初中数学答题模板+真题压轴练

初中数学最全答题模板+真题压轴练

答题模板

九种题型

L线段、角的计算与证明问题

中考的解答题一般是分两到三部分的。

第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。

第二部分往往就是开始拉分的中难题了。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在

于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。

线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，

后面的路子自己就“通”了。

2.图形位置关系

中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及

圆这么几类图形之间的关系。

在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其

他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。

3.动态几何

从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，

一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平

移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼

高分。

4.一元二次方程与二次函数

在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在

于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。

相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的

计算能力以及代数功底有了比较高的要求。

中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其

他知识点辅助的形式出现的。一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二

次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。

但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知

识点结合。

5.多种函数交叉综合问题

初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。这类题目本

身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生

对于一次函数以及反比例函数的掌握。所以在中考中面对这类问题，一定要做到

避免失分。

6.列方程（组）解应用题

在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，

有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。

方程可以说是初中数学当中最重要的部分，所以也是中考中必考内容。

从近年来的中考来看，结合时事热点考的比较多，所以还需要考生有一些生

活经验。实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么

几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就可以从容应

对了。

7.动态几何与函数问题

整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何

图形的性质结合代数知识来考察。

而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生

的计算功夫。

但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。其中通过图中已

给几何图形构建函数是重点考察对象。做这类题时一定要有“减少复杂性”“增

大灵活性”的主体思想。

8.几何图形的归纳、猜想问题

中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系

统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。

对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的。

9.阅读理解问题

如今中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。

阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目

的解法，然后再给条件出题。

对于这种题来说，如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话,

往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。所以如何读懂题以及如何利用题就成

为了关键。

解题策略

1.学会运用数形结合思想

数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，

寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，

解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。

数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

纵观近几年全国各地的中考压轴题，绝大部分都是与平面直角坐标系有关，

其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何

图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。

2.学会运用函数与方程思想

从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知

量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到

解决的思维方法，这就是方程思想。

用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程

（组）。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示

的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。

例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。

3.学会运用分类讨论的思想

分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变

性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论,

就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新

的热点。

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，

并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解

题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准;

（3）分类讨论应逐级进行，正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。

4.学会运用等价转换思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我

们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽

象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。

转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通

过转化来获得解决问题的转机。

任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括

由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间

的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，

转换的思路更要得到充分的应用。

中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考

生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全

面。

因此有的考生对压轴题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至

连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，

考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。

5.要学会抢得分点

一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道

题目解题思路转化为得分点。

如中考数学压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是第1小题较

易，大部学生都能拿到分数；第2小题中等，起到承上启下的作用；第3题偏难，

不过往往建立在1、2两小题的基础之上。

因此，我们在解答时要把第1小题的分数一定拿到，第2小题的分数要力争

拿到，第3小题的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能

性。

中考的评分标准是按照题目所考查的知识点进行评分，解对知识点、抓住得

分点就会得分。因此，对于数学中考压轴题尽可能解答“靠近”得分点，最大限

度地发挥自己的水平，把中考数学压轴题变成高分踏脚石。

解中考数学压轴题，一要树立必胜的信心；二要具备扎实的基础知识和熟练

的基本技能；三要掌握常用的解题策略。

真题压轴练

一'选择题（共15小题）

1.如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD〃BC,AB=CD,AD=V2,E为CD中点，连接AE,

且AE=2加，ZDAE=30",作AE_LAF交BC于F,则BF=()

c.V5-1D.4-2V2

考点：等腰梯形的性质

专题：压轴题.

分析:延长AE交BC的延长线于G,根据线段中点的定义可得CE=DE,根据两直线平行，

内错角相等可得到NDAE=NG=30°,然后利用“角角边”证明4ADE和4GCE全等,

根据全等三角形对应边相等可得CG=AD,AE=EG,然后解直角三角形求出AF、GF,

过点A作AMLBC于M,过点D作DNLBC于N,根据等腰梯形的性质可得BM=CN,再

解直角三角形求出MG,然后求出CN,MF,然后根据BF=BM-MF计算即可得解.

