函数与幂函数知识点

函数与嘉函数

1.判断两个函数是否为同一函数

【知识点的认识】函数的构成要素：定义域、对应关系、值域.

所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样.

【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两

个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同.

【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以函

数是否为相同函数命题比较少.

2.函数的定义域及其求法

【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.

求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；

②根式（开偶次方）被开方式20;

③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；

④指数为零时，底数不为零.

⑤实际问题中函数的定义域；

【解题方法点拨】

求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组.（I）当函数是由解析式给出时，其定义

域是使解析式有意义的自变量的取值集合.（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确

定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然

数等）.（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这

几个函数有意义的不等式组的解集.若函数定义域为空集，则函数不存在.（4）抽象函数的

定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“尤+/’"厂所要满足的范围是一样的；②函

数g（X）中的自变量是X,所以求g（x）的定义域应求g（X）中的X的范围.

【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题.

3.函数解析式的求解及常用方法

【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的

解析式的求解.

求解函数解析式的几种常用方法主要有

1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等.

【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函

数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数

法.

例1：已知曲线y=f+2x在点(1,/⑴)处的切线为/.求/的方程.

解：,.,y=/+2x,

.'.y'—2x+2,当x=l时，y'=4得切线的斜率为4,所以％=4；

所以曲线在点(1,3)处的切线方程为：

y-3=4X(%-1),即4x-y-l=0.

故/的方程为：4x-y-1=0

我们从这个题当中可以发现求直线方程的一般规律，第一：求出函数的斜率，切线的斜

率就是该点的导数，如果是两个点的情况则可以用两点法求出斜率；第二：找到直线必过的

一个点，用点斜式即可求出.(当然还有其他的，比方说截距式)

例2：若函数y=/(x)与的图象关于直线y=x对称，则/(x)=

解：函数的图象与函数y=f(x)的图象关于直线对称，

所以f(x)是y=e/i的反函数，

(y>0)

即f(x)=Inx-1,(JC>0)

故答案为：Inx-I,(x>0)

本例题体现了根据函数图象或者两条曲线的关系来求另一条直线的途径,这里面根据关

于y=x对称，推知要求的是该函数的反函数，这也是常考的题型，望重视.

【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考.是基

础题.

4.函数的单调性及单调区间

【知识点的认识】

一般地，设函数/(X)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自

变量XI,XI,

当X1VX2时，都有了(XI)</(%2),那么就说函数f(x)在区间力上是增函数；当X1V%2

时，都有/(XI)>/(X2),那么就说函数/(X)在区间/)上是减函数.

若函数/(%)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间具有(严格

的)单调性，区间D叫做y=f(^)的单调区

判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的

应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法.

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不

能用符号“U”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结.

设任意xi,X2&\a,切且那么

①------------—>0«/(%)在[。，切上是增函数；

xl-x2

------------在3，句上是减函数.

xl-x2

②(xi-X2)\f(xi)-f(X2)]>0可(x)在[4，例上是增函数；

(xi-X2)[f(xi)-f(%2)]VOu/(x)在[a,句上是减函数.

函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间.

【命题方向】

函数的单调性及单调区间.是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，

课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小.从近三年的高考试题来看，函数单调性

的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题,

难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查

基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思

想方法.预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值

或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力.

5.函数单调性的性质与判断

【知识点的认识】

一般地，设函数/(x)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间D上的任意两个

自变量XI,XI,

当X1<%2时，都有/(xi)Vf(M),那么就说函数/G)在区间力上是增函数；当X1>X2

时，都有/(XI)</(X2),那么就说函数f(X)在区间。上是减函数.

若函数/(%)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(无)在这一区间具有(严格

的)单调性，区间。叫做y=f(x)的单调区间.

【解题方法点拨】

证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论.

利用函数的导数证明函数单调性的步骤：

第一步：求函数的定义域.若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指

数函数可不考虑定义域.

第二步：求函数/(X)的导数，G),并令/(%)=0,求其根.

第三步：利用/(无)=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开

区间，并列表.

第四步：由/(%)在小开区间内的正、负值判断了(x)在小开区间内的单调性；求极值、

最值.

第五步：将不等式恒成立问题转化为/(尤)皿次《“或f(x)min^a,解不等式求参数的取

值范围.

第六步：明确规范地表述结论

【命题方向】

从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点,

题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最

值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方

程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法.预测明年高考仍将以利用导数求函数的单

调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与

化归思想及逻辑推理能力.

6.函数奇偶性的性质与判断

【知识点的认识】

①如果函数/(X)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个X,都有-X)=

那么函数『GO就叫做奇函数，其图象特点是关于(0,0)对称.②如果函数/(x)的定义

域关于原点对称，且定义域内任意一个x,都有/(-x)=/(x),那么函数/(x)就叫做偶

函数，其图象特点是关于)，轴对称.

【解题方法点拨】

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用/(0)=0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用/(X)=-/(-X)解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用/(X)=/(-x)这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反.

例题：函数y=xpc|+px,x€R是()

A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶D.与p有关

解：由题设知/(x)的定义域为R,关于原点对称.

因为/(-X)=-x|-x|-px=-x|x|-px=-f(JC),

所以f(x)是奇函数.

故选8.

【命题方向】函数奇偶性的应用.

本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分

析，确保答题的正确率.

7.抽象函数及其应用

【知识点的认识】

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一

类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.

【解题方法点拨】

①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如/(x+y)=/(x)+f(y),它的原

型就是y=kx；

②可通过赋特殊值法使问题得以解决

例：f(xy)=f(x)+f(y),求证f(1)—f(-1)=0

令x=y=1,则f(1)=2f(I)=>/(1)=0

令x=y=-1,同理可推出/(-1)=0

③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；

【命题方向】抽象函数及其应用.

抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种.高

考中一般以中档题和小题为主，要引起重视.

8.函数的值

【知识点的认识】

函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域.函数的值域和定义域

一样，都是常考点，也是易得分的点.其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围.

【解题方法点拨】

求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种:

①基本不等式法：如当x>0时，求2x+旦的最小值，有2广旦》2.2X，B=8

xX

②转化法：如求仅-5|+仅-3］的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x=5和x=3的距离

之和，易知最小值为2；

③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较

例题：求/（尤）在（0,+8）的值域

解：/（X）=1-i=lzx

XX

易知函数在（0,1］单调递增，（1,+8）单调递减

,最大值为：历无最小值；

故值域为（-8,-1）

【命题方向】

函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方

法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主.

9.幕函数的概念、解析式、定义域、值域

【知识点归纳】

幕函数的定义：一般地，函数叫做基函数，其中x是自变量，〃是常数.

P

解析式：y=x0-XQ

定义域：当。为不同的数值时，惠函数的定义域的不同情况如下：

1.如果。为负数，则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确

定，即如果q为偶数，则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数；

2.如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数.

当x为不同的数值时，幕函数的值域的不同情况如下：

1.在X大于0时，函数的值域总是大于0的实数