重难点突破03 三角形中的范围与最值问题（十七大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（解析版）

重难点突破03三角形中的范围与最值问题

目录

题型一：周长问题

题型二：面积问题

题型三：长度问题

题型四：转化为角范围问题

■方法技巧总结

1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点.解决这类问题，

通常有下列五种解题技巧：

(1)利用基本不等式求范围或最值；

(2)利用三角函数求范围或最值；

(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；

(4)根据三角形解的个数求范围或最值；

(5)利用二次函数求范围或最值.

要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函

数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形

自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.

2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：

(1)求角的最值；

(2)求边和周长的最值及范围；

(3)求面积的最值和范围.

・必考题型归纳

题型一：周长问题

例1.(2023・贵州贵阳•校联考模拟预测)记A8C内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

(a2+b2-c2)(«cosB+bcosA)=abc.

⑴求C；

(2)若一43c为锐角三角形，c=2,求.ABC周长范围.

【解析】(1)在ABC中，由射影定理得acos8+A:osA=c,

则题述条件化简为储+b2-c2=ab，

由余弦定理得a2+b2—c2=2«Z?cosC.

可得cosC=g,Ce(0,7t),

所以C=5.

(2)在ABC中，

a_b_c_2_4G

由正弦定理得而=痴=菽=；^=亍’

3

4J34J3与一A

则；ABC周长C=a+b+2=2+-----(siM+sinB)=2+------sin4+sin

ARC33

与一A=屈,。,+1)则C=2+4sin(A+已),

因为sinA+sinABC

因为43c为锐角三角形，A+B=y

兀71，兀712兀

则得Aw,AH---£

6*26i'T

故sin|A+-,1,CABCe(2+2x/3,6].

例2.（2023•甘肃武威•高三武威第六中学校考阶段练习）在锐角△ABC中，”=26，（2b-c）coSA=acosC,

（1）求角A；

（2）求△ABC的周长/的范围.

【解析】(1)V(2b-c)cosA=acosC,

2Z?cosA=acosC+ccosA,

所以2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA,

所以2sin8cosA二sin(A+C),

所以2sinBcosA=sinB,

因为sinBwO,所以cosA=g,

0,5,所以A71

~3

a26，

-------————=4

(2)，sinA6

T

b27r

所以=4,所以。=4sinB,c=4sinC=4sin(--B),

sinBsinC

所以/=a+b+c=2v3+4sinB+4sin(——B)=2-73+6sinB+26cosB

=2e+4石sin(B+马

6

0<^<—

因为△ABC是锐角三角形，且A=?，所以，02，解得g<B<g,

0<红_262

32

所以呜呜等,所以sin（呜）代』］,

所以/e(6+2"6同

»Iz~»

例3.（2023・全国♦高三专题练习）在①2s=AC；②2cos2r-=l+cos2A：③c=GasinC-ccosA;

在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.

在锐角ABC中，内角A、B、C,的对边分别是。、b、c,且______

（1）求角A的大小；

（2）若°=百，求ABC周长的范围.

（解析】（1）选①，由2s=GAB•AC可得MsmA=&bcosA,

Aw（0,兀），则sinA=GcosA>0,可得tanA=>/J,A=^

选②，由2cos2W^=l+cos2A可得l+cos（8+C）=l+cos2A,

BPcos（7t-A）=2cos2A-l,即2cos②A+cosA-l=0，

171

0<4<兀，则一1VCOSA<1,故cosA=—,A=—

23

选③，由c=V^asinC-ccos4及正弦定理可得由sinAsinC-sinCcosA=sinC,

A、Ce（O,7t）,则sinC>0,所以，&sinA-cosA=2sin（A—^J=l,

故si””2=5,

2

TT47r5兀.7t7T11.兀

—<A—<—，A—=-因此,A=—.

66666f3

bc

（2）由正弦定理可得=2,则/?=2sin8,c=2sinC,

sinAsinBsinC

q+b+c=G+2sinB+2sinC=石+2sin8+2sin[B+y

=3sinB+A/3cos/?+V3=2>/3sinB++>/3,

0<B<-

2

因为ABC为锐角三角形，则〈,可得

A+B>-62

2

所以‘rB+rT,则冬"B+it»,

6

故a+〃+c=26sin（B+t]+6e（3+后,3可

变式L（2023•全国•模拟预测）在锐角A3C中，三个内角A,B,C所对的边分别为b,c,且

c-b=acosB-bcosA.

(1)求角A的大小；

(2)若。=1,求ABC周长的范围.