解答:解：如图，延长AE交BC的延长线于G.

•••E为CD中点，

.,.CE=DE,

；AD〃BC,

ZDAE=ZG=30°,

在4ADE和4GCE中，

(ZDAE=ZG

-ZAED=ZGEC,

[cE=DE

.-.△ADE^AGCE(AAS),

.,.CG=AD=V2,AE=EG=2“，

.-.AG=AE+EG=2V3+2V3=4V3,

•.,AE±AF,

.,.AF=AGtan30°=4«X爽=4,

3

GF=AG4~cos30°运8,

2

过点A作AMLBC于M,过点D作DNLBC于N,

则MN=AD=V2,

••.四边形ABCD为等腰梯形，

.-.BM=CN,

,.,MG=AG»cos30°=4。3乂—6,

2

CN=MG-MN-CG=6-&-匠6-242,

-.■AF±AE,AM±BC,

ZFAM=ZG=30°,

点评：本题考查了等腰梯形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟记各性

质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形，过上底的两个顶点作出梯

形的两条高.

2.如图，已知Ii〃l2〃b,相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角AABC的三个顶

点分别在这三条平行直线上，则sina的值是（)

D.V10

考点：全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；等腰直角三角形；锐角三角函数的

_______________________________________________________________________________

专题：压轴题.

过点A作AD，*于D,过点B作BEJL。于E,根据同角的余角相等求出NCAD二NBCE,

然后利用“角角边”证明4ACD和4CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得

CD=BE,然后利用勾股定理列式求出AC,再根据等腰直角三角形斜边等于直角边的

点倍求出AB,然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解.

解：如图，过点A作AD，li于D,过点B作BELL于E,设513间的距离为

1,

ZCAD+ZACD=90",

ZBCE+ZACD=90°,

...ZCAD=ZBCE,

在等腰直角aABC中，AC=BC,

在4ACD和4CBE中，

(ZCAD=ZBCE

'ZADC=ZBEC=90°,

[AC=BC

.'.△ACD^ACBE(AAS),

.,.CD=BE=1,

在Rt/kACD中，Ac=^y22=^y2^+1,

在等腰直角AABC中，AB=V2AC=72XV5=V10,

•.na-1-^10

.>sInu.—.__—-------.

Vloio

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定

义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

3.如图，已知:NM0N=30°,点Ai、A2、A3…在射线ON上，点&、B?、B3…在射线0M上,

△ABA?、AA2B2A3XAABB3A4…均为等边三角形，若0A尸1,则AAGB6A7的边长为（）

A.6B.12C.32D.64

考点：等边三角形的性质；含30度角的直角三角形.

专题：压轴题；规律型.

分析,一

,根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出AIB1/7A2B2Z/A3B3,以及A2B2=2BIA2,

得出A3B3=4BIA2=4,A4B4=8BIA2=8,A5BS=16BIA2…进而得出答案.

解答.一

解：•••△ABA?是等边三角形，

.,.AIBI=A2BI,Z3=Z4=Z12=60°,

AZ2=120°,

ZM0N=30°,

/.Z1=180°-120°-30°=30°,

又・・・N3=60°,

/.Z5=180°-60°-30°=90°,

VZM0N=Z1=30°,

.'.0Ai=AiBi=1,

A2BI=1,

,「△A2B2A3、Z\A3B3A4是等边三角形，

Z11=Z10=60°,Z13=60°,

VZ4=Z12=60°,

A1B1〃A2B2〃A3B3,BiA2〃B2A3,

・・・NkN6=N7=30°,N5=N8=90°,

・.AZB2=2BIA2,B3A3=2B2A3,

A3B3-4B1A2=4,

A4B4=8BIA2=8,

A5B5=16BIA2=16,

以此类推：A6B6=32B1A2=32.

故选：c.

朱M

0A,以4

点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出

A3B3FB1A2,AAB4=8BIA2,々85=16B1A2进而发现规律是解题关键.

