高中数学：10-2事件的关系和运算（学案）

第02讲事件的关系和运算

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课程标准课标解读

1.结合具体的事例理解事件的包含关系与相等关系；

通过本节课的学习，要求掌握随机事件间的

2.结合具体事例能进行随机事件的并、交的运算；

关系，能进行事件的交、并运算.

3.通过具体事例理解随机事件的互斥与对立关系；

阳’知识精讲

知识点

1.事件的关系

定义符号图示

一般地，若事件A发生，则事件

包含

B一定发生，称事件B包含事件824或AUB）

关系

A（或事件A包含于事件3）

如果事件8包含事件A,事件A

相等

也包含事件B,即B2A且A2B,A=B

关系

则称事件A与事件8相等

2.交事件与并事件

定义符号图示

一般地，事件A与事件B至少有一个发生，

并事件这样的一个事件中的样本点或者在事件4AUB

（或和事件）中，或者在事件8中，我们称这个事件为（或A+8）Q

事件A与事件B的并事件（或和事件）

一般地，事件A与事件8同时发生，这样

交事件的一个事件中的样本点既在事件A中，也ACIB

（或积事件）在事件8中，我们称这样的一个事件为事（或AB）________0_

件4与事件B的交事件（或积事件）

3.互斥事件和对立事件

定义符号图不

一般地，如果事件A与事件B不能同时发

生，也就是说4nB是一个不可能事件，

互斥事件0s

即AnB=0,则称事件A与事件B互斥（或Q

互不相容）

一般地，如果事件A和事件B在任何一次

试验中有且仅有一个发生，即4UB=Q,

对立事件

且。，那么称事件与事件互为

ACB=AB4n3=0n

对立，事件A的对立事件记为N

4.事件的关系或运算的含义及符号表示

事件的关系或运算含义符号表示

包含A发生导致8发生AQB

并事件（和事件）A与8至少一个发生AUB或A+B

交事件（积事件）A与2同时发生ACB或AB

互斥（互不相容）A与8不能同时发生AC\B=0

互为对立A与8有且仅有一个发生

【微点拨】定义多个事件的和事件以及积事件.

对于三个事件A、B、C,AUBUC（或A+B+。发生，当且仅当A、B、C中至少一个发生，ACBCC（或ABC）

发生，当且仅当A、B、C同时发生.

【即学即练1】许洋说：“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为A,则A的对立事件为（）

A.至多做完三套练习题B.至多做完两套练习题

C.至多做完四套练习题D.至少做完两套练习题

【答案】B

【解析】

【分析】

两个事件互为对立事件，是指它们的交集为空集，并集为全集.由对立事件的概念可快速求解.

【详解】

至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6,…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至

多做完2套练习题.

故选：B.

【即学即练2】抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：4="向上的点数为i“，其中i=1,2,3,4,5,6,

”向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是()

A.Aq8B.4+B=QC.4与B互斥D.A4与夕对立

【答案】C

【解析】

【分析】

对于选项中的事件，分别写出对应的基本事件构成的集合，依次分析，即可

【详解】

对于A,4={2,3,4,5,6},B={2,4,6}(AA,cB,故A错误;

对于B,4+8={2}32,4,6}={2,4,6}WC,故B错误；

对于C,4与8不能同时发生，是互斥事件，故C正确；

对于D,A,={4},B={1,3,5},4与豆是互斥但不对立事件，故D错误；

故选：C

【即学即练3】从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是

()

A.“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”

B.“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”

C.“都是白球”与“至少有一个黑球”

D.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

【答案】A

【解析】对于A,事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生，

但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球，

，两个事件是互斥事件但不是对立事件，，A正确；

对于B,事件：”至少有一个黑球''与事件：”至少有一个白球''可以同时发生，

如：一个白球一个黑球，这两个事件不是互斥事件，；.B不正确；

对于C.“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，故C错误：

对于D,“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥.故选：A.

