛%｝是等差数列，且满足am=〃，%=m｛m*〃)，则am+n等于-

8.已知数列|一成等差数列，且应=-口,小=—"，求&的值。

%+2J67

2.3等比数列

知识清单

1.等比数列定义

一般地，如果一个数列从第三项举，每一项与它的前一项的比等于同一个带教，那么这

个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q*0),即：

an+l：/=q(qH0)数列对于数列(1)(2)(3)都是等比数列，它们的公比依次是2,5,

(注意：”从第二项起“、“常数”4、等比数列的公比和项都不为零)

2.等比数列通项公式为：p"T(G.“HO)。

说明：(1)山等比数列的通项公式可以知道：当公比d=l时该数列既是等比数列也是等

差数列；(2)等比数列的通项公式知：若｛%｝为等比数列，则2=

an

3.等比中项

如果在a与6中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与匕的等比中项

（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

4.等比数列前n项和公式

-一般地，设等比数列。1，的，。3,…，氏，…的前n项和是S"=%+。2+。3+…+。"，当4H1时，

S,="（1-q"）或s"=虫Z4£；当q=i时，S“=叫（错位相减法）.

\-q\-q

说明：（1）和%,%,%S“各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是二,

通项公式中是q"T不要混淆；（3）应用求和公式时qwl,必要时应讨论q=l的情况。

5.等比数列的性质

①等比数列任意两项间的关系：如果。,是等比数列的第〃项，《“是等差数列的第机项，且

m<n,公也为q,则有an=。，"广"；

②对于等比数列｛%｝，若〃+〃?=w+v,则%•a=a-a,也就是：

—

______________________________A______________________________

a

%・%="2・=。3•册-2=……，如图所示："1'。2，。3,…,Q一2，%1,，n0

a2a„-i

③若数列｛““｝是等比数列，S“是其前n项的和，kwN*,那么臬，S2k-Sk,SvS2k成等

此数列。

如下图所示：

+。2+。3+•••+ak+ak+{+---+a2k+a2k+1+---+a3k

_________/\\________________________________/

■S2k-*SkS3k~S2k

课前预习

1.在等比数列｛《｝中，的=12,q=啦，则％9=.

2.2+百和2—G的等比中项为（）.

（A）l（5）-1（Q±l（02

3.在等比数列｛%｝中，a2=-2,a5=54,求6,

4.在等比数列｛4｝中，为和《0是方程2x2+5x+l=0的两个根，则知“=（）

（A）-"|（B）^~（C）—；（"）g

5.在等比数列｛4｝,已知%=5,a9al0=100,求

6.(2006年辽宁卷)在等比数列｛4｝中，q=2,前"项和为S"，若数列｛6,+1卜也是等比数

列，则S“等于()

A.2"+,-2B.3〃C.InD.3n-1

7.(2006年北京卷)设/(〃)=2+24+27+2|°+・一+23向°(“6"),则/(〃)等于()

797?

A.-(8"-1)B.-(8n+,-l)C.-(8),+3-1)D.-(8,,+4-1)

7777

8.(1996全国文，21)设等比数列｛a〃｝的前〃项和为S,若W+&=2W,求数列的公比g；

9.(2005江苏3)在各项都为正数的等比数列｛aj中，首项&=3,前三项和为21,则a,+

ai+as=()

(A)33(B)72(C)84(D)189

10.(2000上海，12)在等差数列｛a”｝中，若aio=O>则有等式ai+az+…+a户ai+a?+…+&9

-„(/7<19,〃GN)成立.类比上述性质，相应地:在等比数列｛4｝中，若&=1,则有等式成

立。

疑难知识导析

1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0,因此q也不为0.

2.对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.

3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果•个数列不是从第2项

起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，

这时可以说此数列从.第2项或第3项起是一个等比数列.

nH

4.在已知等比数列的ai和q的前提下，利用通项公式a.,=aiq,可求出等比数列中的任一

项.

5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用a“=ad-”可求等比数列中任意一项.

6.等比数列｛a“｝的通项公式a“=ad”可改写为%=幺p".当q>0,且qWl时，y=qx

q

是一个指数函数，而>=幺<、是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列｛aj

q

的图象是函数y=曳-qx的图象上的一群孤立的点.

q

7.在解决等比数列问题时，如已知，a,,a,„d,Sn,n中任意三个，可求其余两个。

经典例题导讲

［例1］已知数列｛外,｝的前n项之和S„=aq"（。力0应力1均为非零常数），则｛。“｝为（）。

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列，也不是等比数列

D.既是等差数列，又是等比数列

+]

错解：：。“+1=Sn+1-Sn=aq"-aq"=aq'\q-1)

4=S“-S,i=aqn~\q-\)

：.^-=q(常数)

.•.｛4｝为等比数列，即B。

错因：忽略了=S“—S’-中隐含条件n>l.

正解：当n=l时,ai=Si=aq;

当n>l时，.・.a〃=S〃—Sx=Q/T(q—l)

：.^-=q(常数)

但•••二=q-1wq

%

；.｛%｝既不是等差数列，也不是等比数列，选C。

［例2］已知等比数列｛4｝的前n项和记为S”，S,o=lO,S30=70,则S”等于.

错解：S3o=Sio,q2.q"=7,q=±-^71Sio=S30•q=±70^7.

错因:是将等比数列中s.,S&-S.,S3"-s加成等比数列误解为S”SMS3"成等比数列.

正解：由题意：得，1一4

佩〜）=70［/°=2或/。=-3（舍去）

I1—q

=200.

l-q

［例3］求和：a+a2+a3+,,e+an.

错解：a+a2+a3+--*+an=-~.

a

错因：是(1)数列｛3｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式(2)用

等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.

正解：当a=0时，a+a2+a3+-"+an=0;

当a=l时，a+a2+a'+…+a”=n;

当aW1时，a+a2+a'+…+a”=--------.

\-a

［例4］设a,b,c,d均为非零实数，(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0,

求证：a,b,c成等比数列且公比为4。

证明：

证法一：关于d的二次方程(力+^卜=2风2+°”+。2+°2=o有实根，

AA=4/>2(«+c)2-4(«2+b2\h2+c2)>0,：.-(b2-acf

则必有：――如=0,即〃=碇，.•.非零实数a也c成等比数列

设公比为4，则6=c=a/代入

｛ci~+a/-卜2_2aq(a+aq-V+a~q-+u~—0

♦.•(42+1,2*0,即12—2qd+q2=0,即1=4*0。

证法二：•••(/+b2k2_2。(4+,卜+。2+，=o

：.(a2d2-2ahd+h2)+(l)2d2-2bcd+c2)^0

：.(ad-b)2+(bd-c)2=0,:.ad=b,且bd=c

bc

-a也c,d非零,：.-=-=d.

ab

［例5］在等比数列｛a｝中，%=3,求该数列前7项之积。

解:636465db7=血b/b2b6X她»4

2

Vh4=帅［=b2b6=b3b5,：.前七项之积(32丫X3=3?=2187

［例6］求数列｛nx(｝前〃项和

解：5,=lx—+2x—+3x-+........+nx-①

";2482"

—S=lx—+2x—+3x—+…+(〃-I)x—+〃x——-(2)

2"48162"2,,+l

11n

两式相减：—s=—+—+—+x

2"248