4.如图，AABC与4DEF均为等边三角形，。为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（）

A.V3：1B.V2：1C.5：3D.不确定

考占.

n八、、■相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质.

专题:压轴题.

分析：连接OA、0D,由已知可以推出OB：0A=0E：0D,推出△ODAsaOEB,根据锐角三角

函数即可推出AD：BE的值.

解答：解：连接OA、0D,

「△ABC与4DEF均为等边三角形，。为BC、EF的中点，

.-.AO±BC,DO±EF,ZED0=30°,ZBA0=30°,

.,.OD：OE=OA：0B=A/3：1,

---NDOE+NEOA=ZBOA+NEOA

即NDOA=NEOB,

.,.△DOA^AEOB,

.,.OD：OE=OA：OB=AD：BE=V3：1.

故选:A.

二B

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质，本题的关键在于找

到需要证相似的三角形，找到对应边的比即可.

5.如图所示，点P(3a,a)是反比例函数y*(k>0)与。0的一个交点，图中阴影部

x

D.y_12

x

考点：反比例函数图象的对称性.

专题：压轴题；转化思想.

分析：根据P(3a,a)和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面

积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出a的值，从而得出

_____反比例函数的解析式.

解答：解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为工圆面积，

4

则圆的面积为10nX4=40n.

6.如图，已知点A,B,C,D均在已知圆上，AD〃BC,AC平分NBCD,ZADC=120°,四

边形ABCD的周长为10cm.图中阴影部分的面积为（）

4,\/3cm2

考点：扇形面积的计算.__________________________________________________________________

压轴题.

^¥7要求阴影部分的面积，就要从图中看出阴影部分是由哪几部分得来的，然后依面积

公式计算._________________________________________________________________________

解答:解：「AC平分NBCD,

A1>AB,

•「AD〃BC,AC平分NBCD,NADC=120°

所以NACD二NDAC二30°,

••AD—CD»

ZBAC=90°ZB=60°,

.'.BC=2AB,

四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD」：BCX3+BC=10,

2

解得BC=4cm,

.■•圆的半径二X4=2cm,

2

••・阴影部分的面积=4TTX22-(2+4)X5+2]+3=Wn-小m?.

23

故选：B.

点评:本题的关键是要证明BC就是圆的直径，然后根据给出的周长求半径，再求阴影部

分的面积.

7.如图，在RtaABC中，ZC=90",AC=8,BCM,分别以AC、BC为直径画半圆，则图中

阴影部分的面积为（）

10n-32C.10n-16D.20n-132

考点：扇形面积的计算.

分析：图中阴影部分的面积为两个半圆的面积-三角形的面积，然后利用三角形的面积计

_____算即可.

解姣.

口,解：设各个部分的面积为：Si、S2、S3、S4、S5,

如图所示：

,•,两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4,ZXABC的面积是S3+S4+S5,阴影部分的

面积是：S1+S2+S4,

；・图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积.

即阴影部分的面积」nX16+^nX4-lx8X4=10n-16.

222

故选：C.

点评：本题考查了扇形面积的计算，的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积

-三角形的面积.

8.如图，将半径为6的。。沿AB折叠，标与AB垂直的半径0C交于点D且CD=20D,则

折痕AB的长为（）

A.472B.8>/2C.6D.673

考占­

J八、、•垂径定理；勾股定理；翻折变换（折叠问题）.

分析:延长C0交AB于E点，连接0B,构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB的

长

解答：解：延长co交AB于E点，连接0B,

VCEXAB,

・・・E为AB的中点,

'/00=6,CD=20D,

「•CD=4,0D=2,0B=6,

「•DE」(20C-CD)J(6X2-4)=1x8=4,

222

.'.0E=DE-0D=4-2=2,

在RtZ\OEB中，

•/OE2+BE2=OB2,

-'-BE=7OB2-0E&Ve2-2匕4正

.-.AB=2BE=8V2.

故选：B.

C

AE%

点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利

用勾股定理求解是解答此题的关键.