【即学即练4】如果事件A,B互斥，那么（）

A.A是必然事件

B.A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件

C.A的对立事件与B的对立事件是互斥事件

D.A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据互斥事件和对立事件的含义判断.

【详解】

A.因为事件A,8互斥，若对立，则AUB是必然事件，若不对立，则AU8不是必然事件，故错误；

B.A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件，故正确；

C.若事件A,B互斥，不对立，则A的对立事件与8的对立事件不是互斥事件，故错误；

D.若事件4,8互斥，且对立，则A的对立事件与8的对立事件是对立事件，故错误；

故选：B

【即学即练5】抽查10件产品，设试验的样本空间为。，4=”至多有1件次品“，8="至少有两件次品”，

贝IJ（）

A.AQBB.BQAC.APB#D.ACI8=0,且AUB=Q

【答案】D

【解析】

【分析】

分析事件A、B包含的基本事件，判断二者的关系.

【详解】

A="至多有1件次品“，包含：。件次品和1件次品；

8="至少有两件次品”包含：2件次品、3件次品、4件次品、5件次品、6件次品、7件次品、8件次品、9

件次品和10件次品、

故ACB=0,且AUB=Q

故选：D

【点睛】

判断两个事件是否互斥（对立）：

①定义法；②直接法：利用生活常识宜接判断；③集合法：把事件A,B对应的基本事件用集合表示，根据

两个集合的交集为空集，可判断A、8互斥；若两个集合的交集为空集，同时二者的并集为全集，则A、B

为对立事件.

【即学即练6】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设4="两次都击中飞机"，8="两次

都没击中飞机"，C="恰有一枚炮弹击中飞机”，。="至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（）

A.ACDB.BHD=0C.AUC=DD.AUB^BUD

【答案】D

【解析】

【分析】

按照事件间的互斥关系和包含关系分析求解即可.

【详解】

“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中“包含两

种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中.故,AUC=。

B,。为互斥事件，Bno=0；

AU8="两个飞机都击中或者都没击中”，8U。为必然事件，这两者不相等

故选：D

【即学即练7】已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全

不是次品”，F表示事件”3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件是次品“，则下列结论正

确的是（）

A.F与G互斥B.E与G互斥但不对立

C.瓦EG任意两个事件均互斥D.E与G对立

【答案】D

【解析】

【分析】

列出基本事件，再结合互斥事件，对立事件的定义即可判断.

【详解】

设1表示取到正品,0表示取到次品,所有事件。=｛（1』,1）,（1,1,0）,（1,0,0）,（0,0,0）｝.

则E=｛（1,1,1）｝,F=｛（0,0,0）｝,G=｛（1,1,0）,（1,0,0）,（0,0,0）｝

FcG=F,故尸与G不互斥，故A,C错

EcG=0,EuG=C，故EhiG互斥且对立，故B错，D正确

故选：D

【即学即练8】（多选）下列命题中为真命题的是（）

A.若事件A与事件8互为对立事件，则事件A与事件8为互斥事件

B.若事件A与事件8为互斥事件，则事件A与事件5互为对立事件

C.若事件A与事件8互为对立事件，则事件A+8为必然事件

D.若事件4+8为必然事件，则事件A与事件B为互斥事件

【答案】AC

【解析】

根据互斥与对立事件的定义逐个辨析即可.

【详解】

对于A,对立事件首先是互斥事件，故A为真命题.

对于B,互斥事件不一定是对立事件，如将一枚硬币抛掷两次,共出现（正,正），（正,反），（反,正），（反，反）

四种结果，事件”两次出现正面''与事件"="只有一次出现反面”是互斥事件，但不是对立事件，故B为假

命题.

对于C,事件A8为对立事件，则在一次试验中A,B一定有一个发生，故C为真命题.

对于D,事件A+8表示事件AB至少有一个要发生,4,5不一定互斥，故D为假命题.

故选：AC

【点睛】

本题主要考查了互斥事件与对立事件的辨析.