【解析】(1)由正弦定理得：sinC-sinB=sinAcosB-sinBcosA,

C=B),sin(A+B)-sinB=sinAcosB-sinBcosA,

/.sinAcosB+sinBcosA—sinB=sinAcosB-sinBcosA,/.2sinBcosA-sin3=0

sin8w0,cosA=—,AG(0»—),A=—

223

⑵由正弦定理：3r袅啦苧acosine,

ABC周长为a+b+c=l+——-sinB+sin容B

3

=1H-----1sinB+sin—cosB—cos—sinB

3I33

=l+^f-sinB+—cosB

3122

=1+2sin(B+^J,

TTTT2允

又锐角,ABC,..0<B<],0<C<5,结合C=-y—8

.-.l+73<l+2sinfB+^>|<3,即周长的范

6236321I6J

围是（1+6,3].

变式2.（2023•陕西西安•高三西安中学校考阶段练习）.A3C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足

a-2,acosB=（2c-Z?）cosA.

（1）求角4的大小；

（2）求一/IBC周长的范围.

【解析】（1）由余弦定理/’「+「一.=（2，_与力+°-”-,^h2+c2-a2=bc,

2ac2bc

所以cosA=1+：=1,因为OvAv兀，所以A=g.

2bc23

bc^2wr-

（2）由正弦定理：sinsinC3，则〃=等血3,c=竺"sinC，

—33

2

*?7T4、6dJ3「

由(1)B+C=-,故a+8+c=2d•——(sinB+sinC)=2+—^sinB+siny-B

=2+—fsinB+—cosB+-sin6>1=2+—4厨f-3sinB+—cosB

2+4sin[B-v—

3I22322)I6

因为0<8(空n工<8+二〈变，则1<sin(B+a兀]41,

36662I6J

所以4<a+A+c46,即周长范围是（4,6].

题型二：面积问题

例4.（2023•全国•模拟预测）已知在锐角“LBC中,内角A,3,C所对的边分别为a,b,c,且，n=（2sinx,e）,

n=(cosx,cos2x),f^x^=inn,/(B+C)=0.

⑴求角A的值;

（2）若b=l,求ABC面积的范围.

【解析】⑴丁m=(2sinx,6),A?=(COSX,COS2X),f(x)=m.",

/(x)=2sinxcosx+>/3cos2x

=sin2x+>/3cos2x=2sinf2x+—j.

"JT

X/(B+C)=O,Asin2(fi+C)+-=0.又4?C为锐角三角形,

2(8+C)+W=2兀或4；.2+C=学或工(舍去)，,4=?

3636

（2）由正弦定理知号=3=一二,

smAsinBsinC

TV1

乂二"=1,A=—ci=,

62sinB

sin寻叭正

1cosB百11

H--------------=-------1--------------

S=—absinC88sin388tan3

24sin3

旌呜

故得到：y<B<|,

’•余

71<3

2

（R

/.ABC面积的范围为三,一

oo

例5.（2023•江苏南通・统考模拟预测）如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形A5CO内种植了

两种花卉，其中△4»区域内种植兰花，△BCD区域内种植丁香花，对角线8。是一条观赏小道.测量可

知边界AB=60m,BC=20m,4)=C0=4Om.

（1）求观赏小道B。的长及种植区域ABC。的面积；

（2）因地理条件限制，种植丁香花的边界8C,C£＞不能变更，而边界AB,A。可以调整，使得种植兰花的

面积有所增加，请在54。上设计一点P,使得种植区域改造后的新区域（四边形P8CO）的面积最大，并

求出这个面积的最大值.

【解析】（1）设BD=xcm,则由余弦定理得cosA="*^^

2x40x60

402+202-X2

cosC=

2x40x20

山四边形ABC。是圆内接四边形得A+C=180。,

403+602-X2402+202-X2

故cosA+cosC=0,

2x40x602x40x20

解得X=204（负值舍去），即80=20阮m.

从而cos4=1,所以A=60。，C=120°,

2

故SABCD=/x40X60Xsin60。+gX40X20Xsin120。=8(X)6.

答：观赏小道BD的长为204m,种植区域ABC。的面积为8006m2.

(2)由(1)及“同弧所对的圆周角相等"得/P=ZA=60。.

设PD=mcm,尸3=“cm(n〃>0),

则SRDP=—mn-sinP=—^-mn.

BDP24

在中，由余弦定理有

故S的4700G（当且仅当相=〃=20x/7时等号成立）.