9.如图，在RtZ\ABC中，Z0=90°,AC=6,BC=8,。。为AABC的内切圆，点D是斜边

AB的中点，则tanN0DA=（）

c

考占.

J八、、•三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义.

压轴题.一

设。。与AB,AC,BC分别相切于点E,F,G,连接OE,OF,0G,则0ELAB.根据

勾股定理得AB=1O,再根据切线长定理得到AF=AE,CF=CG,从而得到四边形OFCG

是正方形，根据正方形的性质得到设0F=x,则CF=CG=OF=x,AF=AE=6-x,BE=BG=8

-x,建立方程求出x值，进而求出AE与DE的值，最后根据三角形函数的定义即

可求出最后结果.

解答:解：过。点作OE_LABOF_LACOGJ_BC,

Z0GC=Z0FC=Z0ED=90°,

'.'ZC=90°,AC=6BC=8,

.,.AB=1O

•・・。0为△ABC的内切圆,

・・・AF=AE,CF=CG（切线长相等）

'.'ZC=90°,

・•・四边形OFCG是矩形，

•/OG=OF,

•・・四边形OFCG是正方形，

设0F=x,则CF=CG=0F=x,AF=AE=6-x,BE=BG=8-x,

.'.6-x+8-x-10,

「.OF=2,

「.AE=4,

:点D是斜边AB的中点，

.".AD=5,

.-.DE-AD-AE=1,

.,.tanZ0DA=-55=2.

DE

故选：D.

点评：此题要能够根据切线长定理证明：作三角形的内切圆，其中的切线长等于切线长所

在的两边和与对边差的一半；直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边

的差的一半.

10.已知直角梯形ABCD中，AD〃BC,AB±BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动，则当

PA+PD取最小值时，Z\APD中边AP上的高为（)

C.D.3

考点:轴对称-最短路线问题；勾股定理.

压轴题.一

要求三角形的面积，就要先求出它的高，根据勾股定理即可得.一

^¥7解：过点D作DE_LBC于E,

；AD〃BC,AB_LBC,

，四边形ABED是矩形，

；.BE=AD=2,

■.■BC=CD=5,

.,.EC=3,

J.AB=DE=4,

延长AB到A，,使得A'B=AB,连接A，D交BC于P,此时PA+PD最小，即当P在

AD的中垂线上，PA+PD取最小值，

；B为AA'的中点，BP/7AD

,此时BP为4AA'D的中位线，

.-.BP=1AD=I,

2

根据勾股定理可得AP=^AB2+Bp2=V17,

在4APD中，由面积公式可得

△APD中边AP

故选：C.

点评：此题综合性较强，考查了梯形一般辅助线的作法、勾股定理、三角形的面积计算等

知识点.

11.如图，在AABC中，AB=AC,NBAC=90°,点D为线段BC上一点，连接AD,以AD为

一边且在AD的右侧作正方形ADEF,CF交DE于点P.若AC=4^,CD=2,则线段CP的长

C.V2D.M

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.

分析：根据ADEF是正方形推出AD=AF,ZDAF=90°,证4ABD丝AACF,推出CF=BD,求出

AD,证△FEPs/^DCP,得出比例式，代入求出即可.

解答：解：过A作AM_LBD于M,

,.■ZBAC=90",AB=AC=4V2,

ZB=ZACB=45°,由勾股定理得：BC=8,

,.•CD=2,

；.BD=8-2=6,

ZBAC=90",AB=AC,AM±BC,

二.NB=NBAM=45°,

,.,AB=4A/2,

二由勾股定理得：BM=AM=4,

.,.DM=6-4=2,

在Rt^AMD中，由勾股定理得：ADWj+22=2V5,

.「四边形ADEF是正方形，

.\EF=DE=AF=AD=2V5,NE=90°,

.「ADEF是正方形，

/.AD=AF,ZDAF=90°.

*/ZBAC=90°,

・•・NBAD=ZCAF=90°-ZDAC.