【即学即练9】在随机抛掷一颗骰子的试验中，事件4=“出现不大于4的偶数点"，事件8=”出现小于6的

点数”，则事件4豆的含义为,事件A8的含义为一.

【答案】出现2,4,6点出现2,4点

【解析】

分析事件的基本事件再判断即可.

【详解】

易知万="出现6点”，则A口片="出现2,4,6点”,AB="出现2,4点”.

故答案为：(1).出现2,4,6点(2).出现2,4点

【点睛】

本题主要考查了事件的基本运算,属于基础题.

【即学即练10】电路如图所示用4表示事件“电灯变亮”,用B,C,。依次表示“开关I闭合”“开关H闭合”“开

关山闭合“，则4=.(用B,C,。间的运算关系式表示)

I_—।

出

——hi>-------®—

【答案】(BOU(BD)或Bn(CUD)

【解析】

【分析】

灯亮必须形状开关I闭合，开关II和III中至少有一个闭合，由此可得.

【详解】

灯亮必须形状开关I闭合，开关II和HI中至少有一个闭合，

因此A=Z?(CD).

故答案为：B(CUD).也可写成：(BC)U(B£>).

【即学即练11】在10件产品中有8件一级品，2件二级品，从中任取3件，若记“3件都是一级品”为事件A,

则A的对立事件是.

【答案】3件至多有2件一级品

【解析】

【分析】

根据对立事件的定义即可得到答案.

【详解】

“3件都是一级品”为事件4则4的对立事件为“3件不都是一级品”，

即为“3件至多有2件一级品”.

故答案为：3件至多有2件一级品.

【即学即练12】抛掷3枚硬币，试验的样本点用(x,y,z)表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”,

贝ljM=.

【答案】｛（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）

｝.

【解析】

【分析】

根据试验结果，直接写出事件M包含的基本事件即可求解.

【详解】

抛掷3枚硬币，试验的样本点用（x,y,z）表示，其中x，%z分别表示正反，

则"=｛（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反,正））.

故答案为：｛（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）

｝.

【即学即练13】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不

是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件.

（1）恰有1名男生与恰有2名男生；

（2）至少有1名男生与全是男生；

（3）至少有1名男生与全是女生；

（4）至少有1名男生与至少有1名女生.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析：（3）答案见解析；（4）答案见解析

【分析】

判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否

必有一个发生.

【解析】

（1）因为“恰有1名男生"与'’恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们

都不发生，所以它们不是对立事件.

（2）因为恰有2名男生时“至少有I名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件.

（3）因为“至少有1名男生''与"全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它

们是对立事件.

（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生“同时发生，所以它们不是互斥

事件.

【即学即练14］掷一枚骰子，给出下列事件:

A=”出现奇数点”，8=”出现偶数点"，C=”出现的点数小于3”.

求：(1)AB,BcC；

(2)AB,BoC.

【答案】(1)A8=0,3cC="出现2点”.

(2)="出现1,2,3,4,5或6点”，8UC=”出现1,2,4或6点

【解析】

根据题意表示出集合A,aC,再求(1)AB,BcC；(2)AB,BuC即可.

【详解】

由题意知：4=”出现奇数点”={1,3,5},3="出现偶数点”={2,4,6},

C="出现的点数小于3"={1,2},

(1)A8=0,3cC={2}=出现2点”；

(2)AB={1,2,3,4,5,6}="出现1,2,3,4,5或6点”,

BuC={1,2,4,6}="出现1,2,4或6点”.

【点睛】

本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算.

u能力拓展

考法01

事件的关系判断：1.判断事件间的包含关系，交事件、并事件关系要以定义为标准来判断.

2.判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事

件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；判断两个事件是否为对立事件，主要看在一

次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生.这两个条件同时成立,

那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件.

【典例1】同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面“为事件“至少有一枚的向上面是正面“为事件N,则有

()

A.MqNB.M好NC.M=ND.M<N

【答案】A

【解析】

列出事件N包含的结果再分析与事件M的关系即可.