而SKD=-x40x20xsin120°=200G,

因此，种植区域改造后的新区域PBCD的面积的最大值为900病mL

答：当为等边三角形时，新区域PBC。的面积最大，最大值为900Gm岂

例6.（2023•山东青岛•高三青岛三十九中校考期中）在①”=2,@a=b=2,③b=c=2这三个条件中任选

一个，补充在下面问题中，求△ABC的面积的值（或最大值）.已知AABC的内角A,B,C所对的边分别

为a,b,c,三边a,b,c与面积S满足关系式：4S=b2+c2-a2,且,求AABC的面积的值（或最大

值）.

【解析】45=4,bcsinA=26csinA=〃+/-/,

2

,92

.・sinA=--------------=cosA,..tanA=1

2bc

'/4E（0,乃）,A=—

4f

选择条件①：当”=2时;根据余弦定理，a2=b2+c2-2hccosA=4^*,♦b2+c2=4+2bccosA,

Vb2+c2=4+6bc>2bc（a>0,Z?>0）,

，桃&2a5=4+2友（当且仅当h=c="+2及时取等），

•••$皿=；（4+2&）-9=&+1;

选择条件②：当a=b=2时，1a2=b2+c2-2/?ccosA=4+c2-2\[2c=4,

•*-c=2>/2，**•S=—besinA=—•2-2^2•=2；

222

选择条件③：当b=c=2,S=-hcsinA=--2-2—=>/2.

222

变式3.（2023•江苏苏州•高三常熟中学校考阶段练习）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地A8。，

其中。l=3km,OB=36km,NAO3=900.物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN,其中M,

N都在边A8上（M,N均不与AB重合，M在A,N之间），且NMON=30。.

⑴若M在距离A点1km处，求点M,N之间的距离；

⑵设/BON=6,

①求出:.OMN的面积S关于。的表达式；

②为节省投入资金，三角形人工湖OMN的面积要尽可能小，试确定6的值，使OMN得面积最小，并求出

这个最小面积.

【解析】（1）VAM=\,OA=3,OB=3拒,ZAOB=90°,AB=6,ZA=60°,

Ij_7i_9]o/o

，由余弦定理OM=』9+l-2x3xlx-=>/y,cosZAMO=—j=—=--f=,sinZAMO=^,

V22V7-12V72y/l

../CA"”•/小KC八3+>/311105

..sinZ.ONM=sin(ZAA7O-4MoN)=—尸----1----•—=—,==—f=.

2V722V724V72V7

y.人A/CA7]MNOMG2>fl17

fl：Z\MON1H------=----------nMN=,7-----x—=—.

sin30°sinZOW525

(2)®'：ZBON=0,：.ZONM=0+-,

6

3月

,4ON36eg~

在△SON中，----=-7-----rnON=-/——

si吗sin(0+£)sin^6*+-

3百

_______________3^_____________3A/3

\/3sin2+>/3cos2+4sin^cos0>/3+2sin20

又，ABO中AB边上的高为任叵=迈"，

62

13627兀

•・3=-------------1=------------------=---------}=---------------,0<U<—.

22V3+2sin26»4(>/3+2sin2(9)3

②当sin2。"。=*寸，S&°MN最小且(S°MNL=卷5="2；招)

变式4.（2023•全国•高三专题练习）在一ABC中，SAttC=^BA-BC,BC=3.

（1）。为线段BC上一点，且8=250,4）=1,求AC长度；

（2）若ABC为锐角三角形，求ABC面积的范围.

【解析】⑴在ABC中，依题意得：-BABCsmB=—BABCcosB,

22

则有Lin8=3cosB，于是得tan8=g,而8e((U),则3=f,

223

又BC=3,CD=2BD,贝」IB£>=1,CD=2,

在△"£>中A£>=1,从而得等边△ABO,即NADB=(,ZADC=y,

在△ADC中由余弦定理AC?=4^+c£)2_2AO.CDcosZAOC得AC?=2?+12-221-cosw=7,解得

AC=yfl;

(2)在..ABC中，BC=3,设NBAC=，，由正弦定理处-=-^得:

sinesinA

cos呜sin0)3(].[)

々「3sin(--0)

AB=3^C=^3:

sin。sin。sin。22tan0

于是得SABC=-B/l-BC-sinB=—•(-+—■—!—),

ABC2422land

rrLTITT

因，ABC是锐角三角形，则0＜〃＜彳，且0＜丁—e＜J,

232

于是有会夕唠则即。〈熹＜51<1+A_L<2,

222tan。

从而得述＜S.＜唯，

8A/JL2

所以A8C面积的取值范围是

变式5.（2023•河北•高三校联考阶段练习）已知在ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且

“sin3=G.

bcosA

（1）若（》=2后，6=2,求C的大小;

(2)若6=2,且C是钝角，求ASC面积的大小范围.