设CP=x,

'/^△ABD和AACF中

网二AC

</BAD=NFAC

心AF

/.△ABD^AACF(SAS),

・・・CF=BD=6,ZB=ZACB=ZACF=45°,

・・・NPCD=90°二NE,

VZFPE=ZDPC,

/.AFPE^ADPC,

12.如图，正方形ABCD的边长是4,NDAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD

和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（）

C.272D.472

考占.

J!\\\"轴对称-最短路线问题；正方形的性质.

压轴题；探究型.一

过D作AE的垂线交AE于F,交AC于D"再过『作D'P'LAD,由角平分线的

性质可得出D，是D关于AE的对称点，进而可知。P'即为DQ+PQ的最小值.

解答:解：作D关于AE的对称点。，再过D，作D，P，LAD于P，,

,.,DDZ±AE,

ZAFD=ZAFDz,

\AF=AF,NDAE=NCAE,

.,.△DAF^AD/AF,

.■.D/是D关于AE的对称点，AD'=AD=4,

,

.'.DP'即为DQ+PQ的最小值,

•••四边形ABCD是正方形，

ZDADz=45°,

二•AP，二P，D',

.二在RtZ\AP'D'中,

2292

P'D'+AP'=AD',AD'=16,

・「AP'=PZD',

22?

2P'D'=ADZ,即2P'D'=16,

•・PD'=2y/2,即DQ+PQ的最小值为2我.

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.

13.如图，已知抛物线IKy=-x?+2x与x轴分别交于A、0两点，顶点为M.将抛物线L

关于y轴对称到抛物线I2.则抛物线I2过点0,与x轴的另一个交点为B,顶点为N,连

接AM、MN、NB,则四边形AMNB的面积()

考点：二次函数综合题.

分析:

根据抛物线L的解析式求出顶点M,和x轴交点A的坐标，然后根据对称图形的知

识可求出M、N的坐标，也可得到四边形NBAM是等腰梯形，求出四边形NBAM的面

积即可.

解：：抛物线的解析式为：y=-x2+2x=-(x-1)2+1,

，顶点坐标为：M(1,1),

当y=0时，-x+2x=0,

解得：x=0或x=2,

则A坐标为(2,0),

,门2和L关于y轴对称，

，AM=BN,N和M关于y轴对称，B和A关于y轴对称，

则N(-1,1),B(-2,0),

过N作NCJLAB交AB与点C,

；AM=BN,MN〃AB,

二四边形NBAM是等腰梯形，

在等腰梯形NBAM中，

MN,1-(-1)-2,AB=2-(-2)-4,

NC=1,

，S四边形NBAM=1(MN+AB)»NC=3.

2

故选：A.

Tfv

点评:本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和等腰梯形

的面积求法，根据对称图形得出N,B的坐标是解答本题的关键.

14.如图所示的二次函数y=ax?+bx+c的图象中，刘星同学观察

o___

得出了下面四条信息：①a+b+c=O；②b>2a；③ax+bx+c=O的两根分别为-3和1；④a

-2b+c>0.你认为其中正确的有()

3个C.2个D.1个

考点:二次函数图象与系数的关系._________________________________________________

垂数形结合.一

就由于抛物线过点(1,0),则a+b+c=0,可判断①正确；根据抛物线对称轴方程得到

X=-A=-1,则2a-b=0,可判断②错误；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴

2a

两交点坐标为（-3,0）,（1,0）,则ax、bx+c=0的两根分别为-3和1,可判断③

正确;利用b-2a,a+b+c=0得至ljc--3a,贝I]a-2b+c-a-4a-3a--7a,而抛物线

开口向上，得到a>0,于是可对④进行判断.

解答:解：•.•抛物线过点（1,0）,

a+b+c=0,所以①正确；

•.・抛物线的对称轴为直线x=-A=-i,

2a

.■•2a-b=0,所以②错误；

•.・点（1,0）关于直线x=-1的对称点为（-3,0）,

二抛物线与x轴两交点坐标为（-3,0）,（1,0）,

.'-ax+bx+c=0的两根分别为-3和1,所以③正确；

'.'b-2a,a+b+c-0,

.'.a+2a+c-0,即c--3a,

.'.a-2b+c=a-4a-3a=-7a,

••・抛物线开口向上，

/.a-2b+c=-7a<0,所以④错误.