【详解】

事件N包含两种结果：“向上面都是正面''和"向上面是一正一反”.所以当M发生时，事件N一定发生，则有

M三N.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了事件的包含关系，属于基础题型.

【典例2】从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球“相等的事件是（）

A.全是红球B.至少有1个红球

C.至多有1个红球D.1个红球，1个白球

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，写出事件“至少有I个白球”所包含的基本事件，根据选项即可判断和选择.

【详解】

从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，若至少有1个白球，

则其包含的基本事件是：1个白球1个红球，2个白球；

又至多有1个红球包含的基本事件也是：1个白球1个红球，2个白球.

故选：C.

【典例3】抽查10件产品，设人=｛至多有1件次品｝,则事件A的对立事件是（）

A.｛至多有2件正品｝B.｛至多有1件次品｝

C.｛至少有1件正品｝D.｛至少有2件次品｝

【答案】D

【解析】

【分析】

根据对立事件的定义，结合题意，即可写出事件A的对立事件.

【详解】

因为抽查10件产品，设4=（至多有1件次品｝,

故事件A的对立事件是：｛至少有2件次品｝.

故选：D.

【典例4],从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两个事件是互斥事件的为

（）

A.“都是红球”与“至少1个红球”

B.“恰有2个红球”与“至少1个白球”

C.“至少1个白球”与“至多1个红球”

D.“2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”

【答案】D

【解析】

【分析】

分析每个选项中的两个事件是否有共同的基本事件判断并作答.

【详解】

对于A选项：“至少1个红球”的事件中含有“都是红球”这一事件，即两个事件可以同时发生，A中的两个

事件不互斥；

对于B选项：“恰有2个红球”和“至少1个白球”的事件中都含有“两红球，一白球”的事件，B中的两个事件

不互斥；

对于C选项：“至少1个白球”与“至多1个红球”的事件中都含有“三白球”与“一红球，两白球”的两个事件，

C中的两个事件不互斥：

对于D选项，3个球中“2个红球，1个白球”的事件与“2个白球，1个红球”的事件不可能同时发生，是互斥

事件，所以两个事件是互斥事件的为D.故选：D

【典例5】某人打靶时，连续射击两次，事件A="至少有一次中靶"，8="两次都不中靶”，则（）

A.AQBB.BQA

C.AC\B=0D.XDB=0

【答案】c

【解析】

【分析】

列举射击2次的基本事件，分析A、8的关系.

【详解】

连续射击两次，用（x,y）,（x、y取0,1,取0表示射中，取1表示未射中）表示基本事件，包括：

(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),

其中A=｛(0,0),((),1),(1,())｝,8=｛(1,1)｝

故An8=。，其他都不对•.

故选：c

【点睛】

判断两个事件是否互斥(对立)：

①定义法；②直接法：利用生活常识直接判断；③集合法：把事件4,8对应的基本事件用集合表示，根据

两个集合的交集为空集，可判断4、8互斥；若两个集合的交集为空集，同时二者的并集为全集，则A、B

为对立事件.

【典例6】抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件4,“一次正面向上，两次反面向上“为事件

B,“两次正面向上，一次反面向上”为事件C,“至少一次反面向上”为事件。，“3次都正面向上”为事件E

(1)试判断事件A与事件B,C,E的关系；

(2)试求A。，2+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系.

【答案】WBOA,CQA,EQA,A=B+C+E

(2)40=｛有正面向上，也有反面向上｝,8+C=｛一次正面向上或两次正面向上｝,AD=B+C

【分析】

(1)写出事件A所包含的基本事件，可以看出是事件B，事件C和事件E的和，故可以得到答案；(2)写

出事件。所包含的基本事件，与事件4进行比较，得到AO所包含的样本点，再写出B+C所包含的样本点,

可得到AO与B+C的关系.

【解析】

(1)事件A为“至少有一次正面向上“，包含“一次正面向上，两次反面向上“，“两次正面向上，一次反面向

上''和"3次都正面向上”三个基本事件，所以8UA,CQA,EQA,A^B+C+E.