【解析】(1)/F.ABC1111:‘in：=6,由正弦定理得sinAsinB=GsinBcosA.

AcosA

*/0<B<^,，sin8W0,sinA=V3cosA,

.sinAJ

cosA

又,；0<AV万，A=y.

在一ABC中，由余弦定理得/=/?2+C2-26CCOSA，BP20=4+C2-4C-^-,

2

解得c=i-JT7(舍去)，c=i+J万.

；.c=i+Vi7.

(2)由(1)知A=?,

•Fw=；AsinA=*

b2sin

由正弦定理，得一,••bsinC_

sinCsinBc——+1

sinBsinBtanB

=C为钝角，.•.0<8<9,

36

0<tanB<——■，c>4»

3

••>2百.

即,ABC面积的大小范围是(2"+8).

题型三：长度问题

例7.(2023•浙江丽水•高三浙江省丽水中学校联考期末)已知锐角ABC内角AB,C的对边分别为b,c.

若bsinB一csinC=[b-a)sinA.

⑴求C;

(2)若c=G，求的范围.

【解析】(1)由正弦定理,teinB-csinC=(b-a)sinA

0b~-c2={b—a)a=^c2=a2+b2-ab

又c2=a2+b2—2abcosC，得cosC

23

(2)因为c=\[3>

「广"cah-

所以砒=而=藏=2,

a-h=2(sinA-sinB)=2sinA-sin(7t-A-y=2sinA-sin[A+]2sinlA-|j,因为三角形ABC为锐

角三角形,

0<A<-

所以:,解得黄A</

O<B=A_Q62

3

(

令f=所以fw,-l<tz-/?=2sinA-y=2sinr<1,

所以。_匕«7,1).

例8.(2023•福建莆田•高三校考期中)在；ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，b=2®

(2c-a)sinC=伊+c2-叫

⑴求角5;

⑵求2a-c的范围.

【解析】(1)(2c=a)sinC=(〃+/-a2)^^=(2c-4)c=〃+，一c/=。2+/一82=〃,，又

8S§/+c2J所以cosB=J,因为5«0,万)，所以B=f.

lac23

b_a_c_2-73_

(2)在ABC114,111(1)及b=26,得sinBsinAsinCy/3，

T

故。=4sinA,c=4sinC,2t/-c=8sinA-4sinC=8sinA-4sin(当一A]=8sinA一26cosA-2sinA

=6sinA一2百cosA=46sin(A一

因为0<A<生，则一工<A—工<工，

3662

一；<"4一看)<1,一26<4氐m[4一看)<40.

所以2a—c的范围为卜2^,46).

例9.(2023•重庆江北•高三校考阶段练习)在71BC中，内角A,B,C所对的边分别。，b,。，且

(2c2A),、、3

I6FC0Sy+CCOS—\(a+c-b)=-ac.

(1)求角3的大小；

(2)若b=2百，c=x(x>0),当ABC仅有一解时，写出犬的范围，并求。一。的取值范围.

.-,、(2A、7、(6r(l+cosC)c(l+cosA)A.

【解析】(1)[〃cos—+ccos—\(a+c—h)=\----------1----------\(a+c—b)

a+c+(acosC+ccosA)/入、(a+c+b)(a+c-b)a2+c2-h2+2ac3

=---------------------(a+c-b)=-----------------=----------------=—ac,un|nJar2+c~2-Zr=ac,

2222

_a2+c2-h21

二.cosB=---------=—,

lac2

0〈B〈冗,

3

(2)根据题意，由正弦定理得一c^=「h；，则sinC=xJ,

sinCsinB4

ABC仅有一解，

sinC=1或sinCWsin8,即t=1或0<±W—，

442

二.x=4或0<2G,

当x=4时，C=-,/l=-,所以c=4,a=2,所以〃_0=_2；

26

b

当0<xW2G时，由正弦定理得=4,

sinAsinCsinB

:.a-c=4(sinA-sinC)=4sinIC+—j-sinC

3

=4sinC+—cosC=-4sinfC-—7t,

22I3J

0<C<-,

3

兀万4,c

—<C——<0

33

,_V|<sin(C——j0»

1,~T

/.-4sinC一即a-ce[0,2石),

综上，«-ce{-2}[0,25/3).