故选：c.

点评：

本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax?+bx+c（a片0）的图象为

抛物线，当a>0,抛物线开口向上；对称轴为直线x=-上；抛物线与y轴的交点

2a

坐标为（0,c）.也考查了一次函数的性质.

15.如图，已知抛物线I/尸x2-6x+5与x轴分别交于A、B两点，顶点为M.将抛物

线沿x轴翻折后再向左平移得到抛物线12.若抛物线12过点B,与x轴的另一个交点

D.40

考点：二次函数综合题；轴对称的性质.

分析：由抛物线li的解析式可求AB的长，根据对称性可知BC=AB,再求抛物线的顶点坐

标，用计算三角形面积的方法求四边形AMCN的面积.

解答：2

解：由y=x-6x+5得y=(x-1)(x-5)或y=(x-3)一,

••・抛物线II与X轴两交点坐标为A(5,0),B(1,0),顶点坐标M(3,-4),

.,.AB=5-1=4,

由翻折，平移的知识可知，BC=AB=4,N(-1,4),

.,.AC=AB+BC=8,

S四边形AMCN-SAACN+SAACM--X8X4+—X8X4=32.

22

故选：A.

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点.主要考查

学生数形结合的数学思想方法.

二、填空题（共15小题）

16.如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数

有485.

考占.规律型：图形的变化类.

专题：压轴题；规律型.

分析:由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5X3+2=17个正三角形,

第三个图形中17X3+2=53个正三角形，由此得出第四个图形中53X3+2=161个正

三角形，第五个图形中161X3+2=485个正三角形.

解答：解：第一个图形正三角形的个数为5,

第二个图形正三角形的个数为5X3+2=17,

第三个图形正三角形的个数为17X3+2=53,

第四个图形正三角形的个数为53X3+2=161,

第五个图形正三角形的个数为161X3+2=485.

如果是第n个图，则有2X3n-1个

故答案为：485.

点评：此题考查图形的变化规律，找出数字与图形之间的联系，找出规律解决问题.

17.如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5

个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有」个正方形.

田H

第1幅第2幅第3幅

考点：规律型：图形的变化类.

专题:压轴题.

分析：观察图形发现第一个有1个正方形，第二个有1+4=5个正方形，第三个有1+4+9=14

个正方形，…从而得到答案.

解答:解：观察图形发现第一个有1个正方形，

第二个有1+4=5个正方形，

第三个有1+4+9=14个正方形，

第n个有：In(n+1)(2n+1)个正方形，

6

第6个有1+4+9+16+25+36=91个正方形，

故答案为：91

点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细关系图形并找到规律，本题采用

了穷举法.

18.如图，Rt^ABC中，Z0=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线

交于点0,连接0C,已知AC=5,00=672,则另一直角边BC的长为7.

考占・正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.

遗计算题；压轴题.一

就过0作0F垂直于BC,再过A作AM垂直于0F,由四边形ABDE为正方形，得到OA=OB,

NA0B为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于M0,得到AAOM为直角三角形，

其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，

OA=OB,利用AAS可得出aAOM与aBOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出

AM=OF,OM=FB,由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对

边相等可得出AC=MF,AM=CF,等量代换可得出CF=OF,即△COF为等腰直角三角形,

由斜边0C的长，利用勾股定理求出0F与CF的长，根据OF-MF求出0M的长，即

为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长.