(2)“至少一次反面向上”为事件/),包含“一次正面向上，两次反面向上”，“两次正面向上，一次反面向上”

和“3次都反面向上'’三个基本事件，可以看出事件A与事件。有相同的两个基本事件，即“一次正面向上，

两次反面向上“，"两次正面向上，一次反面向上“，故｛一次正面向上或两次正面向上｝,B+C=｛一次正

面向上或两次正面向上｝,所以4£>=8+C.

【典例7】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为''只订甲报”，事件8为“至少订一种报”，事件

C为“至多订一种报“，事件。为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是不是互斥事件，如

果是，判断它们是不是对立事件.

(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)8与C；(5)C与E

【答案】答案见解析.

【解析】

【分析】

(1)若只订甲报，则事件A与事件C有可能同时发生，从而可判断；

(2)由事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，事件B和事件E必有一个发生，

从而可判断.

(3)若只订乙报，则事件8与事件。可能同时发生，从而可判断；

(4)写出事件&至少订一种报''可能结果和事件C'至多订一种报”的所有可能结果，从而可判断；

(5)由事件&一种报也不订'’仅仅是事件C的一种可能，从而可判断；

【详解】

(1)由于事件。'至多订一种报''中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故4与C不是互斥

事件.

(2)事件中至少订一种报“与事件一种报也不订”是不可能同时发生的，

故事件B与E是互斥事件.由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件.

(3)事件8"至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件2发生，事件。也可能

发生，故8与。不是互斥事件.

(4)事件8"至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报小只订乙报施订甲、乙两种报

事件C'至多订一种报“中有3种可能：“一种报也不订”"只订甲报'“'只订乙报即事件B与事件C可能同时

发生，故8与C不是互斥事件.

(5)由(4)的分析可知，事件『一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故

C与E不是互斥事件.

考法02

事件的交、并运算：事件间运算方法

(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的

运算.

(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中

列出，进行运算.

【典例8】抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A="出现的点数是1或2"，事件8=”出现的点数是2或3或

4”，则事件“出现的点数是2”可以记为()

A.ABB.ABC.AcBD.A=B

【答案】B

【解析】

根据事件A和事件8,计算AB,AB,根据结果即可得到符合要求的答案.

【详解】

由题意可得：A={L2},B={3,4},

.♦.A8={1,2,3,4},AcB={2}.

故选B.

【点睛】

本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算，集合与集合的关

系来解决，是基础题.

【典例9】设A,B是两个任意事件，下面关系正确的是()

A.A+B=AB.A+AB=A

C.'ABQAD.A(A+B)=A

【答案】BD

【解析】

根据事件的运算法则逐个分析即可.

【详解】

若A+3=A,则故A错误；

由题知ABuA+AB=A,B正确；

♦.•当事件A、8都不发生时,而发生，但A不发生,.•.而不是A的子集,C错误；

Au(4+3),;.A(A+8)=A,D正确.

故选：BD.

【点睛】

本题主要考查了事件的基本运算，属于基础题型.

【典例10】抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，若事件A={1,3,5},事件5={2,3},求事件AB,AB.

【答案】Au8={l,2,3,5},4c8={3}.

【解析】

【分析】

利用随机事件的运算，求AB,AB.

【详解】

由题设,A8={1,3,5}。{2,3}={1,2,3,5},AB={l,3,5}c{2,3}={3}.

【典例11］生产某种产品需要2道工序，设事件A="第一道工序加工合格“，事件8="第二道工序加工合

格“，用A,B,后表示下列事件：C=“产品合格”，。="产品不合格”.

【答案】C=AB；。=丽+社+而.

【解析】

【分析】

根据给定条件利用事件的运算即可列式作答.