变式6.(2023•全国•高三专题练习)已知ABC的内角A,B,。的对边分别为mb,c,且满足条件;=4,

sin2A+sinBsinC=sin2J5+sin2C.

(I)求角A的值;

(II)求2b-c的范围.

【解析】(I)山siMA+sinBsinC=sin2B+sin2C»

利用正弦定理可得a2+bc=b2+c2,即bc=b2+c2-a2

故c°sA="^=生」

2bc2bc2

又Ae(0,;r),A=。

hc48g

(11)a=4,A=5，利用正弦定理嬴彳-嬴万一百高一五一个

2

故H随sinB,c=述sinC=逋sin《+B)

3333

1

2b-c=2x—sinB--sin(-+B)=sinB-cosB+—sinB

33332

-迪

=^^sin8-4cos8sin8=46sin8-4cos8=8sin[B-^

33

在.ABC中，A=y,故0<B售

--<B--<—,<sin[Z?--<1,-4<8sin(B--<8

6622I6jI6J

所以幼-C的范围是(T,8)

变式7.(2023•全国•高三专题练习)在AABC中，。，仇c分别是角A,B,C的对边(“+0+c)(a+〃-c)=3".

(1)求角C的值；

(2)若c=2,且AA8C为锐角三角形，求2a-%的范围.

【解析】(1)由题意知3+：+c)(a+力-c)=3cb,a1+b2—c2=ab»

由余弦定理可知，cosC=土土二U=

2ab2

TT

又・.・Ce(0,乃)，AC=-.

3

工二工二工二&C

(2)由正弦定理可知，sinAsin8"3，

sin—

3

即々二百百5由A,b=±6sin8,

33

/.2a-h=-\/3sinA-->/3sinB=->/3sinA--V3sin(--A)=«§^sinA—2cosA-^^sinA

3333333

=^^sinA-2cosA=4(^-sinA--cosA)=4sin(A--),

3226

0<A<—

又：八钻。为锐角三角形，：，则即0<A—£<W，

CD2乃.16263

所以，0<sin(A-&)V走即0<4sin(A-J)<2g,

626

综上2a-b的取值范围为(0,26).

变式8.(2023•山西运城•统考模拟预测)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c.

sin(A-B)_a-b

(1)求证:

sinA4-sinBc

TT

(2)若一43c是锐角三角形，A-B=-,a-h=2f求c的范围.

sin(A-B)sinAcos8-cosAsinB

【解析】(1)由两角差的正弦公式，可得

sinA+sin8sinA+sinB

又由正弦定理和余弦定理，可得

•4.a~+c2—.b~c~-cr

smAAcosBD-cosAsin6Da------------------b----------------

2ac2bc

sinA+sinB

a+b

2a2-2b2(a^b)(a-b)a-b

2c(a+b)c(a+b)

sin(A-B)ci-b

所以

sin/A+sinBc

(。一8)(sinA+sinB)4

(2)由(1)知。二(sinA+sinB)

sin(A-B)飞

旦。s.

2J

因为ABC是锐角三角形，所以A=B+g<W，可得0<8<夕,

326

又由A+8吟可得8+尹8>?所以8唱，所以:B+巳音,

所以日

<sin(B+［卜—,可得2点<c<2后，符合c>a-b=2.

2

所以实数C的取值范围是(20,26).

变式9.(2023・安徽亳州•高三统考期末)在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

asinC=ccos(A-看).

(1)求角A的大小;

(2)设//为A43C的垂心，且A"=l,求的范围.

【解析】(1)由asinC=ccos(A-?

,结合正弦定理得

sinA=cos

IA-6j-.

整理得sin(A-扑0,

又A为锐角，故A=?.

(2)由A记C是锐角三角形，则垂心，必在AABC内部,

不妨设Z.BAH=a,

TF

由〃为A4BC的垂心，则NAB"=NAC”=一.

6

在A48〃中使川正弦定理得,

AHBH

,整理得:B"=2sina.

sinZABHsinZBAH

同理在AAC"中使用正弦定理得，CH=2sin^1-a

BH+CH=2sincr+2sin^-6z^=2sin^y+«j,

结合a

可得8"+CH£(6,2].

题型四：转化为角范围问题

例10.(2023•全国•高三专题练习)在锐角AABC中，内角A,B,。的对边分别为〃,b,c,且

(a+/?)(sinA—sin8)=(c—b)sinC.

⑴求A；

(2)求cosB-cosC的取值范围.