解答:解法一：如图1所示，过。作OFLBC,过A作AM_LOF,

・四边形ABDE为正方形，

ZA0B=90°,OA=OB,

ZA0M+ZB0F=90°,

又NAM0=90°,ZA0M+Z0AM=90",

NBOF=NOAM,

在△AOM和aBOF中，

[ZAMO=ZOFB=90°

<NOAM=/BOF,

[OA=OB

.,.△AOM^ABOF(AAS),

.,.AM=OF,OM=FB,

又NACB=NAMF=NCFM=90°,

二四边形ACFM为矩形，

.,.AM=CF,AC=MF=5,

.-.OF=CF,

・•.△OCF为等腰直角三角形，

00=672,

・•・根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2,

解得：CF=0F=6,

.'.FB=OM=OF-FM=6-5=1,

则BC=CF+BF=6+1=7.

故答案为：7.

E

CFB

图1

解法二：如图2所示，

过点。作OMJ_CA,交CA的延长线于点M；过点0作ONJ_BC于点N.

易证△OMAgZ\ONB,.-.OM=ON,MA=NB.

..•0点在NACB的平分线上，

■,.△OCM为等腰直角三角形.

00=672,

，CM=0N=6.

.,.MA=CM-AC=6-5=1,

.-.BC=CN+NB=6+1=7.

故答案为:7.

19.如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2,0）,点B的坐标是（0,2）,直线

考占.

j八、、*一次函数综合题.____________________________________________________________

压轴题.一

就根据三角形内心的特点知NABO=NCBO,根据点C、点B的坐标得出OB=OC,

N0BC=45°,ZABC=90°可知aABC为直角三角形，BC=25/2,然后根据两点间距离

公式及勾股定理得出点A坐标，从而得出AB,即可得出答案.___________________

解答:解：根据三角形内心的特点知NAB0=NCB0,

..・已知点C、点B的坐标，

.-.0B=0C,Z0BC=45",ZABC=90"可知△ABC为直角三角形，BC=2近,

••・点A在直线AC上，设A点坐标为（x,lx-1）,

2

根据两点距离公式可得：

*222

AB=X+（-1X-3）,

AC2=(X-2)2+(工-1)2

在RtZ\ABC中,

AB2+BC2=AC2,

解得:X=-6,y=-4,

.,.AB=6V2,

二.tanA匹平工

AB6723

故答案为：1.

3

点评:本题主要考查了三角形内心的特点，两点间距离公式、勾股定理，综合性较强，难

度较大.

20.刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a,

b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b-1,例如把（3,-2）放入其中，就会得到

32+（-2）-1=6.现将实数对（m,-2m）放入其中，得到实数2,则m=3或-1.

考点：解一元二次方程-因式分解法.

专题：压轴题；新定义.

分析：

根据题意，把实数对（m,-2m）代入a2+b-1=2中，得到一个一元二次方程，利用

因式分解法可求出m的值.

解答:

解：把实数对（m,-2m）代入a+b-1=2中得m-2m-1=2

移项得m-2m-3=0

因式分解得（m-3）（m+1）=0

解得m=3或-1.

故答案为：3或-1.

点评：

根据题意，把实数对（m,-2m）代入a?+b-1=2中，并进行因式分解，再利用积为

0的特点解出方程的根.

21.对于平面内任意一个凸四边形ABCD,现从以下四个关系式①AB=CD；②AD=BC；③AB〃CD；

④NA=NC中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是1.

考占•概率公式；平行四边形的判定.

专题：压轴题.

分析:本题是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式.

解答:解：从四个条件中选两个共有六种可能：①②、①③、①④、②③、②④、③④，

其中只有①②、①③和③④可以判断ABCD是平行四边形，所以其概率为圣」.

62

故答案为：上

2

点评：用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；两组对边分别相等的四边形

是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组

对角相等的四边形是平行四边形.

22.如图，已知直线I：y=5x,过点A(0,1)作轴的垂线交直线I于点B,过点B作直

线I的垂线交y轴于点Ai；过点A,作y轴的垂线交直线I于点B),过点B,作直线I的垂

线交y轴于点A?；…按此作法继续下去，则点Az.的坐标为(0,4?*).(提示:

考点：一次函数图象上点的坐标特征.

规律型.

^¥7

根据所给直线解析式可得I与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点4,A2的

坐