【详解】

要使得产品合格，需要第一道工序和第二道工序加工都合格，即事件A,8同时发生，

所以C=A8；

产品不合格，就是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，

所以，D=AB+AB+^B-

考法03

事件的关系和运算的综合应用：

【典例12］如图所示，事件A="甲元件正常"，8="乙元件正常“，C="丙元件正常”.则AUBUC表示的

含义为________，可门后0仁表示的含义为.

r-TWb-i

----------------

HH

【答案】电路工作正常电路工作不正常

【解析】

【分析】

结合事件的关系和运算即可.

【详解】

A8UC表示甲、乙、丙元件至少有一个正常，即电路工作正常;

其石々表示甲、乙、丙元件都不正常，即电路工作不正常.

故答案为：电路工作正常；电路工作不正常.

【典例13】抛掷一枚质地均匀的骰子两次,事件M={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)},则事件M

的含义是.

【答案】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为8

【解析】

【分析】

根据事件可归纳出M的含义.

【详解】

抛掷一枚质地均匀的骰子两次,事件M=((2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)),

归纳可知，事件M的含义是：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为8的事件.

故答案为：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为8.

【典例14】从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，判断下列每对事件是不是互斥事件，是不

是对立事件.

⑴“取出3个红球”与“取出3个球中至少有1个白球”；

(2)“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”；

(3)“取出3个红球”与“取出的球中至少有1个红球

【答案】(1)是互斥事件，也是对立事件；

(2)是互斥事件，但不是对立事件；

(3)既不是互斥事件，也不是对立事件.

【分析】

根据题意，求得从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球所有的基本事件，再写出每个事件中包含

的基本事件，即可判断.

【解析】

(1)从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，从颜色的角度出发，包含如卜基本事件：

3个白球，2个白球1个红球，1个白球2个红球，3个红球.

事件“取出3个球中至少有1个白球”，包括：3个白球，2个臼球1个红球，1个白球2个红球，

故该事件与“取出3个红球”是互斥事件，也是对立事件.

(2)根据(1)中所求，显然：

“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”是互斥事件，但不是对立事件.

(3)“取出的球中至少有1个红球”包括基本事件：2个白球1个红球，I个白球2个红球，3个红球，

故该事件与“取出3个红球”不是互斥事件，因为有共同的基本事件：3个红球；

同时，也不是对立事件.

【典例15】设A,B,C表示三个随机事件，试将下列事件用A,B,C表示出来.

(1)三个事件都发生；

(2)三个事件至少有一个发生；

(3)A发生，B,C不发生；

(4)A,8都发生，C不发生；

(5)A,8至少有一个发生，C不发生；

(6)A,B,C中恰好有两个发生.

【答案】(1)ABC-.(2)ABC,(3)ABC-.(4)ABC-,(5)(AB)C-(6)(ABC)(ABC)(ABC)

【解析】

【分析】

由互斥事件和对立事件的定义、事件的间的关系求解即可

【详解】

解：(1)三个事件都发生表示为ABC；

(2)三个事件至少有一个发生表示为ABC.

(3)4发生，B,C不发生表示为48d;

(4)4,8都发生，C不发生表示为

(5)A,8至少有一个发生，C不发生表示为(AB)C;

(6)4,B,C中恰好有两个发生表示为卜86)(ABC)(ABC).

【典例16】记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件A,B,C,D,指出下

列事件的含义：

(1)ABC；

(2)Bnc；

(3)BUCUD.

【答案】(1)射中10环或9环或8环.

(2)射中9环.

(3)射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.

【解析】

（1）根据意义即可得到；

（2）先求出即可得出BCe;

（3）先求出8CD,即可得出BUCUQ.

【详解】

（I）A=射中10环，5=射中9环，C=射中8环，

.­.AU3UC=射中10环或9环或8环.

（2）,.<=射中8环，

，心=射中环数不是8环，

则=射中9环.

（3）BUCUO=射中9环或8环或7环，

则万=射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.

【点睛】

本题主要考查的是交事件（积事件）与并事件（和事件）的理解和应用以及对互斥事件、对立事件的概念

理解，以及集合间的基本运算，是基础题.