【解析】(1)因为仅+3(sinA-sinB)=(c-Z?)sinC,

所以(a+〃)(a-〃)=(c-Z?)c,即/=b2+c2-hc.

因为a2=b2+c2-2反osA,所以cosA=1.

2

因为A{0卷)，所以A=？.

(2)由(1)知cosB-cosC=cos3-cos(^-8

=cosB+—cosB-----sinB=二cosB-----sinB=>/3cosB+—

2222I6

八2九■八万

0<------B<一

因为3‘2，所以717T

c,、兀62

因为R+H，所以c°s,+£|eV

所以C0S8-COS。G

2'2/

(G右、

即cosB—cosC的取值范围是—~

例U.(2023・全国•高三专题练习)已知ABC的内角A、B、。的对边分别为。、b、c,且

a-h=c(cosB-cosA).

(1)判断ABC的形状并给出证明；

(2)若a】b,求sinA+sinB+sinC的取值范围.

【解析】(1)ABC为等腰三角形或直角三角形，证明如下：

由a-/?=c(cosS-cosA)及正弦定理得，sinA-sinB=sinC(cosB-8sA),

即sin(B+C)-sin(A+C)=sinC(cosB-cosA),

即sinBcosC+cosBsinC-sinAcosC-cosAsinC=sinCeosB-sinCeosA,

整理得sinBcosC-sinAcosC=0,所以cosC(sinB-sinA)=0,

故sinA=sinB或cosC=0,

乂A、8、C为ABC的内角，所以。=%或。=],

因此43c为等腰三角形或直角三角形.

（2）由（1）及疝8知为直角三角形且不是等腰上角形,

且A+8=三，C=g故8=X-A,且Aw巳，

2224

所以sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+1=sinA+cosA+1=&sinA+—+1,

...7V

因为A,故A+x

2'4

得sin（A+?Jey-,1,所以应sin（A+?J+le（2,&+l）,

因此sinA+sinB+sinC的取值范围为+.

例12.（2023•河北保定•高一定州一中校考阶段练习）设,ABC的内角A8,C的对边分别为a,0,c,已知

1-sinA_l-cos2B

cosAsinIB

⑴判断的形状（锐角、直角、钝角三角形），并给出证明；

（2）求4“要的最小值.

C

【解析】（1）ABC是钝角三角形.

由题意可知，-inA上（1二2把叽sin8,得cosB-sinA-cosB=sinB-cosA,

cosA2sin8cos8cos8

所以cos5=sin(A+3),于是有sinB)=sin(4+B),得］-B=4+B或］-8+4+8=兀，即A+2B=］或

jrrr

又COSAHO,A^-,C=n-(A+B)=-+B>0,

所以ABC是钝角三角形.

TT7C

(2)由<I)知,C=—+B,A=——2B,WsinC=cosB,sinA=cos2B,

22

4sin2(^-2B)+5sin2B

4a*2+5b24sin2A+5sin?8

所以

sin2C

4cos228+50-cos?8)4(2cos2B-l)?+5(1-cos2B)

cos2Bcos2B

16cos43-21cos之3+9,9

=16cos~9B+--5----21

cos~2Bncos2B

>2J16COS2B•———21=3.

Vcos2B

当且仅当=即COSB=^(3为锐角)，等号成立,

42

所以"二史的最小值为工

C

变式10.(2023•广东佛山•高一大沥高中校考阶段练习)已知.A8C的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,

c,S.ABAC+BABC=2CACB;

(1)若字=厘，判断一ABC的形状并说明理由；

ba

(2)若-ABC是锐角三角形，求cosC的取值范围.

【解析】(1).ABC是等边三角形.理由如下:

在,ABC中，由A8.4C+BA-8C=2cA得：cbcosA+cacosB=2bacosC,

由余弦定理得“+厂一"-+矿+广-少=a2+b2-c2,即/+/=2c2,

22

P0cAp0cR

由正弦定理及一:—=—:—,得sinA-cosA=sinB-cosB,即sin2A=sin2B,

ba

而ABe(O,7t)及A+B€(0,7t),则2A=23或2A+28=兀，

当2A=25时，即A=B,有a=6,此时a=/?=c,所以“LBC是等边三角形;

TT7T

当2A+28=万，即4+8=金时，NC=］，有Y+Z/.,与标+心？。?矛盾，

所以ABC是等边三角形.

(2)由(1)知，a2+h2=2c2,由余弦定理得cosC=里也~>0,C为锐角,

lab4ah

而,ABC是锐角三角形，则cosA=Z±三工