【典例17】一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有有2个红色球（标号为1和2）,2个绿色球（标

号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R|廿第一次摸到红球“，&="第二次摸到红球”,

R="两次都摸到红球”，G="两次都摸到绿球"，M="两个球颜色相同"，N="两个球颜色不同”.

（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；

（2）事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？

（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件"与事件R2的交事件与事件R有什么关系？

【答案】（1）详见解析（2）事件与包含事件品事件R与事件G互斥；事件”与事件N互为对立事件（3）

事件M是事件R与事件G的并事件；事件R是事件/?,与事件&的交事件.

【解析】（1）所有的试验结果如图所示，

（D©（DOQQ

©OOO0©

OQQ0Q0

QQQ©Q0

用数组（%,/）表示可能的结果,*是第一次摸到的球的标号是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空

间

复=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）｝

事件Rk''第一次摸到红球''，即斗=1或2,于是

N=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）｝；

事件&="第二次摸到红球''，即々=1或2,于是

&=｛（2,1）,（3,1）,（4,1）,（1,2）,（3,2）,（4,2）｝.

同理，有

/?=｛（1,2）,（2,1）｝.

G=｛（3,4）,（4,3）｝,

M=｛（1,2）,（2,1）,（3,4）,（4,3）｝,

N=｛（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）｝.

（2）因为所以事件R|包含事件R；

因为RG=0,所以事件R与事件G互斥；

因为MLN=C.McN=0,所以事件M与事件N互为对立事件.

（3）因为RI」G=M，所以事件M是事件R与事件G的并事件；

因为&/?2=R，所以事件R是事件"与事件"的交事件.

【典例18】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件Ci=｛出现1点｝,事件C2=｛出现2点｝,

事件G=｛出现3点｝,事件C4=｛出现4点｝,事件Cs=｛出现5点｝,事件。6=｛出现6点｝,事件£>]=｛出

现的点数不大于1｝,事件。2=｛出现的点数大于3｝,事件。3=｛出现的点数小于5｝,事件E=｛出现的点数

小于7｝,事件F=｛出现的点数为偶数｝,事件G=｛出现的点数为奇数｝,请根据上述定义的事件，回答下

列问题：

（1）请举出符合包含关系、相等关系的事件；

（2）利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.

【答案】（1）见解析；（2）事件。2,6,E,F,G为和事件.

【解析】（1）若事件G，Ci，Ci，C4发生，则事件。3必发生，所以GU6，C.QDi，C3CD3，C4CD3.

同理可得，事件。2包含事件C4，C5,C6；事件E包含事件Ci，C2,C3,C4,C5，C6；

事件厂包含事件C2,C4,C6；事件G包含事件C”C3,C5.

易知事件G与事件。相等，即Ci=。.

（2）因为事件止=｛出现的点数大于3｝=（出现4点或出现5点或出现6点｝,

所以Z>2=C4UC5UCU或5=C4+C5+C6）.

同理可得，£>3=。1+。2+。3+。4，£*=C|+C2+C3+C4+C5+C6，尸=。2+。4+。6，G=Cl+Cs+Cs.

故事件。2.。3,E,F,G为和事件.

M分层提分

题组A基础过关练

1.一个射手进行一次射击，事件A：命中环数大于8;事件及命中环数大于5,则（）

A.4与8是互斥事件B.A与8是对立事件

C.AQBD.

【答案】C

【解析】

【分析】

列出事件A、B的样本点，即可判断；

【详解】

解:事件A:命中环数大于8即命中9或10环;事件8:命中环数大于5即命中6或7或8或9或10环，故AQB.

故选：C

2.从1,2,3,7这7个数中任取两个数，其中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；

②至少有一个是奇数和两个都是奇数；

③至少有一个是奇数和两个都是偶数；

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数

上述事件中，是对立事件的是（）

A.①B.②④C.③D.①③

【答案】C

【解析】

【分析】

列举出从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶

数”，再由对立事件的定义即可得出选项.

【详解】

解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，

而从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：

“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，

故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数''是对立事件，其余都不是对立事件.

故选：C

3.从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设4=｛三件产品全不是次品｝,B=｛三件产品全是次品｝,

C=｛三件产品有次品，但不全是次品｝,则下列结论中错误的是（）

A.A与C互斥B.B与C互斥

C.任何两个都互斥D.任何两个都不互斥

【答案】D

【解析】

【分析】

根据互斥事件的定义进行判断即可

【详解】

由题意知事件A,B,C两两不可能同时发生，因此两两互斥.

故答案选：D

4.打靶3次，事件A,表示“击中i发"，其中i=0、1、2、3.那么A=AA4表示（）

A.全部击中B.至少击中1发

C.至少击中2发D.以上均不正确

【答案】B

【解析】

【分析】

利用并事件的定义可得出结论.

【详解】

A=AA4所表示的含义是A、4、&这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.

故选：B.

5.某产品分为甲、乙、丙三级，其中甲级为正品，乙、丙两级均属次品.从等级分别为甲、乙、丙的三件

产品中任取一件，抽到甲、乙、丙三级产品分别为事件A,B,C,则抽得次品为（）

A.AB.

C.CD.A

【答案】D

【解析】

【分析】

根据事件的运算逐个判断即可.

【详解】

事件A为抽到一件正品，故A错误.

事件万为抽到乙的反面，即抽到正品，故B错误.

事件已为抽到丙的反面，即抽到正品，故C错误.

事件7为抽取甲级产品的反面，即抽到次品，故D正确.

故选：D.

6.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）

A.至少有一个白球与都是红球B.恰好有一个白球与都是红球

C.至少有一个白球与都是白球D.至少有一个白球与至少一个红球

【答案】B

【解析】

【分析】

列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.

【详解】

解：对于A,事件：”至少有一个白球''与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；

对于B,事件：“恰好有一个白球''与事件：''都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是

两个都是白球，

所以两个事件互斥而不对立，故B1E确；

对于C,事件：“至少有一个白球''与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错

误；

对于D,事件：“至少有一个白球''与事件："至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球”，所

以这两个事件不是互斥的，故D错误.

故选：B.

7.某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有（）

①恰有一名男生和全是男生；②至少有一名男生和至少有一名女生；③至少有一名男生和全是男生；④至

少有一名男生和全是女生.

A.①③④B.②③④C.②③D.①④

【答案】D

【解析】

【分析】

按互斥事件的概念逐个判断即可.

【详解】

由互斥事件的概念可知，①④中的两个事件是互斥事件，②③两个事件不是互斥事件.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查利用互斥事件的概念判断两个事件是否互斥，属基础题.

8.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件8,则（）

A.AcB

B.A=B

C.A+3表示向上的点数是1或2或3

D.A8表示向上的点数是1或2或3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，可得A={1,2},8={2,3},求得A8={1},AIB={1,2,3},即可求解.

【详解】

由题意,可知A={1，2},3={2,3},

则Afi={123},；.A3表示向上的点数为1或2或3.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了随机事件的概念及其应用，其中解答中正确理解抛掷一枚骰子得到基本事件的个数是解答

的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

9.把电影院的4张电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得4排1号”与事

件“乙分得4排1号”是()

A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上答案都不对

【答案】C

【解析】

【分析】

事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号''不可能同时发生，故它们是互斥事件.事件“甲分得4排1号”

与事件“乙分得4排1号”可能都不发生，故它们不是对立事件.

【详解】

由题意知，事件“甲分得4排1号”与事件"乙分得4排1号''不可能同时发生.由互斥事件的定义可知，它们

是互斥事件.

又事件“丙分得4排1号”与事件"丁分得4排I号”其中一个可能发生，即事件“甲分得4排I号”与事件“乙

分得4排1号”可能都不发生.由对立事件的定义知，它们不是对立事件.

故选：C.

【点睛】

本题考查互斥事件和对立事件的定义，属于基础题.

10.甲、乙两个元件构成一串联电路，设